2025考研数学（二）真题试卷及解析详细版

一个选 项是符合题目要求的．

1. 设函数 ( , ) z z x y  由 2 ln d 0 x t y z z e t      确定，则z z x y       A．   2 2 1 x y z e e z     ． B．   2 2 1 x y z e +e z    ． C．   2 2 1 x y z e e z      ． D．   2 2 1 x y z e e z      ．

1. 【答案】A 【解析】 ，分别对 求偏导，得：

2. 已知函数  2 0 e sin d x t f x t t  ， 2 2 0 e d sin x t g x t x   ，则 A． 0 x  是  f x 的极值点，也是 g x 的极值点． B． 0 x  是  f x 的极值点，  0,0 是曲线  y g x  的拐点． C． 0 x  是  f x 的极值点，  0,0 是曲线  y f x  的拐点． --- [第 2 页] --- 数学试题 第2页（共3 页） D．  0,0 是曲线  y f x  的拐点，  0,0 也是曲线  y g x  的拐点． 【答案】B 【解析】 2 2 2 ( ) sin , ( ) 2 sin cos x x x f x e x f x xe x e x     

(0) 0,

(0) 1 0 f f     . 0 x  是 ( ) f x 的极值点. 2 2 2 0 ( ) sin sin 2 x x t g x e x x e dt     , 2 2 2 2 2 0 ( ) sin 2 2 sin sin 2 2cos2 x x x x t g x e x xe x xe x e dt      

(0) 0,

(0) 0,

(0) 0 g g g       . (0,0) 是 ( ) y g x  的拐点.

3. 如果对微分方程   0 y -2ay + a+2 y    任一解 y x ，反常积分 d y x x   + 0 均收敛，则a 的 取值范围为 A. 2 1]   ( ， . B. 1]  ( ， . C. 2  ( ，0). D.  ( ，0).

3. 【答案】C 【解析】当 时， 4 0 y y     ，通解： ， 时， 不收敛. 故B、D 排除. 当 时， ，通解： 收敛. --- [第 3 页] --- 数学试题 第3页（共3 页）

4. 设函数  f x ， g x 在 0 x  某去心邻域内有定义且恒不为0，若 0 x  时， f x 是 g x 的高阶无穷小，则当 0 x  时 A.      f x g x g x o   . B.     2 f x g x f x o  . C.     e 1 g x f x o   . D.     2 f x g x o  .

4. 【答案】C 【解析】由题易知， 时， 是 高阶无穷小. 则有 及 ， . 又 ， 在 某去心邻域内有定义且不恒等于0. 故对于选项，等式两端同除 得： 取极限得 即 ，显然A 不成立. 对于B 选项，等式两端同除 得 两端取极限得 , 即 ，显然不成立. 对于C 选项，等式两端同除 得 --- [第 4 页] --- 数学试题 第4页（共3 页） 取极限得 显然有 ，故正确. 对于D 等式两端同除 得 取极限得 ，显然不成立. 综上选C. 5．设函数 ( , ) f x y 连续，则   2 2 4 2 4 d , d x x f x y y      A．     4 4 2 0 2 4 , d , d d y y f x y x f x y x y              ． B．     4 4 2 0 2 4 , d , d d y y f x y x f x y x y             ． C．     4 4 4 0 2 2 , d , d d y y f x y x f x y x y              ． D．   4 2 0 4 2 d , d y y f x y x    ． 【答案】A 【解析】由题易知，此二重积分积分区域为 --- [第 5 页] --- 数学试题 第5页（共3 页）   2 D ( , ) 4 4, 2 2 x y x y x       ，对应图像为上图所示。 记   2 1 ( , ) 4 4, 2 0 D x y x y x       ，   2 2 ( , ) 4 4,0 2 D x y x y x       ，且   2 2 4 2 4 I= d , d x x f x y y     ，则     1 2 I= , d , d D D f x y f x y      ，交换积分次序得         4 4 4 2 0 2 0 4 4 4 2 0 2 4 I= d , d d , d , d , d d y y y y y f x y x y f x y x f x y x f x y x y                        故A 正确。

