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## 目录大纲
- [绪论 微积分研究内容与思想方法（手写原稿 P1）](#绪论-微积分研究内容与思想方法)
- [第 1 讲 函数、极限与连续（手写原稿 P2~P16）](#第-1-讲-函数极限与连续)
  - 1.1 映射与函数基本概念及常用函数
  - 1.2 函数的四大核心特性（有界、单调、奇偶、周期）
  - 1.3 数列极限 $\epsilon-N$ 严密语言与极限性质
  - 1.4 函数极限 $\epsilon-\delta$ 语言与海涅归结原理
  - 1.5 极限运算法则与保号性定理
  - 1.6 夹逼定理与两个重要极限
  - 1.7 无穷小量阶数比较与等价代换避坑法则
  - 1.8 连续性、间断点四分类与闭区间连续函数三大定理
- [第 2 讲 导数与微分（手写原稿 P17~P23）](#第-2-讲-导数与微分)
  - 2.1 导数的定义、几何意义与可导充要条件
  - 2.2 基本初等函数求导公式表
  - 2.3 导数四则运算法则与反函数求导法则
  - 2.4 复合函数求导链式法则与隐函数微分法
  - 2.5 参数方程求导法与极坐标求导
  - 2.6 高阶导数与莱布尼茨公式 (Leibniz Formula)
  - 2.7 微分的概念、几何意义与一阶微分形式不变性
- [第 3 讲 微分中值定理与导数应用（手写原稿 P24~P33）](#第-3-讲-微分中值定理与导数应用)
  - 3.1 费马引理与罗尔中值定理
  - 3.2 拉格朗日中值定理与柯西中值定理
  - 3.3 泰勒中值定理与 8 大常用麦克劳林展开式
  - 3.4 洛必达法则适用条件与 7 类未定型
  - 3.5 函数单调性判定与极值极值点求法
  - 3.6 曲线凹凸性、拐点判定与渐近线求法
  - 3.7 最大值与最小值问题、曲率与曲率半径
- [第 4 讲 不定积分（手写原稿 P34~P38）](#第-4-讲-不定积分)
  - 4.1 原函数存在定理与不定积分基本性质
  - 4.2 基本积分公式表 (24 式完整速查)
  - 4.3 第一类换元法（凑微分法）实战技巧
  - 4.4 第二类换元法（三角代换、根式代换与倒代换）
  - 4.5 分部积分法（“反-对-幂-指-三”口诀速解）
  - 4.6 三类常见可积函数（有理分式、三角有理式、简单无理式）
- [第 5 讲 定积分与反常积分（手写原稿 P39~P44）](#第-5-讲-定积分与反常积分)
  - 5.1 定积分的黎曼和定义与几何/物理意义
  - 5.2 定积分的核心性质（估值、保号、积分中值定理）
  - 5.3 微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式严格推导
  - 5.4 变上限积分函数的性质与导数计算
  - 5.5 定积分的换元法与分部积分法
  - 5.6 奇偶性、周期性对称积分与华里士 (Wallis) 公式
  - 5.7 反常积分审敛判定黄金法则（无穷区间与无界瑕积分）
- [第 6 讲 定积分的应用（手写原稿 P45~P47）](#第-6-讲-定积分的应用)
  - 6.1 微元法 (元素法) 思想核心
  - 6.2 平面图形面积计算（直角坐标、极坐标与参数方程）
  - 6.3 平面曲线的弧长计算
  - 6.4 旋转体体积计算（圆盘法与圆柱壳层法）
  - 6.5 平行截面面积已知的立体体积
  - 6.6 物理应用（变力做功、水压力与引力）
- [第 7 讲 常微分方程（手写原稿 P48~P54）](#第-7-讲-常微分方程)
  - 7.1 微分方程基本概念（阶、通解、特解、初始条件）
  - 7.2 一阶可分离变量与齐次微分方程
  - 7.3 一阶线性微分方程与常数变易法
  - 7.4 伯努利微分方程标准解法
  - 7.5 可降阶的高阶微分方程三大类
  - 7.6 线性微分方程解的结构定理
  - 7.7 二阶常系数齐次线性微分方程特征根法
  - 7.8 二阶常系数非齐次线性微分方程待定系数法
- [第 8 讲 多元函数微分学（手写原稿 P55~P61）](#第-8-讲-多元函数微分学)
  - 8.1 二元函数的极限、重极限与累次极限
  - 8.2 多元函数的连续性与闭区域有界性
  - 8.3 偏导数的定义、几何意义与高阶偏导（克莱罗定理）
  - 8.4 全微分的定义、可微充要条件与判定网络
  - 8.5 多元复合函数求导链式法则
  - 8.6 隐函数求导公式与方程组求导
  - 8.7 多元函数的极值（二阶判别式 $AC-B^2$）与拉格朗日乘数法
- [第 9 讲 二重积分（手写原稿 P62~P64）](#第-9-讲-二重积分)
  - 9.1 二重积分的概念、几何意义与性质
  - 9.2 直角坐标系下的计算（$X$ 型与 $Y$ 型区域切片）
  - 9.3 极坐标系下的计算与坐标代换
  - 9.4 积分区域与被积函数的对称性（普通对称与轮换对称）
- [第 10 讲 无穷级数（手写原稿 P65~P72）](#第-10-讲-无穷级数)
  - 10.1 常数项级数的基本概念与性质
  - 10.2 正项级数审敛法（比较法、比值法、根值法、积分法）
  - 10.3 交错级数莱布尼茨判别法与绝对/条件收敛
  - 10.4 幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域（阿贝尔定理）
  - 10.5 幂级数的和函数求法（先导后积与先积后导）
  - 10.6 常见初等函数的麦克劳林展开式
  - 10.7 傅里叶级数（狄利克雷定理与周期延拓）
- [第 11 讲 向量代数与空间解析几何（手写原稿 P73~P76）](#第-11-讲-向量代数与空间解析几何)
  - 11.1 向量的线性运算、数量积、向量积与混合积
  - 11.2 空间平面方程与空间直线方程
  - 11.3 点、线、面的位置关系与距离公式
  - 11.4 常见二次曲面与空间曲线的投影
- [第 12 讲 多元积分学及其应用（手写原稿 P77~P83）](#第-12-讲-多元积分学及其应用)
  - 12.1 三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标与球面坐标）
  - 12.2 第一类曲线积分（对弧长）与第二类曲线积分（对坐标）
  - 12.3 格林公式与曲线积分与路径无关的四个等价条件
  - 12.4 第一类曲面积分（对面积）与第二类曲面积分（对坐标）
  - 12.5 高斯公式与散度、斯托克斯公式与旋度

