2003年数二真题答案速查【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

中ａ为非零常数，则ｙ′ ＝ ，ｙ″ ＝ ． （２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是 ；法线方程是 ． （３）积分中值定理的条件是 ，结论是 ． （４）ｌｉｍ ｎ→∞ ｎ－２ ｎ＋１ ( ) ｎ ＝ ． （５）∫ｆ′（ｘ）ｄｘ＝ ，∫ ｂ ａｆ′（２ｘ）ｄｘ＝ ．

ｙ ｄｘ，ｄ２ｙ ｄｘ２．

成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一 周所生成的旋转体的体积． 六、证明题（本题满分１０分） （１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆ′（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加． （２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇ′（ｃ）＝０，ｇ″（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值． 七、（本题满分１０分） 计算不定积分∫ ｄｘ ａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数． １ １９８７年真题 --- [第 2 页] --- 八、（本题满分１０分） （１）求微分方程ｘｄｙ ｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙ ｘ＝２ ＝０的特解． （２）求微分方程ｙ″ ＋２ｙ′ ＋ｙ＝ｘｅｘ的通解． 九、选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分） （１）ｆ（ｘ）＝ ｘｓｉｎｘ ｅｃｏｓｘ（－∞＜ｘ＜＋∞）是（　　） （Ａ）有界函数．　　　　　　　　　　　 （Ｂ）单调函数． （Ｃ）周期函数． （Ｄ）偶函数． （２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（　　） （Ａ）当ｘ→∞时为无穷大． （Ｂ）在（－∞，＋∞）内有界． （Ｃ）在（－∞，＋∞）内无界． （Ｄ）当ｘ→∞时有有限极限． （３）设ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导，则ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（ａ＋ｘ）－ｆ（ａ－ｘ） ｘ 等于（　　） （Ａ）ｆ′（ａ）． （Ｂ）２ｆ′（ａ）． （Ｃ）０． （Ｄ）ｆ′（２ａ）． （４）设Ｉ＝ｔ∫ ｓ ｔ ０ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）连续，ｓ＞０，ｔ＞０，则Ｉ的值（　　） （Ａ）依赖于ｓ，ｔ． （Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ． （Ｃ）依赖于ｔ，ｘ，不依赖于ｓ． （Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ． 十、（本题满分１０分） 在第一象限内求曲线ｙ＝－ｘ２＋１上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形 面积为最小，并求此最小面积． ２ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 3 页] --- １９８８年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

ｘ≤０， ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）， ｘ＞０ { 在（－∞，＋∞）内连续，则ａ＝ ． （２）设ｆ（ｔ）＝ｌｉｍ ｘ→∞ｔ１＋１ ｘ ( ) ２ｔｘ ，则ｆ′（ｔ）＝ ． （３）设ｆ（ｘ）连续，且∫ ｘ３－１ ０ ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ，则ｆ（７）＝ ． （４）ｌｉｍ ｘ→０＋ １ ｘ æ è ç ö ø ÷ ｔａｎｘ ＝ ． （５）∫ ４ ０ｅｘｄｘ＝ ．

２ｘ２＋６ｘ＋１的图形在点（０，１）处的切线与ｘ轴交点的坐标是（　　） （Ａ） －１ ６，０ ( )． （Ｂ）（－１，０）． （Ｃ） １ ６，０ ( )． （Ｄ）（１，０）． （２）若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在（－∞，＋∞）上皆可导，且ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ），则必有（　　） （Ａ）ｆ（－ｘ）＞ｇ（－ｘ）． （Ｂ）ｆ′（ｘ）＜ｇ′（ｘ）． （Ｃ）ｌｉｍ ｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＜ｌｉｍ ｘ→ｘ０ｇ（ｘ）． （Ｄ）∫ ｘ ０ｆ（ｔ）ｄｔ＜∫ ｘ ０ｇ（ｔ）ｄｔ． （３）若函数ｙ＝ｆ（ｘ），有ｆ′（ｘ０）＝１ ２，则当Δｘ→０时，该函数在ｘ＝ｘ０处的微分ｄｙ是（　　） （Ａ）与Δｘ等价的无穷小． （Ｂ）与Δｘ同阶的无穷小． （Ｃ）比Δｘ低阶的无穷小． （Ｄ）比Δｘ高阶的无穷小． （４）由曲线ｙ＝ｓｉｎ ３ ２ｘ（０≤ｘ≤π）与ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的旋转体的体积为（　　） （Ａ）４ ３． （Ｂ）４ ３π． （Ｃ）２ ３π２． （Ｄ）２ ３π． （５）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）是微分方程ｙ″ －２ｙ′ ＋４ｙ＝０的一个解，且ｆ（ｘ０）＞０，ｆ′（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在 点ｘ０处（　　） （Ａ）有极大值． （Ｂ）有极小值． （Ｃ）某邻域内单调增加． （Ｄ）某邻域内单调减少． ３ １９８８年真题 --- [第 4 页] ---

）］＝１－ｘ且φ（ｘ）≥０，求φ（ｘ）并写出它的定义域． （２）已知ｙ＝１＋ｘｅｘｙ，求ｙ′ ｘ＝０ ，ｙ″ ｘ＝０ ． （３）求微分方程ｙ′ ＋１ ｘｙ＝ １ ｘ（ｘ２＋１）的通解（一般解）．

区间 单调减少区间 极值点 极值 凹（∪）区间 凸（∩）区间 拐点 渐近线

这两段铁丝各长为多少时，正 方形与圆形的面积之和为最小？ 六、（本题满分１０分） 设函数ｙ＝ｙ（ｘ）满足微分方程ｙ″ －３ｙ′ ＋２ｙ＝２ｅｘ，且其图形在点（０，１）处的切线与曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋１ 在该点处的切线重合，求函数ｙ＝ｙ（ｘ）． 七、（本题满分７分） 设ｘ≥－１，求∫ ｘ －１（１－ ｔ ）ｄｔ． 八、（本题满分８分） 设ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上有连续导数，且ｍ≤ｆ（ｘ）≤Ｍ． （１）求ｌｉｍ ａ→０＋ １ ４ａ２∫ ａ －ａ［ｆ（ｔ＋ａ）－ｆ（ｔ－ａ）］ｄｔ； （２）证明： １ ２ａ∫ ａ －ａｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）≤Ｍ－ｍ（ａ＞０）． ４ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 5 页] --- １９８９年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

＝ ． （２）∫ π ０ｔｓｉｎｔｄｔ＝ ． （３）曲线ｙ＝∫ ｘ ０（ｔ－１）（ｔ－２）ｄｔ在点（０，０）处的切线方程是 ． （４）设ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋ｎ），则ｆ′（０）＝ ． （５）设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２∫ １ ０ｆ（ｔ）ｄｔ，则ｆ（ｘ）＝ ． （６）设ｆ（ｘ）＝ ａ＋ｂｘ２， ｘ≤０， ｓｉｎｂｘ ｘ ， ｘ＞０ { 在ｘ＝０处连续，则常数ａ与ｂ应满足的关系是 ． （７）设ｔａｎｙ＝ｘ＋ｙ，则ｄｙ＝ ．

′． （２）求∫ ｄｘ ｘｌｎ２ｘ． （３）求ｌｉｍ ｘ→０（２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ） １ ｘ． （４）已知ｘ＝ｌｎ（１＋ｔ２）， ｙ＝ａｒｃｔａｎｔ， { 求ｄｙ ｄｘ，ｄ２ｙ ｄｘ２． （５）已知ｆ（２）＝１ ２，ｆ′（２）＝０及∫ ２ ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝１，求∫ １ ０ｘ２ｆ″（２ｘ）ｄｘ．

ｎ１ ｘ（　　） （Ａ）有且仅有水平渐近线． （Ｂ）有且仅有铅直渐近线． （Ｃ）既有水平渐近线，也有铅直渐近线． （Ｄ）既无水平渐近线，也无铅直渐近线． （２）若３ａ２－５ｂ＜０，则方程ｘ５＋２ａｘ３＋３ｂｘ＋４ｃ＝０（　　） （Ａ）无实根． （Ｂ）有唯一实根． （Ｃ）有三个不同实根． （Ｄ）有五个不同实根． （３）曲线ｙ＝ｃｏｓｘ( －π ２≤ｘ≤π ２) 与ｘ轴所围成的图形，绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为（　　） （Ａ）π ２． 　（Ｂ）π． （Ｃ）π２ ２． （Ｄ）π２． ５ １９８９年真题 --- [第 6 页] --- （４）设两函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都在ｘ＝ａ处取得极大值，则函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ处（　　） （Ａ）必取极大值． （Ｂ）必取极小值． （Ｃ）不可能取极值． （Ｄ）是否取极值不能确定． （５）微分方程ｙ″ －ｙ＝ｅｘ＋１的一个特解应具有形式（式中ａ，ｂ为常数）（　　） （Ａ）ａｅｘ＋ｂ． （Ｂ）ａｘｅｘ＋ｂ． （Ｃ）ａｅｘ＋ｂｘ． （Ｄ）ａｘｅｘ＋ｂｘ． （６）设ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ的某个邻域内有定义，则ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导的一个充分条件是（　　） （Ａ）ｌｉｍ ｈ→＋∞ｈ［ｆ（ａ＋１ ｈ）－ｆ（ａ）］存在． （Ｂ）ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ＋ｈ） ｈ 存在． （Ｃ）ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ａ＋ｈ）－ｆ（ａ－ｈ） ２ｈ 存在． （Ｄ）ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ａ）－ｆ（ａ－ｈ） ｈ 存在．

（１）＝０的特解．

为连续函数，求ｆ（ｘ）． 六、（本题满分７分） 证明方程ｌｎｘ＝ｘ ｅ－∫ π ０ １－ｃｏｓ２ｘｄｘ在区间（０，＋∞）内有且仅有两个不同实根． 七、（本题满分１１分） 对函数ｙ＝ｘ＋１ ｘ２ 填写下表． 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹区间 凸区间 拐点 渐近线 八、（本题满分１０分） 设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过原点，当０≤ｘ≤１时，ｙ≥０．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ＝１所 围图形的面积为１ ３．试确定ａ，ｂ，ｃ的值，使此图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积Ｖ最小． ６ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 7 页] --- １９９０年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

ｓｉｎ３ｔ { 上对应于ｔ＝π ６处的法线方程是 ． （２）设ｙ＝ｅｔａｎ１ ｘｓｉｎ１ ｘ，则ｙ′ ＝ ． （３）∫ １ ０ｘ １－ｘｄｘ＝ ． （４）下列两个积分的大小关系是：∫ －１ －２ｅ－ｘ３ｄｘ ∫ －１ －２ｅｘ３ｄｘ． （５）设函数ｆ（ｘ）＝ １，　 ｘ ≤１， ０，　 ｘ ＞１， { 则函数ｆ［ｆ（ｘ）］＝ ．

ｘ＋１－ａｘ－ｂ ( ) ＝０，其中ａ，ｂ是常数，则（　　） （Ａ）ａ＝１，ｂ＝１． （Ｂ）ａ＝－１，ｂ＝１． （Ｃ）ａ＝１，ｂ＝－１． （Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１． （２）设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上连续，则ｄ∫ｆ（ｘ）ｄｘ [ ]等于（　　） （Ａ）ｆ（ｘ）． （Ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ． （Ｃ）ｆ（ｘ）＋Ｃ． （Ｄ）ｆ′（ｘ）ｄｘ． （３）已知函数ｆ（ｘ）具有任意阶导数，且ｆ′（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］２，则当ｎ为大于２的正整数时，ｆ（ｘ）的ｎ阶 导数ｆ（ｎ）（ｘ）是（　　） （Ａ）ｎ！［ｆ（ｘ）］ｎ＋１． （Ｂ）ｎ［ｆ（ｘ）］ｎ＋１． （Ｃ）［ｆ（ｘ）］２ｎ． （Ｄ）ｎ！［ｆ（ｘ）］２ｎ． （４）设ｆ（ｘ）是连续函数，且Ｆ（ｘ）＝∫ ｅ－ｘ ｘｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆ′（ｘ）等于（　　） （Ａ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）． （Ｂ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）． （Ｃ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）． （Ｄ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）． （５）设Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ） ｘ，ｘ≠０， ｆ（０），ｘ＝０， { 其中ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，ｆ′（０）≠０，ｆ（０）＝０，则ｘ＝０是Ｆ（ｘ）的（　　） （Ａ）连续点． （Ｂ）第一类间断点． （Ｃ）第二类间断点． （Ｄ）连续点或间断点不能由此确定．

ａ ( ) ｘ ＝９，求常数ａ． （２）求由方程２ｙ－ｘ＝（ｘ－ｙ）ｌｎ（ｘ－ｙ）所确定的函数ｙ＝ｙ（ｘ）的微分ｄｙ． ７ １９９０年真题 --- [第 8 页] --- （３）求曲线ｙ＝ １ １＋ｘ２（ｘ＞０）的拐点． （４）计算∫ ｌｎｘ （１－ｘ）２ｄｘ． （５）求微分方程ｘｌｎｘｄｙ＋（ｙ－ｌｎｘ）ｄｘ＝０满足条件ｙ ｘ＝ｅ ＝１的特解．

点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为 最小（其中ａ＞０，ｂ＞０）．

六、（本题满分９分） 设ｆ（ｘ）＝∫ ｘ １ ｌｎｔ １＋ｔｄｔ，其中ｘ＞０，求ｆ（ｘ）＋ｆ １ ｘ ( )． 七、（本题满分９分） 过点Ｐ（１，０）作抛物线ｙ＝ ｘ－２的切线，该切线与上述抛物线及ｘ轴围成一平面图形．求此平面 图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积． 八、（本题满分９分） 求微分方程ｙ″ ＋４ｙ′ ＋４ｙ＝ｅａｘ的通解，其中ａ为实数． ８ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 9 页] --- １９９１年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

则ｄｙ＝ ． （２）曲线ｙ＝ｅ－ｘ２的凸区间是 ． （３）∫ ＋∞ １ ｌｎｘ ｘ２ｄｘ＝ ． （４）质点以速度ｔｓｉｎ（ｔ２）米／秒作直线运动，则从时刻ｔ１＝ π ２秒到ｔ２＝ π 秒内质点所经过的 路程等于 米． （５）ｌｉｍ ｘ→０＋ １－ｅ １ ｘ ｘ＋ｅ １ ｘ＝ ．

２ｙ＝－１＋ｘｙ３在点（１，－１）处相切，其中ａ，ｂ是常数，则（　　） （Ａ）ａ＝０，ｂ＝－２． （Ｂ）ａ＝１，ｂ＝－３． （Ｃ）ａ＝－３，ｂ＝１． （Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１． （２）设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２，　 ０≤ｘ≤１， ２－ｘ， １＜ｘ≤２， { 记Ｆ（ｘ）＝∫ ｘ ０ｆ（ｔ）ｄｔ，０≤ｘ≤２，则（　　） （Ａ）Ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ３，　　　　 ０≤ｘ≤１， １ ３＋２ｘ－ｘ２ ２， １＜ｘ≤２． ì î í ïï ïï 　　 （Ｂ）Ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ３，　　　　　 ０≤ｘ≤１， －７ ６＋２ｘ－ｘ２ ２， １＜ｘ≤２． ì î í ïï ïï （Ｃ）Ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ３，　　　　 ０≤ｘ≤１， ｘ３ ３＋２ｘ－ｘ２ ２， １＜ｘ≤２． ì î í ïï ïï （Ｄ）Ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ３，　　 ０≤ｘ≤１， ２ｘ－ｘ２ ２， １＜ｘ≤２． ì î í ïï ïï （３）设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内有定义，ｘ０≠０是函数ｆ（ｘ）的极大值点，则（　　） （Ａ）ｘ０必是ｆ（ｘ）的驻点． （Ｂ）－ｘ０必是－ｆ（－ｘ）的极小值点． （Ｃ）－ｘ０必是－ｆ（ｘ）的极小值点． （Ｄ）对一切ｘ都有ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ０）． （４）曲线ｙ＝１＋ｅ－ｘ２ １－ｅ－ｘ２（　　） （Ａ）没有渐近线． （Ｂ）仅有水平渐近线． （Ｃ）仅有铅直渐近线． （Ｄ）既有水平渐近线又有铅直渐近线． （５）如图，ｘ轴上有一线密度为常数μ，长度为ｌ的细杆，若质量为ｍ的质点到杆右端的距离为ａ，已 知引力系数为ｋ，则质点和细杆之间引力的大小为（　　） ９ １９９１年真题 --- [第 10 页] --- （Ａ）∫ ０ －ｌ ｋｍμ （ａ－ｘ）２ｄｘ． （Ｂ）∫ ｌ ０ ｋｍμ （ａ－ｘ）２ｄｘ． （Ｃ）２∫ ０ －ｌ ２ ｋｍμ （ａ＋ｘ）２ｄｘ． （Ｄ）２∫ ｌ ２ ０ ｋｍμ （ａ＋ｘ）２ｄｘ．

ｔ， { 求ｄ２ｙ ｄｘ２． （２）计算∫ ４ １ ｄｘ ｘ（１＋ ｘ） ． （３）求ｌｉｍ ｘ→０ ｘ－ｓｉｎｘ ｘ２（ｅｘ－１）． （４）求∫ｘｓｉｎ２ｘｄｘ． （５）求微分方程ｘｙ′ ＋ｙ＝ｘｅｘ满足ｙ（１）＝１的特解．

ｘ．

） 曲线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）和ｘ轴围成一平面图形，求此平面图形绕ｙ轴旋转一周所成的旋转体的体 积． 七、（本题满分９分） 如图，Ａ和Ｄ分别是曲线ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ｅ－２ｘ上的点，ＡＢ和ＤＣ均垂直ｘ 轴，且 ＡＢ ∶ ＤＣ ＝２∶１， ＡＢ ＜１，求点Ｂ和Ｃ的横坐标，使梯形 ＡＢＣＤ的面积最大． 八、（本题满分９分） 设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上满足ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－π）＋ｓｉｎｘ，且ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘ∈［０，π）．计算 ∫ ３π π ｆ（ｘ）ｄｘ． ０ １ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 11 页] --- １９９２年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

ｆ（ｅ３ｔ－１）， { 其中ｆ可导，且ｆ′（０）≠０，则ｄｙ ｄｘ ｔ＝０ ＝ ． （２）函数ｙ＝ｘ＋２ｃｏｓｘ在[０，π ２] 上的最大值为 ． （３）ｌｉｍ ｘ→０ １－ １－ｘ２ ｅｘ－ｃｏｓｘ ＝ ． （４）∫ ＋∞ １ ｄｘ ｘ（ｘ２＋１）＝ ． （５）由曲线ｙ＝ｘｅｘ与直线ｙ＝ｅｘ所围成的图形的面积Ｓ＝ ．

