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数学试题及解析
第1页（共3 页）
一、 选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50
2025考研数学（三）真题
分．下
列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目
要求的．
1. 在
0
x
时，下列无穷小量中与x 等价的是
A.
-sin
e
1
x .
B.
1
cos
x
x
.
C.1 cos
2x
.
D.
ln 1
1
x
x
.
1．【答案】C
【解析】
sin
e
1~
sin
~
x
x
x
A 不对.
1
1
cos
~ 2
x
x
x
B 不对.
2
1
1 cos
2
~
( 2 )
2
x
x
C 对.
2
2
ln(1
)
2
1
1
x
x
o x
x
x
x
( )
2
x
o x
D 不对.
2. 已知函数
2
0 e sin d
x
t
f x
t t
，
2
2
0 e d sin
x
t
g x
t
x
，则
A．
0
x
是
f x 的极值点，也是
g x 的极值点．
B．
0
x
是
f x 的极值点，
0,0 是曲线
y
g x
的拐点．
C．
0
x
是
f x 的极值点，
0,0 是曲线
y
f x
的拐点．
D．
0,0 是曲线
y
f x
的拐点，
0,0 也是曲线
y
g x
的拐点．
【答案】B
【解析】
2
2
2
( )
sin ,
( )
2
sin
cos
x
x
x
f
x
e
x f
x
xe
x
e
x
(0) 1
0
f
f
.
0
x
是
( )
f x
的极值点.
2
2
2
0
( )
sin
sin 2
x
x
t
g x
e
x
x
e dt
,
--- [第 2 页] ---
数学试题
第2页（共3 页）
2
2
2
2
2
0
( )
sin 2
2
sin
sin 2
2cos2
x
x
x
x
t
g
x
e
x
xe
x
xe
x
e dt
(0) 0
g
g
g
.
(0,0) 是
( )
y
g x
的拐点.
3. 已知k 为常数，则级数
2
1
1
1
ln 1
n
n
k
n
n
A.绝对收敛.
B.条件收敛.
C.发散.
D.敛散性与k 的取值有关.
3．【答案】B
【解析】
当
0
k
时,
1
1
( 1)n
n
n
条件收敛
当
0
k
时，原级数为
2
1
1
1
( 1)
( 1) ln 1
n
n
n
n
k
n
n
为条件收敛十绝对收敛
故原级数条件收敛
4. 设函数
f x 连续，
1
0
0
d
d
y
y
f x
x
A.
1
0
d
xf x
x
.
B.
1
0
1
d
x
f x
x
.
C.
1
0
1
d
x
f x
x
.
D.
1
0 1
d
x f x
x
.
4．【答案】D
【解析】
1
0
0
( )
y
dy
f x dx
1
1
1
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
y
y
f x dxdy
y
f x dx
y f x dy
1
1
0
0
( )
( )
f x dx
y f y dy
1
1
1
0
0
0
( )
( )
(1
) ( )
f x dx
x f x dx
x f x dx
5. A 是m n
矩阵，是m 维非零列向量，若A 有k 阶非零子式，则
A. 当k
m
时，
Ax
有解.
B. 当k
m
时，
Ax
无解.
C. 当k
m
时，
Ax
有解.
D. 当k
m
时，
Ax
无解.
--- [第 3 页] ---
数学试题
第3页（共3 页）
5．【答案】A
【解析】
( )
r A
k
若k
m
. 则( )
( , )
r A
m
r A B
m
故( )
( ,
)
r A
r A
m
,则Ax
有解
6. 设A 为3 阶矩阵，则“
3
2
A
A
”可对角化是“ A 可对角化”的（）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6．【答案】B
【解析】
令
2
3
( )
f
A
A
A ,
若A 可对角化，则A 中有n 个线性无关的特征向量，故
( )
f A 有n 个线性无关的特征向量，故
( )
f A 可
对角化；若
( )
f A 可对角化，取
0
0
1
0
0
0 ,
( )
0
0
0
f
A
A 可对角化，A 不可对角化.综上为必要不充分条件，
选B。
7. 设矩阵
1
2
2
a
A
，
1
0
1
a
B
，若
f
x,y
xA
yB
是正定二次型，则a 的取值范围是（
）
A.
0 2
3
,
B.
2
3 2
3
,
C.
2
3 4,
D.
