+ o (x) ,
故x — tanxŇ--x
3 , 则k = 3. 故应选C.
3
CZ) D
解
设f(x)=工
5— 5x+k, 则厂(x)= 5 兀
4— 5'令f
1 Cx) = O, 得x= 土1.
当X <-l时，f
1 (x) > O; 当- l l时，f
1 (x) > 0.
又limf(x)= +=, limf(x)=--=, 结合单调性知，f(-l)>O,f(l)O,J(l) =l-5+ k
(3) D
解
由薇分方程通解形式可知，y = CC 1 + C 2x)e一工为齐次方程的通解，
y = e
工为非齐次方程的特解，-1为特征方程入
z +a入+b =0的二重根，
得{
2
1 — a + b =O,
且l+a +b=c,
a
— 4b =O,
由此解得a
=Z,b =l,c = 4. 故应选D.
(4) B
u
解
因为lim
I
" I =O, 且ňnu n 绝对收敛，由比较判别法可知ʼnU n 也绝对收敛．
n-= nu" I
nee)
"二a\
而当2 二条件收敛时,Ŋv n的敛散性不定．
n
n-1
n-1
如果令)i n= (-厅及)i n=
(—l)"
=)i
时心：二都是条件收敛，
ln(n + 1)
nol n
（沁
=
co
而ŋ)i n= (-1)"发散，Ō-
(-1)"
Fl ln(n + 1) 收敛，可知ō(un+l! n)的敛散性是不确定的．
n-1
nol
则C、D都不正确．
=
o·,
再判断2 汇)i n的敛散性：由于lim I U n)! n I
)/ n
n-=
nu" I飞弝了
=O,且Ŏnun绝对收敛，由比较判别法
n-1
n 二,]
可知区汇））n 是绝对收敛的．故应选B.
nŏl
(5) A
解
由线性方程组Ax = O的基础解系中只有2个向械，则2= 4Őr(A), 故r(A)= 2.
由于当r(A)< n
—l时(n 为A的阶数），r(A
补）= 0. 故应选A.
(6) C
解
设入是A的特征值，根据A
2+A = ZE得：入
z+入
2, 解得入ől或— 2.
2019
年
--- [第 2 页] ---
由于
）A是3阶实对称矩阵，则A有3个特征值且A的3个特征值的积为IA I的值，
故A的三个特征值的积为1,-2,-2,正惯性指数为1,负惯性指数为2,
故二次型x
TAx的规范形为Yi—丈— 丈．故应选C.
(7) C
解
由P(AB)=P(BA)得
p (AB) = p (A) -p (AB) = p (BA) = p (B)—P(AB)台P(A)=PCB).
故应选C.
(8) A
解
由X-N(伈矿），Y-N(µ, 矿汃且相互独立，
X-Y
则E(X — Y)=O,D(X-Y)=DX+DY= 2扎得———-N(O,l),
屈6
故P{IX-Y I< l} = P{ 三仁飞三上} = 2cI>(上）-1与矿有关，与µ 无关
我6
迈6
迈6
故应选A
二、 填空题
(9) e-1
解
原式=lim(1
1
1
＋
1
1
1
n
n-=
勹丁了
＋…＋厂言寸
=! 式气飞叶＋（了忙]
“一= (士）
limn
=e
故应填e-1.
(IO) (六:,-2)
=e
-1 ．
解
y'
.
+
2. = s1nx
x cosx - sin冗
= x cosx -s1nx ,
y = cosx -X s1nx - COSX = — x s1nx.
令y"=O,得x 1=O,x2 =穴，再判断X 1,X 2 两点的左右两侧二阶导数是否异号；
在X 1 左侧y"o,所以拐点为（六' — 2).
2
故应填（六'-2).