ｘ２的（　　） （Ａ）低阶无穷小． （Ｂ）高阶无穷小． （Ｃ）等价无穷小． （Ｄ）同阶但非等价的无穷小． （２）设ｆ（ｘ）＝ ｘ２，　 　ｘ≤０， ｘ２＋ｘ，　ｘ＞０， { 则（　　） （Ａ）ｆ（－ｘ）＝ －ｘ２，　 　　ｘ≤０， －（ｘ２＋ｘ），　ｘ＞０． { （Ｂ）ｆ（－ｘ）＝ －（ｘ２＋ｘ），　ｘ＜０， －ｘ２，　　　 ｘ≥０． { （Ｃ）ｆ（－ｘ）＝ ｘ２，　　 ｘ≤０， ｘ２－ｘ，　ｘ＞０． { （Ｄ）ｆ（－ｘ）＝ ｘ２－ｘ，　ｘ＜０， ｘ２，　　 ｘ≥０． { （３）当ｘ→１时，函数ｘ２－１ ｘ－１ｅ １ ｘ－１的极限（　　） （Ａ）等于２． （Ｂ）等于０． （Ｃ）为∞． （Ｄ）不存在但不为∞． （４）设ｆ（ｘ）连续，Ｆ（ｘ）＝∫ ｘ２ ０ｆ（ｔ２）ｄｔ，则Ｆ′（ｘ）等于（　　） （Ａ）ｆ（ｘ４）．　　　　 （Ｂ）ｘ２ｆ（ｘ４）．　　　　 （Ｃ）２ｘｆ（ｘ４）．　　　　 （Ｄ）２ｘｆ（ｘ２）． （５）若ｆ（ｘ）的导函数是ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有一个原函数为（　　） （Ａ）１＋ｓｉｎｘ． （Ｂ）１－ｓｉｎｘ． （Ｃ）１＋ｃｏｓｘ． （Ｄ）１－ｃｏｓｘ．

( ) ｘ－１ ２． （２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｙ－ｘｅｙ＝１所确定，求ｄ２ｙ ｄｘ２ ｘ＝０ 的值． １ １ １９９２年真题 --- [第 12 页] --- （３）求∫ ｘ３ １＋ｘ２ｄｘ． （４）求∫ π ０ １－ｓｉｎｘｄｘ． （５）求微分方程（ｙ－ｘ３）ｄｘ－２ｘｄｙ＝０的通解．

求∫ ３ １ｆ（ｘ－２）ｄｘ．

分９分） 计算曲线ｙ＝ｌｎ（１－ｘ２）上相应于０≤ｘ≤１ ２的一段弧的长度． 七、（本题满分９分） 求曲线ｙ＝ ｘ的一条切线ｌ，使该曲线与切线ｌ及直线ｘ＝０，ｘ＝２所围成的平面图形面积最小． 八、（本题满分９分） 已知ｆ″（ｘ）＜０，ｆ（０）＝０，证明对任何ｘ１＞０，ｘ２＞０，有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＜ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）． ２ １ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 13 页] --- １９９３年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

． （２）函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）＋ｅｘ－ｘｙ２＝０所确定，则ｄｙ ｄｘ＝ ． （３）设Ｆ（ｘ）＝∫ ｘ １ ２－１ ｔ æ è ç ö ø ÷ｄｔ（ｘ＞０），则函数Ｆ（ｘ）的单调减少区间是 ． （４）∫ ｔａｎｘ ｃｏｓｘ ｄｘ＝ ． （５）已知曲线ｙ＝ｆ（ｘ）过点(０，－１ ２)，且其上任一点（ｘ，ｙ）处的切线斜率为ｘｌｎ（１＋ｘ２），则ｆ（ｘ） ＝ ．

ｉｎ１ ｘ是（　　） （Ａ）无穷小．　　　　 　　　　　　　　　　 （Ｂ）无穷大． （Ｃ）有界的，但不是无穷小．　　　　　　　　 （Ｄ）无界的，但不是无穷大． （２）设ｆ（ｘ）＝ ｘ２－１ ｘ－１ ，　ｘ≠１， ２，　　　　 ｘ＝１， { 则在点ｘ＝１处函数ｆ（ｘ）（　　） （Ａ）不连续． （Ｂ）连续，但不可导． （Ｃ）可导，但导数不连续． （Ｄ）可导，且导数连续． （３）已知ｆ（ｘ）＝ ｘ２， ０≤ｘ＜１， １， １≤ｘ≤２， { 设Ｆ（ｘ）＝∫ ｘ １ｆ（ｔ）ｄｔ（０≤ｘ≤２），则Ｆ（ｘ）为（　　） （Ａ） １ ３ｘ３，　 ０≤ｘ＜１， ｘ，　　 １≤ｘ≤２． { （Ｂ） １ ３ｘ３－１ ３， ０≤ｘ＜１， ｘ，　　 　 １≤ｘ≤２． { （Ｃ） １ ３ｘ３， ０≤ｘ＜１， ｘ－１，１≤ｘ≤２． { （Ｄ） １ ３ｘ３－１ ３， ０≤ｘ＜１， ｘ－１，　 １≤ｘ≤２． { （４）设常数ｋ＞０，函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ ｅ＋ｋ在（０，＋∞）内的零点个数为（　　） （Ａ）３．　　　　　　　（Ｂ）２．　　　　　　　（Ｃ）１．　　　　　　　（Ｄ）０． （５）若ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ），在（０，＋∞）内ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＞０，则ｆ（ｘ）在（－∞，０）内（　　） （Ａ）ｆ′（ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＜０． （Ｂ）ｆ′（ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＞０． （Ｃ）ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＜０． （Ｄ）ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＞０． ３ １ １９９３年真题 --- [第 14 页] ---

ｆ具有二阶导数，求ｄ２ｙ ｄｘ２． （２）求ｌｉｍ ｘ→－∞ｘ（ ｘ２＋１００＋ｘ）． （３）求∫ π ４ ０ ｘ １＋ｃｏｓ２ｘｄｘ． （４）求∫ ＋∞ ０ ｘ （１＋ｘ）３ｄｘ． （５）求微分方程（ｘ２－１）ｄｙ＋（２ｘｙ－ｃｏｓｘ）ｄｘ＝０满足初值条件ｙ（０）＝１的特解．

解为ｙ＝ｅ２ｘ＋（１＋ｘ）ｅｘ，试确定常数 α，β，γ，并求该方程的通解．

＝２旋转一周所得旋转体的体积． 六、（本题满分９分） 作半径为ｒ的球的外切正圆锥，问此圆锥的高ｈ为何值时，其体积Ｖ最小，并求出该最小值． 七、（本题满分９分） 设ｘ＞０，常数ａ＞ｅ．证明：（ａ＋ｘ）ａ＜ａａ＋ｘ． 八、（本题满分９分） 设ｆ′（ｘ）在［０，ａ］上连续，且ｆ（０）＝０，证明：∫ ａ ０ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍａ２ ２，其中Ｍ＝ｍａｘ ０≤ｘ≤ａ ｆ′（ｘ） ． ４ １ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 15 页] --- １９９４年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

ｅ２ａｘ－１ ｘ ， ｘ≠０， ａ，　　　　　　 ｘ＝０ { 在（－∞，＋∞）上连续，则ａ＝ ． （２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程ｘ＝ｔ－ｌｎ（１＋ｔ）， ｙ＝ｔ３＋ｔ２ { 所确定，则ｄ２ｙ ｄｘ２＝ ． （３）ｄ ｄｘ∫ ｃｏｓ３ｘ ０ ｆ（ｔ）ｄｔ ( ) ＝ ． （４）∫ｘ３ｅｘ２ｄｘ＝ ． （５）微分方程ｙｄｘ＋（ｘ２－４ｘ）ｄｙ＝０的通解为 ．

＋ｘ）－（ａｘ＋ｂｘ２） ｘ２ ＝２，则（　　） （Ａ）ａ＝１，ｂ＝－５ ２． （Ｂ）ａ＝０，ｂ＝－２． （Ｃ）ａ＝０，ｂ＝－５ ２． （Ｄ）ａ＝１，ｂ＝－２． （２）设ｆ（ｘ）＝ ２ ３ｘ３， ｘ≤１， ｘ２，　 ｘ＞１， { 则ｆ（ｘ）在点ｘ＝１处的（　　） （Ａ）左、右导数都存在． （Ｂ）左导数存在，但右导数不存在． （Ｃ）左导数不存在，但右导数存在． （Ｄ）左、右导数都不存在． （３）设ｙ＝ｆ（ｘ）是满足微分方程ｙ″ ＋ｙ′ －ｅｓｉｎｘ＝０的解，且ｆ′（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在（　　） （Ａ）ｘ０的某个邻域内单调增加． （Ｂ）ｘ０的某个邻域内单调减少． （Ｃ）ｘ０处取得极小值． （Ｄ）ｘ０处取得极大值． （４）曲线ｙ＝ｅ １ ｘ２ａｒｃｔａｎ ｘ２＋ｘ＋１ （ｘ－１）（ｘ＋２）的渐近线有（　　） （Ａ）１条．　　　　　　（Ｂ）２条．　　　　　　（Ｃ）３条．　　　　　　（Ｄ）４条． （５）设Ｍ＝∫ π ２ －π ２ ｓｉｎｘ １＋ｘ２ｃｏｓ４ｘｄｘ，Ｎ＝∫ π ２ －π ２ （ｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，Ｐ＝∫ π ２ －π ２ （ｘ２ｓｉｎ３ｘ－ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，则有（　　） （Ａ）Ｎ＜Ｐ＜Ｍ． （Ｂ）Ｍ＜Ｐ＜Ｎ． （Ｃ）Ｎ＜Ｍ＜Ｐ． （Ｄ）Ｐ＜Ｍ＜Ｎ． ５ １ １９９４年真题 --- [第 16 页] ---

阶导数，且其一阶导数不等于１，求ｄ２ｙ ｄｘ２． （２）计算∫ １ ０ｘ（１－ｘ４） ３ ２ｄｘ． （３）计算ｌｉｍ ｎ→∞ｔａｎｎ π ４＋２ ｎ ( )． （４）计算∫ ｄｘ ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ． （５）如图，设曲线方程为ｙ＝ｘ２＋１ ２，梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ，曲边梯形 ＯＡＢＣ的面积为Ｄ１，点Ａ的坐标为（ａ，０），ａ＞０．证明：Ｄ Ｄ１ ＜３ ２．

范围．

）求函数图形的凹凸区间及拐点； （３）求其渐近线； （４）作出其图形． 六、（本题满分９分） 求微分方程ｙ″ ＋ａ２ｙ＝ｓｉｎｘ的通解，其中常数ａ＞０． 七、（本题满分９分） 设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续且递减，证明：当０＜λ ＜１时，∫ λ ０ｆ（ｘ）ｄｘ≥λ∫ １ ０ｆ（ｘ）ｄｘ． 八、（本题满分９分） 求曲线ｙ＝３－ ｘ２－１ 与ｘ轴围成的封闭图形绕直线ｙ＝３旋转所得的旋转体体积． ６ １ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 17 页] --- １９９５年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

２１ ｘ，则ｙ′ ＝ ． （２）微分方程ｙ″ ＋ｙ＝－２ｘ的通解为 ． （３）曲线ｘ＝１＋ｔ２， ｙ＝ｔ３ { 在ｔ＝２处的切线方程为 ． （４）ｌｉｍ ｎ→∞ １ ｎ２＋ｎ＋１＋ ２ ｎ２＋ｎ＋２＋… ＋ ｎ ｎ２＋ｎ＋ｎ ( ) ＝ ． （５）曲线ｙ＝ｘ２ｅ－ｘ２的渐近线方程为 ．

∞，＋∞）上有定义，ｆ（ｘ）为连续函数，且ｆ（ｘ）≠０，φ（ｘ）有间断点，则 （　　） （Ａ）φ［ｆ（ｘ）］必有间断点． （Ｂ）［φ（ｘ）］２必有间断点． （Ｃ）ｆ［φ（ｘ）］必有间断点． （Ｄ）φ（ｘ） ｆ（ｘ）必有间断点． （２）曲线ｙ＝ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）与ｘ轴所围图形的面积可表示为（　　） （Ａ）－∫ ２ ０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ． （Ｂ）∫ １ ０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ－∫ ２ １ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ． （Ｃ）－∫ １ ０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ＋∫ ２ １ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ． （Ｄ）∫ ２ ０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ． （３）设ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内可导，且对任意ｘ１，ｘ２，当ｘ１＞ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则（　　） （Ａ）对任意ｘ，ｆ′（ｘ）＞０． （Ｂ）对任意ｘ，ｆ′（－ｘ）≤０． （Ｃ）函数ｆ（－ｘ）单调增加． （Ｄ）函数－ｆ（－ｘ）单调增加． （４）设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上ｆ″（ｘ）＞０，则ｆ′（１），ｆ′（０），ｆ（１）－ｆ（０）或ｆ（０）－ｆ（１）的大小顺序是 （　　） （Ａ）ｆ′（１）＞ｆ′（０）＞ｆ（１）－ｆ（０）． （Ｂ）ｆ′（１）＞ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆ′（０）． （Ｃ）ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆ′（１）＞ｆ′（０）． （Ｄ）ｆ′（１）＞ｆ（０）－ｆ（１）＞ｆ′（０）． （５）设ｆ（ｘ）可导，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）（１＋ ｓｉｎｘ ）．若Ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，则必有（　　） （Ａ）ｆ（０）＝０． （Ｂ）ｆ′（０）＝０． （Ｃ）ｆ（０）＋ｆ′（０）＝０． （Ｄ）ｆ（０）－ｆ′（０）＝０． ７ １ １９９５年真题 --- [第 18 页] ---

ｘ ｘ（１－ｃｏｓ ｘ） ． （２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｘｅｆ（ｙ）＝ｅｙ确定，其中ｆ具有二阶导数，且ｆ′ ≠１，求ｄ２ｙ ｄｘ２． （３）设ｆ（ｘ２－１）＝ｌｎ ｘ２ ｘ２－２，且ｆ［φ（ｘ）］＝ｌｎｘ，求∫φ（ｘ）ｄｘ． （４）设ｆ（ｘ）＝ ｘａｒｃｔａｎ１ ｘ２， ｘ≠０， ０，　 　 　 ｘ＝０， { 试讨论ｆ′（ｘ）在ｘ＝０处的连续性． （５）求摆线ｘ＝１－ｃｏｓｔ， ｙ＝ｔ－ｓｉｎｔ { 一拱（０≤ｔ≤２π）的弧长Ｓ． （６）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ｖ ｔ＝０ ＝ｖ０．已知阻力与速度成正比（比例常数为１）， 问ｔ为多少时此质点的速度为ｖ０ ３？并求到此时刻该质点所经过的路程．

值．

方程满足条件ｙ ｘ＝ｌｎ２ ＝０的特解． 六、（本题满分８分） 如图，设曲线Ｌ的方程为ｙ＝ｆ（ｘ），且ｙ″ ＞０．又ＭＴ，ＭＰ分别为该曲线 在点Ｍ（ｘ０，ｙ０）处的切线和法线． 已知线段ＭＰ的长度为 （１＋ｙ′２ ０） ３ ２ ｙ″０ （其中ｙ′０＝ｙ′（ｘ０），ｙ″０＝ｙ″（ｘ０）），试推导出点Ｐ（ξ，η）的坐 标表达式． 七、（本题满分８分） 设ｆ（ｘ）＝∫ ｘ ０ ｓｉｎｔ π －ｔｄｔ，计算∫ π ０ｆ（ｘ）ｄｘ． 八、（本题满分８分） 设ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（ｘ） ｘ ＝１，且ｆ″（ｘ）＞０，证明ｆ（ｘ）≥ｘ． ８ １ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 19 页] --- １９９６年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷Ⅲ）

２ ３，则ｙ′ ｘ＝０ ＝ ． （２）∫ １ －１（ｘ＋ １－ｘ２）２ｄｘ＝ ． （３）微分方程ｙ″ ＋２ｙ′ ＋５ｙ＝０的通解为 ． （４）ｌｉｍ ｘ→∞ｘｓｉｎｌｎ１＋３ ｘ ( ) －ｓｉｎｌｎ１＋１ ｘ ( ) [ ] ＝ ． （５）由曲线ｙ＝ｘ＋１ ｘ，ｘ＝２及ｙ＝２所围图形的面积Ｓ＝ ．

２＋ｂｘ＋１）是比ｘ２高阶的无穷小，则（　　） （Ａ）ａ＝１ ２，ｂ＝１．　　（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝１．　　（Ｃ）ａ＝－１ ２，ｂ＝－１．　　（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝１． （２）设函数ｆ（ｘ）在区间（－δ，δ）内有定义，若当ｘ∈（－δ，δ）时，恒有 ｆ（ｘ） ≤ｘ２，则ｘ＝０必是 ｆ（ｘ）的（　　） （Ａ）间断点． （Ｂ）连续而不可导的点． （Ｃ）可导的点，且ｆ′（０）＝０． （Ｄ）可导的点，且ｆ′（０）≠０． （３）设ｆ（ｘ）处处可导，则（　　） （Ａ）当ｌｉｍ ｘ→－∞ｆ（ｘ）＝－∞，必有ｌｉｍ ｘ→－∞ｆ′（ｘ）＝－∞． （Ｂ）当ｌｉｍ ｘ→－∞ｆ′（ｘ）＝－∞，必有ｌｉｍ ｘ→－∞ｆ（ｘ）＝－∞． （Ｃ）当ｌｉｍ ｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝＋∞，必有ｌｉｍ ｘ→＋∞ｆ′（ｘ）＝＋∞． （Ｄ）当ｌｉｍ ｘ→＋∞ｆ′（ｘ）＝＋∞，必有ｌｉｍ ｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝＋∞． （４）在区间（－∞，＋∞）内，方程 ｘ １ ４＋ ｘ １ ２－ｃｏｓｘ＝０（　　） （Ａ）无实根． （Ｂ）有且仅有一个实根． （Ｃ）有且仅有两个实根． （Ｄ）有无穷多个实根． （５）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）＜ｍ（ｍ为常数），由曲线ｙ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｘ）， ｘ＝ａ及ｘ＝ｂ所围平面图形绕直线ｙ＝ｍ旋转而成的旋转体体积为（　　） （Ａ）∫ ｂ ａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ． （Ｂ）∫ ｂ ａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ． （Ｃ）∫ ｂ ａπ［ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ． （Ｄ）∫ ｂ ａπ［ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ． ９ １ １９９６年真题 --- [第 20 页] ---

