2013年数学三真题答案解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）当 0 x  时，用( ) o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A） 2 3 ( ) ( ) x o x o x   （B） 2 3 ( ) ( ) ( ) o x o x o x   （C） 2 2 2 ( ) ( ) ( ) o x o x o x   （D） 2 2 ( ) ( ) ( ) o x o x o x   【答案】D 【解析】 2 ( ) ( ) ( ) o x o x o x   ，故D 错误。 （2）函数 | | 1 ( ) ( 1)ln | | x x f x x x x    的可去间断点的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C 【解析】由题意可知 ( ) f x 的间断点为0, 1 。又 ln x 0 x 0 x 0 x 0 1 1 ln lim ( ) lim lim lim 1 ( 1)ln ( 1)ln ( 1)ln x x x x e x x f x x x x x x x x x x                  ln( ) x 0 x 0 x 0 x 0 ( ) 1 1 ln( ) lim ( ) lim lim lim 1 ( 1)ln( ) ( 1)ln( ) ( 1)ln( ) x x x x e x x f x x x x x x x x x x                        ln x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 ln 1 lim ( ) lim lim lim ( 1)ln ( 1)ln ( 1)ln 2 x x x x e x x f x x x x x x x x x x              ln( ) x 1 x 1 x 1 x 1 ( ) 1 1 ln( ) lim ( ) lim lim lim ( 1)ln( ) ( 1)ln( ) ( 1)ln( ) x x x x e x x f x x x x x x x x x x                    故 ( ) f x 的可去间断点有2 个。 --- [第 2 页] --- 2 （3）设 k D 是圆域 2 2 {( , ) | 1} D x y x y    位于第k 象限的部分，记 ( ) k k D I y x dxdy      1,2,3,4 k  ， 则（ ） （A） 1 0 I  （B） 2 0 I  （C） 3 0 I  （D） 4 0 I  【答案】B 【解析】令 cos , sin x r y r     ，则有 1 0 1 ( ) ( sin cos ) (cos sin ) 3 k k D I y x dxdy rdr r r d                   故当 2 k  时， , 2       ，此时有 2 2

0. 3 I   故正确答案选B。 （4）设{ } na 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若 1 1 1 , ( 1)n n n n n a a a        则 收敛 （B） 1 1 ( 1)n n n a      若 收敛，则 1 n n a a   （C） 1 n n a   若 收敛，则存在常数 1 P  ,使lim P n n n a  存在 （D）若存在常数 1 P  ，使lim P n n n a  存在，则 1 n n a   收敛 【答案】D 【解析】根据正项级数的比较判别法，当 1 P  时， 1 1 p n n   收敛，且lim P n n n a  存在，则 1 n n a   与 1 1 p n n   同 敛散，故 1 n n a   收敛. （5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB C  ，且C 可逆，则（ ） （A）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 --- [第 3 页] --- 3 （C）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B） 【解析】由 AB C  可知C 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示，又B 可逆，故有 1  CB A ，从而 A 的列向量组也可以由C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。 （6）矩阵 1 1 1 1 a a b a a           与 2 0 0 0 b 0 0 0 0           相似的充分必要条件为 （A） 0, 2 a b   （B） 为任意常数 b a ,0  （C） 0 ,2   b a （D） 为任意常数 b a ,2  【答案】(B) 【解析】由于 1 1 1 1 a a b a a           为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而 1 1 1 1 a a b a a           与 2 0 0 0 b 0 0 0 0           相似的 充分必要条件为 1 1 1 1 a a b a a           的特征值为 0, ,2 b 。 又 2 1 1 [( )( 2) 2 ] 1 1 a E A a b a b a a                     ，从而 为任意常数 b a ,0  。 （7）设 1 2 3 X X X ， ， 是随机变量，且 2 2 1 2 3 ~N(0,1) ~N( ~ (5,3 ) X N ，X 0,2 ），X , { 2 2}( 1,2,3), j j P P X j     则（ ） （A） 1 2 3 P P P   （B） 2 1 3 P P P   （C） 3 1 2 P P P   （D） 1 3 2 P P P   --- [第 4 页] --- 4 【答案】（A） 【解析】由       2 2 1 2 3 0,1 , 0,2 , 5,3 X N X N X N 知，      1 1 1 2 2 2 2 2 1 p P X P X        ，      2 2 2 2 2 2 2 1 1 p P X P X        ，故 1 2 p p  . 由根据   2 3 5,3 X N 及概率密度的对称性知， 1 2 3 p p p   ，故选（A） （8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为， 则{ 2} P X Y   ( ) （A）1 12 （B）1 8 （C）1 6 （D）1 2 【答案】（C） 【解析】        2 1, 1 2, 0 3, 1 P X Y P X Y P X Y P X Y            ，又根据题意 , X Y 独立， 故            1 2 1 1 2 0 3 1 6 P X Y P X P Y P X P Y P X P Y             ，选（C）.

