📐 考研线性代数高分笔记 手写稿 74 页全量数字化重构
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考研线性代数高分笔记 · 74 页全要素精通讲义

基于原手写笔记 74 页高清切片全量转译。涵盖张宇基础与强化框架、李永乐名师考点扩充与 48 道金牌例题解析。公式全部采用 KaTeX 矢量排版，支持任意缩放与复制，彻底告别模糊手写位图！

📌 第 1 讲 行列式（张宇核心 + 永乐例题精解）

1. 行列式三大定义维度

① 本质定义（几何意义与线性相关性）：
若 $|D| \neq 0$，则行（列）向量组线性无关；若 $|D| = 0$，则向量组线性相关。

② 逆序数定义法：

$$\det(A) = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$$

③ 展开定理法： $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，按行展开公式 $|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}$；异行相乘为零：$\sum a_{ij} A_{kj} = 0$ ($i \neq k$)。

2. 四大特殊行列式与 $ab$ 型通式

$$\text{主对角三角：} \prod a_{ii}, \qquad \text{副对角三角：} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n} a_{2,n-1} \cdots a_{n1}$$
$$\begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A||B|, \qquad \begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A||B|$$
$$\text{范德蒙德：} V_n = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \quad \text{（盯紧第 2 行写结果）}$$
$ab$ 型行列式通式：
主对角为 $a$ 其余为 $b$：$D_n = [a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$；
副对角为 $a$ 其余为 $b$：$G_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} [a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$。

3. 具体型行列式计算 7 大实战方法

  1. 直接展开法：某行（列）零很多，或 2、3 阶时首选；
  2. 爪形行列式：核心口诀——“用斜爪子消去平（竖）爪子”；
  3. 异爪型行列式：低阶直接展开，高阶利用展开建立递推关系式；
  4. 行（列）和相等型：全部加到第 1 行（列），提取公因式化 1 消元；
  5. 消零化基本型：化为主对角三角或副对角三角；
  6. 拉普拉斯分块矩阵展开；
  7. 范德蒙德化归法。

4. 永乐老师例题一题三解与避坑指南

💡 经典四阶行和相等型行列式
$$D = \begin{vmatrix} a+x & a & a & a \\ a & a+x & a & a \\ a & a & a+x & a \\ a & a & a & a+x \end{vmatrix}$$

分析一（行相加）：$r_1+r_2+r_3+r_4$，提 $(4a+x)$，首行全变 1，依次减去 $a \cdot r_1$ 得 $(4a+x)x^3$；

分析二（基准行）：$r_2-r_1, r_3-r_1, r_4-r_1$，底行出现多零行，各列加到第 1 列得 $(4a+x)x^3$；

分析三（差分法）：$r_4-r_3, r_3-r_2, r_2-r_1$，形成双对角带，再合并列得三阶下三角 $(4a+x)x^3$。

⚠️ 避坑警示：只有二阶、三阶可以使用对角线相乘相减法，四阶及以上绝对严禁画叉相乘！

5. 克莱默法则及齐次方程组推论

若系数行列式 $|A| \neq 0$，方程组有唯一解 $x_j = \frac{D_j}{D}$。

齐次方程组 $Ax = 0$ 核心推论：
👉 $|A| \neq 0 \iff$ 方程组只有唯一零解；
👉 方程组有非零解 $\iff |A| = 0$。

📌 第 2 讲 矩阵（张宇核心 + 永乐例题精解）

1. 矩阵基本运算与易错辨析

运算类别 成立性质 ❌ 常见致命误区（不成立）
加减法与数乘 $(A+B)^T = A^T+B^T$, $(kA)^T = kA^T$ $|kA| \neq k|A|$（应为 $k^n|A|$）；$|A+B| \neq |A|+|B|$
矩阵乘法 $(AB)C = A(BC)$, $A(B+C) = AB+AC$ $AB \neq BA$；$AB=AC \not\implies B=C$；$AB=0 \not\implies A=0$ 或 $B=0$
转置运算 $(AB)^T = B^T A^T$, $(A^T)^T = A$ $(AB)^k \neq A^k B^k$（乘法不满足交换律时）

