--- [第 1 页] ---
2021 研究生入学考试考研数学试卷（数学二）
一、 选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50 分．下列每题给出的四个选项中，
只
有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上．
1. 是
的
（A）低阶无穷小
（B）等价阶无穷小
（C）高阶无穷小
（D）同阶但非等价无穷小
2. 在
处
（A）连续且取得极大值
（B）连续且取得极小值
（C）可导且导数为零
（D）可导且导数不为零
3. 有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为
，
，当底面半径为
，高为
时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 函数
有2 个零点，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
5. 设函数
在
处的2 次泰勒多项式为
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
6. 设函数
可微且
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
7. 设函数
在区间
上连续，则
--- [第 2 页] ---
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 二次型
的正惯性指数和负惯性指数分
别为
（A）2，0
（B）1，1
（C）2，1
（D）1，2
9. 设3 阶矩阵
，若向量组
可以由向量组
线性表示出，则
（A）
的解均为
解
（B）
的解均为
解
（C）
的解均为
解
（D）
的解均为
解
10. 已知矩阵
，若三角可逆矩阵
和上三角可逆矩阵
，使得
为
对角矩阵，则
、
分别取
（A）
（B）
（C）
（D）
二、 填空题：11～16 小题，每小题5 分，共30 分．请将答案写在答题纸
．．．指
12. 设函数
由参数方程
确定，则
．
--- [第 3 页] ---
三、 解答题：17～22 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
19. 设函数
满足
，
为曲线
. 记
的长
度为
，
绕
轴旋转的旋转曲面的面积为
，求
和
.
20. 是微分方程
满足
的解.
（1）求
；
（2）设
为曲线
上的一点，记
处法线在
轴上的截距为
.
最小时，求
的
坐标.
21. 设
由曲线
与
轴围城，求
.
--- [第 4 页] ---
22. 设矩阵
仅有两个不同特征值，若
相似于对角矩阵.求
.求逆矩阵
，使得
.