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数学（二）试题及解析
第1页（共16页）
2022 年全国硕士研究生招生考试
数
学（二）
（科目代码：302）
考试时间：180 分钟，试卷总分：150 分
考生注意事项
1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指
定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书
写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写
部分必须使用2B 铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)
考生编号
考生姓名
--- [第 2 页] ---
数学（二）试题及解析
第2页（共16页）
一、 选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50 分．下列每题给出的四个选项中，只有
1. 当
0,
,
x
x
x
是非零无穷小量，给出以下四个命题.
2
2
,
.
x
x
x
x
①若
则
2
2
. x
x
x
x
②若
，则
,
.
x
x
x
x
o
x
③若
则
.
x
x
o
x
x
x
④若
，则
所有真命题的序号：
A.
B.
C.
D.
①③
①④
①③④
②③④
【答案】选C.
【解析】
①
2
2
0
0
( )
( )
lim
1
lim
1
( )
( )
x
x
x
x
x
x
，正确；
③
0
0
0
0
( )
( )
( )
lim
1
lim
lim
lim
1 1
0,
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
正确
④
0
0
0
0
( )
( )
( )
lim
0
lim
lim
0
lim
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,即
x
x
,
正确；
而
0
0
( )
( )
( ( ))
lim
lim
1,
( )
( )
x
x
x
x
o
x
x
x
( )
,
( )
,
x
x
x
x
取
则②错误,故选C.
2. 2
2
3
0 d
d
1
y
y
y
x
x
A.
2
6
B. 1
3
C.
2
3
D. 2
3
【答案】选D.
--- [第 3 页] ---
数学（二）试题及解析
第3页（共16页）
【解析】
2
2
2
3
3
0
0
0
1
2
3
3
2
0
2
1
3
2
0
1
1
d
d
d
2
1
1
1 1
d
1
6
1
1
2
2 1
1
. 6
3
3
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
原式
故选D.
3 . 设函数
( )
f x 在
0
x
x
处有2 阶导数，则
A.当
f
x 在
0x 的某邻域内单调增加时，
0
0
f
x
B.当
0
0
f
x
时，
f
x 在
0x 的某邻域内单调增加
C.当
f
x 在
0x 的某邻域内是凹函数时，
0
0
f
x
D.当
0
0
f
x
时，
f x 在
0x 的某邻域内是凹函数
【答案】B.
【解析】由于
( )
f x 在
0
x
x
处有2 阶导数，故
0
0
lim
( )
0
x
x f
x
f
x
，
0
0
,
(
)
o
x
U x
f
x
，
f x 在
0x 的某邻域内单调增加，选择B
4 . 设函数
f t 连续，令
0
( , )
(
) ( )d
x y
F x y
x
y
t f t
t
，则
A.
2
2
2
2
,
F
F
F
F
x
y
x
y
B.
2
2
2
2
,
F
F
F
F
x
y
x
y
C.
2
2
2
2
,
F
F
F
F
x
y
x
y
D.
2
2
2
2
,
F
F
F
F
x
y
x
y
--- [第 4 页] ---
数学（二）试题及解析
第4页（共16页）
【答案】选C.
【解析】
0
0
0
( , )
( )d
( )d
( )d
x y
x y
x y
F x y
x
f t
t
y
f t
t
t f t
t
0
0
( )d
(
)
(
)
(
) (
)
( )d
x y
x y
F
f t
t
xf x
y
yf x
y
x
y f x
y
f t
t
x
2
2
(
)
F
f x
y
x
0
0
(
)
( )d
(
)
(
) (
)
( )d
x y
x y
F
xf x
y
f t
t
yf x
y
x
y f x
y
f t
t
y
2
2
(
)
F
f x
y
y
，故F
F
x
y
，故选C.
5 . 设p 为常数，若反常积分
1
1
0
ln
d
1
p
p
x
x
x
x
收敛，则p 的取值范围是
A.
1,1
B.
1,2
C.
,1
D.
,2
【答案】选A.
【解析】
1
1
2
1
1
1
0
2
ln
d
d
d
(1
)
(1
)
p
p
p
p
x
x
x
x
x
x
x
x
原式为
1
0
0
1
2
0
ln
(1
)
lim
lim
ln (
0)
0
1
1 d
1
p
p
x
x
p
p
x
x
x
x
x
x
x
p
x
收敛
1
2
1
1
1
ln
1
(1
)
lim
1
d
1,
1
(1
)
(1
)
p
p
p
x
p
x
x
x
x
p
x
x
与
同收敛
故选A.
--- [第 5 页] ---
数学（二）试题及解析
第5页（共16页）
π
π
6. { },
.