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## 绪论 微积分研究内容与思想方法

### 1. 微积分研究主要内容
微积分研究的是**事物运动中的数量变化规律**：均匀变化与非均匀变化。
- **微积分核心思想**：已知 $\to$ 未知；局部近似 $\to$ 极限精确。
- **微观（瞬时速度引入导数）**：
  1. 均匀变化（匀速）：$v = \frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2 - t_1}$；
  2. 非均匀变化：取较小时间间隔 $\to$ 速度变化微小 $\to$ 近似为匀速：
     - 平均速度：$\bar{v} = \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$（近似值）；
     - 瞬时速度：$v(t_0) = \lim_{t\to t_0} \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0} = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{s(t_0+\Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$（精确值，消除误差）。
- **宏观（位移求和引入定积分）**：
  已知速度 $v = v(t)$ ($a \le t \le b$)，求 $t\in [a, b]$ 间的位移 $s$：
  1. 均匀变化：$s = v \cdot (b - a)$；
  2. 非均匀变化（四大步骤）：
     - **① 分割**：$a = t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b$，$\Delta t_k = t_k - t_{k-1}$；
     - **② 近似**：在每一小段上近似为匀速，$\Delta s_k \approx v(\xi_k) \Delta t_k$；
     - **③ 求和**：$s \approx \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \Delta t_k$；
     - **④ 取极限**：令最大小区段长度 $\lambda = \max \Delta t_k \to 0$，$s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \Delta t_k = \int_a^b v(t) dt$。
- **本质总结**：
  - 均匀量商 $\implies$ 导数（微观变化率）；
  - 均匀量积 $\implies$ 积分（宏观变化量）。

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## 第 1 讲 函数、极限与连续

### 1.1 映射与函数基本概念及常用函数
1. **定义**：设 $x, y$ 为两个变量，$D$ 为特定数集，若对每个 $x \in D$，按一定法则 $f$ 都有唯一确定的 $y$ 与之对应，记作 $y = f(x), x\in D$。
   - 不同 $x$ 可以映射到同一个 $y$；
   - 函数相同 $\iff$ 定义域与对应法则完全相同。
2. **三大高频特殊函数**：
   - **绝对值函数**：$y = |x| = \begin{cases} x, & x > 0 \\ -x, & x \le 0 \end{cases}$；
   - **符号函数**：$y = \operatorname{sgn} x = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$，满足 $x = |x|\operatorname{sgn} x$；
   - **取整函数**：$y = [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，满足核心放缩不等式：
     $$x - 1 < [x] \le x$$