ｄｘ． （２）求∫ ｄｘ １＋ｓｉｎｘ． （３）设ｘ＝∫ ｔ ０ｆ（ｕ２）ｄｕ， ｙ＝［ｆ（ｔ２）］２， { 其中ｆ（ｕ）具有二阶导数，且ｆ（ｕ）≠０，求ｄ２ｙ ｄｘ２． （４）求函数ｆ（ｘ）＝１－ｘ １＋ｘ在点ｘ＝０处带拉格朗日型余项的ｎ阶泰勒展开式． （５）求微分方程ｙ″ ＋ｙ′ ＝ｘ２的通解． （６）设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为２ａ，２ｂ，用过此柱体底 面的短轴且与底面成α 角０＜α ＜π ２ ( )的平面截此柱体，得一楔形体 （如图），求此楔形体的体积Ｖ．

－１≤ｘ≤２， １２ｘ－１６， ｘ＞２．　 　 ì î í ïï ïï （１）写出ｆ（ｘ）的反函数ｇ（ｘ）的表达式； （２）ｇ（ｘ）是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点． 六、（本题满分８分） 设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｙ３－２ｙ２＋２ｘｙ－ｘ２＝１所确定，试求ｙ＝ｙ（ｘ）的驻点，并判别它是否为 极值点． 七、（本题满分８分） 设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上具有二阶导数，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，ｆ′（ａ）ｆ′（ｂ）＞０．证明：存在ξ ∈（ａ，ｂ） 和η ∈（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０及ｆ″（η）＝０． 八、（本题满分８分） 设ｆ（ｘ）为连续函数， （１）求初值问题 ｙ′ ＋ａｙ＝ｆ（ｘ）， ｙ ｘ＝０ ＝０ { 的解ｙ（ｘ），其中ａ是正常数； （２）若 ｆ（ｘ） ≤ｋ（ｋ为常数），证明：当ｘ≥０时，有 ｙ（ｘ） ≤ｋ ａ（１－ｅ－ａｘ）． ０ ２ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 21 页] --- １９９７年全国硕士研究生招生考试试题

ｓｘ）ｘ－２， ｘ≠０， ａ，　　 　 ｘ＝０ { 在ｘ＝０处连续，则ａ＝ ． （２）设ｙ＝ｌｎ １－ｘ １＋ｘ２，则ｙ″ ｘ＝０ ＝ ． （３）∫ ｄｘ ｘ（４－ｘ） ＝ ． （４）∫ ＋∞ ０ ｄｘ ｘ２＋４ｘ＋８＝ ． （５）已知向量组α１＝（１，２，－１，１），α２＝（２，０，ｔ，０），α３＝（０，－４，５，－２）的秩为２，则ｔ＝ ．

ｘ与ｘｎ是同阶无穷小，则ｎ为（　　） （Ａ）１．　　　　　　　　 （Ｂ）２．　　　　　　　　 （Ｃ）３．　　　　　　　　 （Ｄ）４． （２）设在闭区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）＞０，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＞０．记Ｓ１＝∫ ｂ ａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｓ２＝ｆ（ｂ）（ｂ－ａ）， Ｓ３＝１ ２［ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）］（ｂ－ａ），则（　　） （Ａ）Ｓ１＜Ｓ２＜Ｓ３． （Ｂ）Ｓ２＜Ｓ１＜Ｓ３． （Ｃ）Ｓ３＜Ｓ１＜Ｓ２． （Ｄ）Ｓ２＜Ｓ３＜Ｓ１． （３）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）对一切ｘ满足ｘｆ″（ｘ）＋３ｘ［ｆ′（ｘ）］２＝１－ｅ－ｘ，若ｆ′（ｘ０）＝０（ｘ０≠０），则（　　） （Ａ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极大值． （Ｂ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极小值． （Ｃ）（ｘ０，ｆ（ｘ０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点． （Ｄ）ｆ（ｘ０）不是ｆ（ｘ）的极值，（ｘ０，ｆ（ｘ０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点． （４）设Ｆ（ｘ）＝∫ ｘ＋２π ｘ ｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔ，则Ｆ（ｘ）（　　） （Ａ）为正常数． （Ｂ）为负常数． （Ｃ）恒为零． （Ｄ）不为常数． （５）设函数ｇ（ｘ）＝ ２－ｘ，　ｘ≤０， ｘ＋２，　ｘ＞０， { ｆ（ｘ）＝ ｘ２，　ｘ＜０， －ｘ，　ｘ≥０， { 则ｇ［ｆ（ｘ）］＝（　　） （Ａ）２＋ｘ２，　 ｘ＜０， ２－ｘ，　　ｘ≥０． { （Ｂ）２－ｘ２，　 ｘ＜０， ２＋ｘ，　　ｘ≥０． { （Ｃ）２－ｘ２，　 ｘ＜０， ２－ｘ，　　ｘ≥０． { （Ｄ）２＋ｘ２，　 ｘ＜０， ２＋ｘ，　　ｘ≥０． {

ｘ－１＋ｘ＋１ ｘ２＋ｓｉｎｘ ． １ ２ １９９７年真题 --- [第 22 页] --- （２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由ｘ＝ａｒｃｔａｎｔ， ２ｙ－ｔｙ２＋ｅｔ＝５ { 所确定，求ｄｙ ｄｘ． （３）计算∫ｅ２ｘ（ｔａｎｘ＋１）２ｄｘ． （４）求微分方程（３ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２）ｄｘ＋（ｘ２－２ｘｙ）ｄｙ＝０的通解． （５）已知ｙ１＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ，ｙ２＝ｘｅｘ＋ｅ－ｘ，ｙ３＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ－ｅ－ｘ是某二阶线性非齐次微分方程的三个 解，求此微分方程． （６）已知矩阵Ａ＝ １ １ －１ ０ １ １ ０ ０ －１ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，且Ａ２－ＡＢ＝Ｅ，其中Ｅ是３阶单位矩阵，求矩阵Ｂ．

＋ｘ３＝２， ４ｘ１＋５ｘ２－５ｘ３＝－１ ì î í ïï ïï 无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出 方程组的通解．

Ｍ０（２，０）为Ｌ上一定点．若极径ＯＭ０，ＯＭ 与曲线Ｌ所围成的曲边扇形面积值等于Ｌ上Ｍ０，Ｍ两点间弧长值的一半，求曲线Ｌ的方程． 六、（本题满分８分） 设函数ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内大于零，并满足ｘｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋３ａ ２ｘ２（ａ为 常数），又曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝１，ｙ＝０所围的图形Ｓ的面积值为２，求函数ｙ＝ｆ（ｘ），并问ａ为何 值时，图形Ｓ绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体的体积最小． 七、（本题满分８分） 设函数ｆ（ｘ）连续，φ（ｘ）＝∫ １ ０ｆ（ｘｔ）ｄｔ，且ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（ｘ） ｘ ＝Ａ（Ａ为常数），求φ′（ｘ）并讨论φ′（ｘ）在ｘ＝０ 处的连续性． 八、（本题满分８分） 就ｋ的不同取值情况，确定方程ｘ－π ２ｓｉｎｘ＝ｋ在开区间(０，π ２) 内根的个数，并证明你的结论． ２ ２ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 23 页] --- １９９８年全国硕士研究生招生考试试题

１－ｘ－２ ｘ２ ＝ ． （２）曲线ｙ＝－ｘ３＋ｘ２＋２ｘ与ｘ轴所围成的图形的面积Ａ＝ ． （３）∫ ｌｎ（ｓｉｎｘ） ｓｉｎ２ｘ ｄｘ＝ ． （４）设ｆ（ｘ）连续，则ｄ ｄｘ∫ ｘ ０ｔｆ（ｘ２－ｔ２）ｄｔ＝ ． （５）曲线ｙ＝ｘｌｎｅ＋１ ｘ ( )（ｘ＞０）的渐近线方程为 ．

足ｌｉｍ ｎ→∞ｘｎｙｎ＝０，则下列断言正确的是（　　） （Ａ）若｛ｘｎ｝发散，则｛ｙｎ｝必发散． （Ｂ）若｛ｘｎ｝无界，则｛ｙｎ｝必有界． （Ｃ）若｛ｘｎ｝有界，则｛ｙｎ｝必为无穷小． （Ｄ）若 １ ｘｎ { }为无穷小，则｛ｙｎ｝必为无穷小． （２）函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ｘ－２） ｘ３－ｘ 的不可导点的个数为（　　） （Ａ）０． （Ｂ）１． （Ｃ）２． （Ｄ）３． （３）已知函数ｙ＝ｙ（ｘ）在任意点ｘ处的增量Δｙ＝ ｙΔｘ １＋ｘ２＋α，其中α 是比Δｘ（Δｘ→０）高阶的无 穷小，且ｙ（０）＝π，则ｙ（１）＝（　　） （Ａ）πｅ π ４． （Ｂ）２π． （Ｃ）π． （Ｄ）ｅ π ４． （４）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ的某个邻域内连续，且ｆ（ａ）为其极大值，则存在δ ＞０，当ｘ∈（ａ－δ，ａ＋δ） 时，必有（　　） （Ａ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］≥０． （Ｂ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］≤０． （Ｃ）ｌｉｍ ｔ→ａ ｆ（ｔ）－ｆ（ｘ） （ｔ－ｘ）２ ≥０（ｘ≠ａ）． （Ｄ）ｌｉｍ ｔ→ａ ｆ（ｔ）－ｆ（ｘ） （ｔ－ｘ）２ ≤０（ｘ≠ａ）． （５）设Ａ是任一ｎ（ｎ≥３）阶方阵，Ａ∗是其伴随矩阵，又ｋ为常数，且ｋ≠０，± １，则必有 （ｋＡ）∗＝（　　） （Ａ）ｋＡ∗． （Ｂ）ｋｎ－１Ａ∗． （Ｃ）ｋｎＡ∗． （Ｄ）ｋ－１Ａ∗．

，２π）内的间断点，并判断其类型． ３ ２ １９９８年真题 --- [第 24 页] ---

ｘ ｂ ｌｎ（１＋ｔ３） ｔ ｄｔ ＝ｃ（ｃ≠０）．

＋３ｙｃｏｓｘ＝ｅｘ 化简，并求出原方程的通解． 六、（本题满分６分） 计算积分∫ ３ ２ １ ２ ｄｘ ｘ－ｘ２ ． 七、（本题满分６分） 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度ｙ（从海平面算起）与下沉速 度ｖ之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到 阻力和浮力的作用．设仪器的质量为ｍ，体积为Ｂ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正 比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．试建立ｙ与ｖ所满足的微分方程，并求出函数关系式ｙ＝ｙ（ｖ）． 八、（本题满分８分） 设ｙ＝ｆ（ｘ）是区间［０，１］上的任一非负连续函数． （１）试证存在ｘ０∈（０，１），使得在区间［０，ｘ０］上以ｆ（ｘ０）为高的矩形面积，等于在区间［ｘ０，１］上以 ｙ＝ｆ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积； （２）又设ｆ（ｘ）在区间（０，１）内可导，且ｆ′（ｘ）＞－２ｆ（ｘ） ｘ ，证明（１）中的ｘ０是惟一的． 九、（本题满分８分） 设有曲线ｙ＝ ｘ－１，过原点作其切线，求由此曲线、切线及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周 所得到的旋转体的表面积． 十、（本题满分８分） 设ｙ＝ｙ（ｘ）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（ｘ，ｙ）处的曲率为 １ １＋ｙ′２，且此曲线上点（０，１） 处的切线方程为ｙ＝ｘ＋１，求该曲线的方程，并求函数ｙ＝ｙ（ｘ）的极值． 十一、（本题满分８分） 设ｘ∈（０，１），证明： （１）（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）＜ｘ２； ４ ２ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 25 页] --- （２） １ ｌｎ２－１＜ １ ｌｎ（１＋ｘ）－１ ｘ ＜１ ２． 十二、（本题满分５分） 设（２Ｅ－Ｃ－１Ｂ）ＡＴ＝Ｃ－１，其中Ｅ是４阶单位矩阵，ＡＴ是４阶矩阵Ａ的转置矩阵， Ｂ＝ １ ２ －３ －２ ０ １ ２ －３ ０ ０ １ ２ ０ ０ ０ １ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ，　　Ｃ＝ １　２　０　１ ０　１　２　０ ０　０　１　２ ０　０　０　１ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ． 求Ａ． 十三、（本题满分６分） 已知α１＝（１，４，０，２）Ｔ，α２＝（２，７，１，３）Ｔ，α３＝（０，１，－１，ａ）Ｔ，β ＝（３，１０，ｂ，４）Ｔ，问： （１）ａ，ｂ取何值时，β 不能由α１，α２，α３线性表示？ （２）ａ，ｂ取何值时，β 可由α１，α２，α３线性表示？并写出此表示式． ５ ２ １９９８年真题 --- [第 26 页] --- １９９９年全国硕士研究生招生考试试题

＝ｅｔｃｏｓｔ { 在点（０，１）处的法线方程为 ． （２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｌｎ（ｘ２＋ｙ）＝ｘ３ｙ＋ｓｉｎｘ确定，则ｄｙ ｄｘ ｘ＝０ ＝　 　　． （３）∫ ｘ＋５ ｘ２－６ｘ＋１３ｄｘ＝ ． （４）函数ｙ＝ ｘ２ １－ｘ２在区间 １ ２，３ ２ [ ]上的平均值为 ． （５）微分方程ｙ″ －４ｙ＝ｅ２ｘ的通解为 ．

ｘ ， ｘ＞０， ｘ２ｇ（ｘ）， ｘ≤０， { 其中ｇ（ｘ）是有界函数，则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处（　　） （Ａ）极限不存在． （Ｂ）极限存在，但不连续． （Ｃ）连续，但不可导． （Ｄ）可导． （２）设α（ｘ）＝∫ ５ｘ ０ ｓｉｎｔ ｔ ｄｔ，β（ｘ）＝∫ ｓｉｎｘ ０ （１＋ｔ） １ ｔｄｔ，则当ｘ→０时，α（ｘ）是β（ｘ）的（　　） （Ａ）高阶无穷小． （Ｂ）低阶无穷小． （Ｃ）同阶但不等价的无穷小． （Ｄ）等价无穷小． （３）设ｆ（ｘ）是连续函数，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，则（　　） （Ａ）当ｆ（ｘ）是奇函数时，Ｆ（ｘ）必是偶函数． （Ｂ）当ｆ（ｘ）是偶函数时，Ｆ（ｘ）必是奇函数． （Ｃ）当ｆ（ｘ）是周期函数时，Ｆ（ｘ）必是周期函数． （Ｄ）当ｆ（ｘ）是单调增函数时，Ｆ（ｘ）必是单调增函数． （４）“对任意给定的ε ∈（０，１），总存在正整数Ｎ，当ｎ≥Ｎ时，恒有 ｘｎ－ａ ≤２ε” 是数列｛ｘｎ｝收 敛于ａ的（　　） （Ａ）充分条件但非必要条件． （Ｂ）必要条件但非充分条件． （Ｃ）充分必要条件． （Ｄ）既非充分条件又非必要条件． （５）记行列式 ｘ－２ ｘ－１ ｘ－２ ｘ－３ ２ｘ－２ ２ｘ－１ ２ｘ－２ ２ｘ－３ ３ｘ－３ ３ｘ－２ ４ｘ－５ ３ｘ－５ ４ｘ ４ｘ－３ ５ｘ－７ ４ｘ－３ 为ｆ（ｘ），则方程ｆ（ｘ）＝０的根的个数为（　　） （Ａ）１．　　 （Ｂ）２．　　 （Ｃ）３．　　 （Ｄ）４． ６ ２ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 27 页] ---

）－ｘ２ ．

ｙ ｘ＝１ ＝０ { 的解． 六、（本题满分７分） 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 ３０ｍ，抓斗自重４００Ｎ，缆绳每米重５０Ｎ，抓斗抓起的污泥重２０００Ｎ，提升速度为 ３ｍ／ｓ．在提升过程中，污泥以２０Ｎ／ｓ的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的 抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？ （说明：①１Ｎ× １ｍ＝１Ｊ；ｍ，Ｎ，ｓ，Ｊ分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及 位于井口上方的缆绳长度忽略不计．） 七、（本题满分８分） 已知函数ｙ＝ ｘ３ （ｘ－１）２，求 （１）函数的增减区间及极值； （２）函数图形的凹凸区间及拐点； （３）函数图形的渐近线． 八、（本题满分８分） 设函数ｆ（ｘ）在闭区间［－１，１］上具有三阶连续导数，且ｆ（－１）＝０，ｆ（１）＝１，ｆ′（０）＝０，证明： 在开区间（－１，１）内至少存在一点ξ，使ｆ‴（ξ）＝３． 九、（本题满分８分） 设函数ｙ（ｘ）（ｘ≥０）二阶可导，且ｙ′（ｘ）＞０，ｙ（０）＝１．过曲线ｙ＝ｙ（ｘ）上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）作该 曲线的切线及ｘ轴的垂线，上述两直线与ｘ轴所围成的三角形的面积记为Ｓ１，区间［０，ｘ］上以 ｙ＝ｙ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积记为Ｓ２，并设２Ｓ１－Ｓ２恒为１，求此曲线ｙ＝ｙ（ｘ）的方程． ７ ２ １９９９年真题 --- [第 28 页] --- 十、（本题满分７分） 设ｆ（ｘ）是区间［０，＋∞）上单调减少且非负的连续函数，ａｎ＝􀰐 ｎ ｋ＝１ ｆ（ｋ）－∫ ｎ １ｆ（ｘ）ｄｘ（ｎ＝１，２，…）， 证明数列｛ａｎ｝的极限存在． 十一、（本题满分６分） 设矩阵Ａ＝ １ １ －１ －１ １ １ １ －１ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，矩阵Ｘ满足Ａ∗Ｘ＝Ａ－１＋２Ｘ，其中Ａ∗是Ａ的伴随矩阵，求矩阵Ｘ． 十二、（本题满分８分） 设向量组α１＝（１，１，１，３）Ｔ，α２＝（－１，－３，５，１）Ｔ，α３＝（３，２，－１，ｐ＋２）Ｔ，α４＝（－２，－６，１０，ｐ）Ｔ． （１）ｐ为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α ＝（４，１，６，１０）Ｔ用α１，α２，α３，α４线性表示； （２）ｐ为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组． ８ ２ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 29 页] --- ２０００年全国硕士研究生招生考试试题

ｎｘ－ｘ ｌｎ（１＋２ｘ３）＝ ． （２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｘｙ＝ｘ＋ｙ所确定，则ｄｙ ｘ＝０＝ ． （３）∫ ＋∞ ２ ｄｘ （ｘ＋７） ｘ－２ ＝ ． （４）曲线ｙ＝（２ｘ－１）ｅ １ ｘ的斜渐近线方程为 ． （５）设Ａ＝ １ ０ ０ ０ －２ ３ ０ ０ ０ －４ ５ ０ ０ ０ －６ ７ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ，Ｅ为４阶单位矩阵，且Ｂ＝（Ｅ＋Ａ）－１（Ｅ－Ａ），则（Ｅ＋Ｂ）－１＝ ．