2
2
A.
limcos(sin
)
lim
B.
limsin(cos
)
lim
C.
limcos(sin
)
limsin
lim
D.
limsin(cos
)
limcos
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
已知数列
则(
)
当
存在时，
存在
当
存在时，
存在
当
存在时，
存在，但
不一定存在
当
存在时，
存在，但
不一定存在
【答案】选D
【解析】
( 1)
4
π
n
n
n
x
x
发散.
2
cos sin
cos
,
l
2
im
n
nx
2
limsin cos
sin 2
n
n
x
，limsin ( 1
π
)
4
n
n
不存在，故选D.
1
1
1
1
2
3
0
0
0
1
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1
ln(1
)
2
7. d ,
d ,
d .
2(1 cos )
1 cos
1 sin
A.
B.
C.
D.
x
x
x
I
x I
x I
x
x
x
x
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
已知
则
【答案】选A
【解析】
( )
ln(1
)
2
x
f x
x
，
1
1
1
( )
0,
(0,1)
2
1
2(1
)
x
f
x
x
x
x
(0) 0
f
1
2
ln(1
),
.
2
x
x I
I
现比较
2I 和
3I ，即比较2ln(1
)
2
2(1 cos )
1 sin
x
x
x
x
与
--- [第 6 页] ---
数学（二）试题及解析
第6页（共16页）
2
2
2
2
3
cos
sin
,
(0,1)
2
2
2cos
cos
sin
2
2
2
4cos
1 sin
2
2(1 cos )
1 sin
1
1
2(1 cos )
1 sin
2ln(1
)
2
(0,1)
.
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I
I
即
而
则
故选A.
8. 设A 为3 阶矩阵，
1
0
0
0
1
0 ,
0
0
0
则A 的特征值为1，1
，0 的充分必要条件是
A.存在可逆矩阵P,Q ,使得
A
P Q
B.存在可逆矩阵P ,使得
-1
A
P
P
C.存在正交矩阵Q ,使得
-1
A
Q Q
D.存在可逆矩阵P ,使得
T
A
P
P
【答案】选B
【解析】根据相似对角化定义，B 选项可以直接推出A 的特征值为1，1
，0 ，又若A 的
特征值为1，1
，0 ，互不相同，则A 一定可相似对角化，可推出B.故选B.
9. 设矩阵
2
2
1
1
1
1
1
,
2 ,
1
4
a
a
b
b
b
A =
则线性方程组
x = b
A
解的情况为
A.无解
B.有解
C.有无穷多解或无解
D.有唯一解或无解
【答案】选D
【解析】
2
2
1
1
1
( , )
1
2
1
4
b
A b
a
a
b
b
--- [第 7 页] ---
数学（二）试题及解析
第7页（共16页）
2
2
1 1
1
|
|
1
1
1
1
A
a
a
b
a
b
a
b
b
|
| 0
( , )
3
A
r A
r A b
，有唯一解
|
| 0
( , )
A
r A
r A b
无解，故选D.
10 .设
1
2
3
4
2
1
1
1
1 ,
,
1 ,
,
1
1
若向量组
1
2
3
1
2
4
,
,
,
,
与
等价，则
的取值范围是
A. 0,1 B.
,
2 C.
,
1,
2 D.
,
1
R
R
R
【答案】选C
【解析】
2
2
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
(
2)(
1)
0
(
)
1
1
1
1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
1
,
,
,
,
,
,
,
1
r
r
r
，等价
1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
0
,
,
,
,
,
,
,
3
r
r
r
，等价
1
2
3
1
2
4
1
,
,
3
,
,
2
r
r
，
，不等价
1
2
3
1
2
4
2
,
,
2
,
,
3
r
r
，
，不等价
其他时，
1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
,
,
,
,
,
,
,
3
r
r
r
，等价
故{
,
1,
2}
∣
R
，故选C.
二、 填空题（11-16 小题，每小题5 分，共30 分）
11. cot
0
1 e
lim
2
x
x
x
.
【答案】
1
2
e
--- [第 8 页] ---
数学（二）试题及解析
第8页（共16页）
【解析】
cos
sin
0
0
0
0
cos
1 e
cot
sin
2
0
0
0
cos
1 e
cos (e
1)
lim
1
lim
sin
2
2sin
(e
1)
1
lim
lim
2
2
2
1
2
ln
1 e
1 e
lim
lim
lim
2
2
e
e
e
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
原式
12. 已知函数
y
y x
由方程
2
3
3
x
xy
y
确定，则
(1) y
.
【答案】
31
32
【解析】
2
2
3
2
3
0(
)
1
3,
1
3
1,
1
4
x
xy
y
y
y
x
x
xy
y
y
x
y
y
①
将
代入
得
将
代入,得
对①两边求导：
2
2
6
3
0,
3
1,
1,
,
4
31
(1) 32
+ +
y
xy
y
y y
y
y
y
y
x
y
y
代入
解得
13 .