### 1.2 函数的四大核心特性
1. **有界性**：$\exists M > 0, \forall x \in I, |f(x)| \le M$。无界定义：$\forall M > 0, \exists x_0 \in I, |f(x_0)| > M$。
   - 【例题】证明 $y = x\sin x$ 在 $(0, +\infty)$ 上无界：取 $x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$，则 $\sin x_n = 1$，$f(x_n) = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \to +\infty > M$。故无界。注意：无界并不意味着 $\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$！
2. **单调性**：利用导数符号判定，$f'(x) \ge 0$ 为单调不减；结合定义法验证分段函数。
3. **奇偶性**：
   - 奇函数：$f(-x) = -f(x)$，图像关于原点对称，若在 $x=0$ 有定义必有 $f(0)=0$；
   - 偶函数：$f(-x) = f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称；
   - **高分核心定理**：可导奇函数的导数为偶函数；可导偶函数的导数为奇函数；连续奇函数的全体原函数均为偶函数；连续偶函数的原函数中**有且仅有一个**为奇函数（取下限为 0 时：$F(x) = \int_0^x f(t)dt$ 为奇函数）。
4. **周期性**：若 $f(x+T) = f(x)$，则周期函数的导数仍是以 $T$ 为周期的周期函数。**周期函数原函数仍为周期函数的充要条件为一个周期上的定积分为零**：$\int_0^T f(x)dx = 0$。

### 1.3 数列极限与极限性质
- **$\epsilon-N$ 严密定义**：
  $$\lim_{n\to\infty} a_n = A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}^*, \text{当 } n > N \text{ 时，恒有 } |a_n - A| < \varepsilon$$
- **性质**：唯一性、有界性（收敛数列必有界）、保号性（若 $\lim a_n = A > 0$，则 $\exists N$，当 $n>N$ 时 $a_n > 0$）、子数列收敛性（原数列收敛 $\iff$ 奇偶子数列收敛且极限相同）。

### 1.4 函数极限与海涅归结原理
- **$\epsilon-\delta$ 严密定义**：
  $$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } 0 < |x - x_0| < \delta \text{ 时，恒有 } |f(x) - A| < \varepsilon$$
- **海涅归结原理**：$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff$ 对任意以 $x_0$ 为极限且 $x_n \neq x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，恒有 $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = A$。（常用于证明极限不存在：构造两个不同趋向的子数列求出不同极限）。

### 1.5 夹逼定理与两个重要极限
1. **夹逼准则**：若在 $x_0$ 的去心邻域内 $g(x) \le f(x) \le h(x)$，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = A$，则 $\lim f(x) = A$。
2. **第一重要极限**：
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
3. **第二重要极限**：
   $$\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e, \qquad \lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$
   - 常用 $1^\infty$ 极限三步法：$\lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim v(x)[u(x) - 1]}$。

### 1.6 无穷小量阶数比较与等价代换
- **常见等价无穷小代换 ($x\to 0$)**：
  $$\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x$$
  $$\ln(1+x) \sim x, \quad e^x - 1 \sim x, \quad a^x - 1 \sim x \ln a, \quad (1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$$
  $$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3, \quad \tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3, \quad x - \ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$$
- **避坑法则**：乘除因子可直接替换，加减项代换必须保证两项展开后首个非零同阶项不被完全抵消（展开至同阶差不为零）。

### 1.7 间断点分类与闭区间连续函数三大定理
1. **第一类间断点**（左右极限均存在）：
   - 可去间断点：$\lim_{x\to x_0} f(x)$ 存在，但 $f(x)$ 无定义或 $\lim_{x\to x_0} f(x) \neq f(x_0)$；
   - 跳跃间断点：左右极限均存在但不相等，跳跃度为 $|f(x_0^+) - f(x_0^-)|$。
2. **第二类间断点**（左右极限至少一个不存在）：无穷间断点、振荡间断点。
3. **闭区间连续函数三大定理**：最值定理（闭区间连续必有最大值与最小值）、有界性定理、零点定理（$f(a)f(b) < 0 \implies \exists \xi \in (a, b), f(\xi) = 0$）与介值定理。

