2017考研数学二答案真题解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

(3) D 解取X,, = 2六，则limsinx,, = limsin纭=O, .. -= .. -= 但limx,, = 2亢#0, 因此选项A是错误的； .. -= 又取x,, =— 1, 则 x,, 十J口勹=O;x,, 十式=O, 即lim(x,, 十J下言丁）=O;lim(x,, 十式）= 0, n-= 但limx. =— 1#0, 于是排除B及C;故应选D. “一。

(4) C 解由题设条件知特征方程为： r 2 — 4r + 8 =O, 特征根山= 2+2口幻= 2-2i. 对于微分方程：y" — 4y 1 +8y =产其特解y1· 可设为： 对=Ae幻 而微分方程：y" -4y'+ 8y = e2x cos2x的特解y{可设为： 对 = x芒(Bcos2x + C sin2x) ,,-= 由二阶常系数非齐次线性微分特解的结构知原方程的特解y 峰为y1· 与y; 之和，即 y * = y ; + y; = A e2 工+xe2 工(Bcos2x+Csin2x). 故应选C.

(5) D o/(x,y) 解因为对于任意的(x,y)都有 >O, 所以函数之=f位，y)关于自变量x是单 a兀 1 0 - 1 ,._ --- [第 2 页] --- 调增函数，从而知 同理由 af(x,y) 切 < O, 得 由（＊）式及（＊＊）式得 f(O,l) < J(l,l) /Cl, 1) < /0 ,0) f (0, 1) < f (1,0) 故应选D.

(6) C (*) (* *) 解 令s,(t),sz(t)表示甲，乙两人的路程，由题意，计时开始时，甲在乙前方lOm,要想在t。时 刻乙追上甲，应有S 1 (t。)— Sz(t。) ＝— 10根据题干图中阴影部分面积数值为10,20,3,可得 t =10时，S I (t) — s 2 (t) = J' 0 [v 1 (t) — Vz(t)]dt = lO. 15 1 Q + f2 5 [ V 1 (t) — Vz (t) ]dt = 10-20= -10. IO t = 25时，S I (t) — Sz (t) = r s 压(t) — Vz(t)]dt 。 = r o 压Ct)-v 2 Ct)]dt+ r s 压(t)-V 2 (t) ] dt 0 10 = 10-20 = — 10. t>25时，s 1 Ct)-s 2 Ct) = 『压(t)-v 2 (t)]dt 。 故应选C.

(7) B = f2 5 压(t)-v 2 (t)]dt十『压(t) -V 2 (t) ] dt 0 25 = — 10+『压(t)-v 2 (t)]dt>-lO. 25 解 由P-'APç[ 1 J可知，应o.应＝五应è,立 所以 A(a1 +a2 +a3) =a 2 + 2a3.

(8) B 解 因为A和B都是上三角矩阵，所以特征值都是1,2,2. 所以，要判别A和B能否相似对角化，只需考察属于2的线性无关的特征向量的个数即可． 对于A,属于2的线性无关的特征向量的个数3— r(2E — A) =3 - 1 = 2. 对千B,属于2的线性无关的特征向量的个数3 -r (2E - B) = 3— 2 = 1. 所以，A可以和C相似，但是B不能． 故应选B. . 0 0 --- [第 3 页] ---

(9) y = x + 2 解 因为a = Y (x) Jim = Jim 工-+00 X x-+= x (1 + arcsin勹 X 2 ＝烟!.,(1 + arcsin习= l b r 2 勹皿(y(x) -ax)=工［叶(1 + arcsin -;) - x] r . 2 I 2 = 1m x• arcs1n —= lffi X• — = 2 工一十= X x-十= X 所以y =ax +b = x +z 为已知曲线的一条斜渐近线； 当 X _.. —～时，同理知斜渐近线仍为y=x + Z: 故应填y=x + Z. 1

(10) - - 8 解 dy .. dy dt cost ＝ ＝ dx dx 1 + e' dt d 2 y d dy dt d dy 1 亡 ＝孟 ． （忑）· 忑 ＝孟 ．（忑）• -= (1 C: S :t) I • l + e' 1 dx :.

