2014考研数学二答案真题解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

1. B + 1 0 0 0 1 1 2 1 2 2 1 0 0 0 ln (1 2 ) (2 ) lim lim 2 lim 0 1 ( ) (1 cos ) 1 2 lim lim ( ) lim 0 2 2 1 0 2 x x x a x x x x x x x x x x x x x                                

2、 C   1 sin 1 sin lim lim 1 1 lim limsin 0 1 sin x x x x y x x x y x k x x y x x y x y x x                  存在斜渐近线

3、 D 举例：      2,

(0) 0

(1) 1 0 (1 ) 1 '' 2 0 f x x f f g x x x x f x g x f x D              令 则在[0,1]区间 又 4．C --- [第 2 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 1 2 2 2 3 2 1 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2(2 4) 8 (2 ) 2 (2 ) 1 " 1 (1 ' ) (1 3 ) 1 (1 3 ) 10 10 10 t t dy t dx t dy dx t t d y t dx t t d y dx y k y R k                        2 ( ) arctan 1 1 f x x x x    .故 2 arctan arctan x x x    . 2 2 2 3 0 0 0 arctan arctan lim lim lim rctan x x x x x x x x x a x x         2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 lim lim 3 3 (1 ) 3 x x x x x x x        . 排除法当 2 0 u B x y     ，因为 2 2 2 2 0 u u x y       ，故 2 2 u A x   与 2 2 u B y   异号. 2 0 AC B   ，函数( , ) u x y 在区域D 内没有极值. 连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D 的边界点取到.

7、 B 解析： --- [第 3 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 2 1 4 1 3 3 2 3 2 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 0 ( 1) 0 0 0 0 0 ( 1) ( 1) ( ) ( ) b a b c d c d a b a b a c d c b d c d a b a b a d c b c d c d a b a b ad bc c d c d a b bc ad c d ad bc                

8、 A 解析： 1 2 3 1 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 +k ) ( ) 0 + + k ) 0 0 +k + +k + 1 0 0 = 0 = 1 = 0 0 0 0 l l k l l l                                                       已知 ， ， 无关 设（ 即 （ 从而 ， 无关 反之，若 ， 无关，不一定有 ， ， 无关 例如， ， ，

9.   1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 3 arctan | [ ( )] 2 5 2 2 2 4 2 8 1 4 x dx dx x x x                  

10. --- [第 4 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/  2 2 ' 2( 1) [0,2] ( ) 2 ( )

(0) 0 0 ( ) 2 [0,2] ( )

(7)

(3) ( 1)

(1) (1 2) 1 f x x x f x x x c f x f c f x x x x f x f f f f                      又 是奇函数 的周期为4 11、解：方程两边对x 求偏导： 2 1 1 （，） 2 2 2 1 1 （，） 2 2 1 1 （，） 2 2 e (2 y ) 2 x 0 1 1 代入x , 解得： 2 2 1 = e +1 两边对y求偏导 e (2z 2 ) 2 0 1 1 代入x , 解得： 2 2 1 1 1 （ ，）e 2 2 = e +1 yz z yz z z z z x x y z x z z y y y y y z z y                         

12. 解：把极坐标方程化为直角坐标方程 令 --- [第 5 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 2 cos cos sin sin sin cos cos sin 1 0 2 2 0 1 2 cos 0 2 sin 2 2 ( ) ( 0) 2 2 2 x r y r dy dy d dx dx d dy dx x y y x y x                                                              则 当 时， 则切线方程为 化简为 13、质心的横坐标： 4 3 2 1 1 2 0 0 1 1 2 3 2 0 0 1 1 2 1 ( x x x ) x (x)dx x( x 2 x 1)dx 4 3 2 11 0 20 1 1 (x)dx ( x 2 x 1)dx ( x x x) 3 0 f f                    14、 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 1 3 2 3 3 3 2 f(x ,x ,x ) x x 2 x x 4 x x (x x ) (x 2 x ) 4 x x 的负惯性指数为1 4-a 0 2 2 a a a f a                --- [第 6 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/

15. 解： 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 (t (e 1) t)dt (t (e 1) t)dt (e 1) 1 lim lim lim lim (e 1 ) 1 1 1 ln(1 ) 1 1 (t ) 1 t 1 1 1 2 lim lim 2 x x t t x x x x x x t x x x x x x x x x x t t e t t x t t                            令 16、 解： 2 2 2 2 ' 1 ' 1 ' 1 ' 0, 1 x y y y x y y y x          令 2 2 2 2 2 ( 1) (1 ) 2 ' '' ( 1) x y x yy y y         2 2 '(1) '( 1) 0 2 ''(1) 0,

(1)

(1) 1 2 ''( 1) 0, ( 1)

(1) 1 y y y y y y y y              又 为极大值 为极小值 2 2 2 2 2 2 3 3 1 ' , ( 1) (1 ) , ( 1) (1 ) 1 1 1 3 3

(2) 0 2 3 x y y dy x dx y dy x dx y y y x x c y c                     下求极值 又 3 3 1 1 2 3 3 3 y y x x      --- [第 7 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 3 3 1 1 1 2

(1)

