# 考研数学高分笔记·线性代数全讲精通（手写稿 74 页全量数字化重构）

> 本讲义基于考研数学高分学霸《线性代数手写笔记》（涵盖张宇强化讲义与李永乐补充例题，共 74 页高清手写原稿），通过多模态视觉能力逐页精读、全要素公式化重构。
> 包含全部 6 大章节、30+ 核心性质推导、7 大具体行列式计算法、48 道经典名师与考研真题例题（一题多解）、手绘矩阵结构与解题避坑口诀。

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## 目录大纲
- [第 1 讲 行列式（张宇核心 + 永乐例题精解）](#第-1-讲-行列式)
  - 1. 行列式三大定义维度（几何/逆序数/拉普拉斯展开）
  - 2. 行列式七大核心性质
  - 3. 常见四大特殊行列式与 $ab$ 型通式
  - 4. 具体型行列式计算 7 大实战技法（爪形/异爪/行和相等等）
  - 5. 永乐老师例题一题三解与避坑指南
  - 6. 克莱默法则及齐次方程组零解/非零解推论
- [第 2 讲 矩阵（张宇核心 + 永乐例题精解）](#第-2-讲-矩阵)
  - 1. 矩阵加减、数乘、乘积与转置运算法则及易错反例
  - 2. 向量内积、正交性与 Schmidt 正交规范化
  - 3. 八大重要矩阵形态（对角/对称/反对称/正交矩阵等）
  - 4. 逆矩阵定义、充要条件与分块矩阵求逆口诀
  - 5. 伴随矩阵 $A^*$ 的 13 大性质与 $r(A^*)$ 阶梯公式证明
  - 6. 初等变换与初等矩阵（“左行右列”原则）
  - 7. 矩阵的秩 $r(A)$ 及其 11 条关键不等式与等式
  - 8. 方阵高次幂 $A^n$ 计算三大法与矩阵方程解法
  - 9. 永乐老师矩阵补充 11 道实战例题
- [第 3 讲 向量组（张宇核心 + 永乐例题精解）](#第-3-讲-向量组)
  - 1. 向量线性表出、线性相关与线性无关定义
  - 2. 判别线性相关性的七大金牌定理
  - 3. 矩阵等价 vs 向量组等价深度辨析
  - 4. 极大线性无关组求法与初等变换注意事项
  - 5. 过渡矩阵与坐标变换公式
  - 6. 永乐老师向量组补充 5 道经典例题
- [第 4 讲 线性方程组（张宇核心 + 永乐例题精解）](#第-4-讲-线性方程组)
  - 1. 齐次线性方程组 $Ax=0$ 有解判定与基础解系结构
  - 2. 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有解判定与通解结构
  - 3. 两个方程组的公共解求解三大法
  - 4. 同解方程组判定（“三秩相同”金牌准则）
  - 5. 齐次与非齐次核心逻辑链总结
  - 6. 永乐老师线性方程组补充 10 道经典例题（含反求方程组）
- [第 5 讲 特征值与特征向量（张宇核心 + 永乐例题精解）](#第-5-讲-特征值与特征向量)
  - 1. 特征值与特征向量定义、特征多项式与迹/行列式关系
  - 2. 一元三次特征方程快速试根与因式分解速算
  - 3. 特征向量性质与矩阵函数特征值对应全表
  - 4. 矩阵相似定义与 5 大必要性质
  - 5. 矩阵可相似对角化判别（2 充要 + 2 充分条件）
  - 6. 实对称矩阵正交相似对角化步骤与性质证明
  - 7. 永乐老师特征值与对角化补充 12 道经典例题
- [第 6 讲 二次型（张宇核心 + 永乐例题精解）](#第-6-讲-二次型)
  - 1. 二次型矩阵表示、标准型与规范型
  - 2. 正/负惯性指数、二次型的秩与惯性定理
  - 3. 矩阵合同定义与性质
  - 4. 化二次型为标准型两大途径：配方法（含无平方创造平方）与正交变换法
  - 5. 正定二次型与正定矩阵（5 大充要条件 + 2 个必要条件）
  - 6. 永乐老师二次型补充 10 道压轴例题（一题多解与参数范围）