1
2
0
2
3 d
1
x
x
x
x
.
【答案】8 3 π
9
--- [第 9 页] ---
数学（二）试题及解析
第9页（共16页）
【解析】
1
1
2
2
0
0
1
1
2
2
2
0
0
1
1
2
2
0
0
1
2
2
0
1
0
2
3
2
1
4
d
d
1
1
1
4
d
1
d
1
1
1
ln
1
4
d
1
1
1
4
d
2
1
3
2
2
1
1
8 3
2
4
arctan
π.
9
3
3
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
14. 2
5
0,
y
y
y
通解
y x
.
【答案】
1
2
3
e (
cos2
sin 2 )
x
C
C
x
C
x
【解析】特征方程为
3
2
2
5
0
r
r
r
，分解因式，则
2
(
2
5)
0
r r
r
，得
1
2,3
0,
1 2
r
r
i
，则通解为
1
2
3
e (
cos2
sin 2 )
x
y
C
C
x
C
x
.
15. 已知曲线L 的极坐标方程为
sin3
0
3
r
，则L 围成有界区域的面积为
.
【答案】
π
12
【解析】
π
π
2
3
3
0
0
π
2
0
2
1
1
sin 3
sin 3 d3
2
6
1
1
π
1
π
sin
d
2
. 6
6
2
2
12
S
d
u u
16. 设A 为3 阶矩阵，交换A 的第2 行和第3 行，再将第2 列的1
倍加到第一列，得到矩阵
--- [第 10 页] ---
数学（二）试题及解析
第10页（共16页）
2
1
1
1
1
0
1
0
0
，则
1
A
的迹
1
tr
A
.
【答案】1
【解析】
1
0
0
1
0
0
2
1
1
0
0
1
1 1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
A
1
1
1
0
0
2
1
1
1
0
0
= 0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
2
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1 ;
1. 1
1
1
tr
A
A
A
三、 解答题：17～22 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 .（本题满分10 分）
已知函数
( )
f x 在
1
x
处可导，且
2
2
2
0
e
3
1 sin
lim
2,
x
x
f
f
x
x
求
(1) .
f
【解析】
2
2
2
0
e
3
1 sin
lim
2
x
x
f
f
x
x
由题意，得：
2
2
0
lim
e
3
1 sin
0
(1) 0
x
x
f
f
x
f
--- [第 11 页] ---
数学（二）试题及解析
第11页（共16页）
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
0
e
3
1 sin
e
(1) e
1
lim
lim
e
1
1 sin
(1) 1
x
x
x
x
x
x
x
f
f
x
f
f
x
x
f
x
f
x
x
x
f
f
f
18 .（本题满分12 分）
设函数
( )
y x 是微分方程2
4
2ln
1,
xy
y
x
满足条件
1
(1) = 4
y
的解，求曲线
( ) 1
e
y
y x
x
的弧长.
【解析】
2
2
d
d
2
3
2
2ln
1
e
e
d
2
2ln
1d
2
1 ln
2
x
x
x
x
x
y
x
C
x
x
x
x
C
x
x
Cx
代入
1
x
，得：
1
4
C
，所以：
2
1
1
ln
2
4
y
x
x .
则：
2
e
1
e
1
2
1
1
d
2
2
1
1
d
2
2
1
1
e
4
4
x
s
x
x
x
x
x
19 .（本题满分12 分）
已知平面区域
2
( , ) |
2
4
,0
2
D
x y
y
x
y
y
，计算
y
x
y
x
y
x
I
D
d
d
)
(
2
2
2
.
【解析】
--- [第 12 页] ---
数学（二）试题及解析
第12页（共16页）
已知平面区域
2
( , ) |
2
4
,0
2
D
x y
y
x
y
y
，计算
2
2
2
(
) d d
D
x
y
I
x y
x
y
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
2
1
d
2
d
d
D
D
D
D
x
xy
y
I
x
y
xy
x
y
xy
x
y
补线
2
x
y
（图中虚线），根据对称性
2
2
2
2
2
2
0
sin
cos
2
2
0
2
2
0
0
2
d
d
2
d
2 cos sin d
4
2
4
cos sin d
(sin
cos )
2sin 2
2
2sin 2 d
d
1 sin 2
2
2
2
2
2. D
D
xy
x
y
r
r
20 . （本题满分12 分）
已知可微函数
( , )
f u v 满足
( , )
( , )
2
e
,
u v
f u v
f u v
u
v
u
v
且
2
( ,0)
e u
f u
u
.
（1）记( , )
( ,
)
g x y
f x y
x
，求
( , )
g x y
x
；
（2）求
( , )
f u v 的表达式和极值.