(11) 1 dt -sint• (1 + e') - cost• e' (1 + e') 2 sint• (1 + e') + cost• e' (1 + e') 3 sint + (sint + cost)• e' (1 + e') 3 d勺 1 dx 2 ,-o 8 1 ，故应填－—s· 1 1 +e' 解I厂勹:;; dx= f厂lnCl+x)• d(厂十r ) . lnCl+x) += dx += dx 三皿 l+x +o+f。 Cl+x) 2 = f。 Cl+x)2 1 += =- = -(0 —1) = l l+x o 故应填1.

(12) xyeY 解 由题意儿'(x ,y) = ye ,J;cx ,y) = x(l +y)e人 - ------ · - =- - ---- = - ----- -I =- - -I --- [第 4 页] --- 所以有f(x,y )= f 1:cx ,y )dx = f y edx =xyeY +C(y ). 1; (x ,y ) =[xyeY +C(y )]' =x(l + y )e +c'(y ) =x(l + y )e :.c'(y) =O=>C(y ) =C. 因此f(x,y) =xy e+c,又八0,O) =O. 所以C=O. 故f(x ,y) =xye入 故应填xye入

(13) —lncosl 解 由已知二次积分的上、下限可得积分区域D 如右图所示，交换 Y 二次积分的积分次序得： f i dy f i tanx dx = f i dx『尸dy X 。 x = II tanx dx I工dy = I I tanx • y 工dx o X 。 。 X 0 = f :tanxdx =—f1 上d(cosx)=—lnl cosx I 1 。cosx 0 = - In I cosl I= -lncosl (·: cosl>O) 故应填—lncosl. 04) — l 4 1 — 2 1 1 解 设[l 2 a ][1]气[1], 直接解得aš-l. 3 1 — 1 2 2

(15) 解 令x — t =u, 则t =x -u ,dt = — du. lim 『左二e'dt e 工 工 丘e-u du 。 =lim 』 工-o+ J. 尸 x-o+ R 『Fue-"du 。 = lim X千 J =lim 石尸 广伽o+ 3 —石 2 —. 3

(16) 解 因为y =f(e 工，COSX), 所以 dy o/(u ,v) af(u ,v) 工 —= e — SlilX, dx OU av d2 y of(u,v) 0 2 /(u,v) 0 2 /(u,v) 亡 ＝ 如 e 工 ＋（如2 e - a呤V SlllX) e·' y=x X 2 --- [第 5 页] --- -- aJ(u ,v) a勹(u,v) a汀(u,v) 如 cosx - ( 如加 e 工 - av2 smx)smx. 当X =O时，u= e 0 = 1 , v = cosO = 1 , 所以 气 ＝打(1,1)' dx x-0 au d勺 aJo,u a勹(1,1)一句(1,1) 忑 工-o = 如 十 a记 加 ·

(17) 解 " k k " limé k k 1 -= 2ln(1 + -) = limé —ln(1 +— · — k-1 n n "一．气-i n n) n = r X in(l + X) dx 。 1 I 1 I = —x国Cl+x)— —f x2 dx Z o Zol+x 1 1 I 1 ＝了lnZ— 了I。(x — 1+ l + X) dx 1 1 I 1 I ＝了lnZ- 4Cx -1)2 。一了ln(l+ x) J0

(18) 解 由x3 十沪— 3x +3y — 2 =0, 得 3x2 +3y2 y 1 — 3+3y 1=0, 6x + 6y(y 1)2 + 3沪y" + 3y" =0. 在O式中令y'=0得x=— l,x = 1. 当x分别取-1和1时，由x3十沪— 3x +3y — 2=0得y(-1) =O,y(l) =l. 将x=— l,y(— 1)=0及y'(— 1) =O代入＠式得y"(-1)=2. 因为Y I(- 1) = 0 , y 11 (- 1) > Q , 所以y(— 1)=O是Y(x)的极小值． 将x=l,y(l)=l及y'(l)=O代入＠式得y"(l) = — 1. 因为y'(l)=0,y"(l) < o, 所以y(l)=l是y(x)的极大值． f (x)