6. 设单位质点 , P Q 分别位于点(0,0) 和(0,1) 处，P 从点(0,0) 出发沿x 轴正向移动，记G 为 引力常量，则当质点P 移动到点( ,0) l 时，克服质点Q 的引力所做的功为（ ） A. 2 0 d 1 l G x x   B. 3 2 2 0 d ( 1) l Gx x x   C. 3 2 2 0 d ( 1) l G x x   D. 3 2 2 0 ( 1) d ( 1) l G x x x    【答案】A 【解析】由题可知，其对应如图所示. 单位质点P 与单位质点Q 之间的引力为 --- [第 6 页] --- 数学试题 第6页（共3 页） 其中为两质点间的距离. 旦由图可知 又引力F 在方向上的力投影为 . 故克服引力做功为： 1 1 3 2 2 0 0 2 2 1 0 d d d ( 1) 1 (1 ) x G x Gx F x x x W x x x         

7. 设函数 ( ) f x 连续，给出下列4 个条件： ① 0 ( )

(0) lim x f x f x   存在； ② 0 ( )

(0) lim x f x f x   存在； ③ 0 ( ) lim x f x x  存在； ④ 0 ( )

(0) lim x f x f x   存在. 其中可得到“ ( ) f x 在 0 x  处可导”的条件个数为 A.1 . B.2 . C.3. D.4.

7. 【答案】B 【解析】① . 或 为正. --- [第 7 页] --- 数学试题 第7页（共3 页） 若 为正，则当 0 x  时. 有 .则  若 ，   0 0 lim lim x x f x A x f x A x         ，则 存在，若 ，则 不存在. ②由 ，则 若 ，则 若 ，则 从而②成立. ③由 存在，则 . 则同①，从而③错. ④ 存在，则 在 处可导 在 处可导，④正确. 从而①③错误，②④正确，选B.

8. 设矩阵 1 2 0 2 0 0 0 a b           有一个正特征值和两个负特征值，则（ ） A. 4, 0 a b   B. 4, 0 a b   C. 4, 0 a b   D. 4, 0 a b   【答案】D 【解析】 --- [第 8 页] --- 数学试题 第8页（共3 页） 令 1 2 0 2 0 0 0 A a b           ，为实对称矩阵，对应二次型为   2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 , 4 , f x x x x ax bx x x     ， 则用配方法将其化为标准型，    2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 2 ( , 4) , f x x x x x a x bx      。已知A 有一正两 负特征值，则 4 0 4 0 0 a a b b            ，故选D.

9. 下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0           的是 A. 1 1 0 1 1 2 1

3 . 2 3 1 4           B. 1 1 0 1 1 1 2

5 . 1 1 1 3           B. 1 0 0 1 0 1 0

3 . 0 1 0 0           D. 1 1 2 3 1 2 2

3 . 2 3 4 6          

9. 【答案】B 【解析】 A 选项： B 选项： C 选项： --- [第 9 页] --- 数学试题 第9页（共3 页） D 选项： --- [第 10 页] --- 数学试题 第10页（共3 页）

10. 设3 阶矩阵 , A B 满足( ) = ( ) 1, r r + AB BA 则 A.方程组( + ) = 0 A B x 只有零解. B.方程组 = 0 Ax 与方程组 = 0 Bx 均只有零解. C.方程组 = 0 Ax 与方程组 = 0 Bx 没有公共非零解. D.方程组 = 0 ABAx 与方程组 = 0 BABx 有公共非零解. 【答案】D 【解析】 取 ,则 ， . ， .排除B，C. ， 排除A,故选D.

11. 设   1 d ln 2 2 a x x x a     ，则 ______ a  . 【解析】 2 a  . --- [第 11 页] --- 数学试题 第11页（共3 页） 原式 1 1 d ln ln(2 ) (2 ) a x x x a x x a         1 1 d ln ln(2 ) (2 ) a x x x a x x a         1 lim ln ln lim ln(2 ) 2 2 x x x x a x a a x a           1 ln ln(2 ) ln 2 2 ln(2 ) 2ln 2 2 a a a        

12. 曲线 3 3 2 3 1 y x x    的渐近线方程为______ . 【解析】 可得无水平渐近线、铅直渐近线，故求斜渐近线即可. 故

13.   2 1 1 2 1 lim ln 2ln 1 ln ______ n n n n n n n               . 【解析】 --- [第 12 页] --- 数学试题 第12页（共3 页） --- [第 13 页] --- 数学试题 第13页（共3 页）

14. 已知函数  y y x  由   2 2 1 ln 1 2 , 2 e d 0 y t u x t t u          确定，则 0 d ______ d t y x  . 【解析】 由②两边关于求导，则 当 时, 则 .