0 4,
7．【答案】B
【解析】
2
2
2
2
2
4
1
( , )
2
4
(4
)
2
( , )
1
a
x
f x y
a x
y
xy
x
a x
ay
xy
x y
a
y
--- [第 4 页] ---
数学试题
第4页（共3 页）
1
4
0
4
4
1
0
2
3
2
3
a
a
a
a
a
，得
(2
3,2
3)
a
.选B
8. 设随机变量X 服从正态分布
11
N
,
，Y 服从正态分布
1 2
N
,
，若X 与
2
X
Y
不相关，则X 与X
Y
的相关系数为（
）
A. 1
3
B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
8．【答案】D
【解析】
Cov(
,
2 )
Cov(
,
)
2Cov(
, )
0
X X
Y
X X
X Y
2Cov(
, )
0
DX
X Y
1
1
Cov(
, )
2
2
X Y
DX
1
3
Cov(
,
)
Cov(
,
)
Cov(
, )
Cov(
, )
1
2
2
X X
Y
X X
X Y
DX
X Y
1
(
)
2Cov(
, )
1
2
2
4
2
D X
Y
DX
DY
X Y
,
3
3
2
1
2 1
4
X X Y
DX
.
9. 设
1
2
20
,
,
,
X
X
X
是来自总体
1,0.1
B
的简单随机样本.令
20
1
i
i
T
X
，利用泊松分布近似表示二项分布
的方法可得
1
P T
A．
2
1
e
．
B．
2
2
e
．
C．
2
3
e
．
D．
2
4
e
．
9．【答案】C
--- [第 5 页] ---
数学试题
第5页（共3 页）
【解析】
由题意。可知
~
(20.0.1),
20 0.1
2
T
B
np
{
1}
{
0}
{
1}
p T
p T
T
0
1
2
2
2
2
2
2
2
3
2
0!
1!
e
e
e
e
e
10. 设总体X 的分布函数为
F x ，
1
2
n
x ,x ,
,x
为来自总体X 的简单随机样本，样本的经验分布函数为
n
F
x
，对于给定的X
0
1
F x
，
n
D F
x
（
）
A.
1
F x
F x
B.
2
F x
C.
1
1
F x
F x
n
D.
2
1 F x
n
10．【答案】C
【解析】
( )
A
F
x 为样本中
ix
x
发的概率。
1
( )
.
( ) ~
[1. ( )]
0
i
i
i
i
x
x
I x
Z x
B
F x
x
x
2
1
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )[1
( )]
n
n
n
i
n
i
i
i
i
F x
I x D F x
D
Z x
nDZ x
F x
F x
n
n
n
n
二、 填空题：11～16 小题，每小题5 分，共30 分．
11. 设
x
g
是函数
1
3
ln
2
3
x
f x
x
的反函数，则曲线
y
g x
的渐近线方程为______.
【答案】
3
y
【解析】
令
2
2
1
3
3
ln
2
ln
2
3
3
3
6
1
3
3
6
3
1
y
y
x
x
y
y
x
x
x
e
x
x
x
e
+
+
=
Þ
=
-
-
+
Þ
=
=
-
-
-
Þ
=
-
+
--- [第 6 页] ---
数学试题
第6页（共3 页）
2
6
)
3
1
y
g x
e
（
=
-
+
，lim
)
3. x
x
g x
g x
（
（
=
= -
故
)
y
g x
（
=
渐进线方程为
3
y
12．设
1
ln 2
2
a
dx
x
x
a
，则a ______.
【答案】2
【解析】
1
1
1
2
ln
ln 2
2
2
x
dx
x
x
a
x
a
,解得
2. a
13．微分方程
'
2
0
x
xy
y
x e
满足条件
1
y
e
的解为y ______.
【答案】
x
y
xe
= -
【解析】
2
1
1
0
[
(
)
)
(
)
x
x
dx
dx
x
x
x
x
y
xy
y
x e
y
xe
x
y
e
e
xe dx
C
x e
C
-
-
+
=
Þ
-
= -
Þ
=
-
+
= -
+
ò
代入(1)
,
C
0
y
e 得
= -
=
x
y
xe
故解= -
14．已知函数
,
z
z x y
由
2
ln
e
d
1
x
x
y
z
z
x
t
确定，则
2
2
1,1
z
x
______.
【答案】
2
1 e
8
【解析】
2
2
1
(1,1,1)
(1,1,1)
e
d
e
e
|
|
,
1
2
1
x
t
x
y
t
x
z
x
z
2
2
2
2
2
2
(1,1,1)
(1,1,1)
2
2
1
1
2e
e
( 2 ) (1
)
(
e
d
e
)
|
|
1
(1
)
x
x
x
t
x
y
z
x
x
t
x
z
z
z
x
x
z
1
1
2
e
e
e
2
. 4
8
--- [第 7 页] ---
数学试题
第7页（共3 页）
15．已知
2
1
3
2
1
1
2
3
4
2
2
1
2
2
1
1
2
4
4
2
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
，
2
1
1
2
1
3
5
1
2
4
3
0
1
2
1
2
2
2
4
4
x
x
x
x
g x
x
x
x
，则方程
f x
g x
的不
同的根的个数为______.