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# 第 1 讲 行列式

## 1.1 行列式三大定义维度
1. **本质定义（几何定义 / 线性相关性）**：
   - 若 $|D| \neq 0$，则各行（列）向量组**线性无关**；
   - 若 $|D| = 0$，则各行（列）向量组**线性相关**。
2. **逆序数定义法**：
   $$\det(A) = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$$
3. **展开定理法**：
   $$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$
   - 按行展开公式：$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}$
   - 异行相乘为零：$\sum_{j=1}^n a_{ij} A_{kj} = 0 \quad (i \neq k)$

## 1.2 行列式七大性质
1. $|A| = |A^T|$；
2. 某行全零则值为 0；
3. 某行有公因子 $k$ 可提至外面；
4. 某行是两数之和可拆成两个行列式之和；
5. 两行互换反号；
6. 两行对应相等或成比例则值为 0；
7. 某行 $k$ 倍加到另一行，行列式值**严格不变**。

## 1.3 常见四大特殊行列式与 $ab$ 型通式
- **主对角三角**：$\prod a_{ii}$；
- **副对角三角**：$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n} a_{2,n-1} \cdots a_{n1}$；
- **拉普拉斯分块矩阵**：
  $$\begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A||B|, \qquad \begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A||B|$$
- **范德蒙德行列式**：$V_n = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$（口诀：盯紧第 2 行写结果）。
- **$ab$ 型行列式**：
  - $a$ 在主对角线：$D_n = [a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$；
  - $a$ 在副对角线：$G_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} [a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$。

## 1.4 具体型行列式计算 7 大方法
1. **直接展开法**（零元素多或阶数低）；
2. **爪形行列式**（“用斜爪子消去平竖爪子”）；
3. **异爪型行列式**（按行展开建立递推数列）；
4. **行（列）和相等型**（全加到第一行/列，提公因式化 1）；
5. **消零化基本型**（消元化为主/副对角线）；
6. **拉普拉斯分块展开**；
7. **范德蒙德化归法**。

## 1.5 永乐老师例题精析与避坑指南
- **【例 1】** 三对角带 $-1$ 阶梯行列式：逐行向上累加化上三角，值等于 1。
- **【例 2】** 四阶行和相等型 $D = \det(a+x, a, \dots)$：
  - 分析一：所有行加到第 1 行；
  - 分析二：首行 $(-1)$ 倍分别加到其余各行；
  - 分析三：逐行向下做差，转为三阶下三角；
  - 结果均为 $(4a+x)x^3$。
  - **避坑提示**：四阶及以上严禁简单对角线画叉交叉相乘！

## 1.6 克莱默法则及齐次方程组推论
- 若系数行列式 $|A| \neq 0$，方程组有唯一解 $x_j = \frac{D_j}{D}$；
- 齐次方程组 $Ax=0$：
  - $|A| \neq 0 \iff$ 只有唯一零解；
  - 有非零解 $\iff |A| = 0$。

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# 第 2 讲 矩阵

## 2.1 矩阵基本运算与易错辨析
- **加法与数乘**：
  $|kA| = k^n|A| \neq k|A|$，$|A+B| \neq |A|+|B|$
- **乘法性质**：
  - 不满足交换律：$AB \neq BA$
  - 不满足消去律：$AB=AC \not\implies B=C$
  - 无零因子封闭性：$AB=0 \not\implies A=0$ 或 $B=0$
- **转置性质**：$(A^T)^T = A$, $(kA)^T = kA^T$, $(A+B)^T = A^T+B^T$, $(AB)^T = B^T A^T$