2. 向量内积、正交与 Schmidt 正交规范化

内积 $(\alpha, \beta) = \alpha^T \beta = \sum_{i=1}^n a_i b_i$。当 $\alpha^T \beta = 0$ 时称两向量正交。

施密特（Schmidt）正交化公式：
$$\beta_1 = \alpha_1$$ $$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$$ $$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2$$ $$\text{单位化：} \gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$$
永乐点睛：见到 $\alpha \alpha^T$ 必为对称矩阵；见到 $\alpha^T \alpha$ 必为一个数（等于各分量平方和 $\|\alpha\|^2 \ge 0$）！

3. 8 种重要矩阵与分块求逆速算法

包括零矩阵、单位矩阵 $E$、数量矩阵 $kE$、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵（$A^T=A$）、反对称矩阵（$A^T=-A, a_{ii}=0$）、正交矩阵（$A^TA=E \implies |A|=\pm 1$）。

分块矩阵求逆两组神级口诀：
① 主对角分块：主对角位置不变加逆，副对角位置不变且左乘同行右乘同列加负号！
$$\begin{bmatrix} A & O \\ C & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} A & C \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{bmatrix}$$
② 副对角分块：副对角位置交换加逆，主对角位置交换且左乘同行右乘同列加负号！
$$\begin{bmatrix} O & A \\ B & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$$

4. 伴随矩阵 $A^*$ 的 13 大性质与秩阶梯证明

基本恒等式：$A A^* = A^* A = |A| E$。

$$|A^*| = |A|^{n-1}, \quad A^* = |A|A^{-1}, \quad (kA)^* = k^{n-1} A^*, \quad (A^*)^* = |A|^{n-2} A$$
⭐ 伴随矩阵的秩阶梯公式严格证明（考研大题）
$$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases}$$

证明思路：
① 若 $r(A)=n-1$，则 $A$ 必存在 $n-1$ 阶非零子式（某个余子式 $M_{ij} \neq 0$），故 $A^* \neq 0 \implies r(A^*) \ge 1$；
② 另一方面，因 $r(A) < n \implies |A| = 0$，故 $A A^* = |A|E = 0$。根据 Sylvester 不等式 $r(A)+r(A^*) \le n \implies (n-1)+r(A^*) \le n \implies r(A^*) \le 1$；
③ 综合得 $r(A^*) = 1$。证毕！

5. 矩阵的秩 11 大核心性质与不等式

  1. $0 \le r(A) \le \min\{m, n\}$；
  2. $r(kA) = r(A)$ ($k \neq 0$)；
  3. $r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}$；
  4. $r(A+B) \le r(A) + r(B)$；
  5. $r(A^T) = r(A)$；
  6. 可逆乘积保秩：若 $P, Q$ 可逆，则 $r(PAQ) = r(A)$；
  7. 若 $A_{m \times n} B_{n \times s} = 0$，则 $r(A) + r(B) \le n$；
  8. $r\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix} = r(A) + r(B)$；
  9. 若 $A \sim B$，则 $r(A) = r(B)$，且 $r(A+kE) = r(B+kE)$；
  10. $r(A) = A \text{ 的列秩} = A \text{ 的行秩}$。

6. 矩阵高次幂 $A^n$ 计算三大法与矩阵方程

求 $A^n$ 三大技巧：
1. 计算 $A^2, A^3$ 归纳猜想；
2. 拆分为 $A = B+C$ 且 $BC=CB$，使用二项式定理；
3. 若方阵 $r(A)=1$，则 $A^n = [\text{tr}(A)]^{n-1} A$（如迹为 14 则为 $14^{n-1} A$）！

矩阵方程求解：$AX = B \implies X = A^{-1} B$；$XA = B \implies X = B A^{-1}$；$AXB = C \implies X = A^{-1} C B^{-1}$。