ｅｂｘ在（－∞，＋∞）内连续，且ｌｉｍ ｘ→－∞ｆ（ｘ）＝０，则常数ａ，ｂ满足（　　） （Ａ）ａ＜０，ｂ＜０． （Ｂ）ａ＞０，ｂ＞０． （Ｃ）ａ≤０，ｂ＞０． （Ｄ）ａ≥０，ｂ＜０． （２）设函数ｆ（ｘ）满足关系式ｆ″（ｘ）＋［ｆ′（ｘ）］２＝ｘ，且ｆ′（０）＝０，则（　　） （Ａ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极大值． （Ｂ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极小值． （Ｃ）点（０，ｆ（０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点． （Ｄ）ｆ（０）不是ｆ（ｘ）的极值，点（０，ｆ（０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点． （３）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是大于零的可导函数，且ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）＜０，则当ａ＜ｘ＜ｂ时，有（　　） （Ａ）ｆ（ｘ）ｇ（ｂ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｘ）． （Ｂ）ｆ（ｘ）ｇ（ａ）＞ｆ（ａ）ｇ（ｘ）． （Ｃ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｂ）． （Ｄ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ａ）ｇ（ａ）． （４）若ｌｉｍ ｘ→０ ｓｉｎ６ｘ＋ｘｆ（ｘ） ｘ３ ＝０，则ｌｉｍ ｘ→０ ６＋ｆ（ｘ） ｘ２ 为（　　） （Ａ）０．　　 （Ｂ）６．　　 （Ｃ）３６．　　 （Ｄ）∞． （５）具有特解ｙ１＝ｅ－ｘ，ｙ２＝２ｘｅ－ｘ，ｙ３＝３ｅｘ的３阶常系数齐次线性微分方程是（　　） （Ａ）ｙ‴－ｙ″ －ｙ′ ＋ｙ＝０． （Ｂ）ｙ‴＋ｙ″ －ｙ′ －ｙ＝０． （Ｃ）ｙ‴－６ｙ″ ＋１１ｙ′ －６ｙ＝０． （Ｄ）ｙ‴－２ｙ″ －ｙ′ ＋２ｙ＝０．

２ ２０００年真题 --- [第 30 页] ---

｝及直线ｌ：ｘ＋ｙ＝ｔ（ｔ≥０）．若Ｓ（ｔ）表 示正方形Ｄ位于直线ｌ左下方部分的面积，试求∫ ｘ ０Ｓ（ｔ）ｄｔ（ｘ≥０）．

（０）（ｎ≥３）． 六、（本题满分６分） 设函数Ｓ（ｘ）＝∫ ｘ ０ ｃｏｓｔ ｄｔ， （１）当ｎ为正整数，且ｎπ ≤ｘ＜（ｎ＋１）π 时，证明：２ｎ≤Ｓ（ｘ）＜２（ｎ＋１）； （２）求ｌｉｍ ｘ→＋∞ Ｓ（ｘ） ｘ ． 七、（本题满分７分） 某湖泊的水量为Ｖ，每年排入湖泊内含污染物Ａ的污水量为Ｖ ６，流入湖泊内不含Ａ的水量为Ｖ ６，流出 湖泊的水量为Ｖ ３．已知１９９９年底湖中Ａ的含量为５ｍ０，超过国家规定指标．为了治理污染，从２０００ 年初起，限定排入湖泊中含Ａ污水的浓度不超过ｍ０ Ｖ．问至多需经过多少年，湖泊中污染物Ａ的含量 才可降至ｍ０以内？（注：设湖水中Ａ的浓度是均匀的）． 八、（本题满分６分） 设函数ｆ（ｘ）在［０，π］上连续，且∫ π ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，∫ π ０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝０．试证明：在（０，π）内至少存在两 个不同的点ξ１，ξ２，使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０． 九、（本题满分７分） 已知ｆ（ｘ）是周期为５的连续函数，它在ｘ＝０的某个邻域内满足关系式 ｆ（１＋ｓｉｎｘ）－３ｆ（１－ｓｉｎｘ）＝８ｘ＋α（ｘ）， 其中α（ｘ）是当ｘ→０时比ｘ高阶的无穷小，且ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（６，ｆ（６）） 处的切线方程． 十、（本题满分８分） 设曲线ｙ＝ａｘ２（ａ＞０，ｘ≥０）与ｙ＝１－ｘ２交于点Ａ，过坐标原点Ｏ和点Ａ的直线与曲线ｙ＝ａｘ２ 围成一平面图形．问ａ为何值时，该图形绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、（本题满分８分） 函数ｆ（ｘ）在［０，＋∞）上可导，ｆ（０）＝１，且满足等式 ０ ３ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 31 页] --- ｆ′（ｘ）＋ｆ（ｘ）－ １ ｘ＋１∫ ｘ ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０． （１）求导数ｆ′（ｘ）； （２）证明：当ｘ≥０时，不等式ｅ－ｘ≤ｆ（ｘ）≤１成立． 十二、（本题满分６分） 设α ＝ １ ２ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，β ＝ １ １ ２ ０ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ，γ ＝ ０ ０ ８ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，Ａ＝αβＴ，Ｂ＝βＴα，其中βＴ是β 的转置，求解方程 ２Ｂ２Ａ２ｘ＝Ａ４ｘ＋Ｂ４ｘ＋γ． 十三、（本题满分７分） 已知向量组β１＝ ０ １ －１ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，β２＝ ａ ２ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，β３＝ ｂ １ ０ æ è ç ç ö ø ÷ ÷与向量组α１＝ １ ２ －３ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，α２＝ ３ ０ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，α３＝ ９ ６ －７ æ è ç ç ö ø ÷ ÷具有 相同的秩，且β３可由α１，α２，α３线性表示，求ａ，ｂ的值． １ ３ ２０００年真题 --- [第 32 页] --- ２００１年全国硕士研究生招生考试试题

１＋ｘ ｘ２＋ｘ－２ ＝ ． （２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由方程ｅ２ｘ＋ｙ－ｃｏｓ（ｘｙ）＝ｅ－１所确定，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，１）处的法线 方程为 ． （３）∫ π ２ －π ２ （ｘ３＋ｓｉｎ２ｘ）ｃｏｓ２ｘｄｘ＝ ． （４）过点( １ ２，０) 且满足关系式ｙ′ａｒｃｓｉｎｘ＋ ｙ １－ｘ２＝１的曲线方程为 ． （５）设方程组 ａ　１　１ １　ａ　１ １　１　ａ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ｘ１ ｘ２ ｘ３ æ è ç çç ö ø ÷ ÷÷ ＝ １ １ －２ æ è ç ç ö ø ÷ ÷有无穷多解，则ａ＝ ．

≤１， ０，　 ｘ ＞１， { 则ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝等于（　　） （Ａ）０．　　　　　（Ｂ）１．　　　　　（Ｃ）１，　 ｘ ≤１， ０，　 ｘ ＞１． { 　　　　　（Ｄ）０，　 ｘ ≤１， １，　 ｘ ＞１． { （２）设当ｘ→０时，（１－ｃｏｓｘ）ｌｎ（１＋ｘ２）是比ｘｓｉｎｘｎ高阶的无穷小，ｘｓｉｎｘｎ是比ｅｘ２－１高阶的 无穷小，则正整数ｎ等于（　　） （Ａ）１． （Ｂ）２． （Ｃ）３． （Ｄ）４． （３）曲线ｙ＝（ｘ－１）２（ｘ－３）２的拐点个数为（　　） （Ａ）０． （Ｂ）１． （Ｃ）２． （Ｄ）３． （４）已知函数ｆ（ｘ）在区间（１－δ，１＋δ）内具有二阶导数，ｆ′（ｘ）严格单调减少，且ｆ（１）＝ｆ′（１）＝ １，则（　　） （Ａ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＜ｘ． （Ｂ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＞ｘ． （Ｃ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＜ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＞ｘ． （Ｄ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＞ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＜ｘ． （５）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其 导函数ｙ＝ｆ′（ｘ）的图形为（　　） ２ ３ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 33 页] ---

－ｓｉｎｘ，记此极限为ｆ（ｘ），求函数ｆ（ｘ）的间断点并指出其类型．

处的曲率半径，ｓ＝ｓ（ｘ）是该抛物线上介 于点Ａ（１，１）与Ｍ之间的弧长，计算３ρ ｄ２ρ ｄｓ２－ ｄρ ｄｓ ( ) ２ 的值． （在直角坐标系下曲率公式为Ｋ＝ ｙ″ （１＋ｙ′２） ３ ２．） 六、（本题满分７分） 设函数ｆ（ｘ）在［０，＋∞）上可导，ｆ（０）＝０，且其反函数为ｇ（ｘ）．若∫ ｆ（ｘ） ０ ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｘ２ｅｘ，求ｆ（ｘ）． 七、（本题满分７分） 设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆ′（ｘ） ＝ｇ（ｘ），ｇ′（ｘ） ＝２ｅｘ－ｆ（ｘ），且ｆ（０） ＝０，ｇ（０） ＝２，求 ∫ π ０ ｇ（ｘ） １＋ｘ－ ｆ（ｘ） （１＋ｘ）２ [ ]ｄｘ． 八、（本题满分９分） 设Ｌ是一条平面曲线，其上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ＞０）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在ｙ轴 上的截距，且Ｌ经过点( １ ２，０)． （１）试求曲线Ｌ的方程； （２）求Ｌ位于第一象限部分的一条切线，使该切线与Ｌ以及两坐标轴所围图形的面积最小． 九、（本题满分７分） 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积Ｓ成正比，比例常数Ｋ＞０．假设在融化过程 ３ ３ ２００１年真题 --- [第 34 页] --- 中雪堆始终保持半球体状，已知半径为ｒ０的雪堆在开始融化的３小时内，融化了其体积的７ ８，问雪 堆全部融化需要多少小时？ 十、（本题满分８分） 设ｆ（ｘ）在区间［－ａ，ａ］（ａ＞０）上具有二阶连续导数，ｆ（０）＝０． （１）写出ｆ（ｘ）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； （２）证明在［－ａ，ａ］上至少存在一点η，使ａ３ｆ″（η）＝３∫ ａ －ａｆ（ｘ）ｄｘ． 十一、（本题满分６分） 已知矩阵Ａ＝ １　０　０ １　１　０ １　１　１ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，Ｂ＝ ０　１　１ １　０　１ １　１　０ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，且矩阵Ｘ满足ＡＸＡ＋ＢＸＢ＝ＡＸＢ＋ＢＸＡ＋Ｅ，其中 Ｅ是３阶单位矩阵，求Ｘ． 十二、（本题满分６分） 已知α１，α２，α３，α４是线性方程组Ａｘ＝０的一个基础解系，若β１＝α１＋ｔα２，β２＝α２＋ｔα３，β３＝ α３＋ｔα４，β４＝α４＋ｔα１，讨论实数ｔ满足什么关系时，β１，β２，β３，β４也是Ａｘ＝０的一个基础解系． ４ ３ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 35 页] --- ２００２年全国硕士研究生招生考试试题

ａｎｘ ａｒｃｓｉｎｘ ２ ， ｘ＞０， ａｅ２ｘ， ｘ≤０， ì î í ïï ïï 在ｘ＝０处连续，则ａ＝ ． （２）位于曲线ｙ＝ｘｅ－ｘ（０≤ｘ＜＋∞）下方，ｘ轴上方的无界图形的面积是 ． （３）微分方程ｙｙ″ ＋ｙ′２＝０满足初始条件ｙ ｘ＝０＝１，ｙ′ ｘ＝０＝１ ２的特解是 ． （４）ｌｉｍ ｎ→∞ １ ｎ １＋ｃｏｓπ ｎ＋ １＋ｃｏｓ２π ｎ＋… ＋ １＋ｃｏｓｎπ ｎ æ è ç ö ø ÷ ＝ ． （５）矩阵 　０　 －２　 －２ 　２　　２　 －２ －２　 －２　　２ æ è ç ç ö ø ÷ ÷的非零特征值是 ．

（ｘ２），当自变量ｘ在ｘ＝－１处取得增量Δｘ＝－０．１时，相应的函数增 量Δｙ的线性主部为０．１，则ｆ′（１）＝（　　） （Ａ）－１． （Ｂ）０．１． （Ｃ）１． （Ｄ）０．５． （２）设函数ｆ（ｘ）连续，则下列函数中，必为偶函数的是（　　） （Ａ）∫ ｘ ０ｆ（ｔ２）ｄｔ． （Ｂ）∫ ｘ ０ｆ２（ｔ）ｄｔ． （Ｃ）∫ ｘ ０ｔ［ｆ（ｔ）－ｆ（－ｔ）］ｄｔ． （Ｄ）∫ ｘ ０ｔ［ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）］ｄｔ． （３）设ｙ＝ｙ（ｘ）是二阶常系数微分方程ｙ″ ＋ｐｙ′ ＋ｑｙ＝ｅ３ｘ满足初始条件ｙ（０）＝ｙ′（０）＝０的特 解，则当ｘ→０时，函数ｌｎ（１＋ｘ２） ｙ（ｘ） 的极限（　　） （Ａ）不存在． （Ｂ）等于１． （Ｃ）等于２． （Ｄ）等于３． （４）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在（０，＋∞）内有界且可导，则（　　） （Ａ）当ｌｉｍ ｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝０时，必有ｌｉｍ ｘ→＋∞ｆ′（ｘ）＝０． （Ｂ）当ｌｉｍ ｘ→＋∞ｆ′（ｘ）存在时，必有ｌｉｍ ｘ→＋∞ｆ′（ｘ）＝０． （Ｃ）当ｌｉｍ ｘ→０＋ｆ（ｘ）＝０时，必有ｌｉｍ ｘ→０＋ｆ′（ｘ）＝０． （Ｄ）当ｌｉｍ ｘ→０＋ｆ′（ｘ）＝０存在时，必有ｌｉｍ ｘ→０＋ｆ′（ｘ）＝０． （５）设向量组α１，α２，α３线性无关，向量β１可由α１，α２，α３线性表示，而向量β２不能由α１，α２，α３线 性表示，则对于任意常数ｋ，必有（　　） （Ａ）α１，α２，α３，ｋβ１＋β２线性无关． （Ｂ）α１，α２，α３，ｋβ１＋β２线性相关． （Ｃ）α１，α２，α３，β１＋ｋβ２线性无关． （Ｄ）α１，α２，α３，β１＋ｋβ２线性相关． ５ ３ ２００２年真题 --- [第 36 页] ---

π ６处的切线与法线的直角坐标方程．

ｘ＋１）２， ０≤ｘ≤１， ì î í ïï ïï 求函数Ｆ（ｘ）＝∫ ｘ －１ｆ（ｔ）ｄｔ的表达式．

→＋∞ｆ（ｘ）＝１，且满足 ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ｘ＋ｈｘ） ｆ（ｘ） [ ] １ ｈ＝ｅ １ ｘ， 求ｆ（ｘ）． 六、（本题满分７分） 求微分方程ｘｄｙ＋（ｘ－２ｙ）ｄｘ＝０的一个解ｙ＝ｙ（ｘ），使得由曲线ｙ＝ｙ（ｘ）与直线ｘ＝１，ｘ＝２ 以及ｘ轴所围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周的旋转体体积最小． 七、（本题满分７分） 某闸门的形状与大小如图所示，其中直线ｌ为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ， 下部由二次抛物线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩 形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为５∶４，闸门矩形部分的高ｈ 应为多少ｍ（米）？ 八、（本题满分８分） 设０＜ｘ１＜３，ｘｎ＋１＝ ｘｎ（３－ｘｎ）（ｎ＝１，２，…），证明数列｛ｘｎ｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分） 设０＜ａ＜ｂ，证明不等式 ２ａ ａ２＋ｂ２＜ｌｎｂ－ｌｎａ ｂ－ａ ＜ １ ａｂ ． 十、（本题满分８分） 设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０的某邻域内具有二阶连续导数，且ｆ（０）≠０，ｆ′（０）≠０，ｆ″（０）≠０．证明：存 在唯一的一组实数λ１，λ２，λ３，使得当ｈ→０时，λ１ｆ（ｈ）＋λ２ｆ（２ｈ）＋λ３ｆ（３ｈ）－ｆ（０）是比ｈ２高阶 的无穷小． ６ ３ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 37 页] --- 十一、（本题满分６分） 已知Ａ，Ｂ为３阶矩阵，且满足２Ａ－１Ｂ＝Ｂ－４Ｅ，其中Ｅ是３阶单位矩阵． （１）证明：矩阵Ａ－２Ｅ可逆； （２）若Ｂ＝ １ －２ ０ １ ２ ０ ０ ０ ２ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分） 已知４阶方阵Ａ＝（α１，α２，α３，α４），α１，α２，α３，α４均为４维列向量，其中α２，α３，α４线性无关，α１＝ ２α２－α３．如果β ＝α１＋α２＋α３＋α４，求线性方程组Ａｘ＝β 的通解． ７ ３ ２００２年真题 --- [第 38 页] --- ２００３年全国硕士研究生招生考试试题

１ ４－１与ｘｓｉｎｘ是等价无穷小，则ａ＝ ． （２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由方程ｘｙ＋２ｌｎｘ＝ｙ４所确定，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，１）处的切线方程是 ． （３）ｙ＝２ｘ的麦克劳林公式中ｘｎ项的系数是 ． （４）设曲线的极坐标方程为ρ ＝ｅａθ（ａ＞０），则该曲线上相应于θ 从０变到２π 的一段弧与极轴所 围成的图形的面积为 ． （５）设α 为３维列向量，αＴ是α 的转置，若ααＴ＝ １ －１ １ －１ １ －１ １ －１ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，则αＴα ＝ ． （６）设３阶方阵Ａ，Ｂ满足Ａ２Ｂ－Ａ－Ｂ＝Ｅ，其中Ｅ为３阶单位矩阵，若Ａ＝ １ ０ １ ０ ２ ０ －２ ０ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，则 Ｂ ＝ ．