位置上. （9）设曲线 ) (x f y  和 x x y   2 在点 )1,0 ( 处有公共的切线，则           2 lim n n nf n ________。 【答案】 2  【解析】 2 y x x   在(1,0) 处的导数是 '(1) 1 y  ，故 '(1) 1,

(1) 0 f f   ， 2 (1 )

(1) 2 2 lim ( ) lim '(1) ( 2) 2 2 2 2 2 n n f f n n n nf f n n n                     --- [第 5 页] --- 5 （10）设函数 ) , ( y x z z  由方程 xy y z x   ) ( 确定，则    ) 2 ,1 ( x z ________。 【答案】2 2ln 2  【解析】原式为 ln( ) , x z y e xy   左右两边求导得： [ln( ) ] , 1, 2 xz xy z y x y x y z y        令 得 0, 2(1 ln 2) x z z    （11）求 dx x x    1 2) 1( ln ________。 【答案】 2 ln 【解析】 2 ln 1 ln 1 ln ln ( ) + +ln (1 ) 1 1 (1 ) 1 1 x x x x dx xd dx x x x x x x x              2 1 1 ln ln ln lim +ln +ln ln 2 (1 ) 1 1 1 1 x x x x x x x dx x x x x x                          （12）微分方程 0 4 1      y y y 通解为  y ________。 【答案】   2 1 2 1 C x C e x  【解析】特征方程为 2 1 1 0, ( ) 4 2        二重根，所以通解为   1 2 1 2 x y e C x C   （13 ）设 ij A (a )  是三阶非零矩阵，| A | 为A 的行列式， ij A 为 ij a 的代数余子式，若 ij ij a A 0(i, j 1,2,3), ____ A     则 【答案】1  【解析】 0 ij ij a A   由 可知， * T A A  1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 0 i i i i i i j j j j j j ij ij j i A a A a A a A a A a A a A a a              2 * , =-1. T A A A A A    从而有 故 （14）设随机变量X 服从标准正态分布 ~N(0,1) X ,则 2 ( ) X E Xe = ________。 【答案】 2 2e --- [第 6 页] --- 6 【解析】由   0,1 X N 及随机变量函数的期望公式知     2 2 1 2 4 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 x x X x E Xe xe e dx xe dx e                      .

应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分10 分） 当 0 x  时，1 cos cos2 cos3 x x x    与 n ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。 【解析】因为当 0 x  时，1 cos cos2 cos3 x x x    与 n ax 为等价无穷小 所以 0 1 cos cos2 cos3 lim 1 n x x x x ax      又因为： 1 cos cos2 cos3 1 cos cos cos cos2 cos cos2 cos cos2 cos3 1 cos cos (1 cos2 ) cos cos2 (1 cos3 ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   即 0 0 1 cos cos2 cos3 1 cos cos (1 cos2 ) cos cos2 (1 cos3 ) lim lim n n x x x x x x x x x x x ax ax             0 2 2 2 2 2 2 0 1 cos cos (1 cos2 ) cos cos2 (1 cos3 ) lim( ) 1 1 1 ( ) (2 ) ( ) (3 ) ( ) 2 2 2 lim( ) n n n x n n n x x x x x x x ax ax ax x o x x o x x o x ax ax ax                所以 2 n  且1 4 9 1 7 2 2 2 a a a a     （16）（本题满分10 分） 设D 是由曲线 1 3 y x  ，直线 ( 0) x a a   及x 轴所围成的平面图形， , x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一 周所得旋转体的体积，若 10 y x V V  ，求a 的值。 【解析】由题意可得： 1 5 2 3 3 0 3 ( ) 5 a x V x dx a      1 7 3 3 0 6 2 7 a y V x x dx a       因为： 10 y x V V  所以 7 5 3 3 6 3 10 7 7 7 5 a a a       （17）（本题满分10 分） --- [第 7 页] --- 7 设平面内区域D 由直线 3 , 3 x y y x   及 8 x y   围成.计算 2 D x dxdy  。 【解析】 1 2 2 2 2 D D D x dxdy x dxdy x dxdy      2 3 6 8 2 2 0 2 3 3 x x x x x dx dy x dx dy        416 3  （18）（本题满分10 分） 设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元/件，价格函数为 60 1000 Q P   ，（P 是单价，单位： 元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当P=50 时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 【解析】（I）设利润为l ，则 2 (20 6000) 40 6000 1000 Q l PQ Q Q       边际利润' 40 500 Q l   （II）当 50 P  时，边际利润为20， 经济意义为：当 50 P  时，销量每增加一个，利润增加20 (III)令' 0, 20000 l Q   得 ，此时 60 40 1000 Q P    （19）（本题满分10 分） 设函数 ( ) f x 在[0, ] 上可导，

