(12) Ze工十e-2工
，则
解
因y(x)在X
=O处取得极值3'且y(x)可导，则y(O) =3,y'(O) =0.
特征方程为入2 十入-2
=0,解得入I
= l, 入2
=—2.
所以微分方程的通解为y =C 1e工+C 2 e-2勹
代入y(O) =3,y'(O) =O, 解得C 1
= Z,C 2
=l.
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故y(x) = ze + e-2气
(13) 21
解
由A的特征值为z' — 2,1 及B = A2 -A+E,则B的特征值为3,7, 1, 从而
[ B [ = 3 X 7 X 1 = 21.
1
(14) —z
解
由于相关系数为o,所以，X,Y都服从正态分布，即X¦N(l,l),Y¦N(O,l),且X和
Y相互独立．
由X¦N(l,l),可得X — l¦N(O,l),所以
P{XY-Y < O} = P{(X — l)YO}+P{X-l>O,Y O} + P { X —1 > O} P {Y < O}
＝长』三三=½
三、 解答题
(1 5)解因为
a
曰(x) = § 屯[1 + l + x+ b
(sinx + XCOSX) = 1 +a,
曰(x)¨四3kx'¨o,
]
f (x)
J'(x)
所以当l+a#-0时，lim
=lim
,
= =. 与题设矛盾
x 于o g (x)
尸·O g (x)
故l+a = O, 即a =-1.
又
四厂(x) = © 叶(1 :x)2 +b(Zcosx — xsinx)] =-a+ Zb = l + Zb,
limg" (x) c= lim6kx = 0,
x-o
x-o
由题设，同理可知1+ 2b = 0, 即b = ——.
1
2
由于
2a
尸(x)
Cl +x)3 -b (3sinx + xcosx)
hm
111
=lim
x-0 g (x)
x-0
6k
f (x)
1
且lim
= l, 所以— — = l, 即k = ——1
x-o g (x)
3k
3·
(16) 解因为区域D关于y轴对称，所以Jfxydxdy = 0,
』ª(x+ y)dxd: « §x"dxdy
D
= 2 { dx J厂正dy
a
1
3k
3k
= 2fx气立＝了
一
— x勹dx
。
，
--- [第 5 页] ---
= 2 f x
z 互勹dx — 2『x 4 dx.
0
0
令x = 荔sint,则
『x z 年二dx = J: 4sin2 tcos2 tdt =』J:o — cos4t)dt = 王，
。
8
又r x 4dx 二，所以
0
5
『Ó(x+y)dxdy = 二
I..
4
5
(18) 解
所以定价模型为
．\_
1-f
1-
7
，
-
c
l
M
＿
f-
l
\
p
．
`-
l
i
＝
1
7
1-
7
dp-
dQ
-
MC
Q
1
1
(
_＿
+
P
P
”r
p
＿
且
，
益
Q
c
M
收
dR
-
d
＿
＿
于“
V
边
R
R
M
得
M
，
Q
有
应
p
＝
，
R
大
益
最
收
司
J
由
利
）
使
欲
I
（
C II)
由
题设知MC=ZQ, T/ =
p dQ
p
Q dp
40-p
由
< I)
有
p=
2(40 —p)
40-P
，解得jJ= 30.
I --
p
所以此商品的价格为p=30.
曲线y =f釭）在点(x。,f(x。)）处的切线方程为
Y =f(x。) ＋厂(x。)(x — x。)，
该切线与x轴的交点为（
f(x。)
x。— 厂(x。) , o).
根据题设条件可知
—
1 I Jex。) |
2厂(x。)
• lf(xo) 1=4,
1
即y= f(x)满足方程y' = —沪．
8
解得y =-8C+x .
因为f(O) = 2, 所以C= — —
1
(19) 解
8
故f(x) =
, x EI.
4 — x
C I) 因为函数u(x),v(x)可导，所以
u(x+心）-u(x)
v(x +心）— v(x)
lim
公
= u'(x), lim
= v'(x), 且limv(x+L心= v(x).
心-o
心-o
企X
6x丑0
从而
--- [第 6 页] ---
[u(x)v(x)了
u(x + Dx)v(x十6x) — u(x)v(x)
=
lim
心
6x
u(x十心x)
u (x)
v (x + Dx) -v (x)
= lim[
DX
v (x + Dx) + u (x)
]
卢-o
八x
.
u (x + D.x) -u (x)
v (x + D.x) ---'- v (x)
= hm
• limv(x 十八x) +u(x) lim
丛厂声。
心x
卢吁
心
D.x
－矿(x)v(x) +u(x)v'(x) .
C II >
厂(x)
u(x)u 2 (x)…u n (x) +u 1 (x)u
1
2 Cx)… U n (x) +… +u 1 (x)u 2 (x)… u'., (x).
(20) 解C I)由于A
3 =O, 所以
a 1
0
[A[ —
1
a
— l[
=
a
3=
0,
0 1
a
千是a
=
O.
C II)由于
所以
由CI)知
X-XA 2 -AX +AXA 2 =E,
(E -A)X(E -A
2) =E.
E-A +:1: l
E-A
—[
1
因为E-A,E-A
2 均可逆，所以
21
12
0
1
31
— 2
x-m — A)
一'CB — A产+
l
-1][0 I
O l+
I
— 1]
1
1
0
1
0
0
21
— 1
，
、
J
I
O
2
O
l
O
(2
1)解
C I)由于矩阵A与矩阵B相似，所以
tr(A) = tr(B), IAl=IBI,
3
+
a -z +b, 2a— 3
=b,
于是
解得
a=4, b =5.
(ll)由(1)知A-[''i
:
-
; .
由于矩阵A勹矩阵B气:三以I
]
队H-HlC入
— 1)气入-5),
故A的特征值为入1
= 儿
= l, 儿=5 .
2
-3
当A,儿1时，由方程组(>;-A)xO, 得线性尤关的特征向量尸[Js,-[:
』
--- [第 7 页] ---
— 1
当儿À5时，由方程组(5E -A)xÀO, 得特征向量S,[了』
令P-(卢心＝厂。
—3 。
1
1
0
0
（
＼
＿＿
p
I
P
贝
,
lA
＼
丿
－
l
l
p
1
－
－
0
1
0
，
＼
／
0
0
5
故P为所求可逆矩阵．
(22) 解
C I)每次观测中，观测值大千3的概率为
P{X > 3} =
J厂f(x) dx = r=
2--x ln2dx —一1
8
故Y的概率分布为
C II)
P {Y = k } = Ck
1) (;)
k-z (!)
2
, k = 2 , 3 , … ．
EY = :z=k Ck
1) 7 k-
2 1 2
k-2
一厂）（习
=(订( :r'')"
1
2
2
=(百)
(1 —儿.) :1 I 三
7
b”
=16.
(23) 解
C I)由于总体X服从区间[0,1]上的均匀分布，所以
EX= 1+0
2 . 1+e
2
令
=X, 其中X为样本均值，得0的矩估计批ezx — 1 .
C II)记X1'立，… ，Xn 为样本X1,X2, …，X"的观测值，则似然函数为
L ((})=II f (x; ;(})
,-1
1
{(1
0)"'
0'
1
-{o — 0)"'
o,
其他
由此可知，当(}=min{x1 ,x
z
, … ，工｝时，L((})达到最大，故0的最大似然估计晕
0 =min{X1 ,X2, … ，X"}
{)ÁX, 之l(i=1,2, …, n),
其他
O冬min{x1,立，… ，工｝，