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一、 填空题（每小题2 分，满分10 分. 把答案填在题中横线上）
(1) 设
)
1
ln(
ax
y
, 其中a 为非零常数，则
2
2
)
1(
,
1
ax
a
y
ax
a
y
.
(2) 曲线y
arctgx
在横坐标为1 点处的切线方程是
4
2
2
1
x
y
； 法线方程是
4
/)
8
(
2
x
y
.
(3) 积分中值定理的条件是
( )
[ , ]
f x
a b
在闭区间
上连续，结论是
[ , ],
( )
( )(
)
b
a
a b
f x dx
f
b
a
使得
(4) 3
2
(
)
1
n
n
n
lin
e
n
.
(5)
dx
x
f
)
(
c
x
f
)
(
；
b
a
dx
x
f
)
2
(
＝
)
2
(
2
1
)
2
(
2
1
a
f
b
f
.
二、 （本题满分6 分）
求极限
0
1
1
lim(
)
1
x
x
x
e
解：
2
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
lim(
)
lim
lim
lim
lim
1
(
1)
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
x
x
e
x e
x
x
x
.
三、 （本题满分7 分）
设
)
cos
1(
5
)
sin
(
5
t
y
t
t
x
，求
2
2
,
.
dy d y
dx dx
解：因
5sin ,
5 5cos
dy
dx
t
t
dt
dt
，
5
sin )
sin
5(1 cos
1 cos
dy
t
t
dx
t
t
（0+
）
，故
t
t
dx
dy
cos
1
sin
，
且
2
2
2
sin
1
(
)
1 cos
5(1 cos )
d y
d
t
dt
dx
dt
t
dx
t
四、 （本题满分8 分）
计算定积分
1
0
arcsin xdx
x
.
解
：
2
2
1
1
1
2
1
0
2
2
0
0
0
1
1
1
arcsin
arcsin
2
2
4
2
1
1
x
x
x
xdx
x
x
dx
dx
x
x
，
1987 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答
数 学（试卷Ⅲ）
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令
sin
x
t
，有
2
2
1
2
2
0
0
sin
cos
cos
4
1
x
t
dx
tdt
t
x
，因此
1
0
1
arcsin
4
2 4
8
x
xdx
.
五、 （本题满分8 分）
设D 是曲线
sin
1
y
x
与三条直线
0
x
,
x
,
0
y
围成的曲边梯形.求D 绕x 轴旋
转一周所生成的旋转体的体积.
解：
2
2
0
3
(sin
1)
4
2
V
x
dx
.
六、证明题（本题满分10 分）
(1) （5 分）若( )
f x 在( , )
a b 内可导，且导数
)
(x
f
恒大于零，则( )
f x 在( , )
a b 内单调增加.
证：
1
2
,
( , )
x x
a b
，不妨设
1
2
x
x
，则( )
f x 在
1
2
[
,
]
x x
上连续，在
1
2
( ,
)
x x
内可导，
故由拉格朗日中值定理，
1
2
( ,
)
( , )
x x
a b
，使得
2
1
2
1
(
)
( )
( )(
)
f x
f x
f
x
x
.
由于
)
(x
f
在( , )
a b 内恒大于零，所以
( )
0
f
，又
2
1
0
x
x
，因此
2
1
(
)
(
)
0
f x
f x
，
即
2
1
(
)
( )
f x
f x
，表明( )
f x 在( , )
a b 内单调增加.
(2) （5 分）若( )
g x 在x
c
处二阶导数存在，且
0
)
(
c
g
,
0
)
(
c
g
，则( )
g c 为( )
g x
的一个极大值.
证：因
( )
( )
( )
lim
0
x
c
g x
g c
g c
x
c
，而
0
)
(
c
g
，故
( )
lim
0
x
c
g x
x
c
.由极限的保号性，
0
，当
(
, )
x
c
c
时，有
( )
0
g x
x
c
，即
( )
0
g x
，从而( )
g x 在(
, )
c
c
单增；
当
( ,
)
x
c c
时，有
( )
0
g x
x
c
，即
( )
0
g x
，从而( )
g x 在(
, )
c
c
单减.
又由
0
)
(
c
g
知，x
c
是( )
g x 的驻点，因此( )
g c 为( )
g x 的一个极大值.
七、（本题满分10 分）
计算不定积分
x
b
x
a
dx
2
2
2
2
cos
sin
( 其中,a b 为不全为零的非负数 )
解：① 当
0
a
时，原式=
2
2
2
1
1
sec
tan
xdx
x
c
b
b
；
②当
0
b
时， 原式=
2
2
2
1
1
c
cot
cs
xdx
x
c
a
a
；
③当
0
ab
时，原式=
2
2
2
2
2
(
tan )
sec
1
1 arctan(
tan )
tan
(
tan )
1
a
d
x
xdx
a
b
x
c
a
a
x
b
ab
ab
b
x
b
.
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八、（本题满分15 分）
(1) （7 分）求微分方程
y
x
dx
dy
x
，满足条件
0
|
2
x
y
的解．
解：原方程即
1
1
dy
y
dx
x
，故其通解为
1
1
2
1 1
(
)
(
)
2
dx
dx
x
x
y
e
e
dx
c
x
c
x
.
因
0
|
2
x
y
，所以
1
c .于是所求初值问题的解为
x
x
y
1
2
.
(2) （8 分）求微分方程
xe
x
y
y
y
2
的通解.
解：由特征方程
2
2
1
0
r
r
，知其特征根根为1,2
1
r
.
故对应齐次方程的通解为
1
2
(
)
x
y
C
C x e
，其中
1
2
,
C C 为任意常数.
设原方程的特解为
*( )
(
)
x
y x
e ax
b
，代入原方程可得a 1
4
，b 1
4
. 因此，原方程的通解为
*
2
1
2
( )
(
)
x
y x
y
y
C
C x e
1
4
(
1)
x
x
e
.
九、选择题（每小题4 分，满分16 分）
(1) .
x
e
x
x
x
f
x
-
,
sin
)
(
cos
是
（D）
（A）有界函数
（B）单调函数
（C）周期函数
（D）偶函数
(2) . 函数
( )
sin
f x
x
x
(D)
（A）当
x
时为无穷大
（B）当
x
时有极限
（C）在
)
,
(
内有界
（D）在
)
,
(
内无界
(3) 设
( )
f x 在x
a
处可导，则
x
x
a
f
x
a
f
x
)
(
)
(
lim
0
等于
(B)
（B）
)
(
2
a
f
（C）0
（D）
)
2
( a
f
在第一象限内，求曲线
1
2
x
y
上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成
的面积为最小，并求此最小面积.
解：设切点的横坐标为a ，则切线方程为
2
(1
)
2 (
)
y
a
a x a
，即
2
2
1
y
ax
a
故所围面积
2
3
1
2
2
0
1
1
1
2
(
1)
(
1)
2
2
4
2
4
3
a
a
a
s
a
x
dx
a
a
. 令
0
s
得驻点a
3
3
. 由于
3/3
0
a
s
，故所求点的坐标为
3 2
(
, )
3
3
，其最小值为
3/3
a
s
4
2
3
9
3
.
（A）f (a)
十、（本题满分 10 分）
(4) 设.A 为n 阶方阵, 且
A
a 0, 而A* 是A 的伴随矩阵，则
*
A =
(C)
(A)
a
(B)
1/ a
(C)
n1
a
(D)
n
a