【解析】(1)
( , )
2(
)e
2(2
)e
u
v
y
y
g x y
f
f
x
x
y
x
x
y
(2) --- [第 13 页] ---
数学（二）试题及解析
第13页（共16页）
2
(
)
( , )
2(2
)e d
2
e
2
e
( )
( ,
)
2 (
)e
( )
( ,
)
( , )
2
e
(
)
y
y
y
y
u v
g x y
x
y
x
x
xy
y
f x y
x
x x
y
y
f x y
x
f u v
uv
u
v
代入
0
v
，得
2
( )
e u
u
u
，有：
(
)
2
(
)
2
2
(
)
( , )
2
e
(
) e
e
u v
u v
u v
f u v
uv
u
v
u
v
(
)
2
2
(
)
(
)
2
2
(
)
2 e
e
2 e
e
u v
u v
u
u v
u v
v
f
u
u
v
f
v
u
v
2
2
2
2
2
0
2
0
u
u
v
u
v
v
u
v
代回有：(
1)
0
u u
得：
0
u
v
或
1
u
v
(
)
(
)
(
)
2
2
(
)
2
2
(
)
(
)
(
)
2
2
(
)
2
2
(
)
2
2
(
)
2e
2 e
2 e
e
2
4
e
2 e
2 e
e
2
2
e
2
4
e
u v
u v
u v
u v
uu
u v
u v
u v
u v
u v
u v
vv
A
f
u
u
u
v
u
u
v
B
u
v
u
v
u
v
u
v
C
f
v
v
u
代入坐标有：
2
0,0
2
1,1
0
0,0
0
1,1
2e
0,0
2
1,1
0
A
A
B
B
C
C
对于
0,0 点，有
2
4
0,
0
AC
B
A
，这一点取得极小值0 ，
对于
1,1 点，有
2
0
AC
B
，不是极值.
21 .（本题满分12 分）
--- [第 14 页] ---
数学（二）试题及解析
第14页（共16页）
设函数
( )
f x 在
（- ，
）内具有2 阶连续导数，证明：
( )
0
f
x
的充分必要条件是对
不同的实数,a b ，
1
(
)
( )d .
2
b
a
a
b
f
f x x
b
a
【解析】证明：由泰勒公式：
2
1
( )
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
f x
f
f
x
f
x
，介于x 与
2
a
b
之间
2
2
1
( )d
(
)
(
)(
)
(
)
d
2
2
2
2
2
1
(
)(
)
(
)
d
2
2
2
b
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
f x
x
f
f
x
f
x
x
a
b
a
b
f
b
a
f
x
x
必要性：若
( )
0
f
x
，则
0
f
，有
1
d
2
(
)
b
a
a
b
f
f
x
x
b
a
充分性：若存在
0x 使得
0
(
)
0
f
x
，因为
( )
f x 有二阶连续导数，故存在
0
使得
( )
f
x
在
0
0
,
x
x
内恒小于零，记
0
0
,
a
x
b
x
,此时：
2
1
( )d
(
)(
)
(
)
d
(
)(
)
2
2
2
2
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
f x
x
f
b
a
f
x
x
f
b
a
矛盾，故
( )
0
f
x
.综上，充分性必要性均得证.
22 .（本题满分12 分）
已知二次型
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
3
( ,
,
)
3
4
3
2
f x x x
x
x
x
x x
.
(1) 求正交变换x = Qy 将
1
2
3
(
,
,
)
f x x
x
化为标准形;
(2) 证明
T
min
2
f
0
x
x
x x
.
【解析】(1)已知：
3
0
1
0
4
0
1
0
3
A
--- [第 15 页] ---
数学（二）试题及解析
第15页（共16页）
2
2
2
(
3
0
1
0
4
0
1
0
3
3
1
(
4)
1
3
4)
6
9 1
(
4)
6
8
(
2)(
4)
E
A
2
时，
1
0
1
1
0
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
E
A
，解得：
3
1
0
1
；
4
时，
1
0
1
4
0
0
0
0
0
0
E
A
，解得：
1
2
1
,
0
1
1
0
0
；
已正交，直接单位化：
3
2
1
1
2
3
2
3
1
1
0
2
2
1
,
0
0
1
,
0
1
2
2
令：
1
1
0
2
2
1
0
0
1
1
0
2
2
Q
得标准型：
2
2
2
1
2
3
4
4
2
f
y
y
y
(2) 证明：因为Q 可逆：
--- [第 16 页] ---
数学（二）试题及解析
第16页（共16页）
T
T
T
0
0
0
2
2
2
1
2
3
2
2
2
0
1
2
3
min
min (
)
min
4
4
2
min
x
y
y
y
f
f
f
y
y
y
y
y
y
x x
y
y
y y
Q
Q
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
4
4
2
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
.
令：
2
1
2
2
2
3
0
0
1
y
y
y
得：
2
f
故最小值为2.