1
(11) —(1-2,/2)
18
解
由分部积分法：『x
2 f
1
I
1
1
1
I
3 fJCx)dx3 =了x汀ex) Io—了Ia x 3 J'(x) dx , CD
(x)dx =-
又八1) =『五了尸dt=O,J'(x) =./i丁了，代入CD 式：
扣(1)-习l
xa 汇了-dx=-_!__· 上『五言了dx4
3
0
3
4
0
1
2
3
1
1
＝飞·3Cl+x4)2 1。飞(1-2迈）．
--- [第 3 页] ---
1
故应填一(1-2迈）．
18
(12) 0. 4
解
当PB =20时，Q A =500 — Pi — 20P A + 2• 202 = 1300 - 20P A -Pi,
PA dQ A
凡
2PA (PA + 10)
则f/ AA = -———=- 刁-"
-
•
. (— 20— 2P A ) = _ _ _ _
_ __
Q A dPA
-?'
所以f/ AA I
=0.4. 故应填0.4.
PA =10
(13) 1
解
由题意得
:.-(: 。
— 1
汇( 。
— 1
)-( 。
—1
1
— 1
1 。
1 。
。
1 a 2 -1
a
0
1
a 2 -1
a
0 。
a 2 -1
要使Ax =b有无穷多解，则应使r(A) =r(A) < 3,
当a z— l =a — 1 =O, 即a =l时，r(A) =r(A) =2 < 3.
故应填1.
．
\
．．．
．．
．
I
1
0
1
-a
2_
3
、 丿4
1
（
X
由随机变量X的概率密度f(x) =仁
-,
O EX -1} =P{F i_— 1} =P卢＞－1
3
4
3 }
解
=P{X>纠寸王dx =³
屈
左2
三、 解答题
(15) 解
当X >O时，J'(x) =2x气lnx + 1); 当X 0 ,
ex (x + 1),
X < 0.
令J'(x) =0, 得驻点x =— l,x =一．
1
e
1
当x<— l或O — 时，j'(x)> 0.
e
所以f(x)在区间( — 邑-1)和(o 且－）内单调减少，
e
在区间( — 1, 0)和（上，十～
内单调增加，从而f(x)的极小值为
e
）
1
1
二
f( —1) =1 ——, !(—) =e''极大值为f(O) = 1.
e
e
(16) 解
因为
ag
ax
—=y-J.(x+y,x —y) —f,(x+y,x-y),
ag
— =x —
ay
J. (x + y ,x -y) + J, (x + y ,x -y),
臼＝— 仁(x+ y,x -y) —2儿(x+ y,x —y)-几(x+ y,x —y)'
a
2 g
=1 —J •• (x+y,x-y)十几(x+y,x -y),
a戎y
a
2g
ay
2
J •• (x +y,x —y) +2儿(x+ y ,x -y) — 儿(x+ y ,x -y),
所以
a
2 g
a 2 g
a
2 g
—+
+-—=1 — 3f •• (x+y,x-y) — 儿(x+ y,x —y).
ax
2
a戎Y
ay
2
(17) 解
C I)由一阶线性微分方程的通解公式，得
y(x) =i
心
(C+ f l e
´
e -f
x
扛心）=e
´
( 石+C).
2石
因为y(l) =心，所以C=O.
已
从而y(x) = rx矿．
(II)D绕x轴旋转所得旋转体的体积为
V= f:rcy
2 (x)心=f
rcxe
x2 dx =王e
xz
1
2
=王(e
4 —e).
2
1
2
(18) 解
由题意，所求面积为
+=
=
s = I
-x
（叶1).
e
I SlllX I dx =¶(µ1) "f亡sinx心，
n-0
吓
因为］
(n+l) 穴
(n+l) 穴
(19) 解(I)a.+1 -a. = f x"(x — 1) ,Ji-=了dx.