ｎ｝均为非负数列，且ｌｉｍ ｎ→∞ａｎ＝０，ｌｉｍ ｎ→∞ｂｎ＝１，ｌｉｍ ｎ→∞ｃｎ＝∞，则必有（　　） （Ａ）ａｎ＜ｂｎ对任意ｎ成立． （Ｂ）ｂｎ＜ｃｎ对任意ｎ成立． （Ｃ）极限ｌｉｍ ｎ→∞ａｎｃｎ不存在． （Ｄ）极限ｌｉｍ ｎ→∞ｂｎｃｎ不存在． （２）设ａｎ＝３ ２∫ ｎ ｎ＋１ ０ ｘｎ－１ １＋ｘｎｄｘ，则极限ｌｉｍ ｎ→∞ｎａｎ等于（　　） （Ａ）（１＋ｅ） ３ ２＋１．　　 （Ｂ）（１＋ｅ－１） ３ ２－１．　　 （Ｃ）（１＋ｅ－１） ３ ２＋１．　　 （Ｄ）（１＋ｅ） ３ ２－１． （３）已知ｙ＝ ｘ ｌｎｘ是微分方程ｙ′ ＝ｙ ｘ＋φ ｘ ｙ ( )的解，则φ ｘ ｙ ( )的表达式为（　　） （Ａ）－ｙ２ ｘ２． （Ｂ）ｙ２ ｘ２． （Ｃ）－ｘ２ ｙ２． （Ｄ）ｘ２ ｙ２． （４）设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图所示，则 ｆ（ｘ）有（　　） （Ａ）一个极小值点和两个极大值点． （Ｂ）两个极小值点和一个极大值点． （Ｃ）两个极小值点和两个极大值点． （Ｄ）三个极小值点和一个极大值点． （５）设Ｉ１＝∫ π ４ ０ ｔａｎｘ ｘ ｄｘ，Ｉ２＝∫ π ４ ０ ｘ ｔａｎｘｄｘ，则（　　） （Ａ）Ｉ１＞Ｉ２＞１． （Ｂ）１＞Ｉ１＞Ｉ２． （Ｃ）Ｉ２＞Ｉ１＞１． （Ｄ）１＞Ｉ２＞Ｉ１． ８ ３ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 39 页] --- （６）设向量组Ⅰ：α１，α２，… ，αｒ可由向量组Ⅱ：β１，β２，…，βｓ线性表示，则（　　） （Ａ）当ｒ＜ｓ时，向量组Ⅱ必线性相关． （Ｂ）当ｒ＞ｓ时，向量组Ⅱ必线性相关． （Ｃ）当ｒ＜ｓ时，向量组Ⅰ必线性相关． （Ｄ）当ｒ＞ｓ时，向量组Ⅰ必线性相关．

ｘ＜０， ６， ｘ＝０， ｅａｘ＋ｘ２－ａｘ－１ ｘｓｉｎｘ ４ ， ｘ＞０， ì î í ï ï ï ï ï ï 问ａ为何值时，ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续；ａ为何值时， ｘ＝０是ｆ（ｘ）的可去间断点？

ｌｎｔ １ ｅｕ ｕｄｕ， { （ｔ＞１）所确定，求ｄ２ｙ ｄｘ２ ｘ＝９ ．

六、（本题满分１２分） 设函数ｙ＝ｙ（ｘ）在（－∞，＋∞）内具有二阶导数，且ｙ′ ≠０，ｘ＝ｘ（ｙ）是ｙ＝ｙ（ｘ）的反函数． （１）试将ｘ＝ｘ（ｙ）所满足的微分方程ｄ２ｘ ｄｙ２＋（ｙ＋ｓｉｎｘ）ｄｘ ｄｙ ( ) ３ ＝０变换为ｙ＝ｙ（ｘ）满足的微分方程； （２）求变换后的微分方程满足初始条件ｙ（０）＝０，ｙ′（０）＝３ ２的解． 七、（本题满分１２分） 讨论曲线ｙ＝４ｌｎｘ＋ｋ与ｙ＝４ｘ＋ｌｎ４ｘ的交点个数． 八、（本题满分１２分） 设位于第一象限的曲线ｙ＝ｆ（ｘ）过点( ２ ２，１ ２)，其上任一点Ｐ（ｘ，ｙ）处的法线与ｙ轴的交点为Ｑ， 且线段ＰＱ被ｘ轴平分． （１）求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的方程； （２）已知曲线ｙ＝ｓｉｎｘ在［０，π］上的弧长为ｌ，试用ｌ表示曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的弧长ｓ． ９ ３ ２００３年真题 --- [第 40 页] --- 九、（本题满分１０分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线ｘ＝φ（ｙ）（ｙ≥０）绕ｙ轴旋转而成 的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为２ｍ．根据设计要求，当以 ３ｍ３／ｍｉｎ的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πｍ２／ｍｉｎ的 速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）． （１）根据ｔ时刻液面的面积，写出ｔ与φ（ｙ）之间的关系式； （２）求曲线ｘ＝φ（ｙ）的方程． （注：ｍ表示长度单位米，ｍｉｎ表示时间单位分．） 十、（本题满分１０分） 设函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，且ｆ′（ｘ）＞０．若极限ｌｉｍ ｘ→ａ＋ ｆ（２ｘ－ａ） ｘ－ａ 存 在，证明： （１）在（ａ，ｂ）内ｆ（ｘ）＞０； （２）在（ａ，ｂ）内存在点ξ，使ｂ２－ａ２ ∫ ｂ ａｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ２ξ ｆ（ξ）； （３）在（ａ，ｂ）内存在与（２）中ξ 相异的点η，使 ｆ′（η）（ｂ２－ａ２）＝ ２ξ ξ －ａ∫ ｂ ａｆ（ｘ）ｄｘ． 十一、（本题满分１０分） 若矩阵Ａ＝ ２　２　０ ８　２　ａ ０　０　６ æ è ç ç ö ø ÷ ÷相似于对角矩阵Λ，试确定常数ａ的值，并求可逆矩阵Ｐ使Ｐ－１ＡＰ＝Λ． 十二、（本题满分８分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 ｌ１：ａｘ＋２ｂｙ＋３ｃ＝０， ｌ２：ｂｘ＋２ｃｙ＋３ａ＝０， ｌ３：ｃｘ＋２ａｙ＋３ｂ＝０． 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为ａ＋ｂ＋ｃ＝０． ０ ４ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 41 页] --- ２００４年全国硕士研究生招生考试试题

（ｎ－１）ｘ ｎｘ２＋１，则ｆ（ｘ）的间断点为ｘ＝ ． （２）设函数ｙ（ｘ）由参数方程ｘ＝ｔ３＋３ｔ＋１， ｙ＝ｔ３－３ｔ＋１ { 确定，则曲线ｙ＝ｙ（ｘ）向上凸的ｘ的取值范围为 ． （３）∫ ＋∞ １ ｄｘ ｘ ｘ２－１ ＝ ． （４）设函数ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）由方程ｚ＝ｅ２ｘ－３ｚ＋２ｙ确定，则３∂ｚ ∂ｘ＋∂ｚ ∂ｙ＝ ． （５）微分方程（ｙ＋ｘ３）ｄｘ－２ｘｄｙ＝０满足ｙ ｘ＝１＝６ ５的特解为 ． （６）设矩阵Ａ＝ ２　１　０ １　２　０ ０　０　１ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，矩阵Ｂ满足ＡＢＡ∗＝２ＢＡ∗＋Ｅ，其中Ａ∗为Ａ的伴随矩阵，Ｅ是单位 矩阵，则 Ｂ ＝ ．

＝∫ ｘ ０ｃｏｓ（ｔ２）ｄｔ，β ＝∫ ｘ２ ０ｔａｎｔｄｔ，γ ＝∫ ｘ ０ｓｉｎ（ｔ３）ｄｔ排列起来，使排在后 面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（　　） （Ａ）α，β，γ．　　　　 （Ｂ）α，γ，β．　　　　　 （Ｃ）β，α，γ．　　　　　　 （Ｄ）β，γ，α． （８）设ｆ（ｘ）＝ ｘ（１－ｘ） ，则（　　） （Ａ）ｘ＝０是ｆ（ｘ）的极值点，但（０，０）不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点． （Ｂ）ｘ＝０不是ｆ（ｘ）的极值点，但（０，０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点． （Ｃ）ｘ＝０是ｆ（ｘ）的极值点，且（０，０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点． （Ｄ）ｘ＝０不是ｆ（ｘ）的极值点，（０，０）也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点． （９）ｌｉｍ ｎ→∞ｌｎｎ １＋１ ｎ ( ) ２ １＋２ ｎ ( ) ２ … １＋ｎ ｎ ( ) ２ 等于（　　） （Ａ）∫ ２ １ｌｎ２ｘｄｘ． （Ｂ）２∫ ２ １ｌｎｘｄｘ． （Ｃ）２∫ ２ １ｌｎ（１＋ｘ）ｄｘ． （Ｄ）∫ ２ １ｌｎ２（１＋ｘ）ｄｘ． （１０）设函数ｆ（ｘ）连续，且ｆ′（０）＞０，则存在δ ＞０，使得（　　） （Ａ）ｆ（ｘ）在（０，δ）内单调增加． （Ｂ）ｆ（ｘ）在（－δ，０）内单调减少． （Ｃ）对任意的ｘ∈（０，δ）有ｆ（ｘ）＞ｆ（０）． （Ｄ）对任意的ｘ∈（－δ，０）有ｆ（ｘ）＞ｆ（０）． １ ４ ２００４年真题 --- [第 42 页] --- （１１）微分方程ｙ″ ＋ｙ＝ｘ２＋１＋ｓｉｎｘ的特解形式可设为（　　） （Ａ）ｙ∗＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋ｘ（Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ）． （Ｂ）ｙ∗＝ｘ（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ）． （Ｃ）ｙ∗＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋Ａｓｉｎｘ． （Ｄ）ｙ∗＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋Ａｃｏｓｘ． （１２）设函数ｆ（ｕ）连续，区域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ） ｘ２＋ｙ２≤２ｙ｝，则∬ Ｄ　 ｆ（ｘｙ）ｄｘｄｙ等于（　　） （Ａ）∫ １ －１ｄｘ∫ １－ｘ２ － １－ｘ２ｆ（ｘｙ）ｄｙ． （Ｂ）２∫ ２ ０ｄｙ∫ ２ｙ－ｙ２ ０ ｆ（ｘｙ）ｄｘ． （Ｃ）∫ π ０ｄθ∫ ２ｓｉｎθ ０ ｆ（ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ）ｄｒ． （Ｄ）∫ π ０ｄθ∫ ２ｓｉｎθ ０ ｆ（ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ）ｒｄｒ． （１３）设Ａ是３阶方阵，将Ａ的第１列与第２列交换得Ｂ，再把Ｂ的第２列加到第３列得Ｃ，则满足 ＡＱ＝Ｃ的可逆矩阵Ｑ为（　　） （Ａ） ０　１　０ １　０　０ １　０　１ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ．　　　（Ｂ） ０　１　０ １　０　１ ０　０　１ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ．　　　（Ｃ） ０　１　０ １　０　０ ０　１　１ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ．　　　（Ｄ） ０　１　１ １　０　０ ０　０　１ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ． （１４）设Ａ，Ｂ为满足ＡＢ＝Ｏ的任意两个非零矩阵，则必有（　　） （Ａ）Ａ的列向量组线性相关，Ｂ的行向量组线性相关． （Ｂ）Ａ的列向量组线性相关，Ｂ的列向量组线性相关． （Ｃ）Ａ的行向量组线性相关，Ｂ的行向量组线性相关． （Ｄ）Ａ的行向量组线性相关，Ｂ的列向量组线性相关．

５）（本题满分１０分） 求极限ｌｉｍ ｘ→０ １ ｘ３ ２＋ｃｏｓｘ ３ ( ) ｘ －１ [ ]． （１６）（本题满分１０分） 设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内有定义，在区间［０，２］上，ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ２－４），若对任意的ｘ都 满足ｆ（ｘ）＝ｋｆ（ｘ＋２），其中ｋ为常数． （Ⅰ）写出ｆ（ｘ）在［－２，０）上的表达式； （Ⅱ）问ｋ为何值时，ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导． （１７）（本题满分１１分） 设ｆ（ｘ）＝∫ ｘ＋π ２ ｘ ｓｉｎｔ ｄｔ， （Ⅰ）证明ｆ（ｘ）是以π 为周期的周期函数； （Ⅱ）求ｆ（ｘ）的值域． （１８）（本题满分１２分） 曲线ｙ＝ｅｘ＋ｅ－ｘ ２ 与直线ｘ＝０，ｘ＝ｔ（ｔ＞０）及ｙ＝０围成一曲边梯形．该曲边梯形绕ｘ轴旋 转一周得一旋转体，其体积为Ｖ（ｔ），侧面积为Ｓ（ｔ），在ｘ＝ｔ处的底面积为Ｆ（ｔ）． ２ ４ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 43 页] --- （Ⅰ）求Ｓ（ｔ） Ｖ（ｔ）的值； （Ⅱ）计算极限ｌｉｍ ｔ→＋∞ Ｓ（ｔ） Ｆ（ｔ）． （１９）（本题满分１２分） 设ｅ＜ａ＜ｂ＜ｅ２，证明ｌｎ２ｂ－ｌｎ２ａ＞４ ｅ２（ｂ－ａ）． （２０）（本题满分１１分） 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻 力，使飞机迅速减速并停下． 现有一质量为９０００ｋｇ的飞机，着陆时的水平速度为７００ｋｍ／ｈ．经测试，减速伞打开后，飞机 所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为ｋ＝６．０× １０６）．问从着陆点算起，飞机滑行 的最长距离是多少？ 注：ｋｇ表示千克，ｋｍ／ｈ表示千米／小时． （２１）（本题满分１０分） 设ｚ＝ｆ（ｘ２－ｙ２，ｅｘｙ），其中ｆ具有连续二阶偏导数，求∂ｚ ∂ｘ，∂ｚ ∂ｙ，∂２ｚ ∂ｘ∂ｙ． （２２）（本题满分９分） 设有齐次线性方程组 （１＋ａ）ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝０， ２ｘ１＋（２＋ａ）ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝０， ３ｘ１＋３ｘ２＋（３＋ａ）ｘ３＋３ｘ４＝０， ４ｘ１＋４ｘ２＋４ｘ３＋（４＋ａ）ｘ４＝０， ì î í ï ï ï ï 试问ａ取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解． （２３）（本题满分９分） 设矩阵Ａ＝ １ ２ －３ －１ ４ －３ １ ａ ５ æ è ç ç ö ø ÷ ÷的特征方程有一个二重根，求ａ的值，并讨论Ａ是否可相似对角化． ３ ４ ２００４年真题 --- [第 44 页] --- ２００５年全国硕士研究生招生考试试题

则ｄｙ ｘ＝π ＝ ． （２）曲线ｙ＝（１＋ｘ） ３ ２ ｘ 的斜渐近线方程为 ． （３）∫ １ ０ ｘｄｘ （２－ｘ２） １－ｘ２＝ ． （４）微分方程ｘｙ′ ＋２ｙ＝ｘｌｎｘ满足ｙ（１）＝－１ ９的解为 ． （５）当ｘ→０时，α（ｘ）＝ｋｘ２与β（ｘ）＝ １＋ｘａｒｃｓｉｎｘ－ ｃｏｓｘ是等价无穷小量，则ｋ＝ ． （６）设α１，α２，α３均为３维列向量，记矩阵 Ａ＝（α１，α２，α３），　Ｂ＝（α１＋α２＋α３，α１＋２α２＋４α３，α１＋３α２＋９α３）． 如果 Ａ ＝１，那么 Ｂ ＝ ．

→∞ ｎ１＋ ｘ ３ｎ，则ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内（　　） （Ａ）处处可导．　　　　　　　　　　　 （Ｂ）恰有一个不可导点． （Ｃ）恰有两个不可导点． （Ｄ）至少有三个不可导点． （８）设Ｆ（ｘ）是连续函数ｆ（ｘ）的一个原函数，“Ｍ⇔Ｎ” 表示“Ｍ的充分必要条件是Ｎ”，则必有（　　） （Ａ）Ｆ（ｘ）是偶函数⇔ｆ（ｘ）是奇函数． （Ｂ）Ｆ（ｘ）是奇函数⇔ｆ（ｘ）是偶函数． （Ｃ）Ｆ（ｘ）是周期函数⇔ｆ（ｘ）是周期函数． （Ｄ）Ｆ（ｘ）是单调函数⇔ｆ（ｘ）是单调函数． （９）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程ｘ＝ｔ２＋２ｔ， ｙ＝ｌｎ（１＋ｔ） { 确定，则曲线ｙ＝ｙ（ｘ）在ｘ＝３处的法线与ｘ轴 交点的横坐标是（　　） （Ａ）１ ８ｌｎ２＋３．　　 （Ｂ）－１ ８ｌｎ２＋３．　　 （Ｃ）－８ｌｎ２＋３．　　 （Ｄ）８ｌｎ２＋３． （１０）设区域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ） ｘ２＋ｙ２≤４，ｘ≥０，ｙ≥０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数， 则∬ 　Ｄ　 ａ ｆ（ｘ）＋ｂ ｆ（ｙ） ｆ（ｘ）＋ ｆ（ｙ） ｄσ ＝（　　） （Ａ）ａｂπ．　　　 （Ｂ）ａｂ ２π．　　　 （Ｃ）（ａ＋ｂ）π．　　　 （Ｄ）ａ＋ｂ ２ π． （１１）设函数ｕ（ｘ，ｙ）＝φ（ｘ＋ｙ）＋φ（ｘ－ｙ）＋∫ ｘ＋ｙ ｘ－ｙψ（ｔ）ｄｔ，其中函数φ 具有二阶导数，ψ 具有一阶 导数，则必有（　　） ４ ４ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 45 页] --- （Ａ）∂２ｕ ∂ｘ２＝－∂２ｕ ∂ｙ２．　　　（Ｂ）∂２ｕ ∂ｘ２＝∂２ｕ ∂ｙ２．　　　（Ｃ）∂２ｕ ∂ｘ∂ｙ＝∂２ｕ ∂ｙ２．　　　（Ｄ）∂２ｕ ∂ｘ∂ｙ＝∂２ｕ ∂ｘ２． （１２）设函数ｆ（ｘ）＝ １ ｅ ｘ ｘ－１－１ ，则（　　） （Ａ）ｘ＝０，ｘ＝１都是ｆ（ｘ）的第一类间断点． （Ｂ）ｘ＝０，ｘ＝１都是ｆ（ｘ）的第二类间断点． （Ｃ）ｘ＝０是ｆ（ｘ）的第一类间断点，ｘ＝１是ｆ（ｘ）的第二类间断点． （Ｄ）ｘ＝０是ｆ（ｘ）的第二类间断点，ｘ＝１是ｆ（ｘ）的第一类间断点． （１３）设λ１，λ２是矩阵Ａ的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α１，α２，则α１，Ａ（α１＋α２）线 性无关的充分必要条件是（　　） （Ａ）λ１≠０．　　　 （Ｂ）λ２≠０．　　　 （Ｃ）λ１＝０．　　　 （Ｄ）λ２＝０． （１４）设Ａ为ｎ（ｎ≥２）阶可逆矩阵，交换Ａ的第１行与第２行得矩阵Ｂ，Ａ∗，Ｂ∗分别为Ａ，Ｂ的伴 随矩阵，则（　　） （Ａ）交换Ａ∗的第１列与第２列得Ｂ∗． （Ｂ）交换Ａ∗的第１行与第２行得Ｂ∗． （Ｃ）交换Ａ∗的第１列与第２列得－Ｂ∗． （Ｄ）交换Ａ∗的第１行与第２行得－Ｂ∗．