15. 微分方程    2 3 d 2 5 d 0 y x x x y y     满足条件 1 1 y  的解为______ . 【答案】 2 2 3 4 5 4 x xy y    【解析】 解： 2 2 (2 3 )d (2 5 )d 0 2 d 2 d 3 d 5 d 0 3 5 d(2 ) d( ) d( ) 0 2 2 y x x x y y = y x x y x x y y = xy x y =           即 2 2 2 2 3 5 d(2 ) 0 2 2 3 5 2 2 2 xy x y = xy x y c       --- [第 14 页] --- 数学试题 第14页（共3 页） 又因为

(1) 1 y  则 3 5 2 , 2 2 2 c c      即 2 2 2 2 3 5 2 2 2 2 3 4 5 4 xy x y x xy y       则所求方程为 2 2 20 11 5 x x y    .

16. 设矩阵   1 2 3 4 , , ,  A a a a a ，若 1 2 3 , , a a a 线性无关，且 1 2 3 4    a a a a ，则方程组 1 4 4   Ax a a 的通解为 ______  x . 【答案】 1 1 1 0 1 0 1 4 k                      ，k 为任意常数 【解析】由于 1 2 3 4        ，故 1 2 3 4 , , , 线性相关；且已知 1 2 3 , , 线性无关， 则  3 r A  。那么 1 4 4 Ax     等价于  1 2 3 4 1 4 1 0 , , , 4 0 4             ，故 1 0 0 4       是 1 4 4 Ax     的一个特解。又因为 1 2 3 4        ，即 1 2 3 4 0         ，则   1 2 3 4 1 1 , , , 0 1 1                  。由  4 3 1 s n r A      可得， 1 1 1 1               是 0 Ax  的一个基础解 --- [第 15 页] --- 数学试题 第15页（共3 页） 系，故 1 4 4 Ax     的通解为 1 1 1 0 1 0 1 4 k                      ，其中k 为任意常数。 --- [第 16 页] --- 数学试题 第16页（共3 页）

17．（本题满分10 分） 计算    1 2 0 1 d . 1 2 2 x x x x     17．解：   1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 ( 1) 2 2 A Bx C dx dx x x x x x x                  1 2 0 1 1 3 5 3 5 1 2 2 x dx x x x                   1 1 1 2 0 0 0 2 3 1 ln 2 π 1 1 ln |1 | ln 2 2 a 0 rctan( 1) 5 10 5 10 x x x x          .

18. （本题满分12 分） 设函数  f x 在 0 x  处连续,且      2sin 0 e 1 lim

3. ln 1 ln 1 x x xf x x x        证明  f x 在 0 x  处可导,并求  0 . f  18 解： 已知       2 2 2 2 2 2 1 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 2 x x x x o x x x o x x o x                2sin 2 2 2 2 1 1 2sin (2sin ) 1 2sin 2sin 2 x e x x o x x x o x       因此，     2 2 2sin 2 2 0 0 ( ) 1 2sin 2sin 1 ( ) 1 3 lim lim x x x xf x x x o x xf x e x x              2 2 2 0 0 ( ) 2sin 2sin lim lim x x xf x x x x x         --- [第 17 页] --- 数学试题 第17页（共3 页） 可以得出 2 0 ( ) 2sin lim 5 x xf x x x     ，   3 3 2 0 1 ( ) 2 6 lim 5 x xf x x x o x x           , 进一步可以得出 2 0 ( ) 2 lim 5 x xf x x x    ,以及 0 ( ) 2 lim 5 x f x x    , 0 lim[ ( ) 2] 0 x f x    ，可得 0 lim ( ) 2

(0) x f x f    ，故 0 ( ) 2

(0) lim 5 x f x x f      。 --- [第 18 页] --- 数学试题 第18页（共3 页）

19. （本题满分12 分） 设函数   , f x y 可微, 且满足       2 d , 2 e d e 1 d , 0,0 2, y y f x y x x x y y f        求   , f x y ，并求   , f x y 的极值.