7. 永乐老师矩阵补充例题精讲

💡 例 1（行列式性质综合运算）

$A, B$ 为 $n$ 阶，$|A|=2, |B|=-3$，求：

$$|2A^* B^{-1}| = 2^n |A^*| |B|^{-1} = 2^n \cdot 2^{n-1} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2^{2n-1}}{3}$$ $$|A^* B^{-1} - A^{-1} B^*| = \left||A|A^{-1}B^{-1} - A^{-1}(|B|B^{-1})\right| = |5 A^{-1} B^{-1}| = -\frac{5^n}{6}$$
💡 例 2（抽象多项式求逆）

满足 $A^2-3A-2E=0$，求 $A^{-1}$ 与 $(A+E)^{-1}$：

$$A(A-3E) = 2E \implies A \cdot \left[\frac{1}{2}(A-3E)\right] = E \implies A^{-1} = \frac{1}{2}(A-3E)$$ $$(A+E)(A-4E)+2E=0 \implies (A+E) \cdot \left[\frac{1}{2}(4E-A)\right] = E \implies (A+E)^{-1} = \frac{1}{2}(4E-A)$$

📌 第 3 讲 向量组（张宇核心 + 永乐例题精解）

1. 线性表出与相关定义

$\beta = \sum_{i=1}^m k_i \alpha_i$ 称 $\beta$ 可由向量组线性表出。存在不全为 0 的数使 $\sum k_i \alpha_i = 0$ 称为线性相关；仅有全 0 时成立称为线性无关。

2. 判别线性相关性的七大金牌定理

  1. 定理 1：向量组相关 $\iff$ 至少有一向量可由其余向量线性表出；
  2. 定理 2：$\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 无关，而 $\beta, \alpha_1, \dots, \alpha_n$ 相关 $\implies \beta$ 可由其唯一线性表出；
  3. 定理 3（以少表多）：若 $\beta_1, \dots, \beta_t$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表出且 $t > s$，则 $\beta$ 组必线性相关；
  4. 定理 4（齐次方程联系）：向量组线性相关 $\iff Ax = 0$ 有非零解；
    维数小于个数（$n < m$）必相关（例如 4 个 3 维向量必相关）；$n=m$ 时相关 $\iff |A|=0$。
  5. 定理 5：$\beta$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表出 $\iff r(A) = r(A | \beta)$；
  6. 定理 6：部分相关 $\implies$ 整体相关；整体无关 $\implies$ 部分无关；
  7. 定理 7：无关可延长，相关可缩短。

3. 矩阵等价 vs 向量组等价

核心深度辨析：
- 矩阵等价：同型且秩相等即可（$r(A) = r(B)$）；
- 向量组等价：同维且能互相线性表出（$r(\text{I}) = r(\text{II}) = r(\text{I}, \text{II})$）；
- 金牌口诀：“两向量组，被表出的，秩不大”（$r(\beta) \le r(\alpha)$）。

4. 极大无关组求法与变换禁忌

求解方法：将向量按列拼成矩阵，只能作初等行变换！行阶梯形主元所在列即为极大线性无关组。

初等变换禁忌速记：
① 求矩阵的秩：行、列、混合变换随意作；
② 求极大无关组：只能作初等行变换；
③ 解方程组：只能作初等行变换！

5. 过渡矩阵与坐标变换公式

由基 $\xi$ 到基 $\eta$ 的过渡矩阵：$[\eta_1, \dots, \eta_n] = [\xi_1, \dots, \xi_n] C$。
对应坐标变换公式：$x = Cy$ 或 $y = C^{-1} x$。

6. 永乐老师向量组例题精选

💡 例题（向量能否线性表出的参数讨论）

讨论 $t$ 取何值时 $\beta=(2,5,t)^T$ 能/否由 $\alpha_1=(1,2,3)^T, \alpha_2=(1,3,4)^T, \alpha_3=(2,-1,1)^T$ 线性表出：

$$[\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 | \beta] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & 5 \\ 3 & 4 & 1 & t \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t-7 \end{bmatrix}$$

① 当 $t \neq 7$ 时，方程组无解，$\beta$ 不能由 $\alpha$ 线性表出；
② 当 $t = 7$ 时，方程组有无穷多解，$\beta = (1-7k)\alpha_1 + (5k+1)\alpha_2 + k\alpha_3$。