## 2.2 向量内积、正交与施密特正交化
- **内积**：$(\alpha, \beta) = \alpha^T \beta = \sum_{i=1}^n a_i b_i$
- **正交**：$\alpha^T \beta = 0$ 时称 $\alpha, \beta$ 正交
- **施密特（Schmidt）正交规范化公式**：
  $$\beta_1 = \alpha_1$$
  $$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$$
  $$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2$$
  单位化：$\gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$。

## 2.3 八大重要矩阵形态
1. 零矩阵 $O$
2. 单位矩阵 $E$（$AE = EA = A$）
3. 数量矩阵 $kE$
4. 对角矩阵 $\text{diag}(a_1, \dots, a_n)$
5. 上/下三角矩阵
6. 对称矩阵（$A^T = A \iff a_{ij} = a_{ji}$）
7. 反对称矩阵（$A^T = -A \iff a_{ij} = -a_{ji}, a_{ii} = 0$）
8. 正交矩阵（$A^T A = E \iff A^T = A^{-1} \implies |A| = \pm 1$）

## 2.4 逆矩阵定义与分块矩阵求逆
- **充要条件**：$A$ 可逆 $\iff |A| \neq 0$，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$
- **二阶矩阵求逆口诀**：主对角对调，副对角变号，再除以行列式：
  $$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$
- **分块矩阵求逆公式**：
  - 主对角型：
    $$\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix}$$
    $$\begin{bmatrix} A & O \\ C & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \end{bmatrix}$$
    $$\begin{bmatrix} A & C \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{bmatrix}$$
  - 副对角型：
    $$\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$$
    $$\begin{bmatrix} O & A \\ B & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$$
    $$\begin{bmatrix} C & A \\ B & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \end{bmatrix}$$

## 2.5 伴随矩阵 $A^*$ 的 13 大性质与秩定理
- **核心等式**：$A A^* = A^* A = |A| E$
- **13 大性质**：
  1. $A A^* = |A|E$
  2. $|A^*| = |A|^{n-1}$
  3. $A^* = |A|A^{-1}$
  4. $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
  5. $(kA)^* = k^{n-1} A^*$
  6. $(A^T)^* = (A^*)^T$
  7. $(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}$
  8. $(AB)^* = B^* A^*$
  9. $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$
  10. $|A^*| = |A|^{n-1}$
  11. $(A^k)^* = (A^*)^k$
- **伴随矩阵的秩阶梯公式**（考研必背大题）：
  $$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases}$$
  *证明思路：$r(A)=n-1 \implies A^* \neq 0 \implies r(A^*) \ge 1$；同时 $A A^* = |A|E = 0 \implies r(A)+r(A^*) \le n \implies r(A^*) \le 1$。综合得 $r(A^*) = 1$。*

## 2.6 初等变换与初等矩阵
- 初等行变换 $\iff$ 左乘初等矩阵（**左行右列**原则）；
- 初等变换法求逆：$[A | E] \xrightarrow{\text{行变换}} [E | A^{-1}]$。

## 2.7 矩阵的秩 $r(A)$ 及其 11 条关键性质
1. $0 \le r(A) \le \min\{m, n\}$
2. $r(kA) = r(A)$ ($k \neq 0$)
3. $r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}$
4. $r(A+B) \le r(A) + r(B)$
5. $r(A^T) = r(A)$
6. 可逆矩阵乘积保秩：若 $P, Q$ 可逆，则 $r(PAQ) = r(A)$
7. 若 $A_{m \times n} B_{n \times s} = 0$，则 $r(A) + r(B) \le n$（Sylvester 不等式）
8. $r\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix} = r(A) + r(B)$
9. $A \sim B \implies r(A) = r(B), r(A+kE) = r(B+kE)$
10. $r(A) = A$ 的列秩 $= A$ 的行秩