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## 第 2 讲 导数与微分

### 2.1 导数的定义与几何意义
$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
- **充要条件**：$f'(x_0)$ 存在 $\iff f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$ 均存在且相等。
- **几何意义**：切线斜率 $k = f'(x_0)$。切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$；法线方程：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ ($f'(x_0) \neq 0$)。

### 2.2 求导法则与高阶导数
1. **反函数求导法则**：若 $x = f^{-1}(y)$，则 $[f^{-1}(y)]' = \frac{1}{f'(x)}$，其二阶导数为：
   $$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}\left(\frac{1}{y'}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y'}\right) \frac{dx}{dy} = -\frac{y''}{(y')^3}$$
2. **复合函数求导链式法则**：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。
3. **参数方程求导**：设 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$，则：
   $$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\right)}{\phi'(t)} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{[\phi'(t)]^3}$$
4. **莱布尼茨公式 (Leibniz Formula)**：
   $$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}$$

### 2.3 微分与一阶微分形式不变性
- 微分定义：$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x) \iff dy = f'(x) dx$。可导必可微，可微必可导。
- **一阶微分形式不变性**：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，恒有 $dy = f'(u) du$。

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## 第 3 讲 微分中值定理与导数应用

### 3.1 四大核心微分中值定理
1. **费马引理**：可导函数在极值点处的导数必为 0（$f'(x_0) = 0$）。
2. **罗尔定理 (Rolle)**：$f \in C[a, b]$，在 $(a, b)$ 可导，且 $f(a) = f(b) \implies \exists \xi \in (a, b), f'(\xi) = 0$。
3. **拉格朗日中值定理 (Lagrange)**：
   $$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a), \quad \xi \in (a, b)$$
4. **柯西中值定理 (Cauchy)**：
   $$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\\xi)}, \quad \xi \in (a, b)$$

### 3.2 麦克劳林展开式 (Maclaurin)
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^m \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} + o(x^{2m+1})$$
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} + o(x^{2m})$$
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$$
$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$$

### 3.3 曲线单调性、极值、凹凸性与渐近线
1. **极值充分条件**：
   - 第一充分条件：导数穿过驻点左右由正变负为极大，由负变正为极小；
   - 第二充分条件：$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)<0$ 为极大值；$f''(x_0)>0$ 为极小值。
2. **凹凸性与拐点**：$f''(x) > 0$ 凹（下凸），$f''(x) < 0$ 凸（上凸）；拐点为凹凸性改变的点 $(x_0, f(x_0))$。
3. **渐近线三步判定法**：
   - **铅直渐近线**：找无定义点 $x_0$，若 $\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty$，则 $x = x_0$；
   - **水平与斜渐近线**：计算 $k = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$，若存在且有限，再计算 $b = \lim_{x\to \pm\infty}[f(x) - kx]$。若存在，则 $y = kx + b$（若 $k=0$ 即为水平渐近线 $y=b$）。

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## 第 4 讲 不定积分

### 4.1 基本积分公式表 (24 式速查)
$$\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C (\mu \neq -1), \quad \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$
$$\int e^x dx = e^x + C, \quad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$
$$\int \sin x dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x dx = \sin x + C$$
$$\int \sec^2 x dx = \tan x + C, \quad \int \csc^2 x dx = -\cot x + C$$
$$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C, \quad \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$$
$$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C, \quad \int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$$
$$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C, \quad \int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$$
$$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$$
$$\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C$$

### 4.2 换元积分法与分部积分法
1. **第一类换元法（凑微分）**：$\int f(\phi(x))\phi'(x)dx = \int f(u)du$。
2. **第二类换元法**：
   - 遇 $\sqrt{a^2-x^2}$：令 $x = a\sin t$；
   - 遇 $\sqrt{a^2+x^2}$：令 $x = a\tan t$；
   - 遇 $\sqrt{x^2-a^2}$：令 $x = a\sec t$；
   - 倒代换：令 $x = \frac{1}{t}$（常用于分母幂次高于分子）。
3. **分部积分法**：$\int u dv = uv - \int v du$，选 $u$ 口诀：“反、对、幂、指、三”。

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## 第 5 讲 定积分与反常积分

### 5.1 微积分基本定理与变上限积分
设 $f(x) \in C[a, b]$，变上限积分函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 可导，且：
$$\Phi'(x) = f(x)$$
复合形式求导：
$$\frac{d}{dx} \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = f(\psi(x))\psi'(x) - f(\phi(x))\phi'(x)$$

