(4) 已知a,
(5) 已知n阶矩阵A,B,C满足ABC=0,E为n阶单位矩阵.记矩阵
的
·
BC E.
0 ]E-
AB 10
秩分别为r?,r?,r?,则
(B)n?≤r?≤r?.
(A)r?≤r?≤r?.
(D)r?≤r?≤r?.
(C)r?≤r?≤r?.
[
1
11 『
事
(6) 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是
11 a
1 1 a
1 1 a
1 1 a
(A) 022
(B) 120
(C) 020
(D) 022
003
a 03.
002.
002
尸
1
-
1
1
2
2
1
(7) 已知向量a:=
,α?=
,β=
,β2=
.若γ既可由a?,α?线性表示，也可由β,β
2
1
5
3
1
9
1
线性表示，则γ=
,
3
-1
(A)k
,k∈ R.
(B)k
,k∈ R.
(C)k
,k∈ R.
(D)k
,K∈ R.
10
8]
3
3
5
1
1
2
4
· 2 ·
1
--- [第 3 页] ---
2023年全国硕士研究生招生考试敏学(一)
(8) 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E(| X —EX |)=
(A)
9
(C) e
(D)l.
(9) 设Xi，X2,…，Xn为来自总体N(灼/)的简单随机样本，匕X，…,匕》为来自总体N仙,
2/)的简单随机样本，且两样本相互独立.记次=+去乂,，？ = 42匕，宇=土^(瓦
-X)2, SI =
(Y.-Y)2,则
巾一 1 &
(A)苛〜F(n9m).
(C)
〜F(n,m).
(B) S?
Si
(D)警〜F(n — 19m — 1).
F(n — ],m — 1).
(10) 设X,,X2为来自总体NS /)的简单随机样本，其中>0)是未知参数.若？ I X]—
x2 I为。的无偏估计，则a =
(A)亨.
(B)
(C)&.
二、 填空题(11〜16小题，每小题5分，共30分.)
(D)扁.
(11) 当工―>0时，函数，(*) = az + &c2 + ln( 1 + x)与g(z) = e* — cos工是等价无穷小，则沥=
(12) 曲面z = x + 2j/ + ln(l+x2+y)在点(0,0,0)处的切平面方程为.
(13) 设 /(x)是周期为 2 的周期函数，且 y&) = 1 —
6 [0,1].若 f(-r)=号 + >]a,cos mx,
则、a2n =
n= 1
kxa\ +奴。2 +幻。3.若 rra,=
则 j /Xi)cLz =
(16) 设随机变量X与Y相互独立，且X〜B(l,y),Y〜B(2,§),则P{X = Y) =.
三、 解答题(17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(17) (本题满分10分)
设曲线y =、&)(%> 0)经过点(1,2),该曲线上任一点P(x,>)到夕轴的距离等于该点处的
切线在y轴上的截距.
([)求 y(x)s
(H)求函数/(x) = £y(t)dz在(0,+8)上的最大值.
. 3 •
2023年全国硕士研究生招生考试数学(一)
(8) 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E(IX-EX|)=
2
(A)
(B)
(C)
(D)1.
e
2
·e
1
1
(9) 设X?,X?,⋯,X,为来自总体N(μ,d2)的简单随机样本，Y?,Y?,⋯,Y。为来自总体N(μ?,
m
1
2x,Y=
2c2)的简单随机样本，且两样本相互独立.记X=
2Y,S=
2(x.
n
m
n—1
=1
=1
-1
m
1
—X)2,S?=
乙(Y,-Y)2,则
m—1-1
1
1
Si
Si
(A)
F(n,m)
(B)
～ F(n-1,m-1).
S
S
2Si
2S
(C)
～ F(n,m).
(D)
~F(n-1,m-1).
S
S
(10) 设X?,X?为来自总体N(μ,c2)的简单随机样本，其中o(σ>0)是未知参数.若α=a|X:-
X?I为σ的无偏估计，则a=
√π
√2π
(C)√π
(A)
(B)
(D)√2π.
2
2
二、 填空题(11～16小题，每小题5分，共30分.)
