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数学（三）试题及解析
第1页（共15页）
2022 年全国硕士研究生招生考试
数
学（三）
（科目代码：303）
考试时间：180 分钟，试卷总分：150 分
考生注意事项
1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指
定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书
写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写
部分必须使用2B 铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)
考生编号
考生姓名
--- [第 2 页] ---
数学（三）试题及解析
第2页（共15页）
一、 选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50 分．下列每题给出的四个选项中，只有
1. 当
0,
,
x
x
x
是非零无穷小量，给出以下四个命题.
2
2
,
.
x
x
x
x
①若
则
2
2
. x
x
x
x
②若
，则
,
.
x
x
x
x
o
x
③若
则
.
x
x
o
x
x
x
④若
，则
所有真命题的序号：
A.
B.
C.
D.
①③
①④
①③④
②③④
【答案】选C.
【解析】
①
2
2
0
0
( )
( )
lim
1
lim
1
( )
( )
x
x
x
x
x
x
，正确；
③
0
0
0
0
( )
( )
( )
lim
1
lim
lim
lim
1 1
0,
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
正确
④
0
0
0
0
( )
( )
( )
lim
0
lim
lim
0
lim
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,即
x
x
,
正确；
而
0
0
( )
( )
( ( ))
lim
lim
1,
( )
( )
x
x
x
x
o
x
x
x
( )
,
( )
,
x
x
x
x
取
则②错误,故选C.
2. 已知
1
1,2,... ,
n
n
n
n
a
n
n
a
n
则
A.有最大值，有最小值
B.有最大值，没有最小值
C.没有最大值，有最小值
D.没有最大值，没有最小值
【答案】选A
--- [第 3 页] ---
数学（三）试题及解析
第3页（共15页）
【解析】令
1
1
( )
x
f x
x
x
，则
1 ln
2
1
( )
e
(1 ln ) 1
x
x
f
x
x
x
，易知当x 充分大时，
( )
0
f
x
，即
( )
f x 单减；
令
1
1
( )
x
g x
x
x
，则
1 ln
2
1
( )
e
(1 ln )
1
x
x
g x
x
x
，易知当x 充分大时，( )
0
g x
，即( )
g x
单减；又lim
( )
lim
( )
1
x
x
f x
g x
，
( )
2
( )
2
1
n
g n
n
k
a
f n
n
k
故前有限项必存在最值，综上
na
必存在最大最小值，选A.
3 . 设函数
f t 连续，令
0
( , )
(
) ( )d
x y
F x y
x
y
t f t
t
，则
A.
2
2
2
2
,
F
F
F
F
x
y
x
y
B.
2
2
2
2
,
F
F
F
F
x
y
x
y
C.
2
2
2
2
,
F
F
F
F
x
y
x
y
D.
2
2
2
2
,
F
F
F
F
x
y
x
y
【答案】选C
【解析】
0
0
0
( , )
( )d
( )d
( )d
x y
x y
x y
F x y
x
f t
t
y
f t
t
t f t
t
0
0
( )d
(
)
(
)
(
) (
)
( )d
x y
x y
F
f t
t
xf x
y
yf x
y
x
y f x
y
f t
t
x
2
2
(
)
F
f x
y
x
0
0
(
)
( )d
(
)
(
) (
)
( )d
x y
x y
F
xf x
y
f t
t
yf x
y
x
y f x
y
f t
t
y
--- [第 4 页] ---
数学（三）试题及解析
第4页（共15页）
2
2
(
)
F
f x
y
y
，故F
F
x
y
，故选C.
1
1
1
1
2
3
0
0
0
1
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1
ln(1
)
2
4
d ,
d ,
d .
2(1 cos )
1 cos
1 sin
A.
B.
C.
D.
x
x
x
I
x I
x I
x
x
x
x
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
.已知
则
【答案】选A
【解析】
( )
ln(1
)
2
x
f x
x
，
1
1
1
( )
0,
(0,1)
2
1
2(1
)
x
f
x
x
x
x
(0) 0
f
1
2
ln(1
),
.
2
x
x I
I
现比较
2I 和
3I ，即比较2ln(1
)
2
2(1 cos )
1 sin
x
x
x
x
与
2
2
2
2
3
cos
sin
,
(0,1)
2
2
2cos
cos
sin
2
2
2
4cos
1 sin
2
2(1 cos )
1 sin
1
1
2(1 cos )
1 sin
2ln(1
)
2
(0,1)
.