５）（本题满分１１分） 设函数ｆ（ｘ）连续，且ｆ（０）≠０，求极限ｌｉｍ ｘ→０∫ ｘ ０（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ ｘ∫ ｘ ０ｆ（ｘ－ｔ）ｄｔ ． （１６）（本题满分１１分） 如图，Ｃ１和Ｃ２分别是ｙ＝１ ２（１＋ｅｘ）和ｙ＝ｅｘ的图像，过点（０，１） 的曲线Ｃ３是一单调增函数的图像，过Ｃ２上任一点Ｍ（ｘ，ｙ）分别作 垂直于ｘ轴和ｙ轴的直线ｌｘ和ｌｙ．记Ｃ１，Ｃ２与ｌｘ所围图形的面积为 Ｓ１（ｘ）；Ｃ２，Ｃ３与ｌｙ所围图形的面积为Ｓ２（ｙ）．如果总有Ｓ１（ｘ）＝ Ｓ２（ｙ），求曲线Ｃ３的方程ｘ＝φ（ｙ）． （１７）（本题满分１１分） 如图，曲线Ｃ的方程为ｙ＝ｆ（ｘ），点（３，２）是它的一个拐点，直线 ｌ１与ｌ２分别是曲线Ｃ在点（０，０）与（３，２）处的切线，其交点为 （２，４）．设函数ｆ（ｘ）具有三阶连续导数，计算定积分 ∫ ３ ０（ｘ２＋ｘ）ｆ‴（ｘ）ｄｘ． ５ ４ ２００５年真题 --- [第 46 页] --- （１８）（本题满分１２分） 用变量代换ｘ＝ｃｏｓｔ（０＜ｔ＜π）化简微分方程（１－ｘ２）ｙ″ －ｘｙ′ ＋ｙ＝０，并求其满足ｙ ｘ＝０ ＝１， ｙ′ ｘ＝０ ＝２的特解． （１９）（本题满分１２分） 已知函数ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝１．证明： （Ⅰ）存在ξ ∈（０，１），使得ｆ（ξ）＝１－ξ； （Ⅱ）存在两个不同的点η，ζ ∈（０，１），使得ｆ′（η）ｆ′（ζ）＝１． （２０）（本题满分１０分） 已知函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的全微分ｄｚ＝２ｘｄｘ－２ｙｄｙ，并且ｆ（１，１）＝２．求ｆ（ｘ，ｙ）在椭圆域 Ｄ＝ （ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ ４≤１ { } 上的最大值和最小值． （２１）（本题满分９分） 计算二重积分∬ Ｄ　 ｘ２＋ｙ２－１ ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ） ０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝． （２２）（本题满分９分） 确定常数ａ，使向量组α１＝（１，１，ａ）Ｔ，α２＝（１，ａ，１）Ｔ，α３＝（ａ，１，１）Ｔ可由向量组β１＝ （１，１，ａ）Ｔ，β２＝（－２，ａ，４）Ｔ，β３＝（－２，ａ，ａ）Ｔ线性表示，但向量组β１，β２，β３不能由向量 组α１，α２，α３线性表示． （２３）（本题满分９分） 已知３阶矩阵Ａ的第一行是（ａ，ｂ，ｃ），ａ，ｂ，ｃ不全为零，矩阵Ｂ＝ １　２　３ ２　４　６ ３　６　ｋ æ è ç ç ö ø ÷ ÷（ｋ为常数），且 ＡＢ＝Ｏ，求线性方程组Ａｘ＝０的通解． ６ ４ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 47 页] --- ２００６年全国硕士研究生招生考试试题

ｘ－２ｃｏｓｘ的水平渐近线方程为 ． （２）设函数ｆ（ｘ）＝ １ ｘ３∫ ｘ ０ｓｉｎ（ｔ２）ｄｔ， ｘ≠０， ａ， ｘ＝０ { 在ｘ＝０处连续，则ａ＝ ． （３）反常积分∫ ＋∞ ０ ｘｄｘ （１＋ｘ２）２＝ ． （４）微分方程ｙ′ ＝ｙ（１－ｘ） ｘ 的通解是 ． （５）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｙ＝１－ｘｅｙ确定，则ｄｙ ｄｘ ｘ＝０＝ ． （６）设矩阵Ａ＝ ２ １ －１ ２ æ è ç ö ø ÷，Ｅ为２阶单位矩阵，矩阵Ｂ满足ＢＡ＝Ｂ＋２Ｅ，则 Ｂ ＝ ．

导数，且ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＞０，Δｘ为自变量ｘ在点ｘ０处的增量， Δｙ与ｄｙ分别为ｆ（ｘ）在点ｘ０处对应的增量与微分，若Δｘ＞０，则（　　） （Ａ）０＜ｄｙ＜Δｙ．　　 （Ｂ）０＜Δｙ＜ｄｙ．　　 （Ｃ）Δｙ＜ｄｙ＜０．　　 （Ｄ）ｄｙ＜Δｙ＜０． （８）设ｆ（ｘ）是奇函数，除ｘ＝０外处处连续，ｘ＝０是其第一类间断点，则∫ ｘ ０ｆ（ｔ）ｄｔ是（　　） （Ａ）连续的奇函数． （Ｂ）连续的偶函数． （Ｃ）在ｘ＝０间断的奇函数． （Ｄ）在ｘ＝０间断的偶函数． （９）设函数ｇ（ｘ）可微，ｈ（ｘ）＝ｅ１＋ｇ（ｘ），ｈ′（１）＝１，ｇ′（１）＝２，则ｇ（１）等于（　　） （Ａ）ｌｎ３－１． （Ｂ）－ｌｎ３－１． （Ｃ）－ｌｎ２－１． （Ｄ）ｌｎ２－１． （１０）函数ｙ＝Ｃ１ｅｘ＋Ｃ２ｅ－２ｘ＋ｘｅｘ满足的一个微分方程是（　　） （Ａ）ｙ″ －ｙ′ －２ｙ＝３ｘｅｘ． （Ｂ）ｙ″ －ｙ′ －２ｙ＝３ｅｘ． （Ｃ）ｙ″ ＋ｙ′ －２ｙ＝３ｘｅｘ． （Ｄ）ｙ″ ＋ｙ′ －２ｙ＝３ｅｘ． （１１）设ｆ（ｘ，ｙ）为连续函数，则∫ π ４ ０ｄθ∫ １ ０ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ等于（　　） （Ａ）∫ ２ ２ ０ｄｘ∫ １－ｘ２ ｘ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ． （Ｂ）∫ ２ ２ ０ｄｘ∫ １－ｘ２ ０ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ． （Ｃ）∫ ２ ２ ０ｄｙ∫ １－ｙ２ ｙ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ． （Ｄ）∫ ２ ２ ０ｄｙ∫ １－ｙ２ ０ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ． （１２）设ｆ（ｘ，ｙ）与φ（ｘ，ｙ）均为可微函数，且φ′ｙ（ｘ，ｙ）≠０．已知（ｘ０，ｙ０）是ｆ（ｘ，ｙ）在约束条件φ（ｘ，ｙ） ＝０下的一个极值点，下列选项正确的是（　　） （Ａ）若ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）＝０，则ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）＝０． （Ｂ）若ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）＝０，则ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）≠０． （Ｃ）若ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）≠０，则ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）＝０． （Ｄ）若ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）≠０，则ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）≠０． （１３）设α１，α２，…，αｓ均为ｎ维列向量，Ａ是ｍ× ｎ矩阵，下列选项正确的是（　　） （Ａ）若α１，α２，…，αｓ线性相关，则Ａα１，Ａα２，…，Ａαｓ线性相关． （Ｂ）若α１，α２，…，αｓ线性相关，则Ａα１，Ａα２，…，Ａαｓ线性无关． （Ｃ）若α１，α２，…，αｓ线性无关，则Ａα１，Ａα２，…，Ａαｓ线性相关． ７ ４ ２００６年真题 --- [第 48 页] --- （Ｄ）若α１，α２，…，αｓ线性无关，则Ａα１，Ａα２，…，Ａαｓ线性无关． （１４）设Ａ为３阶矩阵，将Ａ的第２行加到第１行得Ｂ，再将Ｂ的第１列的－１倍加到第２列得Ｃ， 记Ｐ＝ １ １ ０ ０ １ ０ ０ ０ １ æ è çç ö ø ÷÷，则（　　） （Ａ）Ｃ＝Ｐ－１ＡＰ． （Ｂ）Ｃ＝ＰＡＰ－１． （Ｃ）Ｃ＝ＰＴＡＰ． （Ｄ）Ｃ＝ＰＡＰＴ．

５）（本题满分１０分） 试确定常数Ａ，Ｂ，Ｃ的值，使得ｅｘ（１＋Ｂｘ＋Ｃｘ２）＝１＋Ａｘ＋ο（ｘ３），其中ο（ｘ３）是当ｘ→０时 比ｘ３高阶的无穷小量． （１６）（本题满分１０分） 求∫ ａｒｃｓｉｎｅｘ ｅｘ ｄｘ． （１７）（本题满分１０分） 设区域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ） ｘ２＋ｙ２≤１，ｘ≥０｝，计算二重积分Ｉ＝∬ Ｄ　 １＋ｘｙ １＋ｘ２＋ｙ２ｄｘｄｙ． （１８）（本题满分１２分） 设数列｛ｘｎ｝满足０＜ｘ１＜π，ｘｎ＋１＝ｓｉｎｘｎ（ｎ＝１，２，…）． （Ⅰ）证明ｌｉｍ ｎ→∞ｘｎ存在，并求该极限；　（Ⅱ）计算ｌｉｍ ｎ→∞ ｘｎ＋１ ｘｎ æ è ç ö ø ÷ １ ｘ２ ｎ． （１９）（本题满分１０分） 证明：当０＜ａ＜ｂ＜π 时，ｂｓｉｎｂ＋２ｃｏｓｂ＋πｂ＞ａｓｉｎａ＋２ｃｏｓａ＋πａ． （２０）（本题满分１２分） 设函数ｆ（ｕ）在（０，＋∞）内具有二阶导数，且ｚ＝ｆ（ ｘ２＋ｙ２）满足等式􀆟２ｚ 􀆟ｘ２＋􀆟２ｚ 􀆟ｙ２＝０． （Ⅰ）验证ｆ″（ｕ）＋ｆ′（ｕ） ｕ ＝０；　（Ⅱ）若ｆ（１）＝０，ｆ′（１）＝１，求函数ｆ（ｕ）的表达式． （２１）（本题满分１２分） 已知曲线Ｌ的方程为ｘ＝ｔ２＋１， ｙ＝４ｔ－ｔ２， { （ｔ≥０）． （Ⅰ）讨论Ｌ的凹凸性； （Ⅱ）过点（－１，０）引Ｌ的切线，求切点（ｘ０，ｙ０），并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与Ｌ（对应于ｘ≤ｘ０的部分）及ｘ轴所围成的平面图形的面积． （２２）（本题满分９分） 已知非齐次线性方程组 ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝－１， ４ｘ１＋３ｘ２＋５ｘ３－ｘ４＝－１， ａｘ１＋ｘ２＋３ｘ３＋ｂｘ４＝１ { 有三个线性无关的解． （Ⅰ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩ｒ（Ａ）＝２；　（Ⅱ）求ａ，ｂ的值及方程组的通解． （２３）（本题满分９分） 设３阶实对称矩阵Ａ的各行元素之和均为３，向量α１＝（－１，２，－１）Ｔ，α２＝（０，－１，１）Ｔ是 线性方程组Ａｘ＝０的两个解． （Ⅰ）求Ａ的特征值与特征向量；　（Ⅱ）求正交矩阵Ｑ和对角矩阵Λ，使得ＱＴＡＱ＝Λ． ８ ４ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 49 页] --- ２００７年全国硕士研究生招生考试试题

无穷小量是（　　） （Ａ）１－ｅｘ． （Ｂ）ｌｎ１＋ｘ １－ ｘ ． （Ｃ） １＋ ｘ－１． （Ｄ）１－ｃｏｓｘ． （２）函数ｆ（ｘ）＝（ｅ １ ｘ＋ｅ）ｔａｎｘ ｘ（ｅ １ ｘ－ｅ） 在［－π，π］上的第一类间断点是ｘ＝（　　） （Ａ）０． （Ｂ）１． （Ｃ）－π ２． （Ｄ）π ２． （３）如图，连续函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［－３，－２］，［２，３］上的图形 分别是直径为１的上、下半圆周，在区间［－２，０］，［０，２］上的 图形分别是直径为２的下、上半圆周．设Ｆ（ｘ）＝∫ ｘ ０ｆ（ｔ）ｄｔ，则 下列结论正确的是（　　） （Ａ）Ｆ（３）＝－３ ４Ｆ（－２）． （Ｂ）Ｆ（３）＝５ ４Ｆ（２）． （Ｃ）Ｆ（－３）＝３ ４Ｆ（２）． （Ｄ）Ｆ（－３）＝－５ ４Ｆ（－２）． （４）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续，下列命题错 ·误 ·的是（　　） （Ａ）若ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（ｘ） ｘ 存在，则ｆ（０）＝０． （Ｂ）若ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ） ｘ 存在，则ｆ（０）＝０． （Ｃ）若ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（ｘ） ｘ 存在，则ｆ′（０）存在． （Ｄ）若ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ） ｘ 存在，则ｆ′（０）存在． （５）曲线ｙ＝１ ｘ＋ｌｎ（１＋ｅｘ）渐近线的条数为（　　） （Ａ）０． （Ｂ）１． （Ｃ）２． （Ｄ）３． （６）设函数ｆ（ｘ）在（０，＋∞）内具有二阶导数，且ｆ″（ｘ）＞０，令ｕｎ＝ｆ（ｎ）（ｎ＝１，２，…），则下列 结论正确的是（　　） （Ａ）若ｕ１＞ｕ２，则｛ｕｎ｝必收敛． （Ｂ）若ｕ１＞ｕ２，则｛ｕｎ｝必发散． （Ｃ）若ｕ１＜ｕ２，则｛ｕｎ｝必收敛． （Ｄ）若ｕ１＜ｕ２，则｛ｕｎ｝必发散． （７）二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在点（０，０）处可微的一个充分条件是（　　） （Ａ） ｌｉｍ （ｘ，ｙ）→（０，０）［ｆ（ｘ，ｙ）－ｆ（０，０）］＝０． （Ｂ）ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（ｘ，０）－ｆ（０，０） ｘ ＝０，且ｌｉｍ ｙ→０ ｆ（０，ｙ）－ｆ（０，０） ｙ ＝０． （Ｃ） ｌｉｍ （ｘ，ｙ）→（０，０） ｆ（ｘ，ｙ）－ｆ（０，０） ｘ２＋ｙ２ ＝０． ９ ４ ２００７年真题 --- [第 50 页] --- （Ｄ）ｌｉｍ ｘ→０［ｆ′ｘ（ｘ，０）－ｆ′ｘ（０，０）］＝０，且ｌｉｍ ｙ→０［ｆ′ｙ（０，ｙ）－ｆ′ｙ（０，０）］＝０． （８）设函数ｆ（ｘ，ｙ）连续，则二次积分∫ π π ２ ｄｘ∫ １ ｓｉｎｘｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ等于（　　） （Ａ）∫ １ ０ｄｙ∫ π π＋ａｒｃｓｉｎｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ． （Ｂ）∫ １ ０ｄｙ∫ π π－ａｒｃｓｉｎｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ． （Ｃ）∫ １ ０ｄｙ∫ π＋ａｒｃｓｉｎｙ π ２ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ． （Ｄ）∫ １ ０ｄｙ∫ π－ａｒｃｓｉｎｙ π ２ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ． （９）设向量组α１，α２，α３线性无关，则下列向量组线性相关 ∙∙∙∙的是（　　） （Ａ）α１－α２，α２－α３，α３－α１． （Ｂ）α１＋α２，α２＋α３，α３＋α１． （Ｃ）α１－２α２，α２－２α３，α３－２α１． （Ｄ）α１＋２α２，α２＋２α３，α３＋２α１． （１０）设矩阵Ａ＝ ２ －１ －１ －１ ２ －１ －１ －１ ２ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ，Ｂ＝ １ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，则Ａ与Ｂ（　　） （Ａ）合同且相似． （Ｂ）合同，但不相似． （Ｃ）不合同，但相似． （Ｄ）既不合同，也不相似．

ａｎｘ－ｓｉｎｘ ｘ３ ＝ ． （１２）曲线ｘ＝ｃｏｓｔ＋ｃｏｓ２ｔ， ｙ＝１＋ｓｉｎｔ { 上对应于ｔ＝π ４的点处的法线斜率为 ． （１３）设函数ｙ＝ １ ２ｘ＋３，则ｙ（ｎ）（０）＝ ． （１４）二阶常系数非齐次线性微分方程ｙ″ －４ｙ′ ＋３ｙ＝２ｅ２ｘ的通解为 ． （１５）设ｆ（ｕ，ｖ）是二元可微函数，ｚ＝ｆ ｙ ｘ，ｘ ｙ ( )，则ｘ􀆟ｚ 􀆟ｘ－ｙ􀆟ｚ 􀆟ｙ＝ ． （１６）设矩阵Ａ＝ ０ １ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ，则Ａ３的秩为 ．

