2012年数学三真题答案解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）曲线 2 2 1 x x y x    渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C 【解析】： 2 2 1 lim 1 x x x x     ，所以 1 x  为垂直的 2 2 lim 1 1 x x x x     ，所以 1 y 为水平的，没有斜渐近线故两条选C （2）设函数 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) x x nx f x e e e n      ，其中n 为正整数，则 '(0) f  （A） 1 ( 1) ( 1)! n n    （B）( 1) ( 1)! n n   （C） 1 ( 1) ! n n   （D）( 1) ! nn  【答案】：C 【解析】： ' 2 2 2 ( ) ( 2) ( ) ( 1)(2 2) ( ) ( 1)( 2) ( ) x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n                所以 '(0) f  1 ( 1) ! n n   （3）设函数 ) (t f 连续，则二次积分 rdr r f d   2 cos 2 2 2 0 ) (    =（ ） （A） dy y x f y x dx x x x ) ( 2 2 4 2 2 2 2 0 2 2       （B） dy y x f dx x x x ) ( 2 2 4 2 2 0 2 2      （C） dy y x f y x dx x x x ) ( 2 2 4 2 1 2 2 2 0 2 2        --- [第 2 页] --- 2 （D） dy y x f dx x x x ) ( 2 2 4 2 1 2 0 2 2       【答案】：（B） 【解析】：由 2 2 y x x   解得y 的下界为 2 2 x x  ，由 2 2 2  y x 解得y 的上界为 2 4 x  .故排 除答案（C）（D）. 将极坐标系下的二重积分化为  X 型区域的二重积分得到被积函数为 ) ( 2 2 y x f  ， 故选（B）. （4）已知级数    1 1 sin )1 ( i n n n 绝对收敛，     1 2 )1 ( i n n 条件收敛，则范围为（ ） （A） 2 1 0   （B） 1 2 1   （C） 2 3 1   （D） 2 2 3   【答案】：（D） 【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p 级数的收敛性结论.     1 1 sin )1 ( i n n n  绝对收敛可知 2 3   ；     1 2 )1 ( i n n 条件收敛可知 2   ，故答案为（D） （5）设 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 1 1 0 , 1 , 1 , 1 c c c c                                                  其中 1 2 3 4 , , , c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关 的是（ ） （A） 1 2 3 , ,  （B） 1 2 4 , ,  （C） 1 3 4 , ,  （D） 2 3 4 , ,  【答案】：（C） 【解析】：由于  1 3 4 1 1 3 4 0 1 1 1 1 , , 0 1 1 0 1 1 c c c c         ，可知 1 3 4 , , 线性相关。故选（C） （6 ）设A 为3 阶矩阵，P 为3 阶可逆矩阵，且 1 1 1 2 P AP            ，   1 2 3 , , P   ， --- [第 3 页] --- 3   1 2 2 3 , , Q     则 1 Q AQ  （ ） （A） 1 2 1           （B） 1 1 2           （C） 2 1 2           （D） 2 2 1           【答案】：（B） 【解析】： 1 0 0 1 1 0 0 0 1 Q P            ，则 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 Q P              ， 故 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 Q AQ P AP                                                        故选（B）。 （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间  0,1 上的均匀分布，则  2 2 1 P X Y   （ ） （A）1 4 （B）1 2 （C）8  （D）4  【答案】：（D） 【解析】：由题意得，     1, 0 1,0 1, , 0, . X Y x y f x y f x f y         其它     2 2 1 = , D P X Y f x y dxdy    ，其中D 表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是1，故根据二重积 分的几何意义，知  2 2 1 = 4 P X Y    ，故选（D）. （8）设 1 2 3 4 , , , X X X X 为来自总体    2 1, 0 N   的简单随机样本，则统计量 1 2 3 4 2 X X X X    的分布 （ ） （A）   0,1 N （B） 1 t （C）  2 1  （D）   1,1 F --- [第 4 页] --- 4 【答案】：（B） 【解析】：从形式上，该统计量只能服从t 分布。故选B 。 具体证明如下： 1 2 1 2 2 3 4 3 4 2 2 2 2 X X X X X X X X                ，由正态分布的性质可知， 1 2 2 X X   与 3 4 2 2 X X    均 服从标准正态分布且相互独立，可知  1 2 2 3 4 2 1 2 2 X X t X X            。

位置上. （9）   1 cos sin 4 lim tan x x x x    ________。 【答案】： - 2 e 【解析】：     4 1 lim tan 1 1 cos sin cos sin 4 lim tan x x x x x x x x e                 4 1 lim tan 1 cos sin x x x x           = 4 tan tan 4 lim cos sin x x x x      = 4 tan 1 tan tan 4 4 lim - 2 sin 4 x x x x                        = 4 1 tan tan 4 4 lim - 2 4 x x x x                        = 2 - 2 =- 2 所以     4 1 lim tan 1 1 cos sin cos sin 4 lim tan x x x x x x x x e               = - 2 e --- [第 5 页] --- 5 （10）设函数   ln , 1 ( ) , ( ) 2 1, 1 x x f x y f f x x x          ，求 0 x dy dx  ________。 【答案】：4 【解析】：       0 0 ' ( ) '( ) '

(0) '(0) ' 1 '(0) x x dy f f x f x f f f f f dx       由 ( ) f x 的表达式可知  ' 0 '( 1) 2 f f    ，可知 0 4 x dy dx   （11）函数 ( , ) z f x y  满足 2 2 0 1 ( , ) 2 2 lim 0 ( 1) x y f x y x y x y         ，则 (0,1) dz  【答案】：2dx dy  【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即 2 2 ( , ) 2 2 ( ( 1) ) f x y x y o x y       ， 所以 (0,1) 2 z x    ， (0,1) 1 z y    ，故 (0,1) 2 dz dx dy   （12） 由曲线 4 y x  和直线y x  及 4 y x  在第一象限中所围图形的面积为？ 【答案】：4ln 2 【解析】：被积函数为1 的二重积分来求，所以 4 2 4 0 2 4 4 y y y y S dy dx dy dx       3 3 4ln 2 4ln 2 2 2     （13）设A 为3 阶矩阵， 3 A  , * A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ,则 * BA ________。 【答案】：-27 【解析】：由于 12 B E A  ，故 * * 12 12 12 | | 3 BA E A A A E E     ， 所以， * 3 12 12 | | | 3 | 3 | | 27*( 1) 27 BA E E      . （14）设 , , A B C 是随机事件， , A C 互不相容， 1 ( ) 2 P AB  , 1 ( ) 3 P C  ,则 ( ) P ABC  ________。 【答案】：3 4 【解析】：由条件概率的定义，     P ABC P AB C P C  ， --- [第 6 页] --- 6 其中  1 2 1 1 3 3 P C P C    ，         1 2 P ABC P AB P ABC P ABC     ，由于 , A C 互不相容，即AC   ，   0 P AC  ，又 ABC AC  ，得   0 P ABC  ，代入得  1 2 P ABC  ，故  3 4 P AB C  .

