2017年数学三真题答案解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

(1) A 数学（三）参考答案 l — cos石 解由J(r)Wj ar , r>O,在.,Wo处连续，得E恩J(x) b. b, X 冬0 又limf(x)-lim l cos 五- = lim X - l = b. x-o+ J、-o+ ax 工于o+2ax、 2a 1 所以ab = —放应选A. 2

(2) D 解令｛ 名 I = 3y -2xy — y 2 ñ--=0 x =O x-1 x = O x = 3 总'-3x-2xy — 1· 2 = o'得{y = 0'{y -1'{y = 3'{y O . 所以函数有四个驻点(0,0),(1,]),(0,3),(3,0). 又令A = z':x= —2y ,B = z'',v = 3 —2x -2y ,C = z':v= -2.1、· 则在(0,0)处，AC — 13 2=-9 < 0,(0,0)不是极值点． 在(1,1)处，AC — B 2=3>0,且A = -2 < O,Cl,l)是极大值点． 在(0,3)处，AC-B 2=-9<0,(0,3)不是极值点． 在(3,0)处，AC-B 2= — 9<0,(3,0)不是极值点 故应选D.

(3) C 解由J(x)J'(x)> CJ, 可得2J(x)J'(x)> CJ, 即［尸(x)J'>0. 因此尸(x)严格单增，故有勹ex)I严格单增，所以有I JO) I > I JC— DI. 故应选C.

(4) C 解 .1 1 1 1 k k 1 -= —+o厂），kln 1-- =-— ——· —+o — 1 stn n n n 2 ( n) n 2 n 2 (n 2)· 有 ． 1 1 1 +k k 1 1 sm了-kln(1 — ;- ) = n 勹;;z+o(;;z), = 1 1 又，气sin--;;- — kln(1 一 门］收敛，有l+k = O.(否则，级数发散），故k =-1. 故应选C.

(5) A 解因为a为3维单位列向晕，故矿a =l = tr(a矿）． 所以，A-a矿的特征值为1,0,o. 所以，IE — aa T l = O, 即矩阵E-a矿不可逆． 故应选A.

(6) B 2017年 --- [第 2 页] --- 解 因为A和B都是上三角矩阵，所以特征值都是1,2,2. 今 所以，要判别A和B能否相似对角化，只需考察属于2的线性无关的特征向量的个数即可． 对于A,属于2的线性尤关的特征向量的个数3-r(2E — A) =3 -1 =2. 对于B,属于2的线性无关的特征向量的个数3 -r(2E — B)=3 — 2 = 1. 所以，A可以和C相似，但是B不能． 故应选B.

(7) C 解 因为A与C相互独立，B与C相互独立． 所以P(AC)=P(A)P(C)平(BC)=PCB)P(C) 而P[(A U B)C] =P(AC U BC) =P (AC)+ P CBC) -P (ABC) P(A U B)P(C) =[P(A) +PCB)-P(AB)]P(C) =P(A)P CC)+ P (B)P CC) -P (AB)P(C) 则AUB与C相互独立已P[(AU B)C] = P(A U B)P(C)已P(ABC)= P(AB)P(C) 已AB与C相互独立，故应选C.

(8) B 解 因为X, ºNCµ ,1), 所以X, — µ ¹N(O,l), 则ex, —µ尸～贮(n),故A正确； ,-1 (X, 一｀ (n — 1)S 2 ,-1 因为 z = ¹X气n — 1)' 故C正确； C, 1 因为X 1 ¹N(µ , —)， n 所以X —µ 1 ºN(O,l), 石 则n(又— µ )2 ºx 2 0),故D正确． 对于B选项：X" — X1 ºN(O,Z), X 则 n — X1 ºN(O,l), 所以( X" ; X1fº 炉(1)从而B错误． 迈 ． 故应选B.

(9) -2 解 厂rr(sin3 x+五二了）dx = J 六 六sin3 xdx +』勹了二了dx 因为sin3 x是奇函数，所以『sin勹山= O. --- [第 3 页] --- 而丘＝了为偶函数，因此『J2 — 勹 ＿ TC -x dx =2 f 互二dx 『互二dx表示由x = O,x = TC,y = O,y = 石了二产所围成图形的面积， 故有『 1 左-x 2 dx = —TC• TC2 =— 1( 3 4

4 . 所以『(sin五十五了二）dx =三 一穴 2 TC 故应填—. 2

(10) A2'十t2'-l 解 Y,+ 1 -2y, = 2'对应的齐次方程为Y,+ 1 -2y, = O, 特征方程为入,+i -211' = O, 特征根为入= 2. 因y计1 -2y, = O的通解为Y, = A2', 再设y,· = k立为Y,+ 1 -2y, =2'的解，代入方程得 k(t + 1)2计1 — 2kt2' =2'. 1 1 解得k=一．所以对 = -t2'=t2'-1. 2 2 由差分方程解的结构定理得，原方程的通解为 y, = Y,+对 = A2'+ t2' 一1. 故应填A2'十t2'一1