(1) 1 3 3 3

(1) 1 1, 1 1 2 ( 1) ( 1) 1 0 3 3 3 ( 1) 0 x y y y x y y y                   代入 代入 17、 解：积分区域D 关于y x  对称，利用轮对称行， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin( ) ysin( ) sin( ) ysin( ) 1 2 1 sin( ) 2 D D D D x x y x y dxdy dxdy x y x y x x y x y dxdy x y x y x y dxdy                       2 2 2 0 1 1 2 2 1 1 1 1 sin( ) d cos( ) 2 4 1 1 cos( ) | cos( )d 4 4 1 1 3 2 4 4 d r r r rd r r r r r                  18、 解 ： --- [第 8 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 z cos , z cos (f'' cos ) f''( cos ) cos z ( siny), z [f'' ( siny) cos ] ( ) siny f'' cos z z f'' (4 z cos ) f''( c x x x x x x x x x x x x x x x f e y x y e y e f e e y f e y x f e y e e f y e f y e y e e y e x y e                                                os ) 4 f( cos ) cos 令t cos , f''( ) 4 f( ) '' 4 x x x y e y e y e y t t t y y x             求特征值： 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 4 0 2 (x) 再求非其次特征值。 1 y (ax b) 代入 y - x 4 1 (x) y x 4 y(0)=0= 1 y'(0)=0=x x 4 1 0 16 1 1 2 2 4 16 1 1 1 ( ) 16 16 4 x x x x x y C e C e y y C e C e C C C C C C C C f e e                                                      

19. 解：（I） --- [第 9 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/     1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 '( ) ( ) 0 ( ) , ( ) 0 ( ) ( ) '( ) ( ) 1 0 ( ) 1 '( ) 0 ( ) ( ) 0 , ( ) 0 x a x a h x g t dt h a h x g x h x x a b h x h x g t dt x a h x g x g x h x h x h a x a b h x                        单调不减 当 时， 单调不增又 当 时， （Ⅱ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] '( ) 0 ( ) =0 x a x a g t dt a a x x a a x x x a a a x a p x f u g u du f u du p x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x g x g t dt dt x a a g t dt x f x f x f a g t dt p x p x p a p                                       又 单调增加 单调不减 又（） ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) b a b a g t dt a a b f x g x dx f x dx       即 20、 解： --- [第 10 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 1 2 1 3 2 n 1 1 0 0 1 0 2 2 (x) , (x) f(x) 1 1 (x) (f(x)) 1 2 1 1 1 2 (x) (f(x)) 1 3 1 1 2 用归纳法知：(x) , [0,1] 1 1 1 1 S 1 1 1 1 (1 ) 1 1 1 ln(1 n) 1 1 lim S lim [ ln(1 n n n n x f f x x x x f f x x x x x x f f x x x x f x nx x nx dx dx nx n nx dx n nx n n n n n n                                         ln(1 n) n)] 1 lim 1 n n     

21. 解： 因 2( 1) f y y    则   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( , ) 2 ( ) ( , ) ( 1) (2 ) ( , ) 2 ( ) ( ) 1 ( , ) 2 1 ( , ) 0 2 1 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 (2 ) 2 2 0 2 f x y y y x f y y y y f y y y y y y y f x y y y x f x y x y y x V f x dx f x f x dx x dx x                                                        则 故 22、 解： --- [第 11 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ (A)= 1 2 3 4 0 1 1 1 1 2 0 3               1 3 r r   1 2 3 4 0 1 1 1 0 4 3 1               2 3 4r r    1 2 3 4 0 1 1 1 0 0 1 3               3 2 3 1 3 r r r r     1 2 0 5 0 1 0 2 0 0 1 3              2 1 2r r   1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3             1 4 2 4 3 4 4 4 2 3 x x x x x x x x     1 2 3 4 1 2 3 1 x x c x x                           c 为任意常数 设 B= 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x y z x y z x y z           A 1 2 3 1 1 2 3 4 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 0 3 0 x x x                                A 1 2 3 0 1 0 y y y                 1 2 3 4 0 0 1 1 1 1 1 2 0 3 0                A 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 1 1 1 0 1 1 2 0 3 1 z z z                                即 1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 3 0 0 1 0 4 3 1 0 0 1 1 2 3 4 1 0 0 1 2 0 5 4 12 3 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 2 1 3 1 0 0 1 3 0 0 1 0 0 1 3 1 4 1                                                               1 0 0 1 2 6 -1 0 1 0 -2 -1 -3 1 0 0 1 -3 -1 -4 1           --- [第 12 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 1 2 1 3 4 1 2 2 1 3 1 1 0 x x c x x                                          1 2 2 3 4 1 6 2 3 3 4 1 0 y y c y y                                          1 2 3 3 4 1 1 2 1 3 1 1 0 z z c z z                                         1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 6 1 2 1 2 3 2 1 3 1 3 4 3 1 c c c c c c B c c c c c c                          1 2 3 , , c c c 为任意常数 23、 解： 设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A             0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 n B             1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 n E A n                     所以A 的n 个特征值为 1 2 =n, = =0 n     又因为A 是一个实对称矩阵，所以A 可以相似对角化，且 0 0 n A             ， 1 0 0 1 0 0 2 ( ) 0 0 0 n E B n N               所以B 的n 个特征值为 ’ ’ ’ 1 2 =n, = =0 n     又 0 0 0 -1 0 0 0 -2 0 0 0 0 -n E B   所以r(0 E B) 1   故B 的n-1重特征值0 有n-1个线性无关的特征向量 --- [第 13 页] --- 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 所以B 也可以相似对角化，且 0 0 n B             所以A 与B 相似。