2011年数学三真题答案解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

个选 项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上．)

(1) 【答案】(C)． 【解析】因为 0 3sin sin3 lim k x x x cx   0 3sin sin cos2 cos sin 2 lim k x x x x x x cx       2 0 sin 3 cos2 2cos lim k x x x x cx     2 1 0 3 cos2 2cos lim k x x x cx        2 2 1 0 3 2cos 1 2cos lim k x x x cx       2 2 1 1 0 0 4 4cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx        3 0 4 lim 1 k x cx     ． 所以 4, 3 c k   ，故答案选(C).

(2) 【答案】(B)． 【解析】    2 3 3 0 2 lim x x f x f x x        2 2 3 3 0 0 2 2 0 lim x x f x x f f x f x           3 3 0 0 0 lim 2 x f x f f x f x x                 0 2 0 0 f f f       ． 故答案选(B).

(3) 【答案】(A). 【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例． 选项(B)取 ( 1)n n u  ，这时 2 1 2 1 1 ( ) 0 n n n n u u          收敛，但 1 1 ( 1)n n n n u         发散，故选项 (B)错误； 选项(C)取 1 ( 1)n n u n    ，这时 1 1 1 ( 1)n n n n u n          收敛，但 2 1 2 1 1 1 ( ) n n n n u u n          发散，故 选项(C)错误； --- [第 2 页] --- 2 选项(D)取 1 n u ，这时 2 1 2 1 1 ( ) 0 n n n n u u          收敛，但 1 1 1 n n n u       发散，故选项(D)错误．故 正确答案为(A).

(4) 【答案】(B)． 【解析】因为0 4 x    时，0 sin cos 1 cot x x x    ， 又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x   ． 故正确答案为(B)．

(5) 【答案】(D)． 【解析】由于将A 的第2 列加到第1 列得矩阵B ，故 1 0 0 1 1 0 0 0 1 A B           ， 即 1 AP B  ， 1 1 A BP  ． 由于交换B 的第2 行和第3 行得单位矩阵，故 1 0 0 0 0 1 0 1 0 B E            ， 即 2 , P B E  故 1 2 2 B P P    ．因此， 1 2 1 A P P  ，故选(D)．

(6) 【答案】(C)． 【解析】由于 1 2 3 , , 是Ax   的3 个线性无关的解，所以 3 1 2 1 ,      是 0 Ax  的两 个线性无关的解，即 0 Ax  的基础解系中至少有2 个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项． 又因为 2 3 0 2 A    ，所以 2 3 2    是 0 Ax  的解，不是Ax   的解，故排除(D)选项， 因此选(C)． 事实上，由于 1 2 3 , , 是Ax   的三个线性无关的解，所以 2 1 3 1 ,     是 0 Ax  的两 个线性无关的解，即 0 Ax  的基础解系中至少有2 个线性无关的解，亦即3 ( ) 2 r A   ，故 ( ) 1 r A  ．由于A O  ，所以( ) 1 r A  ，故( ) 1 r A ．这样， 0 Ax  的基础解系中正好有2 个 线性无关的解，由此知 2 1 3 1 ,     是 0 Ax  的一个基础解系． 因为 1 2 3 , , 是Ax   的解，所以 2 3 , A A       ，因此 2 3 2 A     ，所以 2 3 2    --- [第 3 页] --- 3 是Ax   的一个特解． 由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax   的通解为 2 3 1 2 1 2 3 1 ( ) ( ) 2 k k            ．

(7) 【答案】(D)． 【解析】选项(D) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f x F x f x F x dx        2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) F x dF x F x dF x         2 1( ) ( ) d F x F x         1 2 ( ) ( ) | F x F x    1  ． 所以 1 2 2 1 ( ) ( ) f F x f F x  为概率密度.

(8) 【答案】(D)． 【解析】因为 1 2 , , , ( ) n X X X P   ， 所以 ( ) i E X   ， ( ) i D X   ，从而有       1 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) n n i i i i X E X E T n n n n E E X E X              1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1                   n n i n i n i i E T E X X E X E X n n n n     1 1 1            E X E X n n ． 因为 1 1 1 n  ，所以    1 2  E T E T ． 又因为     1 1 2 1 ( ( 1 1 ) )         n i i D T D n D X D X n n X n n ．   1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( 1) ( )              n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T 2 2 1 1 ( 1 1 1 ) ( ) 1 D X D X n n n n                ． 由于当 2  n 时， 2 1 1 1 1    n n n ，所以     1 2 D T D T  ． --- [第 4 页] --- 4

位置上．)

(9) 【答案】   3 1 3 x e x  . 【解析】因为      3 1 3 0 0 lim 1 3 lim 1 3 x t x t t t t t f x x t x t              3x x e   ， 所以，    3 1 3    x f x e x .