７）（本题满分１０分） 设ｆ（ｘ）是区间０，π ４ [ ]上的单调、可导函数，且满足 ∫ ｆ（ｘ） ０ ｆ－１（ｔ）ｄｔ＝∫ ｘ ０ｔｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ ｓｉｎｔ＋ｃｏｓｔｄｔ， 其中ｆ－１是ｆ的反函数，求ｆ（ｘ）． （１８）（本题满分１１分） 设Ｄ是位于曲线ｙ＝ ｘａ－ｘ ２ａ（ａ＞１，０≤ｘ＜＋∞）下方、ｘ轴上方的无界区域． （Ⅰ）求区域Ｄ绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积Ｖ（ａ）； ０ ５ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 51 页] --- （Ⅱ）当ａ为何值时，Ｖ（ａ）最小？并求此最小值． （１９）（本题满分１０分） 求微分方程ｙ″（ｘ＋ｙ′２）＝ｙ′ 满足初始条件ｙ（１）＝ｙ′（１）＝１的特解． （２０）（本题满分１１分） 已知函数ｆ（ｕ）具有二阶导数，且ｆ′（０）＝１，函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｙ－ｘｅｙ－１＝１所确定．设 ｚ＝ｆ（ｌｎｙ－ｓｉｎｘ），求ｄｚ ｄｘ ｘ＝０，ｄ２ｚ ｄｘ２ ｘ＝０． （２１）（本题满分１１分） 设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内具有二阶导数且存在相等的最大值，ｆ（ａ）＝ ｇ（ａ），ｆ（ｂ）＝ｇ（ｂ），证明：存在ξ ∈（ａ，ｂ），使得ｆ″（ξ）＝ｇ″（ξ）． （２２）（本题满分１１分） 设二元函数 ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｘ２， ｘ ＋ ｙ ≤１， １ ｘ２＋ｙ２， １＜ ｘ ＋ ｙ ≤２， { 计算二重积分∬ Ｄ ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ） ｘ ＋ ｙ ≤２｝． （２３）（本题满分１１分） 设线性方程组 ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０， ｘ１＋２ｘ２＋ａｘ３＝０， ｘ１＋４ｘ２＋ａ２ｘ３＝０， ì î í ïï ïï ① 与方程组 ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＝ａ－１ ② 有公共解，求ａ的值及所有公共解． （２４）（本题满分１１分） 设３阶实对称矩阵Ａ的特征值为λ１＝１，λ２＝２，λ３＝－２，α１＝（１，－１，１）Ｔ是Ａ的属于λ１ 的一个特征向量．记Ｂ＝Ａ５－４Ａ３＋Ｅ，其中Ｅ为３阶单位矩阵． （Ⅰ）验证α１是矩阵Ｂ的特征向量，并求Ｂ的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵Ｂ． １ ５ ２００７年真题 --- [第 52 页] --- ２００８年全国硕士研究生招生考试试题

１）（ｘ－２），则ｆ′（ｘ）的零点个数为（　　） （Ａ）０． （Ｂ）１． （Ｃ）２． （Ｄ）３． （２）如图，曲线段的方程为ｙ＝ｆ（ｘ），函数ｆ（ｘ）在区间［０，ａ］上有连 续的导数，则定积分∫ ａ ０ｘｆ′（ｘ）ｄｘ等于（　　） （Ａ）曲边梯形ＡＢＯＤ的面积． （Ｂ）梯形ＡＢＯＤ的面积． （Ｃ）曲边三角形ＡＣＤ的面积． （Ｄ）三角形ＡＣＤ的面积． （３）在下列微分方程中，以ｙ＝Ｃ１ｅｘ＋Ｃ２ｃｏｓ２ｘ＋Ｃ３ｓｉｎ２ｘ（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３为任意常数）为通解的是 （　　） （Ａ）ｙ‴＋ｙ″ －４ｙ′ －４ｙ＝０． （Ｂ）ｙ‴＋ｙ″ ＋４ｙ′ ＋４ｙ＝０． （Ｃ）ｙ‴－ｙ″ －４ｙ′ ＋４ｙ＝０． （Ｄ）ｙ‴－ｙ″ ＋４ｙ′ －４ｙ＝０． （４）设函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ ｘ ｘ－１ ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有（　　） （Ａ）１个可去间断点，１个跳跃间断点． （Ｂ）１个可去间断点，１个无穷间断点． （Ｃ）２个跳跃间断点． （Ｄ）２个无穷间断点． （５）设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内单调有界，｛ｘｎ｝为数列，下列命题正确的是（　　） （Ａ）若｛ｘｎ｝收敛，则｛ｆ（ｘｎ）｝收敛． （Ｂ）若｛ｘｎ｝单调，则｛ｆ（ｘｎ）｝收敛． （Ｃ）若｛ｆ（ｘｎ）｝收敛，则｛ｘｎ｝收敛． （Ｄ）若｛ｆ（ｘｎ）｝单调，则｛ｘｎ｝收敛． （６）设函数ｆ连续．若Ｆ（ｕ，ｖ）＝∬ Ｄｕｖ ｆ（ｘ２＋ｙ２） ｘ２＋ｙ２ｄｘｄｙ，其中区域Ｄｕｖ为图中 阴影部分，则􀆟Ｆ 􀆟ｕ＝（　　） （Ａ）ｖｆ（ｕ２）． （Ｂ）ｖ ｕｆ（ｕ２）． （Ｃ）ｖｆ（ｕ）． （Ｄ）ｖ ｕｆ（ｕ）． （７）设Ａ为ｎ阶非零矩阵，Ｅ为ｎ阶单位矩阵，若Ａ３＝Ｏ，则（　　） （Ａ）Ｅ－Ａ不可逆，Ｅ＋Ａ不可逆． （Ｂ）Ｅ－Ａ不可逆，Ｅ＋Ａ可逆． （Ｃ）Ｅ－Ａ可逆，Ｅ＋Ａ可逆． （Ｄ）Ｅ－Ａ可逆，Ｅ＋Ａ不可逆． （８）设Ａ＝ １　２ ２　１ æ è ç ö ø ÷，则在实数域上与Ａ合同的矩阵为（　　） （Ａ） －２ １ １ －２ æ è ç ö ø ÷．　　　（Ｂ） ２ －１ －１ ２ æ è ç ö ø ÷．　　　（Ｃ）２ １ １ ２ æ è ç ö ø ÷．　　　（Ｄ） １ －２ －２ １ æ è ç ö ø ÷． ２ ５ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 53 页] ---

ｉｍ ｘ→０ １－ｃｏｓ［ｘｆ（ｘ）］ （ｅｘ２－１）ｆ（ｘ） ＝１，则ｆ（０）＝ ． （１０）微分方程（ｙ＋ｘ２ｅ－ｘ）ｄｘ－ｘｄｙ＝０的通解是ｙ＝ ． （１１）曲线ｓｉｎ（ｘｙ）＋ｌｎ（ｙ－ｘ）＝ｘ在点（０，１）处的切线方程是 ． （１２）曲线ｙ＝（ｘ－５）ｘ ２ ３的拐点坐标为 ． （１３）设ｚ＝ ｙ ｘ ( ) ｘ ｙ，则􀆟ｚ 􀆟ｘ （１，２）＝ ． （１４）设３阶矩阵Ａ的特征值为２，３，λ．若行列式２Ａ ＝－４８，则λ ＝ ．

５）（本题满分９分） 求极限ｌｉｍ ｘ→０ ［ｓｉｎｘ－ｓｉｎ（ｓｉｎｘ）］ｓｉｎｘ ｘ４ ． （１６）（本题满分１０分） 设函数ｙ ＝ ｙ（ｘ）由参数方程 ｘ＝ｘ（ｔ）， ｙ＝∫ ｔ２ ０ｌｎ（１＋ｕ）ｄｕ { 确定，其中ｘ（ｔ）是初值问题 ｄｘ ｄｔ－２ｔｅ－ｘ＝０， ｘ ｔ＝０＝０ { 的解，求ｄ２ｙ ｄｘ２． （１７）（本题满分９分） 计算∫ １ ０ ｘ２ａｒｃｓｉｎｘ １－ｘ２ｄｘ． （１８）（本题满分１１分） 计算∬ Ｄ ｍａｘ｛ｘｙ，１｝ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜０≤ｘ≤２，０≤ｙ≤２｝． （１９）（本题满分１１分） 设ｆ（ｘ）是区间［０，＋∞）上具有连续导数的单调增加函数，且ｆ（０）＝１．对任意的 ｔ∈［０，＋∞），直线ｘ＝０，ｘ＝ｔ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）以及ｘ轴所围成的曲边梯形绕ｘ轴旋转一周 生成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的２倍，求函数ｆ（ｘ）的表达式． （２０）（本题满分１１分） （Ⅰ）证明积分中值定理：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则至少存在一点η ∈［ａ，ｂ］，使 得∫ ｂ ａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（η）（ｂ－ａ）； （Ⅱ）若函数φ（ｘ）具有二阶导数，且满足φ（２）＞φ（１），φ（２）＞∫ ３ ２φ（ｘ）ｄｘ，则至少存在一点 ξ ∈（１，３），使得φ″（ξ）＜０． （２１）（本题满分１１分） 求函数ｕ＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２在约束条件ｚ＝ｘ２＋ｙ２和ｘ＋ｙ＋ｚ＝４下的最大值与最小值． ３ ５ ２００８年真题 --- [第 54 页] --- （２２）（本题满分１２分） 设ｎ元线性方程组Ａｘ＝ｂ，其中 Ａ＝ ２ａ １ ａ２ ２ａ １ ａ２ ２ａ １ ⋱ ⋱ ⋱ ａ２ ２ａ １ ａ２ ２ａ æ è ç ç ç ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ｎ×ｎ ，ｘ＝ ｘ１ ｘ２ ︙ ｘｎ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ，ｂ＝ １ ０ ︙ ０ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ． （Ⅰ）证明行列式 Ａ ＝（ｎ＋１）ａｎ； （Ⅱ）当ａ为何值时，该方程组有唯一解，并求ｘ１； （Ⅲ）当ａ为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解． （２３）（本题满分１０分） 设Ａ为３阶矩阵，α１，α２为Ａ的分别属于特征值－１，１的特征向量，向量α３满足Ａα３＝ α２＋α３． （Ⅰ）证明α１，α２，α３线性无关； （Ⅱ）令Ｐ＝（α１，α２，α３），求Ｐ－１ＡＰ． ４ ５ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 55 页] --- １９８７年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

２（ｘ－１）；ｙ－π ４ ＝－２（ｘ－１）． （３）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使∫ ｂ ａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）成立． （４）ｅ－３． （５）ｆ（ｘ）＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数；１ ２［ｆ（２ｂ）－ｆ（２ａ）］．

２．

略．（可利用导数（二阶导数）的定义和极限的保号性．） 七、当ａ≠０，ｂ≠０时，积分为１ ａｂａｒｃｔａｎ ａ ｂｔａｎｘ ( ) ＋Ｃ；当ａ＝０，ｂ≠０时，积分为１ ｂ２ｔａｎｘ＋Ｃ； 当ａ≠０，ｂ＝０时，积分为－１ ａ２ｃｏｔｘ＋Ｃ．其中的Ｃ均为任意常数． 八、（１）ｙ＝ｘ ２－１ ｘ． （２）ｙ（ｘ）＝（Ｃ１＋Ｃ２ｘ）ｅ－ｘ＋１ ４（ｘ－１）ｅｘ，其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数． 九、选择题 （１）Ｄ．　（２）Ｃ．　（３）Ｂ．　（４）Ｄ． 十、在点 １ ３ ，２ ３ æ è ç ö ø ÷处取得最小面积，最小面积为Ｓ １ ３ æ è ç ö ø ÷ ＝２ ９（２３－３）． ５ ５ 参考答案 --- [第 56 页] --- １９８８年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

５）２（ｅ２＋１）．

＝２． （３）ｙ＝１ ｘ（ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃ），其中Ｃ为任意常数．

区间 （－∞，０）及（２，＋∞） 凸区间 （０，２） 拐点 ０，３ ２ ( )及２，３ ２ ( ) 渐近线 ｙ＝０

的面积之和最小． 六、ｙ＝（１－２ｘ）ｅｘ． 七、当－１≤ｘ＜０时，积分为１ ２（１＋ｘ）２；当ｘ≥０时，积分为１－１ ２（１－ｘ）２． 八、（１）ｆ′（０）． （２）证明略．（可利用ｆ（ｘ）的有界性以及积分估值定理．） ６ ５ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 57 页] --- １９８９年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

．　（６）ａ＝ｂ． （７）ｃｏｔ２ｙｄｘ或者 １ （ｘ＋ｙ）２ｄｘ．

ｎｘ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （３）ｅ２． （４）ｄｙ ｄｘ＝１ ２ｔ；ｄ２ｙ ｄｘ２＝－１＋ｔ２ ４ｔ３． （５）０．

）的单调性．） 七、 单调增加区间 （－２，０） 单调减少区间 （－∞，－２），（０，＋∞） 极值点 －２ 极值 －１ ４ 凹区间 （－３，０），（０，＋∞） 凸区间 （－∞，－３） 拐点 －３，－２ ９ ( ) 渐近线 ｘ＝０和ｙ＝０ 八、当ａ＝－５ ４，ｂ＝３ ２，ｃ＝０时，体积Ｖ最小． ７ ５ 参考答案 --- [第 58 页] --- １９９０年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

ｉｎ１ ｘ＋ｃｏｓ１ ｘ ( )．　（３）４ １５．　（４）＞．　（５）１．

æ è ç ö ø ÷． （４）ｌｎｘ １－ｘ＋ｌｎ １－ｘ ｘ ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （５）１ ２ ｌｎｘ＋ １ ｌｎｘ ( )．

ｘ），并利用ｆ（ｘ）的单调性．） 六、１ ２ｌｎ２ｘ． 七、所求旋转体的体积Ｖ＝π ６． 八、通解为 ｙ＝ （Ｃ１＋Ｃ２ｘ）ｅ－２ｘ＋ １ （ａ＋２）２ｅａｘ， ａ≠－２， (Ｃ１＋Ｃ２ｘ＋１ ２ｘ２)ｅ－２ｘ， ａ＝－２， ì î í ïï ïï 其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数． ８ ５ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 59 页] --- １９９１年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

ö ø ÷．　（３）１．　（４）１ ２．　（５）－１．

３． （３）１ ６． （４）ｘ２ ４－１ ４ｘｓｉｎ２ｘ－１ ８ｃｏｓ２ｘ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （５）ｙ＝ｘ－１ ｘ ｅｘ＋１ ｘ．

，并利用ｆ（ｘ）的单调性．）

六、π ２． 七、当点Ｂ的横坐标为１ ３ｌｎ２－１，点Ｃ的横坐标为１ ２＋１ ３ｌｎ２时，梯形面积最大． 八、π２－２． ９ ５ 参考答案 --- [第 60 页] --- １９９２年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

）１ ２ｅ－１．

２） １ ２＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （４）４（２－１）． （５）ｙ＝Ｃｘ－１ ５ｘ３，（ｘ＞０），ｙ＝Ｃ －ｘ－１ ５ｘ３，（ｘ＜０），其中Ｃ为任意常数．

六、ｌｎ３－１ ２． 七、当ｔ＝１时，Ｓ取最小值，此时ｌ的方程为ｙ＝ｘ ２＋１ ２． 八、证明略．（可利用拉格朗日中值定理．） ０ ６ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 61 页] --- １９９３年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

＋ｙ２）－２ｘｙ ． （３） ０，１ ４ ( )． （４） ２ ｃｏｓｘ ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （５）１ ２（１＋ｘ２）［ｌｎ（１＋ｘ２）－１］．

ｏｓ［ｆ（ｘ２）］－［ｆ′（ｘ２）］２ｓｉｎ［ｆ（ｘ２）］｝． （２）－５０． （３）π ８－１ ４ｌｎ２． （４）１ ２． （５）ｙ＝ｓｉｎｘ－１ ｘ２－１．

． 七、证明略．（可利用ｙ＝ｌｎｘ的单调性，考虑函数ｆ（ｘ）＝（ａ＋ｘ）ｌｎａ－ａｌｎ（ａ＋ｘ），计算ｆ′（ｘ），并 利用ｆ（ｘ）的单调性．） 八、证明略．（可利用拉格朗日中值定理．） １ ６ 参考答案 --- [第 62 页] --- １９９４年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

３ｘ）ｓｉｎ３ｘ． （４）１ ２（ｘ２－１）ｅｘ２＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （５）（ｘ－４）ｙ４＝Ｃｘ，其中Ｃ为任意常数．

（４）１ ８ｔａｎ２ｘ ２＋１ ４ｌｎｔａｎｘ ２ ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （５）证明略．（分别计算Ｄ和Ｄ１．）

，极小值为ｙ＝３． （２）（－∞，０）和（０，＋∞）均为凹区间，无拐点． （３）ｘ＝０为铅直渐近线，ｙ＝ｘ为斜渐近线． （４）如右图． 六、当ａ≠１时，通解为ｙ＝Ｃ１ｃｏｓａｘ＋Ｃ２ｓｉｎａｘ＋ １ ａ２－１ｓｉｎｘ；当ａ＝ １时，通解为ｙ＝Ｃ１ｃｏｓｘ＋Ｃ２ｓｉｎｘ－１ ２ｘｃｏｓｘ，其中Ｃ１，Ｃ２为任意 常数． 七、证明略．（注意到∫ １ ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ λ ０ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫ １ λ ｆ（ｘ）ｄｘ，可利用积分中值定理） 八、Ｖ＝４４８ １５π． ２ ６ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 63 页] --- １９９５年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

２）． （２）ｙ＝－２ｘ＋Ｃ１ｃｏｓｘ＋Ｃ２ｓｉｎｘ，其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数． （３）３ｘ－ｙ－７＝０． （４）１ ２． （５）ｙ＝０．

－ｆ′（ｙ）］３ ． （３）２ｌｎ（ｘ－１）＋ｘ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （４）ｆ′（ｘ）在ｘ＝０处连续． （５）Ｓ＝８． （６）２ ３ｖ０．

点是ｘ＝０．

ｙ″０ ，ｙ０＋１＋ｙ′２ ０ ｙ″０ æ è ç ö ø ÷． 七、２． 八、证明略．（可考虑函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ，计算Ｆ′（ｘ），并证明Ｆ（０）是Ｆ（ｘ）的最小值．） ３ ６ 参考答案 --- [第 64 页] --- １９９６年真题参考答案 （试卷Ⅲ）

２ｘ），其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数． （４）２． （５）ｌｎ２－１ ２．

． （３）ｄ２ｙ ｄｘ２＝４［ｆ′（ｔ２）＋２ｔ２ｆ″（ｔ２）］ ｆ（ｔ２） ． （４）ｆ（ｘ）＝１－２ｘ＋２ｘ２＋… ＋（－１）ｎ２ｘｎ＋（－１）ｎ＋１ ２ｘｎ＋１ （１＋θｘ）ｎ＋２，０＜θ ＜１． （５）ｙ＝１ ３ｘ３－ｘ２＋２ｘ＋Ｃ１＋Ｃ２ｅ－ｘ，其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数． （６）Ｖ＝２ａ２ｂ ３ｔａｎα．

