(11) —dx + 2dy
解
等式(x+ l)z —y
2 = x汀(x-z ,y)两边分别关于x,y求导，
得z+ (x + l)z:= 2xf(x — z,y)+·x2 1:cx -z,y). (1-z:);
(x + l)z: — 2y = x2 [f: (x — z,y)• (— z:) + fÌ(x — z,y)].
再将x=O,y = 1代入原式，可得z =l.
将x=O,y =l,z = 1代入上述两式，得已＝— 1,式=2.
故dz I
(12) 一——
3
3e
解
积分区域D如右图所示，D关于y轴对称，记
D1= {(x,y) IOÍxÎl,x冬yÍ1}'
由对称性知
』Ï 2e -y 2 dx dy = 2 II
X 2 e -y 2 dx dy = 2 r dy r X 2 e -y 2 dx
D
D1
o
o
= Ðr y :i e -y 2 dy
』r te-'dt =—』
l
3
0
令沪= t
3
0
J t de一t
3
0
=— 』te一，『＋订
1
e-1 dt =上-Ñ
3
0
3
0
3
3e
(13 )入4 十入3 +2炉+3入十4
解
按最后一行展开，得
y”
。
l
X
— 1
(-1)叶1x4
入
入
(—1)4+3 X 2
。
。
1
o
＿
入
1
一
入。
入
+(— 1)
11-2 X 3 O
—1
0
入
+(— 1)4+4 (A + 1) 0
— 1
0
。。
。
＝矿＋入3 +2入2 +3入+4.
。。
1
1
一
入
0
o
＿
入
＋
—1 。— 1
。。
入
2
_
9
解
）4
1
（
取球次数恰好为4次，说明第4次有一种颜色，前3 次有两种颜色
由古典概率公式，得P=c. c. 2
2
＝
34
三、 解答题
(15) 解
且
因为
1
lim ln(cos2工+2工sinx)
lim(cos2x + Zx sinx)言= e-•
x•
工-o
ln (cos2x + 2x sinx)
1
— 2sin2x + 2sinx + Zx cosx
lim
4
=lim
•
工-o
X
工-0 cos2x + Zx sinx
4x 3
— 2cos2x + 2cosx — xsinx
=lim
工-o
6x2
4sin2x —3 sinx — xcosx
= lim
工-0
l2x
，
1_
3
＿
＿
--- [第 4 页] ---
I
I
所以E环(cos2x+ 2x sinx卢
=e了
(16) 解
C I)由题设
p
dQ
p
— .
=
Q
dp
120-p.
所以厂À=—
J
1
Q
120- p dp, 可得lnQ= lnC120 —p)十lnC, 即Q=CC120-p)
又最大需求量为1200, 故C =10, 所以需求函数Q =l200-10p.
1
C II)由C I)知，收益函数R =120Q — —Q
2'边际收益R'(Q)=120 — -Q.
1
10
5
当p=100时，Q =200, 故当p =100万元时的边际收益R'(200)=80, 其经济意义为：销
售第201件商品所得的收益为80万元．
(17) 解当O = f: I t 2 —x 2 I c1t 十J: I t 2 -x2 I cit= J: (x2 -t 2)dt十I: (t 2 —x2)clt = {x3 -x2 +』;
f(x)
Á{t;
x
t;Â
;主—f,,:
八
(1) Ã,1叩
x
'ı;+Á2
当X> 1时，f(x)= r (x 2 — t勹dt =x 2 -—
所以
而
故
J'_ (1) = lim
x-I-
J'(x) = {4
x 2 — 2x,
2x,
0 < XÅl,
x>l.
O l,
1
1
由J'(x)=O求得唯一驻点x =— ，又!"(』)>O, 从而x
2
2
2
值为f计）勹·
(18) 解令u =x —t'则f:1cx —t)dt = f勹(u)du
由题设f:f(u)du =x f: f(t)dt —f: 汀(t0)dt + e-x
—1,
求导得
f(x) = f勹(t)dt —e-x'且f(O)=—1 .
。
因此J'(x)- f (x) = e-x,
从而
f(x) =efdx(c+ f尸e-fdx dx)
e
一x
=Cex ———
2
1
1
由八0)=—1, 得C =—— ，所以f(x)=—— (e + e-x)
.