### 5.2 华里士公式 (Wallis / 点火公式)
$$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为正偶数} \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1, & n \text{ 为正奇数} \end{cases}$$

### 5.3 反常积分审敛判定
- **无穷区间反常积分**：$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ ($a>0$) 在 $p > 1$ 时收敛，在 $p \le 1$ 时发散。
- **无界函数瑕积分**：$\int_a^b \frac{1}{(x-a)^q} dx$ 在 $q < 1$ 时收敛，在 $q \ge 1$ 时发散。

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## 第 6 讲 定积分的应用

### 6.1 面积与弧长
1. **平面面积**：
   - 直角坐标：$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$；
   - 极坐标：$A = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta) d\theta$。
2. **平面曲线弧长**：
   - 直角坐标：$s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$；
   - 参数方程：$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[\phi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} dt$；
   - 极坐标：$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta) + [r'(\theta)]^2} d\theta$。

### 6.2 旋转体体积与物理应用
1. **旋转体体积**：
   - 绕 $x$ 轴：$V_x = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$；
   - 绕 $y$ 轴（柱壳法）：$V_y = 2\pi \int_a^b x |f(x)| dx$。
2. **物理做功**：$W = \int_a^b F(x) dx$；水压力：$P = \rho g \int_a^b x [b(x) - a(x)] dx$。

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## 第 7 讲 常微分方程

### 7.1 一阶微分方程
1. **一阶线性非齐次微分方程** $y' + P(x)y = Q(x)$ 通解：
   $$y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C \right)$$
2. **伯努利方程** $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ ($n \neq 0, 1$)：令 $z = y^{1-n}$ 化为线性方程：
   $$\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$$

### 7.2 二阶常系数线性微分方程
齐次方程 $y'' + py' + qy = 0$，特征方程 $r^2 + pr + q = 0$：
- $\Delta > 0$（两实根 $r_1, r_2$）：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$；
- $\Delta = 0$（重实根 $r$）：$y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$；
- $\Delta < 0$（共轭复根 $\alpha \pm i\beta$）：$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$。
非齐次特解待定型：$f(x) = e^{\lambda x} P_m(x) \implies y^* = x^k Q_m(x) e^{\lambda x}$（$k$ 为 $\lambda$ 作为特征根的重数）。

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## 第 8 讲 多元函数微分学

### 8.1 全微分与可微判定
$$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$
- **充要条件**：$\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - [A\Delta x + B\Delta y]}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = 0$。
- **关系网**：偏导数连续 $\implies$ 全微分存在 $\implies$ 连续且偏导数存在。

### 8.2 多元极值二阶充分条件
令 $A = f''_{xx}, B = f''_{xy}, C = f''_{yy}, \Delta = AC - B^2$：
- $\Delta > 0$：$A < 0$ 极大值，$A > 0$ 极小值；
- $\Delta < 0$：不是极值点（鞍点）；
- $\Delta = 0$：失效，需用定义判定。

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## 第 9 讲 二重积分

### 9.1 计算与极坐标变换
直角坐标切片：$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y) dy$。
极坐标代换：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, dx dy = r dr d\theta$：
$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr$$

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## 第 10 讲 无穷级数

### 10.1 正项级数与交错级数
1. **比值法 (D'Alembert)**：$\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$（$\rho < 1$ 收敛，$\rho > 1$ 发散）。
2. **莱布尼茨判据**：交错级数 $\sum (-1)^{n-1} u_n$，若 $u_n \ge u_{n+1}$ 且 $\lim u_n = 0$，则级数收敛。
3. **阿贝尔定理与收敛半径**：$R = \lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ 或 $R = \lim \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$。

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## 第 11 讲 向量代数与空间解析几何

### 11.1 向量运算与平面/直线方程
1. **数量积**：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$。**向量积**：模长为平行四边形面积，方向按右手螺旋。
2. **空间平面方程**：点法式 $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$。
3. **空间直线方程**：对称式 $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$。
4. **点到平面距离**：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$。

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## 第 12 讲 多元积分学及其应用

### 12.1 格林公式与高斯公式
1. **格林公式 (Green)**：
   $$\oint_L P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy$$
2. **高斯公式 (Gauss 散度定理)**：
   $$\iint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx dy dz$$