📌 第 4 讲 线性方程组（张宇核心 + 永乐例题精解）

1. 齐次线性方程组 $Ax=0$ 与基础解系

解的判定：$r(A)=n$ 只有唯一零解；$r(A)

$$\text{通解：} x = k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \cdots + k_{n-r} \xi_{n-r}$$

2. 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 与通解结构

条件 解的状况
$r(A) \neq r[A|b]$ 无解（$b$ 不能由系数列向量线性表出）
$r(A) = r[A|b] = n$ 有唯一解
$r(A) = r[A|b] < n$ 有无穷多解

解的结构：通解 = 对应齐次通解 + 非齐次特解：$x = \sum k_i \xi_i + \eta^*$。

3. 两个方程组公共解求解三大法

  1. 联立求解法：解方程组 $\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} x = 0$；
  2. 代入确定法：求 $Ax=0$ 通解代入 $Bx=0$ 找自由常数约束；
  3. 解系对等法：设公共解 $\gamma = \sum k_i \xi_i = \sum l_j \eta_j \implies \sum k_i \xi_i - \sum l_j \eta_j = 0$ 解系数。

4. 同解方程组判定（“三秩相同”金牌口诀）

$$Ax=0 \text{ 与 } Bx=0 \text{ 同解} \iff r(A) = r(B) = r\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$$

5. 永乐老师线性方程组经典例题

💡 例题（已知基础解系反求齐次线性方程组）

求一个齐次线性方程组，使其基础解系为 $\eta_1=(4,3,1,2)^T, \eta_2=(0,1,3,-2)^T$：

解法：将解向量转置作为矩阵行向量 $B = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}$，求 $Bx=0$ 的基础解系，求得 $(2,-3,1,0)^T$ 与 $(2,-2,0,-1)^T$。因此所求齐次方程组为：

$$\begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 - 2x_2 - x_4 = 0 \end{cases}$$

📌 第 5 讲 特征值与特征向量（张宇核心 + 永乐例题精解）

1. 基本概念与两大恒等式

特征方程 $|\lambda E - A| = 0$。特征向量必须是非零向量。

$$\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} \quad \text{（迹恒等式）}, \qquad \prod_{i=1}^n \lambda_i = |A| \quad \text{（行列式恒等式）}$$

2. 一元三次特征方程试根技巧

  • 常数项 $a_0 = 0 \implies \lambda = 0$ 是根；
  • 全部系数和为 $0 \implies \lambda = 1$ 是根（如 $\lambda^3-3\lambda^2-6\lambda+8=0 \implies \lambda=1$）；
  • 偶次项系数和等于奇次项系数和 $\implies \lambda = -1$ 是根；
  • 首项为 1 时，有理根必为常数项因子（试根 $\pm 1, \pm 2$），再配合长除法降次。

3. 矩阵函数特征值对应全表

矩阵表达式 特征值 特征向量
$A$$\lambda$$\xi$
$kA$$k\lambda$$\xi$
$A^k$$\lambda^k$$\xi$
$f(A)$$f(\lambda)$$\xi$
$A^{-1}$$\frac{1}{\lambda}$$\xi$
$A^*$$\frac{|A|}{\lambda}$$\xi$
$P^{-1}AP$$\lambda$$P^{-1}\xi$
$A^T$$\lambda$需重新求解

4. 矩阵相似对角化判别（2 充要 + 2 充分）

👉 充要条件 1：$A$ 具有 $n$ 个线性无关的特征向量；
👉 充要条件 2：对每个 $k_i$ 重根，均有几何重数等于代数重数：$n - r(\lambda_i E - A) = k_i$；
👉 充分条件 1：$A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值；
👉 充分条件 2：$A$ 为实对称矩阵（必可正交相似对角化）。