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I
I
即
而
则
故选A.
5. 设A 为3 阶矩阵，
1
0
0
0
1
0 ,
0
0
0
则A 的特征值为1，1
，0 的充分必要条件是
A.存在可逆矩阵P,Q ,使得
A
P Q
B.存在可逆矩阵P ,使得
-1
A
P
P
C.存在正交矩阵Q ,使得
-1
A
Q Q
--- [第 5 页] ---
数学（三）试题及解析
第5页（共15页）
D.存在可逆矩阵P ,使得
T
A
P
P
【答案】选B
【解析】【解析】根据相似对角化定义，B 选项可以直接推出A 的特征值为1，1
，0 ，又
若A 的特征值为1，1
，0 ，互不相同，则A 一定可相似对角化，故可推出B.故选B.
6. 设矩阵
2
2
1
1
1
1
1
,
2 ,
1
4
a
a
b
b
b
A =
则线性方程组
x
A
b 解的情况为
A.无解
B.有解
C.有无穷多解或无解
D.有唯一解或无解
【答案】选D
【解析】
2
2
1
1
1
( , )
1
2
1
4
b
A b
a
a
b
b
2
2
1 1
1
|
|
1
1
1
1
A
a
a
b
a
b
a
b
b
|
| 0
( , )
3
A
r A
r A b
，有唯一解
|
| 0
( , )
A
r A
r A b
无解，故选D.
7. 设
1
2
3
4
2
1
1
1
1
,
,
1
,
,
1
1
设向量组
1
2
3
,
,
与
1
2
4
,
,
等价，则的取值范围是（
）.
A. {0,1} B. {
,
2}
R
∣
C. {
,
1,
2}
R
∣
D. {
,
1}
R
∣
【答案】选C
【解析】
2
2
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
(
2)(
1)
0
(
)
1
1
1
1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
1
,
,
,
,
,
,
,
1
r
r
r
，等价
--- [第 6 页] ---
数学（三）试题及解析
第6页（共15页）
1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
0
,
,
,
,
,
,
,
3
r
r
r
，等价
1
2
3
1
2
4
1
,
,
3
,
,
2
r
r
，
，不等价
1
2
3
1
2
4
2
,
,
2
,
,
3
r
r
，
，不等价
其他时，
1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
,
,
,
,
,
,
,
3
r
r
r
，等价
故{
,
1,
2}
∣
R
，故选C.
8. 设随机变量
0,4
X
N
,随机变量
1
~
3, 3
Y
B
，且X 与Y 不相关，则
3
1
D X
Y
A.2
B.4
C.6
D.10
【答案】选D
【解析】
1
~
(0,4),
~
3,
,
3
X
N
Y
B
4
DX
,
1 2
2
3 3 3
3
DY
则
(
3
1)
9
10
D X
Y
DX
DY
.故选D.
9. 设随机变量序列
1
2
,
,
n
X
X
X
独立分布且
1
X 的概率密度为
1
,
1,
( )
0,
x
x
f x
其他，
则
当n 时，
2
1
1
n
i
i
X
n
依概率密度收敛于
A. 1
8
B. 1
6
C. 1
3
D. 1
2
【答案】选B
【解析】
1
1
1
2
2
2
3
1
0
0
2
1
1
(1 |
|)d
2
d
2
d
3
2
6
EX
x
x
x
x
x
x
x
2
1
1
1
1
1
6
6
n
i
i
X
E
n
n
n
,故选B.
10. 设二维随机变量
,
X Y 的概率分布为
--- [第 7 页] ---
数学（三）试题及解析
第7页（共15页）
X
Y
0
1
2
1
0. 1
若事件{max{ , }
2}
X Y
与事件{min{ , }
1}
X Y
相互独立，则cov(
, )
X Y
A. 0.6
B.
0. 36
C. 0
D.0.48
【答案】选B
【解析】由题意，得
max{
, }
2,min{
, }
1
max{
, }
2
min{
, }
1
P
X Y
X Y
P
X Y
P
X Y
max{
, }
2
0. 1
P
X Y
b
，
min{
, }
1
0. 2
P
X Y
max{
, }
2,min{
, }
1
0. 1
P
X Y
X Y
故
0. 36
X Y
EXY
EXEY
故选B.
二、 填空题：11～16 小题，每小题5 分，共30 分．
11. cot
0
1 e
lim
2
x
x
x
.
【答案】
1
2
e .