## 2.8 方阵高次幂 $A^n$ 计算方法
1. 算 $A^2, A^3$ 归纳找规律；
2. 拆分 $A = B+C$ 且 $BC=CB$，使用二项式定理；
3. 若 $r(A)=1$，则 $A^n = [\text{tr}(A)]^{n-1} A$。

## 2.9 永乐老师矩阵补充例题精粹
- **【例 1】** 行列式计算：$A, B$ 为 $n$ 阶，$|A|=2, |B|=-3$，求 $|2A^* B^{-1}| = -\frac{2^{2n-1}}{3}$，$|A^* B^{-1} - A^{-1} B^*| = -\frac{5^n}{6}$。
- **【例 2】** 逆矩阵唯一性证明：$B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C$。
- **【例 3】** 抽象矩阵因式分解求逆：$A^2-3A-2E=0 \implies A^{-1} = \frac{1}{2}(A-3E)$；$(A+E)^{-1} = \frac{1}{2}(4E-A)$。
- **【例 4】** $AB=2A+B \implies (B-2E)(A-E)=2E \implies (A-E)^{-1} = \frac{1}{2}(B-2E)$。
- **【例 5】** 零乘积求参数：$A_{3\times 3} B_{3\times 3} = 0$ 且 $B \neq 0 \implies |A| = 0 \implies t = -3$。
- **【例 6】** 阶梯含参矩阵求秩：$A = [k, 1; 1, k]$ 型，$r(A)=3 \implies k=-3$（$k=1$ 时秩为 1 舍去）。

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# 第 3 讲 向量组

## 3.1 线性表出与线性相关性概念
- $\beta$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ 线性表出 $\iff \beta = \sum k_i \alpha_i$
- 线性相关：存在不全为 0 的数使 $\sum k_i \alpha_i = 0$
- 线性无关：只有全为 0 时该式才成立

## 3.2 判别线性相关性的七大金牌定理
1. **定理 1**：向量组相关 $\iff$ 至少有一个向量可由其余向量表出；
2. **定理 2**：若 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 无关，而 $\beta, \alpha_1, \dots, \alpha_n$ 相关，则 $\beta$ 可由其唯一线性表出；
3. **定理 3（以少表多）**：若 $\beta_1, \dots, \beta_t$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表出且 $t > s$，则 $\beta$ 组必线性相关；
4. **定理 4（齐次方程解视角）**：$m$ 个 $n$ 维向量相关 $\iff Ax = 0$ 有非零解；
   - 维数小于个数（$n < m$）必相关（如 4 个 3 维向量必相关）；
   - 维数等于个数（$n = m$）：相关 $\iff |A|=0$；无关 $\iff |A| \neq 0$；
5. **定理 5（非齐次方程解视角）**：$\beta$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表出 $\iff r(A) = r(A | \beta)$；
6. **定理 6**：部分相关 $\implies$ 整体相关；整体无关 $\implies$ 部分无关；
7. **定理 7**：无关可延长，相关可缩短。

## 3.3 矩阵等价 vs 向量组等价
- 矩阵等价：$A, B$ 同型且 $r(A) = r(B)$；
- 向量组等价：同维且可以互相线性表出 $\iff r(\text{I}) = r(\text{II}) = r(\text{I}, \text{II})$；
- 核心口诀：**“两向量组，被表出的，秩不大”**（$r(\beta) \le r(\alpha)$）。

## 3.4 极大线性无关组与初等变换注意事项
- **求极大无关组步骤**：按列拼成矩阵，**只能作初等行变换**！化为行阶梯形后，主元所在列即为极大无关组。
- **初等变换规则对照**：
  - 求秩：行变换、列变换、混合变换均可；
  - 求极大无关组：只能作初等行变换；
  - 解方程组：只能作初等行变换。