5. 实对称矩阵正交相似对角化

$$Q^{-1} A Q = Q^T A Q = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$$
  1. 求特征值 $\lambda_i$；
  2. 求基础解系 $\xi_i$；
  3. 正交化与单位化：重根特征向量用施密特正交化，不同特征值天然正交只需单位化；
  4. 拼接单位正交特征向量构造正交矩阵 $Q$。

6. 核心证明：实对称矩阵不同特征值特征向量必正交

⭐ 证明 $A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1, A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2$ ($\lambda_1 \neq \lambda_2, A=A^T$) 必有 $\alpha_1 \perp \alpha_2$

$\alpha_1^T A^T = \lambda_1 \alpha_1^T \implies \alpha_1^T A \alpha_2 = \lambda_1 \alpha_1^T \alpha_2$；
又 $\alpha_1^T (A \alpha_2) = \alpha_1^T (\lambda_2 \alpha_2) = \lambda_2 \alpha_1^T \alpha_2$；
两式相减得 $(\lambda_2 - \lambda_1) \alpha_1^T \alpha_2 = 0$。
因 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，故必有 $\alpha_1^T \alpha_2 = 0 \iff \alpha_1 \perp \alpha_2$。证毕！

7. 永乐老师例题精析

💡 例题（正交矩阵构造实战）

已知 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$，求正交矩阵 $Q$ 使 $Q^T A Q = \Lambda$：

解特征方程得 $\lambda_1=1, \lambda_2=4, \lambda_3=0$。求特征向量并分别单位化：

$$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}, \quad \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix}, \quad \gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$$ $$Q = [\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3] = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \quad \Lambda = \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 4 & \\ & & 0 \end{bmatrix}$$

📌 第 6 讲 二次型（张宇核心 + 永乐例题精解）

1. 二次型矩阵、标准型与规范型

二次型 $f(x) = x^T A x$（$A=A^T$ 对称矩阵）。
- 标准型：只有平方项，没有混合交叉项；
- 规范型：平方项系数只能是 $1, -1, 0$。
- 惯性定理：正负惯性指数 $p, q$ 在可逆线性变换下唯一保持不变；$r(f) = r(A) = p+q$。

2. 矩阵合同与等价条件

$C^T A C = B$（$C$ 可逆）称 $A$ 与 $B$ 合同，记为 $A \simeq B$。
实对称矩阵合同 $\iff$ 具有相同的正惯性指数 $p$ 与负惯性指数 $q$！

3. 化二次型为标准型两大途径

① 配方法：
- 有平方项直接逐步配方；
- 无平方项（名师口诀：“没有平方，创造平方”）：令 $x_1 = y_1+y_2, x_2 = y_1-y_2$ 产生平方项后再配方！

② 正交变换法：求特征值与正交特征向量，标准型系数即为特征值：$f = \sum \lambda_i y_i^2$。

4. 正定二次型与正定矩阵判定

五大充要条件（必须牢记）：
1. 正惯性指数 $p = n$；
2. $A \simeq E$（合同于单位阵）；
3. 特征值全大于 0；
4. 各阶顺序主子式全大于 0（$\Delta_k > 0$）；
5. 存在可逆矩阵 $D$ 使 $A = D^T D$。
两个必要条件：主对角元素全大于 0（$a_{ii} > 0$），且 $|A| > 0$。
衍生等价链：$A$ 正定 $\iff A^T$ 正定 $\iff A^{-1}$ 正定 $\iff A^*$ 正定。

5. 永乐老师二次型经典例题

💡 例题（正定性判定一题三解）

判断二次型 $f = 2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$ 的正定性：

方案一（顺序主子式）：$\Delta_1 = 2 > 0, \Delta_2 = 6 > 0, \Delta_3 = |A| = 10 > 0$，全大于 0，故正定！

方案二（特征值法）：$|\lambda E - A| = (\lambda-1)^2(\lambda-10) = 0 \implies \lambda = 1, 1, 10$，全大于 0，故正定！

方案三（配方法）：配方得 $2(x_1+x_2-x_3)^2 + 3(x_2-\frac{2}{3}x_3)^2 + \frac{5}{3}x_3^2 \implies p=3=n$，正惯性指数等于未知数个数，故正定！