(11) 当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+In(1+x)与g(x)=e2-cosx是等价无穷小，则ab=
_。
(12) 曲面z=x+2y+ln(1+x2+y2)在点(0,0,0)处的切平面方程为 _.
00
ao
(13) 设f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)=1-x,x∈[0,1].若f(x)=
+ 2a,cos nπx,
2
-1
则乙a?= _.
=1
(14) 设连续函数f(x)满足：f(x+2)-f(x)=x,
f(x)dx=0,则
f(x)dx= .
0
-1
0
0
-1
(15) 已知向量a?=
,β=
,y=k:a?+k?a?+k?a?.若γ'a,=
,α?=
,α?=
0
-1
1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
βa,(i=1,2,3),则k1+2+好=_ _.
(
1
1
(
)
(16) 设随机变量X与Y相互独立，且X～B| 1,
,Y～ B 2,
,则P(X=Y)=_ _.
3
2
三、 解答题(17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(17) (本题满分10分)
设曲线y=y(x)(x>0)经过点(1,2),该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的
切线在y轴上的截距.
(I)求y(x);
(Ⅱ)求函数f(x)=
y(t)dt在(0,+oo)上的最大值.
·3 ·
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―数字历年真题全精解析•■—(数学一)
(18) (本题满分12分)
求函数 f(.x,y~) = (y — x2')(y — x3)的极值.
(19) (本题满分12分)
设空间有界区域0由柱面x2+yz = 1与平面z = 0和z + z= 1围成为。边界面的外侧，
计算曲面积分
I = 02_rzd；ydz + xzcos ydzdx + 3yzsin xdxdy.
(20) (本题满分12分)
设函数八工)在［-a,a］上具有2阶连续导数.证明：
(I )若/X0)= 0,则存在 f £ (-a, a),使得,(Q = ^［f(a)+f(-a)］；
(U)若 g 在(-a,a)内取得极值，则存在戒(一a,a),使得| /(,) 12志I，(a)-/(—a) |.
(21) (本题满分12分)
已知二次型 /(X)，以，工3)=
+ 2xf + 2x| + 2xix2 — 2了1无，g(jh ,y2 9y3)= yi + yl + yl +
2了2、3・
(I )求可逆变换x = Py将f (工i皿,a)化为g(jy】，力，*);
(II)是否存在正交变换x = Qy将f(0 ,互，无)化为g(/i »^2必)？
(22) (本题满分12分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
-(x2+y), hi,
/(x,y) = < n
0,
其他.
(l) 求X与丫的协方差；
(n)x与丫是否相互独立？
(m) 求z = x2 + y2的概率密度.
• 4 •
数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
(18) (本题满分12分)
求函数f(x,y)=(y-x2)(y-x3)的极值.
(19) (本题满分12分)
设空间有界区域Ω由柱面x2+y2=1与平面x=0和x+x=1围成，Z为Ω边界面的外侧，
计算曲面积分
①
I=中22xxdydz+xzcos ydzdx+3yzsin xdxdy.
2
(20) (本题满分12分)
设函数f(x)在[-a,a]上具有2阶连续导数.证明：
1
(I)若f(O)=0,则存在E∈(-a,a),使得f(e)=
[f(a)+f(-a)]:
a2
(Ⅱ)若f(x)在(一a,a)内取得极值，则存在n∈(-a,a),使得lf(η)l≥
|f(a)-f(-a)|.
2a21
(21) (本题满分12分)
已知二次型f(x?,xz,x?)=x1+2x2+2x3+2x?x?-2x?x?,g(y?,y?,y?)=y1+y2+y3+
2y?y?.
(I)求可逆变换x=Py将f(x?,x?,x?)化为g(y?,y?,y?);
(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy将f(x?,x?,x?)化为g(y?,y?,y?)?
(22) (本题满分12分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
2 (x2+y2),x2+y2≤1,
f(x,y)=
π
0,
其他.
入
(I)求X与Y的协方差；
(Ⅱ)X与Y是否相互独立?
(Ⅲ)求Z= X2+Y2的概率密度.
· 4 ·