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2024 全国硕士研究生入学统一考试数学一答案
新浪微博@考研数学周洋鑫
1
2024 年全国硕士研究生入学统一考试试题
数学一试题
一、 选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50 分．下列每题给出的四个选项中，只有
一个
选项是符合题目要求的．
【1】已知函数
=
f x
t
t
x
( )
e
d
0
cos
，
=
g x
t
t
x
( )
e d
0
sin
2
，则
（A）f x
( ) 为奇函数，g x
( ) 为偶函数. （B）f x
( ) 为偶函数，g x
( ) 为奇函数.
（C）f x
( ) 与g x
( ) 均为奇函数.
（D）f x
( ) 与g x
( ) 均为偶函数.
【答案】（C）
【2】设
=
=
P
P x y z Q
Q x y z
( , , ),
( , , )均为连续函数，为曲面
=
−
−
z
x
y
1
2
2
(
0,
0)
x
y
的上侧，则
+
=
P y z
Q z x
d d
d d
（A）
+
z
z
P
Q
x y
x
y
d d
（B）
−
+
z
z
P
Q
x y
x
y
d d
（C）
−
z
z
P
Q
x y
x
y
d d
（D）
−
−
z
z
P
Q
x y
x
y
d d
【答案】（A）
【3】已知幂函数
=
a x
n
n
n
0
的和函数为
+ x
ln(2
) ，则
=
=
na
n
n
0
2
（A）−6
1 . 【答案】（A）
【4】设函数f x
( ) 在区间−
( 1,1) 内有定义，
=
→f x
xlim
( )
0
0
，则
（A）当
=
→
x
m
f x
xlim
( )
0
时，
=
f
m
(0) 时，
=
→
x
m
f x
xlim
( )
0
.
（C）当
=
→f
x
m
xlim
( )
0
时，
=
f
m
(0) 时，
=
→f
x
m
xlim
( )
0
.
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2
【答案】（B）
【5】在空间直角坐标系O
xyz
−
中，三张平面
i
i
i
i
i
a x
b y
c z
d
+
+
=
：
(
1,2,3)
i =
位置关系如图
所示, 记
(
,
,
)
i
i
i
i
a b c
=
α
,
(
,
,
,
)
i
i
i
i
i
a b c d
=
β
,若
1
2
3
r
m
=
α
α
α
,
1
2
3
r
n
=
β
β
β
, 则
（A）
1,
2
m
n
=
=
．
（B）
2
m
n
=
=
．
（C）
2
m =
,
3
n =
．
（D）
3
m
n
=
=
．
【答案】（B）
【6】设向量
1
1
1
1
a
=
−
，
2
1
1
b
a
=
，
3
1
1
1
a
=
−
，若
1
，
2
，
3
线性相关，且其中任意
两个向量均线性无关，则
(A)
1,
1
a
b
=
− (B)
1,
1
a
b
=
= −
(C)
2,
2
a
b
−
=
(D)
2,
2
a
b
= −
=
【答案】（D）
【7】设A 是秩为2 的3 阶矩阵, α 是满足
=
Aα 0 的非零向量，若对满足
=
β α
0 的任意向
量β ，均有
=
Aβ
β ，则
（A）
3
A 的迹为2. （B）
3
A 的迹为5.
（C）
5
A 的迹为7. （D）
5
A 的迹为9.
【答案】（A）
【8】设随机变量X 与Y 相互独立，X 是服从
(
)
0,2
N
的正态分布，Y 是服从
(
)
2,2
N −
的
正态分布，若
2
P
X
Y
a
P X
Y
+
=
，则a =
（A）2
10
−−
（B）2
10
−+
（C）2
6
−−
（D）2
6
−+
【答案】（B）
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3
【9】设随机变量X的概率密度为
其他
=
−
f
x
x
x
0,
2 1
,0
1
(
)
( )
，在
=
X
x 的条件下，Y 在区
间x,1
(
) 上服从均匀分布，则cov(X, Y) =
（A）−36
1
（B）−72
1
（C）72
1
（D）36
1
【答案】（D）
【10】设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从参数为λ 的指数分布，令
=
−
Z
X
Y ，则下
列与Z 服从同一分布的是
（A）
+
X
Y
（B）
+
X
Y
2
（C）X
2
（D）X
【答案】（D）
二、 填空题：11～16 小题,每小题5 分,共30 分．
【11】若
=
+
−
→
x
ax
x
x
6
lim
1
1
0
3
2
sin
(
)
，则
=
a
.