19. 解： 2 2 2 2 ( , ) ( ). ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 2) y y y y y y y f f xe f x y x e y x e y e x y e x y y y e y y e C                                 则 则 则 2 ( , ) ( 2) (0,0) 2 , C 0 y y f x y x e y e C f          又 2 ( , ) ( 2) . y y f x y x e y e      则 2 2 0 0 1 ( 1) 0 y y f xe x x f y e x y y - - ì ¶ = - = ï ì = ¶ Þ ¶ = - ï ï î = - - = ï¶ î 则驻点（0，-1） 2 2 2 , 2 , ( 1) ( ) y y y y y xx xy yy f e f xe f e x y e e x y - - - - - = - = = - - - = - 在点（0，-1）处 2 , 0, A e B C e = - = = - 则 2 0, 0, AC B A 从而 - > < ( , ) 0 1 f x y 在（，）处有极大值，且极大值为 - (0, 1) f e - =

20. （本题满分12 分） --- [第 19 页] --- 数学试题 第19页（共3 页） 已知平面有界区域     2 2 2 2 , | 4 , 4 , D x y x y x x y y      计算   2 d d . D x y x y   【答案】 16 12 3  由题可知，积分区域   2 2 2 2 2 2 ( , )( 2) 2 , ( 2) 2 D x y x y x y        ∣ 对应图形为右图所示， 显然积分区域关于y x  对称 记   2 2 2 1 ( , ) ( 2) 2 , D x y x y y x     ∣    2 2 2 2 ( , )( 2) 2 , D x y x y y x    ∣   故 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) D D D I x y dxdy x y dxdy x y dxdy          1 2 2 ( ) D x y dxdy    令 cos . sin x r y r     则在积分区域 1 D 上有 0 4cos 0 4 r        则     1 1 4cos 2 2 2 2 2 4 0 0 ( ) 2 2 cos sin D D x y dxdy x y xy dxdy d r r rdr                  4 4cos 3 3 0 0 8 2 cos sin 6 3 d r r dr             故 8 16 2(6 ) 12 3 3 I       .

21. （本题满分12 分） 设函数  f x 在区间  ,a b 内可导.证明导函数  f x  在  ,a b 内严格单调增加的充分必要条 件是: --- [第 20 页] --- 数学试题 第20页（共3 页） 对  ,a b 内任意的 1 2 3 , , x x x ,当 1 2 3 x x x   时,         2 1 3 2 2 1 3

2 . f x f x f x f x x x x x      解：充分性：若对( , ) a b 内任意的 1 2 3 , , x x x ，当 1 2 3 x x x   时，都有         2 1 3 2 2 1 3 2 f x f x f x f x x x x x      则在 ( , ) a b 内取任意的 1 2 3 4 5 x x x x x     ，有                 2 1 3 2 4 3 5 4 2 1 3 2 4 3 5 4 f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x            在         2 1 3 2 2 1 3 2 f x f x f x f x x x x x      两边同时令 2 1 x x   ，得       3 1 1 3 1 f x f x f x x x      ，两边同时令 2 3 x x   ，得       3 1 3 3 1 f x f x f x x x      ，即         3 1 1 3 3 1 f x f x f x f x x x         ，同理可得         3 1 3 5 3 1 f x f x f x f x x x         .因为         3 1 5 3 3 1 5 3 f x f x f x f x x x x x      ，所以    1 5 f x f x      .由 1 5 , x x 的任意性，可得  f x  在   ,a b 内严格单调递增，充分性得证。 再证必要性，即已知  f x  单调递增，在   1 2 2 3 , , , x x x x 上分别使用拉格朗日中值定理， 知存在     1 1 2 2 2 3 , , , x x x x     ，使       2 1 1 2 1 f x f x f x x      ，       3 2 2 3 2 f x f x f x x      ， 又由  f x  单调递增，且 1 2    知，    1 2 f f      ，即         2 1 3 2 2 1 3 2 f x f x f x f x x x x x      ，必要性得证。 --- [第 21 页] --- 数学试题 第21页（共3 页） 综上所述，充要条件得证。

22. （本题满分12 分） 已知矩阵 4 1 2 1 1 1 2 1 a             A 与 0 0 0 6 0 0 0 0 k           B 合同.

(1) 求a 的值及k 的取值范围;

(2) 若存在正交矩阵 , Q 使得 T ,  Q AQ B 求k 及 . Q （1）A 与B 合同知，二者有相同的正负惯性指数 显然，B 的特征值为K、6、0，故 有特征值0.故 . 计算得 ，即有 . 此时 . 知的特征值为3、6、0. P=2. 故k>0.

(2) 由 ，知 . 故、相似，特征值相同，故 .对A: 时，解 ， ， 时，解 ， 时，解 再单位化得： .