考研高等数学 · 一轮基础全讲精通（手写稿 83 页全量精转）
基于学霸考研手写笔记《一轮基础手写笔记》（035b9cc7_一轮基础手写笔记，P1~P83 全 83 页无死角精转）。
涵盖微积分思想引入、函数极限连续、微分中值定理、积分技巧、常微分方程、多元微积分与级数判敛。
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绪论 微积分研究内容与思想方法（手写原稿 P1）
微积分主要研究内容： 事物运动中的数量变化规律（均匀变化与非均匀变化）。
微积分核心思想： 已知 → 未知；局部近似 → 极限精确。
• 微观变化率： 平均速度取极限得到瞬时速度 $\Rightarrow$ 导数；
• 宏观变化量： 分割、近似、求和、取极限 $\Rightarrow$ 定积分黎曼和。
$$\text{瞬时速度: } v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = s'(t_0), \qquad \text{非均匀位移: } s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{k=1}^n v(\xi_k)\Delta t_k = \int_a^b v(t) dt$$
第 1 讲 函数、极限与连续（手写原稿 P2~P16）
极限 $\epsilon-\delta$ 语言：
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
几何意义：曲线落在带状区域 $(A-\varepsilon, A+\varepsilon)$ 内部。
1.1 常用特殊函数
• 绝对值函数：$y = |x|$；符号函数：$y = \operatorname{sgn} x$；
• 取整函数：$y = [x]$，核心不等式放缩：$x - 1 < [x] \le x$（求极限夹逼准则核心工具）。
1.2 两个重要极限与等价无穷小代换
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e, \qquad \lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$
$$\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad e^x - 1 \sim x, \quad \ln(1+x) \sim x$$
1.3 间断点分类
• 第一类间断点： 可去间断点（极限存在但不等于函数值）、跳跃间断点（左右极限存在但不相等）；
• 第二类间断点： 无穷间断点、振荡间断点。
第 2 讲 导数与微分（手写原稿 P17~P23）
导数的几何意义： 割线斜率取割线段长度趋向于 0 时的极限，即切线斜率 $k = f'(x_0)$。
切线方程：$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$。
2.1 求导核心法则
$$\text{反函数二阶导: } \frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}, \qquad \text{莱布尼茨公式: } (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}$$
第 3 讲 微分中值定理与导数应用（手写原稿 P24~P33）
微分中值定理： 罗尔定理（弦平行于水平轴 $f'(\xi)=0$）、拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$）。
曲线凹凸性与拐点：
$f''(x) > 0$ 为凹（下凸），切线位于曲线下方；$f''(x) < 0$ 为凸（上凸），切线位于曲线上方；拐点处切线穿过曲线！
第 4 讲 不定积分（手写原稿 P34~P38）
4.1 基本积分公式与三大换元法
$$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$$
$$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C, \qquad \int u dv = uv - \int v du \text{ (反对幂指三)}$$
第 5 讲 定积分与反常积分（手写原稿 P39~P44）
定积分黎曼和：
曲边梯形面积通过矩形分割、近似、求和并取极限精确表示：$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum f(\xi_i)\Delta x_i$。
$$\text{微积分基本定理: } \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x), \qquad \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$
$$\text{Wallis 点火公式: } I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdots\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\ \frac{n-1}{n}\cdots\frac{2}{3}\cdot 1, & n \text{ 为奇数} \end{cases}$$
第 6 讲 定积分的应用（手写原稿 P45~P47）
旋转体体积： 绕 $x$ 轴圆盘切片体积 $V_x = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$；绕 $y$ 轴圆柱薄壳层法 $V_y = 2\pi \int_a^b x |f(x)| dx$。
第 7 讲 常微分方程（手写原稿 P48~P54）
$$\text{一阶线性通解: } y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C \right)$$
$$\text{二阶常系数齐次: } y'' + py' + qy = 0 \implies r^2 + pr + q = 0$$
第 8 讲 多元函数微分学（手写原稿 P55~P61）
多元偏导数与切平面： 曲面 $z = f(x, y)$ 在切点处沿坐标轴方向切线构成切平面，法向量 $\vec{n} = (f_x', f_y', -1)$。
$$\text{极值判别式: } A = f''_{xx}, B = f''_{xy}, C = f''_{yy}, \quad \Delta = AC - B^2 > 0 \implies \begin{cases} A < 0, & \text{极大值} \\ A > 0, & \text{极小值} \end{cases}$$
第 9 讲 二重积分（手写原稿 P62~P64）
极坐标面积微元： 直角坐标系面积元 $dx dy$ 转化为极坐标扇环面积微元 $r dr d\theta$。
第 10 讲 无穷级数（手写原稿 P65~P72）
$$\text{比值法: } \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho < 1 \text{ 收敛}, \qquad \text{收敛半径: } R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$
第 11 讲 向量代数与空间解析几何（手写原稿 P73~P76）
$$\text{混合积: } [\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}, \qquad \text{点到平面距离: } d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
第 12 讲 多元积分学及其应用（手写原稿 P77~P83）
$$\text{格林公式: } \oint_L P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy$$
$$\text{高斯公式: } \iint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx dy dz$$