【答案】6
【12】设
=
z
f u v
( , )有二阶连续导数，且
（
）=
+
f
u
v
d
3d
4d
1,1
，若
=
+
y
f
x
x
(cos ,1
)
2 ，则
=
=
x
y
x
d
d
0
2
2
. 【答案】5
【13】若函数
=
+
f x
x
( )
1 ，若
=
+
=
f x
a
nx
a
n
n
2
cos
( )
1
0
，
x
[0, ] ，则极限
=
→
−
n
a
n
n
lim
sin
2
1
2
. 【答案】−
1
【14】微分方程
+
=
x
y
y
(
)
1
2 ，满足条件
=
y(1)
0 的解为
.
【答案】x
y
y
=
+
−
4
tan(
)
.
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4
【15】设实矩阵
+1
a
a
a
a
=
A
，若对任意实向量
1
2
x
= x
α
,
1
2
y
= y
β
，且满足
2
α Aβ
α Aαβ Aβ
(
)
都成立，则a 的取值范围 .
【答案】
0
a
.
【16】随机试验每次成功的概率为p ，现进行三次独立重复实验，已知至少成功一次的条件
下全部成功的概率为4
13
，则
=
p
.
【答案】2
3
三、 解答题：17～22 小题,共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【17】（本题满分10 分）
已知平面区域
2
{( , )
1
1,
D
x y
y
x
=
−
1
1}
y
−
,计算
2
2 d
D
x
x
y
+
.
【答案】
2
ln(1
2)
2
+
+
−
【18】（本题满分12 分）
设
3
3
2
( , )
(
)
3
f x y
x
y
x
y
=
+
−
+
+
，曲面
( , )
z
f x y
=
在(1,1,1) 处的切平面为T ，T 与
三个坐标面所围有界区域在xoy 面的投影为D .
（1）求T 的方程
（2）求
( , )
f x y 在D 上的最大值和最小值
【答案】切平面
3
x
y
z
+
+
=
；最大值21，最小值17
27
.
【19】（本题满分12 分）
设
( )
f x 二阶可导，
(0) ,
( )
1
f
f
f
x
=
，证：
（1）
(1
)
( )
(1) 2
x
x
f x
f
x
f
x
−
−
−
−
.
（2）
1
0
(1) 1
( )
2
12
f
f
f x dx
+
−
【答案】（1）分别在
0
x =
及
1
x =
处使用泰勒公式展开.
（2）对于（1）结果两边同时积分.
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5
【20】（本题满分12 分）
已知有向曲线L 为球面
+
+
=
x
y
z
x
2
2
2
2
与平面
−−=
x
z
2
1
0的交线从z 轴正向往z
轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分
−
+
+
xyz
yz
x
x z y
xyz z
L(6
)d
2
d
d
2
2
【答案】
5 5
4
【21】（本题满分12 分）
已知数列x
y
z
n
n
n
{
},{
},{ } 满足
= −
=
=
x
y
z
1,
0,
2,
0
0
0
且
= −
−
+
= −
−
= −
+
−
−
−
−
−
−
−
z
x
y
z
y
y
z
x
x
z
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
6
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
，
记
=
z
y
x
n
n
n
n
，写出满足
=
−
A
n
n 1 的矩阵A ，并求An 及
,
,
(
1,2,
).
=
x
y
z n
n
n
n
【答案】
−
−
=
−
−
−
A
6
3
3
0
2
2
2
0
2
，
−
−
=
+ −
+ −
−
−+ −
−+ −
+
+
+
+
A
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
3
6
4
( 1) 2
2
( 1) 2
2
4
( 1)
2
2
( 1)
2
2
1
1
1
1
，
=
+ −
= −+ −
=
+ z
y
x
n
n
n
n
n
8
( 2) ,
8
( 2)
,
12. 1
【22】（本题满分12 分）
设总体
X
U
~
(0, ) ，未知，
n
X
X
X
,
1
2
为简单随机样本，
max(
,
)
n
n
X
X
X
X
=
1
2
( )
，
=
T
cX
c
n
( ) .
（1）求c 时，使得Tc 为的无偏估计.
（2）记
=
−
h c
E Tc
( )
(
)2 ，求c 使得h c( ) 取最小值.
【答案】（1）
=
+
n
c
n 1 ;（2）
+
=
+
n
c
n
1