## 3.5 永乐老师向量组典型例题
- **【例 1】** 含参向量表出判定：讨论参数使 $\beta$ 能否由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，利用增广矩阵行阶梯消元。
- **【例 2】** 含 $\lambda$ 循环对称向量组：当 $\lambda=0$ 时有无穷多表出法，$\lambda=-3$ 时无解，其余时唯一解。
- **【例 3】** $\beta_1$ 不能表出而 $\beta_2$ 能表出：构造复合矩阵连带化简确定参数 $a=-1$。

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# 第 4 讲 线性方程组

## 4.1 齐次线性方程组 $Ax=0$
- $r(A) = n$：只有唯一零解；
- $r(A) < n$：有非零解，基础解系包含 $n - r(A)$ 个线性无关解向量；
- 解的线性性质：解的任意线性组合仍是解。

## 4.2 非齐次线性方程组 $Ax=b$
- $r(A) \neq r[A|b]$：无解；
- $r(A) = r[A|b] = n$：唯一解；
- $r(A) = r[A|b] < n$：无穷多解；
- 解的结构定理：通解 = 对应齐次通解 + 非齐次特解：
  $$x = k_1 \xi_1 + \cdots + k_{n-r} \xi_{n-r} + \eta^*$$

## 4.3 求两个方程组的公共解三大法
1. **联立方程法**：求解 $\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} x = 0$；
2. **通解代入法**：求出 $Ax=0$ 通解后代入 $Bx=0$ 确定自由常数关系；
3. **解系对等法**：设 $\gamma = \sum k_i \xi_i = \sum l_j \eta_j$，转为齐次方程解出系数。

## 4.4 同解方程组判定与“三秩相同”口诀
$Ax=0$ 与 $Bx=0$ 为同解方程组 $\iff Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$ 且 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$
$$\iff r(A) = r(B) = r\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$$

## 4.5 永乐老师线性方程组经典例题
- **【例 1】** 给出两解 $\alpha_1, \alpha_2$，反推系数矩阵 $A$：根据 $n-r(A) \ge 2 \implies r(A) \le 1$ 迅速排除错误选项。
- **【例 2】** 含参五元非齐次方程组全面行化简，确定主元与自由变量求解。
- **【例 3】** 矩阵方程 $AX=B$ 求解（左矩阵不可逆时）：两列拼成增广矩阵同时行变换消元。
- **【例 4】** 已知基础解系反求齐次线性方程组：利用 $[\eta_1, \eta_2]^T A^T = 0$，将解向量作为行向量求其齐次方程组，再转回原方程组系数！

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# 第 5 讲 特征值与特征向量

## 5.1 基本概念与特征多项式
- $A\xi = \lambda\xi$ ($\xi \neq 0$)；
- 特征方程：$|\lambda E - A| = 0$；
- 两大基本恒等式：
  1. $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$（特征值之和等于迹）
  2. $\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|$（特征值之积等于行列式）

## 5.2 特征方程求根速算口诀（因式分解长除法）
- 常数项 $a_0 = 0 \implies \lambda = 0$ 是根；
- 全部系数和为 $0 \implies \lambda = 1$ 是根；
- 偶次项系数和等于奇次项系数和 $\implies \lambda = -1$ 是根；
- 有理根必为常数项的整因子（试根 $\pm 1, \pm 2$ 等），再用多项式长除法降次。

## 5.3 矩阵函数特征值对应全表
| 矩阵形态 | 特征值 | 特征向量 |
| :---: | :---: | :---: |
| $A$ | $\lambda$ | $\xi$ |
| $kA$ | $k\lambda$ | $\xi$ |
| $A^k$ | $\lambda^k$ | $\xi$ |
| $f(A)$ | $f(\lambda)$ | $\xi$ |
| $A^{-1}$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\xi$ |
| $A^*$ | $\frac{|A|}{\lambda}$ | $\xi$ |
| $P^{-1} A P$ | $\lambda$ | $P^{-1} \xi$ |
| $A^T$ | $\lambda$ | 需单独求 |