应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分10 分） 计算 2 2 2cos 4 0 lim x x x e e x    【解析】： 2 2 2 2cos 2 2cos 2 2cos 4 4 0 0 0 1 lim lim lim x x x x x x x x e e e e x x              2 4 0 2 4 2 2 4 0 4 2 4 0 2 2cos lim 2 2 1 2 4! lim ( ) + 12 =lim 1 =12 x x x x x x x x x o x x x o x x                   泰勒公式 （16）（本题满分10 分） 计算二重积分 x D e xydxdy  ，其中D 为由曲线y x  与 1 y x  所围区域。 【 解 析 】 ： 由 题 意 知 ， 区 域 1 ( , ) | 0 1, D x y x x y x            ，如图所示所以 1 1 0 0 lim x x x x x D e xydxdy dx e xydy      y O 1 x --- [第 7 页] --- 7               1 1 2 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 lim 2 1 lim 2 2 1 lim 2 1 lim 1 2 2 1 lim 1 2 2 1 lim 1 2 2 1 1 lim 1 2 ( 1) 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x e x y dx x e x dx x e dx e x dx e e x e xdx xde e x e dx e e                                             （17）（本题满分10 分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企 业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y 件），且固定两种产品的边际成本分别为 2 20 x  （万元 /件）与 y  6 （万元/件）。 1）求生产甲乙两种产品的总成本函数 ) , ( y x C (万元) 2）当总产量为50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。 3）求总产量为50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 【解析】：1）设成本函数为 ( , ) C x y ，由题意有： ( , ) 20 2 x x C x y    ， 对x 积分得， 2 ( , ) 20 ( ) 4 x C x y x D y    ， 再对y 求导有， ( , ) ( ) 6 y C x y D y y      ， 再对y 积分有， 2 1 ( ) 6 2 D y y y c    所以， 2 2 1 ( , ) 20 6 4 2 x C x y x y y c      又 (0,0) 10000 C  ，故 10000 c  ，所以 2 2 1 ( , ) 20 6 10000 4 2 x C x y x y y      2）若 50 x y   ，则 50 (0 50) y x x     ，代入到成本函数中，有 --- [第 8 页] --- 8 2 2 2 1 ( ) 20 6(50 ) (50 ) 10000 4 2 3 36 11550 4 x C x x x x x x           所以，令 3 ( ) 36 0 2 C x x     ，得 24, 26 x y   ，这时总成本最小 (24,26) 11118 C  3）总产量为50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为 (24,26) 32 x C   ，表示在要求总产量为50 件时， 在甲产品为24 件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生32 万元的改变。 （18）（本题满分10 分） 证明： 2 1 ln cos 1 , 1 1 1 2 x x x x x x       【解析】：令  2 1 ln cos 1 1 2 x x f x x x x      ，可得    ' 2 2 2 2 1 1 2 ln sin 1 1 1 1 2 ln sin 1 1 1 1 ln sin 1 1 x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                        当0 1 x   时，有 1 ln 0 1 x x    ， 2 2 1 1 1 x x    ，所以 2 2 1 sin 0 1 x x x x     ， 故  ' 0 f x  ，而  0 0 f  ，即得 2 1 ln cos 1 0 1 2 x x x x x      所以 2 1 ln cos 1 1 2 x x x x x      。 当1 0 x   ，有 1 ln 0 1 x x    ， 2 2 1 1 1 x x    ，所以 2 2 1 sin 0 1 x x x x     ， 故  ' 0 f x  ，即得 2 1 ln cos 1 0 1 2 x x x x x      可知， 2 1 ln cos 1 , 1 1 1 2 x x x x x x       --- [第 9 页] --- 9 （19）（本题满分10 分）已知函数 ) (x f 满足方程 0 ) ( 2 ) ( ) ( ' ''    x f x f x f 及 xe x f x f 2 ) ( ) ( '   1）求表达式 ) (x f 2）求曲线的拐点 dt t f x f y x   0 2 2 ) ( ) ( 【解析】： 1）特征方程为 0 2 2   r r ，特征根为 2 ,1 2 1    r r ，齐次微分方程 ( ) ( ) 2 ( ) 0 f x f x f x      的通解 为 x x e C e C x f 2 2 1 ) (    .再由 '( ) ( ) 2 x f x f x e   得 2 1 2 2 2 x x x C e C e e    ，可知 1 2 1, 0 C C   。 故 ( ) x f x e  2）曲线方程为 2 2 0 x x t y e e dt    ，则 2 2 0 ' 1 2 x x t y xe e dt    ，   2 2 2 0 '' 2 2 1 2 x x t y x x e e dt      令 '' 0 y  得 0 x  。为了说明 0 x  是 '' 0 y  唯一的解，我们来讨论 '' y 在 0 x  和 0 x  时的符号。 当 0 x  时 ，   2 2 2 0 2 0,2 1 2 0 x x t x x e e dt      ， 可 知 '' 0 y  ； 当 0 x  时 ，   2 2 2 0 2 0,2 1 2 0 x x t x x e e dt      ，可知 '' 0 y  。