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一、 填空题 (本题满分 20 分，每小题 4 分)
(1) 若
0
,
2
0
),
cos
(sin
)
(
2
x
x
x
x
x
e
x
f
是
)
,
(
上的连续函数，则
(4) 0
x
x
.lim( 1 )tgx
1
.
(5) 4
0
x
e dx
2
2(
1)
e
二、 选择题 (本题满分20 分，每小题4 分)
(1) 1
6
2
1
3
1
)
(
2
3
x
x
x
x
f
的图形在点（0，1）处切线与x 轴交点的坐标是
(A)
(A)
1
(
,0)
6
(B) ( 1,0)
(C)
1
(
,0)
6
(D) (1,0)
(2) 若
)
(x
f
与
)
(x
g
在
)
,
(
上皆可导，且
)
(x
f
〈
)
(x
g
，则必有
(C)
(A)
(
)
(
)
f
x
g
x
(B)
( )
( )
f
x
g x
(C)
0
0
lim
( )
lim ( )
x
x
x
x
f x
g x
(D)
0
0
( )
( )
X
x
f t dt
g t dt
(4) 曲线
)
0
(
sin 2
3
x
x
y
与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转
(B)
(A) 4
3
(B) 4
3
(C)
2
2
3
(D) 2
3
若f(t)=
x
lim t (11)2tx ，则
f t( ) (2 1)
t
e2t
设.f(x)是连续函数，且
1
0
3
,
x
f (t)dt x 则f(7)=
1
12
.
x
若函数y=f(x)有
2
f (x0) 1 ，则当x 0 时，该函x= x0 处的微分dy 是
(B)
(A) 与x 等价的无穷小
(C) 比x 低阶的无穷小
(B) 与x 同阶的无穷小
(D) 比x 高阶的无穷小
(5) 设y f x
( ) 是方程y2y4y 0 的一个解，若
(
f x) 0 ，且f (x0) 0 ，则函数
f x
( ) 在点x0
(A)
(A) 取得极大值
(C) 某个邻域内单调增加
(B) 取得极小值
(D) 某个邻域内单调减少
三、 (本题满分 15 分，每小题 5 分)
(1) 已知f(x)= e
x 2
,f x
( ) =1-x,且 (x) 0.求 (x)并写出它的定义域.
[(x)]2
1
，得 ( )
ln(1
x
x) .
解：由
e
x
由ln(1
x)
0 ，得
x
1
1即x 0 .
所以( )x
ln(1
，其定
x)
义域为(,0).
1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷三）
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而
2
2
(
2
)
(
1)(
1)
xy
xy
y
e
x y
xy
xy
y
e
x y
xy
xy
，
„„4 分
即得
0
0
0
|
2
x
y
e
e
.
„„5 分
(3) 求微分方程
)1
(
1
1
2
x
x
y
x
y
的通解（一般解）.
解：
1
1
2
1
(
1)
dx
dx
x
x
y
e
e
dx
C
x x
„„3 分
2
1
1
1dx
C
x
x
„„4 分
1 arctan x
C
x
，其中C 是任意常数.
„„5 分
四、 (本题满分12 分)
作函数
4
2
6
2
x
x
y
的图形，
并填写下表
单调增加区间
单调减少区间
极值点
极
值
凹
)
( 区间
凸
)
( 区间
拐
点
渐近线
解：
单调增加区间
(
,1)
（1 分）
单调减少区间
(1,
)
（2 分）
极值点
1
（3 分）
极值
2
（4 分）
凹区间
(
,0)
(2,
)
及
（6 分）
凸区间
(0,2)
（7 分）
拐点
3
3
(0, )
(2, )
2
2
及
（9 分）
渐进线
0
y
（10 分）
(2) 已知y 1xexy，求yx 0及yx 0 .
解： 显然x 0 时，y 1.
„„
1 分
(
)
yxexy xyy exy exy(x2yxy1).
„„
2 分
因此
0
0
1
x
y
e
；
„„
3 分
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其图形为：
五、 (本题满分8 分)
将长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.
问这两段铁丝各长为多
少时，正方形与圆形的面积之和为最小？
解： 设圆形的周长为x ，则正方形的周长为a
x
，而两面积之和为
2
2
2
2
4
4
2
16
8
16
a
x
x
a
a
A
x
x
，
„„
3 分
4
0
8
8
a
A
x
（令） ，得
4
a
x
.
„„
5 分
4
0
8
A
.
„„
7 分
故当圆的周长为
4
a
x
时，正方形的周长为
4
4
a
a
x
时，A 之值最小.
„„
8 分
六、(本题满分 10 分)
设函数y=y(x)满足微分方程y3y2y 2ex, 且图形在点(0，1)处的切线与曲线
2
y x x1在该点的切线重合，求函数y y(x).
解：对应齐次方程的通解为
1
2
Y
C e
C e2
x
x .
设原方程的特解为y* Axex,
得A 2.
故原方程通解为
1
2
2
y(x) C ex C e x xe
2
2x .
又已知有公共切线得
0
0
|
1
x
x
y
1, |
y
，
即
1
2
1
2
1,
1
2
c
c
c
c
解得c1
2
1,
c
0 .
所以
(12x)e .
2x
y
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设
)
(x
f
在
)
,
(
上有连续导数，且
M
x
f
m
)
(
.
(1) 求
dt
a
t
f
a
t
f
a
a
a
a
)
(
)
(
4
1
lim
2
0
； (2) 证
m
M
x
f
dt
t
f
a
a
a
)
(
)
(
2
1
)
0
(
a
.
解：(1) 由积分中值定理和微分中值定理有
2
0
1
lim
[ (
)
(
)]
4
a
a
a
f t
a
f t
a dt
a
0
1
lim
[ (
)
(
)]
2
a
f
a
f
a
a
(
)
a
a
„„
2 分
*
*
*
*
0
0
lim
(
)
lim
(
)
( 2
2 )
a
f
f
a
a
a
a
=
(2) 证：由
( )
f x 的有界性及积分估值定理有
„„
5 分
1
( )
2
a
a
m
f t dt
M
a
,
„„
6 分
又
( )
M
f x
m
，
„„
7 分
故有
1
(
)
( )
( )
2
a
a
M
m
f t dt
f x
M
m
a
，
即
1
( )
( )
2
a
a f t dt
f x
M
m
a
.
„„
8 分
七、(本题满分7 分)
dt
t
x
)
设x 1，求 (1
.
1
解：当x
1
0 时，
1
1
(1| |)
(1)
x
x
t dt
t dt
„„
1 分
2
1
1 (1
)
2
x
t
„„
2 分
1 (1
2
x
)2.
„„
3 分
当x 0 时，
0
1
1
0
(1| |)
(1t)
(1)
x
x
t dt
dt
t dt
„„
5 分
2
11 (1x)2.
„„
7 分
八、(本题满分8 分)