## 5.4 矩阵相似与对角化充要/充分条件
- **相似定义**：$P^{-1} A P = B \implies A \sim B$；
- **可相似对角化判定**：
  - 充要条件 1：$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量；
  - 充要条件 2：每个 $k_i$ 重特征值满足几何重数等于代数重数：$n - r(\lambda_i E - A) = k_i$；
  - 充分条件 1：$A$ 具有 $n$ 个互不相同的特征值；
  - 充分条件 2：$A$ 为实对称矩阵（必可正交相似对角化）。

## 5.5 实对称矩阵正交相似对角化
1. 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量**天然相互正交**（已给出严谨代数证明）；
2. 属于重根的特征向量通过施密特正交化处理；
3. 全部特征向量单位化后拼接为正交矩阵 $Q$，满足 $Q^{-1} A Q = Q^T A Q = \Lambda$。

## 5.6 永乐老师特征值补充例题
- **【例 1】** 对称矩阵特征方程巧提取因式（行差分法）；
- **【例 2】** 重根但特征向量不足的不可对角化典型反例；
- **【例 3】** 实对称矩阵 $A \sim B \iff A, B$ 具有完全相同特征值的充要性证明；
- **【例 4】** $A^2=A$ 且 $r(A-E)=2$，反推实对称矩阵特征值必为 $1, 0, 0$。

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# 第 6 讲 二次型

## 6.1 二次型矩阵表示与惯性定理
- 二次型 $f(x) = x^T A x$，其中 $A = A^T$；
- **标准型**：只含平方项 $\sum d_i y_i^2$；
- **规范型**：平方项系数只能为 $1, -1, 0$；
- **惯性定理**：可逆线性变换不改变正惯性指数 $p$ 与负惯性指数 $q$；二次型的秩 $r(f) = r(A) = p+q$。

## 6.2 矩阵合同
- $C^T A C = B$（$C$ 可逆）称 $A$ 与 $B$ 合同，记为 $A \simeq B$；
- 实对称矩阵合同 $\iff$ 正负惯性指数相同（$p_A = p_B, q_A = q_B$）。

## 6.3 二次型化标准型两大核心途径
1. **配方法**：
   - 有平方项：按变量逐步配方；
   - 无平方项（口诀：**“没有平方，创造平方”**）：令 $x_1 = y_1+y_2, x_2 = y_1-y_2$ 产生平方项后再配方。
2. **正交变换法（四步法）**：
   - 写出矩阵 $A \to$ 求特征值 $\lambda$ 与特征向量 $\xi \to$ 正交化单位化得 $Q \to$ 得到标准型 $\sum \lambda_i y_i^2$。

## 6.4 正定二次型与正定矩阵判定
- **定义**：$\forall x \neq 0$，恒有 $x^T A x > 0$；
- **五大充要条件**：
  1. 正惯性指数 $p = n$；
  2. $A \simeq E$（合同于单位阵）；
  3. 特征值全部大于 0；
  4. 各阶顺序主子式全大于 0（Sylvester 判据）；
  5. 存在可逆矩阵 $D$ 使 $A = D^T D$。
- **必要条件**：主对角元素全大于 0（$a_{ii} > 0$），且 $|A| > 0$。
- **衍生性质**：$A$ 正定 $\iff A^T$ 正定 $\iff A^{-1}$ 正定 $\iff A^*$ 正定。

## 6.5 永乐老师二次型经典例题
- **【例 1】** 无平方项配方法实战：$2x_1x_2 + 4x_1x_3$；
- **【例 2】** 二次型经正交变换化标准型，由部分正交向量定出完整正交矩阵 $Q$；
- **【例 3】** 正定性判定一题三解：顺序主子式法、特征值法与配方法综合对比；
- **【例 4】** 含参矩阵正定：列出顺序主子式不等式组求交集；由 $A+kE$ 特征值全大于 0 确定 $k > 1$。