(0) 0 lim ( ) 2 x f f x    且 ，证明 （1）存在 0 a  ，使得 ( ) 1 f a  （2）对（1）中的a ，存在 (0, ), a  使得 1 '( ) . f a  【答案】（I）证明： 3 lim ( ) 2, , ( ) 2 x f x X x X f x      当 时，有 ， ( ) [0, ] f x X 在 上连续，根据连续函数介值定理，存在   0, ( ) 1 a X f a   ，使得 （II） ( ) f x 在[0, ] a 上连续且可导，根据拉格朗日中值定理， ( )

(0) '( ) 1, (0, ) f a f f a a       ， 故 1 (0, ) '( ) a f a     ，使得 （20）（本题满分11 分） --- [第 8 页] --- 8 设 1 0 1 , 1 0 1 a A B b               ，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B   ，并求所有矩阵C 。 【解析】 由题意可知矩阵C 为2 阶矩阵，故可设 1 2 3 4 x x C x x       ，则由AC CA B   可得线性方程组： 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 0 1 1 x ax ax x ax x x x x ax b                  （1） 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 a a a a a a a a a a b a b a b a a a b a                                                                         由于方程组（1）有解，故有1 0, 1 0 a b a     ，即 1, 0, a b   从而有 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 a a a a b                                 ，故有 1 1 2 2 1 1 2 3 1 4 2 1 , . x k k x k k k x k x k             其中、任意 从而有 1 2 1 1 2 1 k k k C k k          （21）（本题满分11 分） 设二次型       2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 , , 2 f x x x a x a x a x b x b x b x       ，记 1 1 2 2 3 3 , a b a b a b                         。 （I）证明二次型f 对应的矩阵为2 T T    ； （II）若 , 正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型 2 2 1 2 2y y  。 【答案】(1) --- [第 9 页] --- 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 ) (2 ) (2 ) (4 2 ) (4 ) (4 2 ) f a b x a b x a b x a a b b x x a a b b x x a a b b x x             2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 2 3 2 2 2 2 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 1 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T T a b a a b b a a b b a a a a a b b b b b f a a b b a b a a b b a a a a a b b b b b a a b b a a b b a b a a a a a b b b b b                                              则的矩阵为 （2） , 2 , T T T T T T A A                  令A=2 则 2 2 ，则1,2 均为A 的特 征值，又由于( ) (2 ) ( ) ( ) 2 T T T T r A r r r          ，故0 为A 的特征值，则三阶矩阵A 的特 征值为2,1,0，故f 在正交变换下的标准形为 2 2 1 2 2y y  （22）（本题满分11 分） 设  , X Y 是二维随机变量，X 的边缘概率密度为  2 3 , 0 1, 0, . X x x f x      其他 ，在给定   0 1 X x x    的 条件下，Y 的条件概率密度   2 3 3 , 0 , 0, . Y X y y x f y x x       其他 （1） 求  , X Y 的概率密度   , f x y ； （2） Y 的边缘概率密度  Yf y . 【答案】（1）      2 9 , 0 1,0 , , 0, . X Y X y x y x f x y f y x f x x          其他 （2）    2 9 ln , 0 1, , 0, . Y y y y f y f x y dx          其他 （23）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为  2 3 , 0, 0, . x e x f x x         其它 其中为未知参数且大于零， 1 2 , N X X X  ， 为来自总体 X 的简单随机样本. （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 【答案】(1) 2 3 0 0 ( ) ( ) x x EX xf x dx x e dx e d x x                     ，令EX X  ，故矩估计量为X . --- [第 10 页] --- 10

(2) 2 2 3 3 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ; ) 0 0 i i n n x x n n i i i i i i i i e x e x L f x x x                              其他 其他 当 0 ix  时， 1 1 1 ln ( ) 2 ln 3 ln n n i i i i L n x x           令 1 ln ( ) 2 1 0 n i i d L n d x         ， 得 1 2 1 n i i n x     ，所以得极大似然估计量  = 1 2 1 n i i n x  .