【解析】
cos
sin
0
0
0
0
cos
1 e
cot
sin
2
0
0
0
cos
1 e
cos (e
1)
lim
1
lim
sin
2
2sin
(e
1)
1
lim
lim
2
2
2
1
2
ln
1 e
1 e
lim
lim
lim
2
2
e
e
e
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
原式
--- [第 8 页] ---
数学（三）试题及解析
第8页（共15页）
12. 2
2
0
2
4
d
2
4
x
x
x
x
_______.
【答案】
3
ln3
π
3
【解析】
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
2
0
0
2
0
2
4
2
2
6
2
2
d
d
d
6
2
4
2
4
2
4
2
4
d
ln
2
4
6
(
1)
( 3)
1
1
ln12
ln 4
6
arctan
3
3
3
ln3
π.
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
13. 已知函数
sin
sin
e
e
,
x
x
f x
则
(2π)
f
________.
【答案】0
【解析】
因为
f x 为偶函数，则
f
x
为奇函数，故
0
0
f
，又因为
f x 以2π 为周期，故
2π
0
0
f
f
14. 已知函数
e ,
0
1,
0,
x
x
f
x
其他，
则
d
d
x
f
x f
y
x
y
.
【答案】
2e
2e 1
【解析】
1
1
1
1
0
0
2
2
e e
0
1,0
1
( )
(
)
0,
d
e e
d
e
e d
e
e
(e 1)
e
2e 1
,
x
y x
x
x
y x
x
x
x
x
y
x
f x
f y
x
x
y
x
其他
15. 设A 为3 阶矩阵，交换A 的第2 行和第3 行，再将第2 列的1
倍加到第一列，得到矩阵
--- [第 9 页] ---
数学（三）试题及解析
第9页（共15页）
2
1
1
1
1
0
1
0
0
，则
1
A
的迹
1
tr
A
.
【答案】1
【解析】
1
0
0
1
0
0
2
1
1
0
0
1
1 1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
A
1
1
1
0
0
2
1
1
1
0
0
= 0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
2
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1 ;t r
1
1
1
1
A
A
A
16. , ,
A B C 为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，
1,
3
P A
P B
P C
则
P B
C A
B
C
.
【答案】5
8
【解析】
(
)
0, (
)
0
(
)
( )
( )
[(
)
(
)]
(
)
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
3
3
9
1
1
1
1
0
0
0
3
3
3
9
2
1
5
5
3
9
9
1
9
,
.
8
8
1
9
P AB
P AC
P BC
P B
P C
P B
C
A
B
C
P B
C
A
B
C
P A
B
C
P B
P C
P BC
P A
P B
P C
P AB
P AC
P BC
P ABC
∣(
--- [第 10 页] ---
数学（三）试题及解析
第10页（共15页）
三、 解答题：17～22 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本题满分10 分）
设函数( )
y x 是微分方程
1
2
2
y
y
x
x
满足条件(1)
3
y
的解，求曲线
( )
y
y x
的渐近线.
【解析】
1
1
d
d
2
2
e
(2
)e
d
e
(2
)e d
e
2e d
e d
e
2 e
e d
e d
2
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
C
x
x
C
x
x
x
C
x
x
x
x
x
C
x
C
代入
1
x
，
1
2
e
3
e
C
C
，所以
1
. 2
e
x
y
x
1
1
2
e
lim
2,
lim 2
e
2
0. x
x
x
x
x
k
b
x
x
x
斜渐近线为：
18. （本题满分12 分）
设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定.生产函数为
1
1
6
2
12
Q
x y
，该产
品的销售单价P 与Q 的关系为
1160 1.5
P
Q
.若单位资本投入和单位劳动投入的价格分
别为6 和8.求利润最大时的产量.
【解析】
--- [第 11 页] ---
数学（三）试题及解析
第11页（共15页）
1
1
1
1
6
6
2
2
1
1
1
6
3
2
5
2
1
6
3
2
6
8
1160 15 12
12
6
8
1160
6
12 18
6
0
1160
2
18
4
8
0
L
PQ
x
y
x y
x y
x
y
L
y
x
y
x
L
x
y
x
y
y
令
解得
256
64
384
x
y
Q
19. （本题满分12 分）
已知平面区域
2
( , )
2
4
,0
2 ,
D
x y y
x
y
y
计算
2
2
2
(
) d d .