(11) 1+0 — Q)e-Q 解 平均成本ccQ)=l+e 一汇成本为C(Q) = Q C(Q) = Q +Qe-Q. 边际成本为C'(Q)=1 +e-Q - Qe-Q = 1 + (1 — Q)e-Q. 故应填1+0 — Q)e艾

(12) xyeY 解 由题意1:cx,y) = yeY ,J;(x ,y) = x(l +y)e气 所以有f(x,y) =f 1:cx ,y)dx = f yeY dx = xyeY+C(y). J; Cx ,y) = [xyeY +CCy)]' = x Cl +y)e +c'(y) = xCl +y)e, :.c'(y) = O=?C(y) = C . 因此f(X ,y) = xyeY +c , 又f(O,O) = O. 所以C = O. 故f(x,y) = xye汽 故应填xye气

(13) 2 解 (Aa 1 ,Aa 2 ,Aa 3 ) = ACa 1 ,a 2 ,a 3 ), 因为a 1 ,a 2 ,a 3 线性无关，故矩阵Ca 1 ,a 2 ,a 3 )可逆， 所以，r(Aa 1 ,Aa 2 ,Aa 3 ) = r(A), 易知，rCA) =2. 故应填2.

(14) — 9 2 解 由分布律的归一性可知éPk = l --- [第 4 页] --- 1 即—+a+b = l, 2 1 又因为EX= O, 即—2X —+a+3b = O. 2 解得a = b= —. 1 4 1 1 而E(X2)=(—2)2X —+12 X —+32 X —=— 1 9 2 4 4

2. 所以DX=E(X勹—(EX)2= -9

2.

(15) 解 令x-t = u,则t = x — u,dt = — du. 『五二e'dt e"『五尸du 。 lim = lim 0 x-o+ J. 尸- x-o+ ,q 06)解

(17) 解 『五e-"du 。 = lim x-o+ ,q 左e勹 = lim x-o+ 3 —左 2 2 -. 3 』(1+xi 3 +沪）2 dx dy -[ = dx厂(1+ xj 3 + y4)2 dy ＝』厂 -1 石 4 o l+x 2+y 1 dx 。 1 += 1 1 = 4J。 (1+x 2 — 1 + 2x 2) dx 1 产 过 += 勹(arctanx / 0 — 了arctan,/2x 。) 2 — 迈 = 16 兀 n k k n k 杻心：汇In(1+ --;;) -杻心：—In 1 + • k 1 k1 k1 n (--;;) --;; =』 I Xln(l + X)dx 。 1 1 1 l X 2 ＝了x 2 ln (1 + x) / 0 勹t 1 +x dx 1 1 1 1 ＝了ln2 — 了I。(x — l+ l+x)dx --- [第 5 页] --- 1 1 I 1 I -—ln2-—(x -1) 2 — — ln(l + X) 2 4 1 －． 4 0 2 0

(18) 解 记f(x) — 1 1 , (1 + x·) ln气l+x)-x 2 k,x E (0,1], 贝1Jf (x、) ＝ lnO+x) x 记g(x) = (1 + x) ln气1+x) — X Z' 则 g'(x)=ln气1+ x) + Zln(l + x) -Zx, g"(x) = Z[lnO+x) — x] l+x 当x E (0,1]时，g"(x)< O, 所以g'(x)< g'(O). 又g'(O)=0, 所以当x E (0,1]时，g'(x) o, 所以方程fC.dìo在[,<间(0,1)内有实根当且仅当』 l lnZ l k < 0. l 故常数K的取值范IN为(í-1,— . 1 lnZ 2 )

(19) 解 1 c I)因为ao=l,a1 =O,a n +l = (na,, +a ,,_1), 所以0乏a n +lîl . n+l 记R为幕级数ïU n,厂的收敛半径．当Ix I< 1时，因为a立"[,s;[ x[ n 且级数:厂收 n-0 no 敛，所以幕级数I: a,,:r"绝对收敛，于是(— 1,1)ð(— R ,R), 故Rñ1. nO c II)因为S(x)= t汇x n '所以5 1(x) = t na nX n-l = t (n + l)a, +1X" no n -1 n-0 于是(1 — x)S'(x) — xS(x) — t (n + l)a n +1x" òt (n + Da n +1X n +l —ta ,,x"+i no n o = = = n óo =a1 +<(n + l)a n+ix"