Ｃ，其中Ｃ为任意常数．

６ １２ ， ｘ＞８． ì î í ï ïï ï ïï （２）ｇ（ｘ）在（－∞，＋∞）内处处连续，没有间断点．ｇ（ｘ）的不可导点是ｘ＝０和ｘ＝－１． 六、唯一驻点为ｘ＝１，也是ｙ＝ｙ（ｘ）的极小值点． 七、证明略．（可用反证法．） 八、（１）ｙ（ｘ）＝ｅ－ａｘ∫ ｘ ０ｆ（ｔ）ｅａｔｄｔ． （２）简要证明： ｙ（ｘ） ≤ｅ－ａｘ∫ ｘ ０ ｆ（ｔ） ｅａｔｄｔ≤ｋｅ－ａｘ∫ ｘ ０ｅａｔｄｔ≤ｋ ａｅ－ａｘ（ｅａｘ－１）＝ｋ ａ（１－ｅ－ａｘ），ｘ≥０． ４ ６ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 65 页] --- １９９７年真题参考答案

ａｒｃｓｉｎｘ－２ ２ ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （４）π ８． （５）３．

３）ｅ２ｘｔａｎｘ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （４）ｘｙ２－ｘ２ｙ－ｘ３＝Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （５）ｙ″ －ｙ′ －２ｙ＝ｅｘ－２ｘｅｘ． （６）Ｂ＝ ０ ２ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ．

，其通解为 （ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ＝（１，－１，０）Ｔ＋ｋ（０，１，１）Ｔ，其中ｋ为任意常数．当λ ＝－４ ５时，原方程组无解．

七、φ′（ｘ）＝ ｘｆ（ｘ）－∫ ｘ ０ｆ（ｕ）ｄｕ ｘ２ ， ｘ≠０， Ａ ２， ｘ＝０． ì î í ï ï ï ï φ′（ｘ）在ｘ＝０处连续． 八、记ｘ０＝ａｒｃｃｏｓ２ π ，ｙ０＝ｘ０－π ２ｓｉｎｘ０．当ｋ＜ｙ０或ｋ≥０时，原方程在０，π ２ ( )内没有根；当ｋ＝ ｙ０时，原方程在０，π ２ ( )内有唯一根ｘ０；当ｙ０＜ｋ＜０时，原方程在０，π ２ ( )内恰有两个不同的根． ５ ６ 参考答案 --- [第 66 页] --- １９９８年真题参考答案

ｃｏｔｘ－ｘ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （４）ｘｆ（ｘ２）．　（５）ｙ＝ｘ＋１ ｅ．

４π 是ｆ（ｘ）的第二类间断点（无穷间 断点），ｘ＝３ ４π，７ ４π 是ｆ（ｘ）的可去间断点．

Ｃ２ｓｉｎｘ＋ ｅｘ ５ｃｏｓｘ，其中Ｃ１，Ｃ２为 任意常数． 六、π ２＋ｌｎ（２＋３）． 七、ｙ与ｖ所满足的微分方程为ｍｖｄｖ ｄｙ＝ｍｇ－Ｂρ －ｋｖ． 所求函数关系为ｙ＝－ｍ ｋｖ－ｍ（ｍｇ－Ｂρ） ｋ２ ｌｎｍｇ－Ｂρ －ｋｖ ｍｇ－Ｂρ ． 八、（１）证明略．（考虑函数Ｆ（ｘ）＝－ｘ∫ １ ｘｆ（ｔ）ｄｔ，对Ｆ（ｘ）在区间［０，１］上使用罗尔定理．） （２）证明略．（证明Ｆ′（ｘ）单调．） 九、所求表面积为π ６（１１５－１）． 十、所求曲线方程为ｙ＝ｌｎｃｏｓπ ４－ｘ ( ) ＋１＋１ ２ｌｎ２，－π ４ ＜ｘ＜３π ４． 当ｘ＝π ４时，ｙ取极大值，极大值为ｙ＝１＋１ ２ｌｎ２．函数无极小值． 十一、（１）证明略．（考虑函数ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）－ｘ２，计算ｆ′（ｘ），并利用ｆ（ｘ）的单调性．） （２）证明略．（考虑函数ｆ（ｘ）＝ １ ｌｎ（１＋ｘ）－１ ｘ，ｘ∈（０，１］，计算ｆ′（ｘ），并利用ｆ（ｘ）的单调性．） 十二、Ａ＝ １ ０ ０ ０ －２ １ ０ ０ １ －２ １ ０ ０ １ －２ １ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ． 十三、（１）当ｂ≠２时，β 不能由α１，α２，α３线性表示． （２）当ｂ＝２，ａ≠１时，β 可唯一表示为β ＝－α１＋２α２；当ｂ＝２，ａ＝１时，β 可表示为 －（２ｋ＋１）α１＋（ｋ＋２）α２＋ｋα３，其中ｋ为任意常数． ６ ６ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 67 页] --- １９９９年真题参考答案

）＋４ａｒｃｔａｎｘ－３ ２ ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （４） ３＋１ １２ π． （５）ｙ＝Ｃ１ｅ－２ｘ＋ Ｃ２＋１ ４ｘ ( )ｅ２ｘ，其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数．

为（－∞，１）和（３，＋∞），单调减区间为（１，３），极小值点为ｘ＝３，对应 的极小值为２７ ４． （２）函数的凹区间为（０，１）和（１，＋∞），凸区间为（－∞，０），拐点为（０，０）． （３）ｘ＝１是函数图形的铅直渐近线，ｙ＝ｘ＋２是函数图形的斜渐近线． 八、证明略．（可应用泰勒中值定理，展开到３阶．） 九、所求曲线方程为ｙ＝ｅｘ． 十、证明略．（利用ｆ（ｋ＋１）≤∫ ｋ＋１ ｋ ｆ（ｘ）ｄｘ≤ｆ（ｋ），可得ａｎ≥０，再由ａｎ＋１－ａｎ≤０可知数列｛ａｎ｝单 调减少．由单调有界准则可知数列｛ａｎ｝极限存在） 十一、Ｘ＝１ ４ １ １ ０ ０ １ １ １ ０ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ． 十二、（１）ｐ≠２时，向量组α１，α２，α３，α４线性无关， α ＝２α１＋３ｐ－４ ｐ－２α２＋α３＋１－ｐ ｐ－２α４． （２）当ｐ＝２时，向量组α１，α２，α３，α４线性相关，它的秩为３，α１，α２，α３或α１，α３，α４构成其一 个极大线性无关组． ７ ６ 参考答案 --- [第 68 页] --- ２０００年真题参考答案

２ｘ＋１．　（５） １ ０ ０ ０ －１ ２ ０ ０ ０ －２ ３ ０ ０ ０ －３ ４ æ è ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷÷ ．

３， １＜ｘ≤２， ｘ－１， ｘ＞２． ì î í ï ïï ï ïï

ｏｓｘ是周期函数，可利用∫ ｎπ ０ ｃｏｓｘ ｄｘ＝ｎ∫ π ０ ｃｏｓｘ ｄｘ＝２ｎ．） （２）２ π ． 七、６ｌｎ３年． 八、证明略．（考虑函数Ｆ（ｘ）＝∫ ｘ ０ｆ（ｔ）ｄｔ，找（０，π）内一点ξ，使得Ｆ（ξ）＝０．与Ｆ（０）＝Ｆ（π）＝０相 结合，使用两次罗尔定理．） 九、所求切线方程为２ｘ－ｙ－１２＝０． 十、当ａ＝４时，旋转体体积最大，为３２５ １８７５π． 十一、（１）ｆ′（ｘ）＝－ ｅ－ｘ ｘ＋１． （２）证明略．（考虑函数φ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｅ－ｘ，计算φ′（ｘ），并利用φ（ｘ）的单调性．） 十二、方程的通解为ｋ（１，２，１）Ｔ＋ ０，０，－１ ２ ( ) Ｔ ，其中ｋ为任意常数． 十三、ａ＝１５，ｂ＝５． ８ ６ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 69 页] --- ２００１年真题参考答案

ｒｃｓｉｎｘ＝ｘ－１ ２．　（５）－２．

± ２，…）都是ｆ（ｘ）的无穷间断点．

线Ｌ的方程为ｙ＝１ ４－ｘ２． （２）所求切线为ｙ＝－ ３ ３ｘ＋１ ３． 九、６小时． 十、（１）ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆ′（０）ｘ＋ｆ″（ξ） ２！ ｘ２，其中ξ ∈（０，ｘ）． （２）证明略． 十一、Ｘ＝ １ ２ ５ ０ １ ２ ０ ０ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ． 十二、当ｔ≠± １时，β１，β２，β３，β４是方程组Ａｘ＝０的一个基础解系． ９ ６ 参考答案 --- [第 70 页] --- ２００２年真题参考答案

）４．

ｅｘ＋１＋ｌｎ２－１ ２， ０≤ｘ≤１． ì î í ï ï ïï

证明略．（可用数学归纳法证明数列｛ｘｎ｝有界，再证明数列｛ｘｎ｝单调增，从而由单调有界准则 可知数列极限存在．等式两边求极限解代数方程得ｌｉｍ ｎ→∞ｘｎ＝３ ２．） 九、证明略．（分别证明左右两个不等式．） 十、证明略．（可用洛必达法则） 十一、（１）证明略． （２）Ａ＝ ０ ２ ０ －１ －１ ０ ０ ０ －２ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ． 十二、方程组的通解为ｋ（１，－２，１，０）Ｔ＋（０，３，０，１）Ｔ，其中ｋ为任意常数． ０ ７ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 71 页] --- ２００３年真题参考答案

４ａ（ｅ４πａ－１）．　（５）３．　（６）１ ２．

″ －ｙ＝ｓｉｎｘ． （２）ｙ（ｘ）＝ｅｘ－ｅ－ｘ－１ ２ｓｉｎｘ． 七、当ｋ＜４时，两曲线无交点；当ｋ＝４时，两曲线只有一个交点；当ｋ＞４时，两曲线有两个交点． 八、（１）曲线方程为ｘ２＋２ｙ２＝１． （２）曲线弧长为２ ４ｌ． 九、（１）ｔ＝φ２（ｙ）－４． （２）ｘ＝２ｅ π ６ｙ． 十、（１）证明略．（可证明ｆ（ａ）＝０以及ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）．） （２）证明略．（可利用柯西中值定理．） （３）证明略．（可利用拉格朗日中值定理．） 十一、ａ＝０，Ｐ＝ ０ １ １ ０ ２ －２ １ ０ ０ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，Ｐ－１ＡＰ＝ ６ ６ －２ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ． 十二、证明略．（三条平面直线交于一点等价于联立三条直线方程所得二元一次线性方程组有唯一 解，可利用非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件．） １ ７ 参考答案 --- [第 72 页] --- ２００４年真题参考答案

１ ５ｘ３＋ ｘ．　（６）１ ９．

Ｄ．　（１３）Ｄ．　（１４）Ａ．

（Ⅱ）当ｋ＝－１ ２时，ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导． （１７）（Ⅰ）证明略．（ｆ（ｘ＋π）＝∫ ｘ＋３ ２π ｘ＋π ｓｉｎｔ ｄｔ ｔ＝ｕ＋π 􀪅􀪅􀪅􀪅􀪅∫ ｘ＋π ２ ｘ ｓｉｎ（ｕ＋π） ｄｕ＝∫ ｘ＋π ２ ｘ ｓｉｎｕ ｄｕ ＝ｆ（ｘ）．） （Ⅱ）［２－２，２］． （１８）（Ⅰ）Ｓ（ｔ） Ｖ（ｔ）＝２． （Ⅱ）１． （１９）证明略．（考虑函数φ（ｘ）＝ｌｎ２ｘ－４ ｅ２ｘ，计算φ′（ｘ），并利用φ（ｘ）的单调性．） （２０）１．０５ｋｍ． （２１）􀆟ｚ 􀆟ｘ＝２ｘｆ′１＋ｙｅｘｙｆ′２，􀆟ｚ 􀆟ｙ＝－２ｙｆ′１＋ｘｅｘｙｆ′２， 􀆟２ｚ 􀆟ｘ􀆟ｙ＝－４ｘｙｆ″１１＋２（ｘ２－ｙ２）ｅｘｙｆ″１２＋ｘｙｅ２ｘｙｆ″２２＋ｅｘｙ（１＋ｘｙ）ｆ′２． （２２）当ａ＝０时，方程组有非零解，其通解为ｘ＝ｋ１（－１，１，０，０）Ｔ＋ｋ２（－１，０，１，０）Ｔ＋ ｋ３（－１，０，０，１）Ｔ，其中ｋ１，ｋ２，ｋ３为任意常数． 当ａ＝－１０时，方程组也有非零解，其通解为ｘ＝ｋ（１，２，３，４）Ｔ，其中ｋ为任意常数． （２３）当ａ＝－２和ａ＝－２ ３时，矩阵Ａ有二重特征值，当ａ＝－２时，Ａ可相似对角化，当ａ＝－２ ３ 时，Ａ不可相似对角化． ２ ７ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 73 页] --- ２００５年真题参考答案

３ ｌｎｘ－１ ３ ( ) ．　（５）３ ４．　（６）２．

Ｄ．　（１３）Ｂ．　（１４）Ｃ．

（１７）２０． （１８）ｙ＝２ｘ＋ １－ｘ２． （１９）（Ⅰ）证明略．（考虑函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ－１，可利用介值定理．） （Ⅱ）证明略．（可利用拉格朗日中值定理．） （２０）ｆ（ｘ，ｙ）在椭圆域Ｄ上的最大值为３，最小值为－２． （２１）π ４－１ ３． （２２）ａ＝１． （２３）当ｋ≠９时，ｘ＝ｋ１（１，２，３）Ｔ＋ｋ２（３，６，ｋ）Ｔ，其中ｋ１，ｋ２为任意常数．当ｋ＝９时，若Ａ的 秩为２，则通解为ｘ＝ｋ１（１，２，３）Ｔ，其中ｋ１为任意常数；若Ａ的秩为１，则通解为ｘ＝ ｋ１（－ｂ，ａ，０）Ｔ＋ｋ２（－ｃ，０，ａ）Ｔ，其中ｋ１，ｋ２为任意常数． ３ ７ 参考答案 --- [第 74 页] --- ２００６年真题参考答案

，其中Ｃ为任意常数．　（５）－ｅ．　（６）２．

Ｄ．　（１３）Ａ．　（１４）Ｂ．

ｘ ｅｘ ＋ｌｎ（１－ １－ｅ２ｘ）－ｘ＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． （１７）π ２ｌｎ２． （１８）（Ⅰ）证明略．（可利用数学归纳法证明｛ｘｎ｝单调下降且有界．） （Ⅱ）ｅ－１ ６． （１９）证明略．（考虑函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ＋πｘ，ｘ∈［０，π］，计算ｆ′（ｘ），证明ｆ（ｘ）在［０，π］ 上单调增加．） （２０）（Ⅰ）证明略． （Ⅱ）ｆ（ｕ）＝ｌｎｕ． （２１）（Ⅰ）Ｌ是凸曲线． （Ⅱ）切点为（２，３），切线方程为ｙ＝ｘ＋１． （Ⅲ）７ ３． （２２）（Ⅰ）证明略．（分别证明ｒ（Ａ）≥２和ｒ（Ａ）≤２．） （Ⅱ）ａ＝２，ｂ＝－３，通解为ｘ＝ｋ１（－２，１，１，０）Ｔ＋ｋ２（４，－５，０，１）Ｔ＋（２，－３，０，０）Ｔ， 其中ｋ１，ｋ２为任意常数． （２３）（Ⅰ）Ａ的特征值为０，０，３，对应于特征值０的全体特征向量为ｋ１α１＋ｋ２α２，其中ｋ１，ｋ２为不全 为零的任意常数，对应于特征值３的全体特征向量为ｋ３（１，１，１）Ｔ，其中ｋ３为任意非零常数． （Ⅱ）Ｑ＝ －１ ６ －１ ２ １ ３ ２ ６ ０ １ ３ －１ ６ １ ２ １ ３ æ è ç ç ç ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ，Λ ＝ ０ ０ ３ æ è ç ç ö ø ÷ ÷，Ｑ为正交矩阵，满足ＱＴＡＱ＝Λ． ４ ７ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） --- [第 75 页] --- ２００７年真题参考答案

．　（７）Ｃ．　（８）Ｂ．　（９）Ａ．　（１０）Ｂ．

１ ． （１４）ｙ＝Ｃ１ｅｘ＋Ｃ２ｅ３ｘ－２ｅ２ｘ，其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数． （１５）－２ｙ ｘｆ′１＋２ｘ ｙｆ′２．　（１６）１．

（１８）（Ⅰ）Ｖ＝ πａ２ （ｌｎａ）２． （Ⅱ）ａ＝ｅ为Ｖ（ａ）的最小值点，最小值为πｅ２． （１９）ｙ＝２ ３ｘ ３ ２＋１ ３． （２０）ｄｚ ｄｘ ｘ＝０＝０，ｄ２ｚ ｄｘ２ ｘ＝０＝１． （２１）证明略． （２２）１ ３＋４２ｌｎ（２＋１）． （２３）当ａ＝１时，ｘ＝ｋ（１，０，－１）Ｔ，其中ｋ为任意常数，是方程组①和②的公共解；当ａ＝２时， ｘ＝（０，１，－１）Ｔ是方程组①和②的唯一公共解． （２４）（Ⅰ）矩阵Ｂ的属于特征值－２的特征向量为ｋ１（１，－１，１）Ｔ，其中ｋ１为任意非零常数；矩阵 Ｂ的属于特征值１的特征向量为ｋ２（１，１，０）Ｔ＋ｋ３（－１，０，１）Ｔ，其中ｋ２，ｋ３为不全为零的常 数． （Ⅱ）Ｂ＝ ０ １ －１ １ ０ １ －１ １ ０ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ． ５ ７ 参考答案 --- [第 76 页] --- ２００８年真题参考答案

．　（７）Ｃ．　 （８）Ｄ．

ｘ＋１．　（１２）（－１，－６）． （１３） ２ ２（ｌｎ２－１）．　（１４）－１．

（１８）１９ ４＋ｌｎ２． （１９）ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｅ－ｘ ２ ，ｘ∈［０，＋∞）． （２０）证明略． （２１）最大值７２， 最小值６． （２２）（Ⅰ）证明略． （Ⅱ）ａ≠０时，方程组有唯一解，ｘ１＝ ｎ （ｎ＋１）ａ． （Ⅲ）ａ＝０时，方程组有无穷多解，通解为ｘ＝ｋ（１，０，…，０）Ｔ＋（０，１，０，…，０）Ｔ，其中ｋ 为任意常数． （２３）（Ⅰ）证明略． （Ⅱ） －１ ０ ０ ０ １ １ ０ ０ １ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ． ６ ７ 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）