(19) 解 < I)由题设知f 位）连续且Jim —一－存在，所以f(0) = 0. 义,-o+ X e) ＠ 由lim f(x) o, 所以存在bE (a,l) C (O,l), 使得f(b)=0, 即方程f(x) =0在区间(0,1) 内至少存在一个实根． C II)由C I)知f(O)=f(b) =0, 根据罗尔定理，存在cE (O,b) C (0,1) , 使得 f 1(c) =O. 令F(x)=f(x)厂(x)'由题设知F(x)在区间[O,b]上可导，且 F(O) =O,F(c) =O,F(b) =0. 根据罗尔定理，存在êE CO,c),r; E (c,b), 使得F 1(0 = F 1Cr;) =O, 即名T/是方程 f(x)广(x)+ (f 1(x))2 =O在区间(0'1)内的两个不同实根． --- [第 6 页] ---

(20) 解』(x+l)2dxdy=』(x2+zx +ndxdy. D D D的边界曲线在极坐标系下的方程为r = 2sin0(0’0’11:), 所以 』“ 2dxdy= J: 叫：smO 尸cos2 0dr = 4J 六 sin"0cos2 0d0 = I 亢l — cos20si旷20d0 2 =』I 穴 sin2 20 dB—』』 亢 cos20sin2 20 dB 2 0 2 0 =』I 六 (1 - cos40) d0 4 0
又因为』(2x+ l)dx dy =』2xdx dy + ff dx dy = 0 +六三 D 所以ff (x + l)2dxdy =己 D 4

(21) 解 曲线l:y = y (x)在点P(x,y)的切线方程为 Y-y= y'(X — X). 令X = O得YI'= y — xy'. 曲线l: y = y (x)在点P(x,y)的法线方程为 y'(Y-y) = — x+x. 令Y=O得x p =x + yy'. 由题设知x+yy'= y — xy''整理得 y 一— l I y — X X y = = . y +x y —+1 X 令y dy 一= u,则 du - = u+x — dx dx X l+u 2 du = --dx. l+u X ，代入上述方程并分离变益得 1 两边积分得arctanu+ -ln(l +矿）=-In巨I +c, 2 y 1 即arctan — + —ln(x2+ y2) = C. X 2 因为曲线l过点(1,0)' 所以C = O, 于是曲线l上点的坐标(x,y)满足的方程为 y 1 arctan -+-ln(x2 + y2) = 0. X 2 0 1 --- [第 7 页] ---

(22) 解 C I)由a 3 =a 1 + 2a 2, 知O心心线性相关，故r(A) < 2. 又因为A有3个不同的特征值，所以A至少有2个不为零的特征值，从而r(A)„2. 故r(A) = 2. (Il)由a, +za, 一 : ,…o, 知AU}·· 故［ ＿ 勹J为方程组Ax…O的一个解 又c(A)…z, 所以[ _ zJ为Ax†o的一个基础解系． 因为p‡a, 五+a 尸:[:J. 所以[!]为方程组Ax…p的一个特解 故Ax†p的通解为X… [] +k 2 , 其中k为任意常数． J []

(23) 解 二次型J的矩阵为 2 1 -4 A[ I -I I . 芒三；三勹/—言勹勹: - 6)' 所以特征值为-3,6,0 1 矩阵A 属千特征值儿=-3 的单位特征向量为/J 1 =—(1,-1,l)T ; 岛 属千特征值从=6 的单位特征向量为/Jz =-(-1,Q,l)T ; 迈 属千特征值从=O 的单位特征向量为/J3 =-(1,2,l)T. 岛 1 1 1 岛 迈祁 1 2 故所求的一个正交矩阵为Q=CP1,P2,P 3)=I- 岛 — 1 1 1 瓦 迈 屈 1 r- - l- 0 J6 .