D
x
y
I
x y
x
y
【解析】
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
2
1
d
2
d
d
D
D
D
D
x
xy
y
I
x
y
xy
x
y
xy
x
y
补线
2
x
y
（图中虚线），根据对称性
2
2
2
2
2
2
0
sin
cos
2
2
0
2
2
0
0
2
d
d
2
d
2 cos sin d
4
2
4
cos sin d
(sin
cos )
2sin 2
2
2sin 2 d
d
1 sin 2
2
2
2
2
2. D
D
xy
x
y
r
r
--- [第 12 页] ---
数学（三）试题及解析
第12页（共15页）
20. 求幂级数
2
0
4
1
4
2
1
n
n
n
n
x
n
的收敛域及和函数
S x .
【解析】
1
2
2
2
1
2
( 4)
1
4 (2
1)
1
lim 4
(2
3)
( 4)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
x
,
令
2
1
x
，得
2
1
1,1
x
x
，代入
1, 1
x
，显然收敛，则收敛域为
1,1
x
.
当
0
x
时,
2
2
0
0
( 1)
1
( )
2
1
2
1 2
1
1
2 1
2
arctan
ln
2
1
2
1
2
arctan
ln 2
n
n
n
n
n
x
S x
x
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
当
0
x
时，( )
2
S x
.
所以
1
2
arctan
ln
0,
( )
2
2
0. x
x
x
S x
x
x
x
21. 已知二次型
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 3
( ,
,
)
3
4
3
2
f x x x
x
x
x
x x
.
(1) 求正交变换x = Qy 将
1
2
3
(
,
,
)
f x x
x
化为标准形;
(2) 证明
T
min
2
f
0
x
x
x x
.
【解析】(1)已知：
3
0
1
0
4
0
1
0
3
A
--- [第 13 页] ---
数学（三）试题及解析
第13页（共15页）
2
2
2
(
3
0
1
0
4
0
1
0
3
3
1
(
4)
1
3
4)
6
9 1
(
4)
6
8
(
2)(
4)
E
A
2
时，
1
0
1
1
0
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
E
A
，解得：
3
1
0
1
；
4
时，
1
0
1
4
0
0
0
0
0
0
E
A
，解得：
1
2
1
,
0
1
1
0
0
；
已正交，直接单位化：
3
2
1
1
2
3
2
3
1
1
0
2
2
1
0
,
0
0
1
1
2
,
2
令：
1
1
0
2
2
1
0
0
1
1
0
2
2
Q
得标准型：
2
2
2
1
2
3
4
4
2
f
y
y
y
(2) 证明：因为Q 可逆：
--- [第 14 页] ---
数学（三）试题及解析
第14页（共15页）
T
T
T
0
0
0
2
2
2
1
2
3
2
2
2
0
1
2
3
min
min (
)
min
4
4
2
min
x
y
y
y
f
f
f
y
y
y
y
y
y
x x
y
y
y y
Q
Q
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
4
4
2
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
.
令：
2
1
2
2
2
3
0
0
1
y
y
y
得：
2
f
故最小值为2.
22. （本题满分12 分）
设
1
2
,
,
,
n
X
X
X
为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，1
2
,
,
,
m
Y Y
Y
为来自均值
为2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中
0
是未知参数.利用
样本
1
2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
,
n
m
X
X
X
Y Y
Y
求的最大似然估计量ˆ，并求ˆ .
D
【解析】总体X 的概率密度为：
1
1 e
0
( )
0,
，
其他
x
X
x
f
x
总体Y 的概率密度为：
1
2
1 e
0
( )
2
0,
y
Y
y
f
y
，
其他
所以似然函数为：
--- [第 15 页] ---
数学（三）试题及解析
第15页（共15页）
1
1
1
1
2
1
1
e
e
,
0
1,2
0
1,2
2
0,
且
其他
n
m
i
j
i
i
n
m
X
Y
i
j
X
i
n
Y
j
m
L
当
0
1,2
0
1,2
且
i
j
X
i
n
Y
j
m 时，
1
1
1
1
ln
ln
ln 2
2
n
m
i
j
i
j
L
n
X
m
Y
2
2
1
1
dln ( )
1
1
2
d
(2 )
i
j
n
m
i
j
L
n
X
m
Y
令
0
dln ( )
d
L
，得：
1
1
2
ˆ
2
2
m
n
i
i
j
j
m
n
X
Y
2
1
1
2
2
2
2
1
ˆ
4
4(
)
1
4
4
4(
)
.
n
m
i
i
j
j
D
DX
DY
m
n
n
m
m
n
m
n