可知 0 x  是 '' 0 y  唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线 dt t f x f y x   0 2 2 ) ( ) ( 在 0 x  左右两边的凹凸性相反，可知  0,0 点是曲线 dt t f x f y x   0 2 2 ) ( ) ( 唯一的拐点。 （20）（本题满分10 分） 设 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 a a A a a             ， 1 1 0 0 b              （Ⅰ）求A （Ⅱ）已知线性方程组Ax b  有无穷多解，求a ，并求Ax b  的通解。 【解析】：（Ⅰ） 4 1 4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 ( 1) 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 a a a a a a a a a a a      --- [第 10 页] --- 10 （Ⅱ） 2 3 2 4 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                            可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有 4 1 0 a   及 2 0 a a   ，可知 1 a 。 此时，原线性方程组增广矩阵为 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0                 ，进一步化为行最简形得 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0                 可知导出组的基础解系为 1 1 1 1       ，非齐次方程的特解为 0 1 0 0              ，故其通解为 1 0 1 1 1 0 1 0 k                     线性方程组Ax b  存在2 个不同的解，有| | 0 A  . 即： 2 1 1 0 1 0 ( 1) ( 1) 0 1 1 A            ，得 1  或-1. 当 1  时, 1 2 3 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x x                      ，显然不符，故 1 . （21）（本题满分10 分）三阶矩阵 1 0 1 0 1 1 1 0 A a            ， T A 为矩阵A 的转置，已知( ) 2 T r A A  ，且二次型 T T f x A Ax  。 1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 【解析】：1）由( ) ( ) 2 T r A A r A   可得， --- [第 11 页] --- 11 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 a a a      2）   1 1 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 2 0 2 , , 0 2 2 2 2 4 2 2 4 4 4 T T x f x A Ax x x x x x x x x x x x x                       则矩阵 2 0 2 0 2 2 2 2 4 B              2 0 2 0 2 2 2 6 0 2 2 4 E B                    解得B 矩阵的特征值为： 1 2 3 0; 2; 6       对于   1 1 0, 0 E B X      解 得对应的特征向量为： 1 1 1 1             对于   2 2 2, 0 E B X      解 得对应的特征向量为： 2 1 1 0             对于   3 3 6, 0 E B X      解 得对应的特征向量为： 3 1 1 2       将 1 2 3 , , 单位化可得： 1 1 1 1 3 1              ， 2 1 1 1 2 0              ， 3 1 1 1 6 2          1 2 3 , , Q   （22）（本题满分10 分） 已知随机变量 , X Y 以及XY 的分布律如下表所示， --- [第 12 页] --- 12 X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 求：（1）   2 P X Y  ； （2）   cov , X Y Y  与 XY  . 【解析】： X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 （1）       1 1 2 0, 0 2, 1 0 4 4 P X Y P X Y P X Y           （2）       cov , cov , cov , X Y Y X Y Y Y      cov , X Y EXY EXEY   ，其中   2 2 2 2 2 5 4 5 , 1, 1, , 1 3 3 9 9 EX EX EY EY DX EX EX           2 2 5 2 1 3 3 DY EY EY     , 2 3 EXY  所以，   cov , 0 X Y  ，   2 cov , 3 Y Y DY   ，   2 cov , 3 X Y Y   , 0 XY   . （23）（本题满分10 分） 设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，     min , , max , V X Y U X Y   . 求（1）随机变量V 的概率密度； （2）   E U V  . 【解析】： （1）X 概率密度为  , 0, 0, . x e x f x      其它 分布函数为  1 , 0, 0, . x e x F x      其它 X 和Y 同分布. 由   min , V X Y  ，          min , 1 , V F v P V v P X Y v P X v Y v        ， --- [第 13 页] --- 13 而 , X Y 独立，故上式等于     2 2 1 , 0, 1 1 1 0, . v e v P X v P Y v F v                其它 故   2 2 , 0, 0, . v V V e v f v F v        其它 （2）同理，U 的概率密度为：    2 1 , 0, 0, . u u U e e u f u         其它   0 3 2 1 2 u u EU u e e du        ， 2 0 1 2 2 v EV v e dv      ， 所以      3 1 2 2 2 E U V E U E V       .