【答案】2
【解析】
2
1
2
1
1
( )
2
4
2
0
0
0
0
x
x
f x
x
x
，( )
( 8
2)
0
g x
x
x
,可得两个根
1
2
1 ,
0
4
x
x
.
16．设A , B , C 为三个随机事件，且A 与B 相互独立，B 与C 相互独立，A 与C 互不相容，已知
1
4
P A
P C
，
1
2
P B
，则在事件A , B ,C 至少有一个发生的事件下，A , B ,C 中恰有一个发生的
概率为______.
【答案】1
3
【解析】
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
P A
B
C
P A
P B
P C
P AB
P BC
1
1
1
1
1
3
( )
( )
( )
( ) ( )
(
) ( )
4
2
4
8
8
4
p A
p B
p c
p A p B
p D p c
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P ABC
p ABC
P ABC
P AB
p BC
1
( ) ( )
( ) ( )
4
P A P B
P B P C
1
1
4
3
3
4
P
三、 解答题：17～22 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10 分）计算
1
2
0
1
d .
1
2
2
x
x
x
x
17．解：
1
1
2
2
0
0
1
1
2
2
(
1)
2
2
A
Bx
C
dx
dx
x
x
x
x
x
x
--- [第 8 页] ---
数学试题
第8页（共3 页）
1
2
0
1
1
3
5
3
5
1
2
2
x
dx
x
x
x
1
1
1
2
0
0
0
2
3
1
ln 2
π
1
1
ln |1
|
ln
2
2
a
0
rctan(
1)
5
10
5
10
x
x
x
x
.
18．（本题满分12 分）
设函数
f x 在
0
x
处连续,且
2sin
0
e
1
lim
3. ln 1
ln 1
x
x
xf
x
x
x
证明：
f x 在
0
x
处可导,并求
0 .
f
18 解：
已知
2
2
2
2
2
2
1
1
ln(1
)
ln(1
)
2
2
x
x
x
x
o x
x
x
o x
x
o x
2sin
2
2
2
2
1
1
2sin
(2sin )
1
2sin
2sin
2
x
e
x
x
o x
x
x
o x
因此，
2
2
2sin
2
2
0
0
( )
1
2sin
2sin
1
( )
1
3
lim
lim
x
x
x
xf x
x
x
o x
xf x
e
x
x
2
2
2
0
0
( )
2sin
2sin
lim
lim
x
x
xf x
x
x
x
x
可以得出
2
0
( )
2sin
lim
5
x
xf x
x
x
，
3
3
2
0
1
( )
2
6
lim
5
x
xf x
x
x
o x
x
,
进一步可以得出
2
0
( )
2
lim
5
x
xf x
x
x
,以及
0
( )
2
lim
5
x
f x
x
,
0
lim[ ( )
2]
0
x
f x
，可得
0
lim
( )
2
(0) x
f x
f
，故
0
( )
2
(0) lim
5
x
f x
f
x
。
19. （本题满分12 分）已知平面有界区域
2
2
{( , )
,
}
D
x y y
x x
y
，计算二重积分
2
(
1) d d
D
x
y
x y
.