(10) 【答案】   1 2ln 2 dx dy   . 【解析】 ln(1 ) (1 ) x x x y y y x z e y     , 1 1 (1 ) ln(1 ) 1 x y dz x x x y x dx y y y y y                   , 2 2 (1 ) ln(1 ) 1 x y x dz x x x x y x dy y y y y y                     ， 所以， (1,1) 2ln 2 1 dz dx   ， (1,1) 1 2ln 2 dz dx  ， 从而       1,1 1 2ln 2 1 2ln 2 dz dx dy     或      1,1 1 2ln 2 dz dx dy    .

(11) 【答案】 2 y x  . 【解析】方程tan 4 y x y e           的两端对x 求导，有   2 sec 1 4 y x y y e y               ， 将 0, 0 x y   代入上式，有   2 1 1 cos 4 y y      ，解得   0,0 2 y ， 故切线方程为： 2 y x  .

(12) 【答案】4 3. 【解析】如图２所示： 2 2 1 V y dx   y 2 1 y x   --- [第 5 页] --- 5   2 2 1 1 x dx     4 3  ． 图２

(13) 【答案】 2 1 3y ． 【解析】因为A 的各行元素之和为3，所以 1 1 1 3 1 1 1 A            ，故3 为矩阵A 的特征值． 由( ) 1 r A 知矩阵A 有两个特征值为零，从而 1 2 3 3, 0       ． 由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在 正交变换下的标准形为 2 1 3y ．

(14) 【答案】  2 2    ． 【解析】根据题意，二维随机变量  , X Y 服从   2 2 , ; , ;0 N   ．因为 0 xy   ，所以由 二维正态分布的性质知随机变量 , X Y 独立，所以 2 , X Y ．从而有          2 2 2 2 2 E XY E X E Y D Y E Y             ．

应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．)

(15) (本题满分10 分) 【解析】   2 0 0 1 2sin 1 1 2sin 1 lim lim ln 1 x x x x x x x x x           0 1 2cos 1 2 1 2sin lim 2 x x x x      0 cos 1 2sin lim 2 1 2sin x x x x x      --- [第 6 页] --- 6 0 0 0 cos 1 2sin lim 2 cos sin 1 2sin lim 2 cos lim 2 1 2sin

1 . 2 x x x x x x x x x x x             

(16) (本题满分10 分) 【解析】 1 2 1 [( ), ( , )] [( ), ( , )] ( , ) z f x y f x y f x y f x y f x y x                                   2 11 12 2 21 22 2 1 2 12 , 1 , ( , ) , , ( , ) ( , ) , , z f x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y                                                   由于   1,1 2 f  为   , f u v 的极值，故     1 2 1,1 1,1 0 f f     ， 所以，       2 11 2 12 2,2 2,2 1,1 . z f f f x y        

(17) (本题满分10 分) 【解析】令t x  ，则 2 x t  , 2 dx tdt  ，所以 arcsin ln x xdx x   2 arcsin ln 2 t t tdt t       2 2 arcsin ln t t dt    2 2 2 2 2 arcsin 2 2 ln 2 1 t t t t dt t t t dt t t           2 2 2 (1 ) 2 arcsin 2 ln 4 1 d t t t t t t t          2 2 2 arcsin 2 1 2 ln 4 t t t t t t C         --- [第 7 页] --- 7 2 arcsin 2 ln 2 1

4 . x x x x x x C      

(18) (本题满分10 分) 【解析】设 4 ( ) 4arctan 3 3 f x x x      ， 则 2 2 4 ( 3 )( 3 ) ( ) 1 1 1 x x f x x x        ， 令 ( ) 0 f x   ，解得驻点 1 2 3, 3 x x   . 所以，当 3 x  时， ( ) 0 f x   ，故 ( ) f x 单调递减；当 3 3 x    时， ( ) 0 f x   ， 故 ( ) f x 单调递增；当 3 x  时， ( ) 0 f x   ，故 ( ) f x 单调递减. 又当 ( , 3) ( 3, 3) x   时 ( ) 0 f x  ，且 ( 3) 0 f   ，故 ( , 3) x 时只有一 个零点； 又 8 ( 3) 2 3 0 3 f     ，  4 lim lim 4arctan 3 0 3 x x f x x x               ，由零 点定理可知，存在   0 3, x  ，使   0 0 f x  ； 所以，方程 4 4arctan 3 0 3 x x      恰有两实根.

(19) (本题满分10 分) 【解析】 2 1 ( ) ( ) 2 t D f t dxdy t f t   ， 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) t t t x D t t f x y dxdy dx f x y dy f t f x dx tf t f x dx                由题设有 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 t tf t f x dx t f t    ， 上式两端求导，整理得 (2 ) ( ) 2 ( ) t f t f t    ， --- [第 8 页] --- 8 为变量可分离微分方程，解得 2 ( ) ( 2) C f t t   ， 带入

(0) 1 f ，得 4 C  . 所以， 2 4 ( ) ,0 1 ( 2) f x x x     .