因为在积分区间[0,1] 上，x"(x — 1) .jj二7o且不恒等于o,
所以a.+1 -a. O, 所以——-< —-
(20) 解
由等价的定义可知：
P 1 ,P 2 ,Pa都能由a 1,a 2,aa线性表示，则有r(a 1,a 2 ,a 3) = r(a 1 ,a 2 ,a:1 ,p 口，2,Pa),
对Ca 1,a 2 ,aa ,P 1 ,P 2 ,Pa)作初等行变换可得：
(:
Ù
Ú:
:
Û:)-(Ù
Ü1
:
4 4 a
2 +3
i
a+3
1 — a
a
2 + 3
0
0
a
2 -1
当a = — 1时，有r(a 1,a 2 ,aa) < r(a 1 ,a 2 ,aa ,P i ,P 2, 凡）；
当a = l时，有r(a 1,a 2 ,aa) = r(a 1 ,a 2 ,aa ,P 1 ,P 2 ,Pa) = 2;
可知a#l且a#-l时，此时r(a 口a 2,a 3) = r(a 1 ,a 2 ,as ,P 1 ,P 2 ,Pa) = 3,
则有a = l或者a#l且a#— 1时，Pi,P 2 ,Pa可由a 1,a 2 ,aa线性表示，
此时要保证a 门a 2,aa可由P 口，2 ,Ps线性表示．
对CP 1,P 2 ,Ps ,a 1 ,a 2 ,as)作初等行变换可得：
(: :
a+3
l-a
a
2 +3
1。
a-l
0
1
2
2)
l-a
a
2 -l
: !)-
4
4
a
2 + 3
[:
:
矿-1
当a =l时，有r(P 1,Pz ,p 3) = r
(21) 解
C I)因为矩阵A与B相似，所以tr(A)= tr(B), I A曰BI ,
即{
x-4=y+l, 解得X =3,y =—2.
4x -8= — 2y'
C II) 矩阵B的特征多项式为I入E-BI=(入— 2)(入十1)(入+2)'
所以B的特征值为2' — 1,-2.
由于A与B相似，所以A的特征值也为2,-1, -2.
A的属于特征值2的特征向量为f1= 0,-2,0)勹
A的属于特征值-1的特征向量为名＝（— 2,1,0)勹
A的属千特征值-2的特征向量为名=Cl,-2, —4) T•
记P, Õ(名主屯），于是PtAP, Õ(×
—°i )
0
0
— 2
B的属千特征值2的特征向量为r;1= (1,0 ,0)勹
B的属于特征值-1的特征向量为f/2=(1,-3,0)勹
B的属于特征值-- 2的特征向量为平=(O,O,l)
T.
记P,Õ(Ø,,平，平汃于是P;'BP,
(Ù _°I ) .
0
0
-2
由P-;-
1AP1=P;·
1BP2, 得CP1P;
1)-
1A(P1P;-
1) =B.
-'z):
1
: ÕF2
令PÕP, P;'(Ú。
2
— 2
3
1
1
。
— 4
3
。
。。
1
:
]
—]
:)
则P-1AP=B.
(22) 解
CI) z的分布函数为
凡(z)=P{Z冬z}= P{XY冬z I Y=—l}P {Y = —l} +P{XY,s;; z I Y=l}P{Y=l}
Ûpp{— X冬z}+ (1 — p)P{X ,s;; z}.
--- [第 7 页] ---
当z O,P{Z — l} > o,
所以
P{X 冬l,Z 冬-1} # P{Xl}P{Z-1}.
故X与Z 不相互独立．
(23) 解
C I)由厂f(x矿）dx =I, 得
-w
l=厂汇了心=AJ:卜e-dt
µ
CJ
=A• 三『上e.. ; dt = 三A,
2= If;
2
所以A=
.
(I[)设Xi,Xz'
… ，:r" 为样本X1,X2,…，义的观测值，则似然函数为
n (x -µ)
2
n - '
,i
L(矿）= ITf(x,; 矿）＝六
』卢）券（矿）
2 e
;-1
20 2
,
,I
lo'
对数似然函数为
n
2
1
lnL(矿）=
In
n
2
n
了；
—
了lnr,
—2矿(x, -µ)
2 . d lnL(r,2)
n
]
n
z
. (x, -µ)气
=--+
2
dr,
加
2矿,I
X1 ,Xz'
…, x,, 多µ,
其他，
n
令
d lnL(矿）
da2
2
A 2
1
o, 得6 的最大似然估计值为(J =— (x, —µ)气
n
iI
所以矿的最大似然估计最为矿＝
1
n
— (X, —µ)飞
n ,1