2
2
X 2n+4
为f(x)的最小值点，最小
(19) 解因为lim
(n + 2) (2n + 3)
X 2n+2
=x 2'所以当Ix ll时，
n-。
(n+l)(2n+D
--- [第 5 页] ---
幕级数发散．
=
又当x = 土1时，级数û/
1
I
''/ 门
I
'' 收敛，所以幕级数的收敛域为[-1, l]
no
=
X 2n+2
记fCx) =`/
, , ""
, ",x E [— 1,1], 则
n-0
厂(x) -2 i= X
2n+l
这
Zn+ l ，广(x)=2`x 2" -
2
2 ,xEC- l.D.
n-0
n-0
l — x
因为厂(0)=O,f(O) =0, 所以当XE (— 1, 1)时，
f'(x) r
f" Ct) dt = r 2
2 dt = ln(l + X) - ln(l
X)'
0
0 1 — t
f(x)= f:J'(t)dt = J:1nC1+t)dt-J:ln(l — t)dt
Cl+x)lnCl+x)+ Cl-x)ln(l — X)•
．
。
＝
＂
，
日
吁4
1
，
\
J
解
）
2
l
，
，
1
. 0
1
-
0
1
a
#
(
+
I
'
，
'
，
＇
,
＇
,
'
，
'
，
2
E
_＿
a
1
2
I
+
a
x
x
a
'
,
1
az
2
a
且
2
)
2
,
n
x
-
0
＝
-
－
2
』
Cl
1
1
o
za
＋
n
X
]
(
）
1
0
0
2
f
x
/
\
a
f
_
＋
换
变
m
7
-
.
l
-
－
l
x
(
－
丁
＼
丿
Iil
f
1
，
2
4
1
等
0
1
-
A
=
+
、、
丿
初
Za
秩
）
1
x
（
＋
以
＞
寸
1
施
l
)
+
P
（
2
n
)
In
门
，霾
a
l
l
X
_
_
2
，+
2
A
＿＿
)
n1
]
（
cx
广
忆
阵
f
E
＝
负
m
}
）
t
i
凡
I
3
X
_
＿
（
）
f
I
）
1
(
（
f
以
刀
牛
又
所
角
）。
2
（
CA : Pl'[
:
:
a+ 1
1
由方程组尤解知，秩(A
l — a
a
(I[)对矩阵(A TA : A rp)
施
以初等行变换
CA TA : A"P k[:
:
:
—ll·[i I II:,]
所以，方程组A
TAx -A TP的通解x — [
—
: + k
I
(k为任意常数）．
(21) 解
C I)因为
J [ :]
入
1
— 1
I入E
A I=
2
入+3
o
I= 入（入十1) (入+2)'
0
0
入
所以A的特征值为九=
1, 儿=
2, 入3 -o.
当入＝—1时，解方程组(— E — A)x = 0, 得特征向量f 1= Cl,l,O)勹
当儿＝—2时，解方程组(-2 E — A)x -O, 得特征向噩名= (1,2,0)飞
当儿=0时，解方程组Ax = 0, 得特征向量f 3 = (3,2,2)T.
1
1
3
令P'(丘丘名）'[,
2
,], 则
0
0
2
2]
P-'Al''[
ü
I
--- [第 6 页] ---
所以
(-1)99
A99 =P 。。
1
1
3
1
2
2
。。
2
299 -2
2100
2 。
C II)因为B 2=BA, 所以
。
(-2)99 。
(-1)99 。。
1 —299
1
2 100。
。。p-1
。
2
—l
—2
。
。
1
1
1
(—2) 99 。
2
。
。。。
1
2
2
298
2 -299
。
B IOO =B 98B 2 =B 99A =B 97B 2A =B 98A2 =…=BA99'
l — 299
即(p,,p,,p,) -( a, , a"三二二。
l — 2 100 。
2
—2;'"]
所以
P 1= C299 — 2)a i + (2100 — 2)a 2,
,-(1-2飞+(l — 2"'"飞
, -(2 -Z"') a , + (2 — Z'")a,, l
(22) 解
(I) (X, Y)的概率密度为
C II)对于OY,X冬t}
』
1
dx』T
3dy
。
3
=-t2 -t3 '
2
l
P{U冬O}
P{X >Y} =—,
2
P{X冬t)=』dx厂3dy
zt+ — t 3.
0
r2
由于P{U乏o,x 冬t}#-P{UO}P{Xt), 所以U与X不相互独立．
c III)当z Y,X冬z)
3
2
1
=—z
— z·
2
当l乏z
(23) 解
C I)总体X的分布函数为
F(x) {;, 二:·