(20) (本题满分11 分) 【解析】(I)由于 1 2 3 , , 不能由 1 2 3 , ,  线性表示，对 1 2 3 1 2 3 ( , , , , , )   进行初等行 变换： 1 2 3 1 2 3 1 1 3 1 0 1 ( , , , , , ) 1 2 4 0 1 3 1 3 1 1 5 a             1 1 3 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 2 3 0 1 4 a              1 1 3 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 0 5 2 1 0 a               ． 当 5 a  时， 1 2 3 1 2 3 1 ( , , ) 2 ( , , , ) 3 r r        ，此时， 1 不能由 1 2 3 , ,  线性表示，故 1 2 3 , , 不能由 1 2 3 , ,  线性表示． (II)对 1 2 3 1 2 3 ( , , , , , )    进行初等行变换： 1 2 3 1 2 3 1 0 1 1 1 3 ( , , , , , ) 0 1 3 1 2 4 1 1 5 1 3 5              1 0 1 1 1 3 0 1 3 1 2 4 0 1 4 0 2 2           1 0 1 1 1 3 0 1 3 1 2 4 0 0 1 1 0 2             1 0 0 2 1 5 0 1 0 4 2 10 0 0 1 1 0 2             ， 故 1 1 2 3 2 4        ， 2 1 2 2      ， 3 1 2 3 5 10 2        ．

(21) (本题满分11 分) --- [第 9 页] --- 9 【解析】(I)由于 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 A                        ，设     1 2 1,0, 1 , 1,0,1 T T      ，则     1 2 1 2 , , A    ，即 1 1 2 2 , A A       ，而 1 2 0, 0     ，知A 的特征值为 1 2 1, 1    ，对应的特征向量分别为   1 1 1 0 k k   ，   2 2 2 0 k k   ． 由于 2 r A  ，故 0 A  ，所以 3 0  ． 由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 3 0  对应的特征 向量为   3 1 2 3 , , T x x x  ，则 1 3 2 3 0, 0, T T        即 1 3 1 3 0, 0 x x x x        ． 解此方程组，得   3 0,1,0 T  ，故 3 0  对应的特征向量为   3 3 3 0 k k   ． (II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：       3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1,0, 1 , 1,0,1 , 0,1,0 2 2 T T T                 ． 令   1 2 3 , , Q   ，则 1 1 0 T Q AQ            ， T A Q Q   2 2 0 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 0 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 1 0 0 2 2                                                  --- [第 10 页] --- 10 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 2 2 0 1 0 0 2 2                                           ．

(22) (本题满分11 分) 【解析】(I)因为  2 2 1 P X Y   ，所以    2 2 2 2 1 0     P X Y P X Y ． 即       0, 1 0, 1 1, 0 0 P X Y P X Y P X Y          ． 利用边缘概率和联合概率的关系得到         1 0, 0 0 0, 1 0, 1 3 P X Y P X P X Y P X Y            ；       1 1, 1 1 0, 1 3 P X Y P Y P X Y         ；       1 1, 1 1 0, 1 3 P X Y P Y P X Y         ． 即  , X Y 的概率分布为 (II) Z 的所有可能取值为1,0,1  ．     1 1 1, 1 3 P Z P X Y      ．     1 1 1, 1 3 P Z P X Y      ．       1 0 1 1 1 3 P Z P Z P Z       ． Z XY  的概率分布为 Z -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 X Y -1 0 1 0 1/3 0 1 0 1/3 0 1/3 --- [第 11 页] --- 11 (III)因为        ( ) ( ) ( ) ( ) XY Cov XY E XY E X E Y D X D Y D X D Y      ， 其中    1 1 1 1 0 1 0 3 3 3 E XY E Z      ，  1 1 1 1 0 1 0 3 3 3 E Y     ． 所以      0    E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数 0   XY ．

(23) (本题满分11 分) 【解析】二维连续型随机变量( , ) X Y 的概率密度为 1,0 1, 2 , ( , ) 0, . y y x y f x y         其它 (Ｉ)当0 1 x  时， 0 ( ) ( , ) 1 x Xf x f x y dy dy x        ． 当1 2 x   时， 2 0 ( ) ( , ) 1 2 x Xf x f x y dy dy x          ． X 的边缘概率密度为 , 0 1, ( ) 2 , 1 2, 0, X x x f x x x           其它. (II)当0 1 y   时，Y 的边缘概率密度为 2 ( ) ( , ) 1 2 2 y Y y f y f x y dx dx y          ． 当0 1 y   时， | ( | ) X Y f x y 有意义，条件概率密度 | 1 , 2 , ( , ) 2 2 ( | ) ( ) 0, X Y Y y x y f x y y f x y f y         其它.