解：
2
2
(
1)
(
)
2(
) 1
D
D
x
y
dxdy
x
y
x
y
dxdy
--- [第 9 页] ---
数学试题
第9页（共3 页）
由轮换对称性
2
2
1
1
2
2
3
0
0
(
)
(
)
0. 1
(
)
(
)
(
)
3
x
D
D
x
x
x
D
x
y dxdy
y
x dxdy
x
y dxdy
dx
x
y dy
y
x
dx
1
3
3
2
0
1
1
1
1
(
)
3
3
70
210
f
x
x
x
x
dx
2
1
1
2
0
0
2
1
1
1
3
3
3
1
1
71
210
3
210
x
x
D
dxdy
dx
dy
x
x dx
则原积分
=
=
-
=
-
=
=
+
=
20．（本题满分12 分）
设函数
f x 在区间
,a b 内可导.证明导函数
f
x
在
,a b 内严格单调增加的充分必要条件是:对
,a b 内
任意的
1
2
3
,
,
x x
x ,当
1
2
3
x
x
x
时
2
1
3
2
2
1
3
2
. f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
解：充分性：若对( , )
a b 内任意的
1
2
3
,
,
x x x ，当
1
2
3
x
x
x
时，都有
2
1
3
2
2
1
3
2
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
则在( , )
a b 内取任意的
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
，有
2
1
3
2
4
3
5
4
2
1
3
2
4
3
5
4
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
在
2
1
3
2
2
1
3
2
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
两边同时令
2
1
x
x
，得
--- [第 10 页] ---
数学试题
第10页（共3 页）
3
1
1
3
1
f x
f x
f
x
x
x
，两边同时令
2
3
x
x
，得
3
1
3
3
1
f x
f x
f
x
x
x
，即
3
1
1
3
3
1
f x
f x
f
x
f
x
x
x
，同理可得
3
1
3
5
3
1
f x
f x
f
x
f
x
x
x
.因为
3
1
5
3
3
1
5
3
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
，所以
1
5
f
x
f
x
.由
1
5
,
x x 的任意性，可得
f
x
在
,a b 内严格
单调递增，充分性得证。
再证必要性，即已知
f
x
单调递增，在
1
2
2
3
,
,
,
x x
x x
上分别使用拉格朗日中值定理，知存在
1
1
2
2
2
3
,
,
,
x x
x x
，使
2
1
1
2
1
f x
f x
f
x
x
，
3
2
2
3
2
f x
f x
f
x
x
，
又由
f
x
单调递增，且
1
2
知，
1
2
f
f
，即
2
1
3
2
2
1
3
2
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
，必要性得证。
综上所述，充要条件得证。
21．（本题满分12 分）设矩阵
1
1
3
0
1
1
0
2
1
1
1
2
3
a
a
A =
的秩为2 .
（1）求a 的值；
（2）求A 的列向量组的一个极大线性无关组
,
，并求矩阵H ，使得A = GH ，其中
( ,
)
G
.
21. 解：
（1）因为( )
2
r A
,
1
1
3
0
1
1
1
3
0
1
1
0
2
1
0
1
1
2
1
1
2
3
0
0
1
2
2
0
A
a
a
a
a
a
，故
1
a
时.
（2）由（1）可知，
1
1
3
0
1
0
1
1
1
2
0
0
0
0
0
A
，令
1
2
3
4
5
(
,
,
,
,
)
A
，
则
1
2
,
为A 的列向量组的一个极大线性无关组，
1
2
,
且
3
1
2
4
1
2
2
,
，
5
1
2
2
，由A
GH
，解得
1
0
2
1
1
0
1
1 1
2
H
.
--- [第 11 页] ---
数学试题
第11页（共3 页）
22．（本题满分12 分）投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y 与投保人的损失额X 的关系为
0,
100,
100,
100.
X
Y
x
X
设损失事件发生时，投保人的损失额X 的概率密度为
2
3
2 100
,
0,
( )
(100
)
0,
0. x
f x
x
x
（1）求{
0}
P Y
及EY .
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为N ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为
M ，假设N 服从参数为8 的泊松分布，在
1
N
n n
的条件下，M 服从二项分布
( , )
B n p ，其中
{
0}
p
P Y
，求M 的概率分布.
解：
2
3
100
2
3
100
2 100
1
(1) {
0}
{
100
0}
{
100}
(100
)
4
2 100
(
100)
50
(100
)
P Y
P X
P X
dx
x
EY
x
dx
x
+¥
+¥
´
>
=
-
>
=
>
=
=
+
´
=
-
=
+
ò
ò
(8) {
} ~
, 4
{
}
{
}
{
)
8
1
3
!
4
4
n m
m
n m
n
m
n
n m
N
P
M N
n
B n
P M
m
P N
n
P M
m N
n
e
C
n
∣
∣
8
8
!
1
3
!
!(
)! 4
4
m
n m
n
n m
n
e
n
m n
m
8
1
8
8
3
4
!
(
)!
4
m
n m
n
m
m
m
n
e
m
n
m
8
2
1
8
6
2
4
!
(
)!
!
m
n m
m
m
n m
e
e
m
n
m
m