--- [第 1 页] ---
一、 填空题
(1) 【答案】1
【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有( 1)
n
，故求此数列的极限，分为奇数列和
偶数列两个部分进行。
记
( 1)
1
(
)
n
n
n
u
n
，则
2
2
1
2
1
( 1)
lim
lim (
)
lim (
)
1
2
2
2
n
n
n
u n
n
n
n
n
n
2
1
2
2
1
( 1)
lim
lim (
)
lim (
)
1
2
1
2
1
2
n
n
n
u n
n
n
n
n
n
所以
lim
1
un
n
.
(2) 【答案】
3
2e
【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。利用题目已知的函数关系式进行求导便
可得出。
由
( )
( )
f
x
f
x
e
，有
( )
( )
2 ( )
( )
(
)
( )
f x
f x
f x
f
x
e
e
f
x
e
所以
2 ( )
2 ( )
2 ( )
3 ( )
( )
(
)
(2 ( ))
2
( )
2
f x
f x
f x
f x
f
x
e
e
f x
e
f
x
e
以
2
x
代入，得
3 (2)
3
(2) 2
2
f
f
e
e
.
(3) 【答案】4
2
dx
dy
【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法：
方法1：
由微分形式不变性，有
2
2
2
2
2
2
(4
) (4
)
(4
)(8
2
)
dz
f
x
y
d
x
y
f
x
y
xdx
ydy
(1,2)
(0) (8
4
)
4
- 2
dz
f
dx
dy
dx
dy
方法2：
求偏导数，
2
2
(4
) 8 ,
z
f
x
y
x
x
2
2
(4
)( 2 )
y
z
f
x
y
y
.
以
1
1,
2,
(0) 2
x
y
f
，代入
z
z
dz
dx
dy
x
y
便得如上结果.
2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
--- [第 2 页] ---
(4) 【答案】2
【详解】由已知条件
2
BA
B
E
变形得，
2
BA
E
B
(
)
2
B A
E
E
, 两边取行列
式, 得
(
)
2
4
4
B A
E
E
E
其中，
2
1
1
0
1
1
2
1
2
0
1
1 1
A E
，
2
2
2 E
4
E
因此，
2
4
2
2
E
B
A
E
.
(5) 【答案】1 9
【详解】根据独立性原理：若事件
1,
,
n
A
A
独立，则
1
2
1
2
n
n
P A
A
A
P A P A
P A
事件
max{
, }
1
1,
1
1
1
X Y
X
Y
X
Y
，而随机变量X 与Y 均服
从区间[0,3] 上的均匀分布，有
1
0
1
1
1
3
3
P X
dx
和
1
0
1
1
1
3
3
P Y
dy
. 又随机变
量X 与Y 相互独立，所以，
max( , )
1
1,
1
1
1
P
x y
P x
Y
P x
P Y
1
1
3
3
1
9
(6) 【答案】2.
【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量
2
(
)
(
)
E S
D X
，故只要计算
(
)
D X 即可.
X 概率密度函数
( )
f x 是偶函数，则
( )
xf x 为奇函数，所以
(
)
( )
0
E X
x f x dx
所以
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
[ (
)]
(
)
E S
D X
E X
E X
E X
2
2
0
( )
2
( )
x f x dx
x f x dx
2
0
x
x e dx
2
0
x
x de
2
2
0
0
|
x
x
x e
e dx
2
0
0
|
2
x
x
x e
xde
2
0
0
0
|
2
|
2
x
x
x
x e
xe
e dx
0
0
2 0
( 1)
二、 选择题
(7) 【答案】A
--- [第 3 页] ---
【详解】
方法1：图示法.
因为
( )
0,
f
x
则
( )
f x 严格单调增加；因为
( )
0,
f
x
则
( )
f x 是凹函数，又
0
x
，画
2
( )
f x
x
的图形
结合图形分析，就可以明显得出结论：0
dy
y
.
方法2：用两次拉格朗日中值定理
0
0
0
(
)
(
)
(
)
y
dy
f x
x
f x
f
x
x
(前两项用拉氏定理)
0
( )
(
)
f
x
f
x
x
(再用一次拉氏定理)
0
( )(
)
f
x
x
,
其中
0
0
0
,
x
x
x x
由于
( )
0
f
x
，从而
0
y
dy
. 又由于
0
(
)
0
dy
f
x
x
，故选[ ]
A
方法3：
用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：
0
0
0
( )
( )
( )(
)
f x
f x
f x
x
x
( )
2
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
2!
!
n
n
n
f
x
f
x
x
x
x
x
R
n
，
其中
(
1)
0
0
(
) (
)
(
1)!
n
n
n
f
x
R
x
x
n
. 此时n 取1 代入，可得
2
0
0
0
1
(
)
(
)
(
)
( )(
)
0
2
y
dy
f x
x
f x
f
x
x
f
x
又由
0
(
)
0
dy
f
x
x
，选( )
A
.
(8) 【答案】C
【详解】题目考察该抽象函数在0 点处的函数值，及0 点处的左右导数，计算如下：
换元令
2
x
h
，由题设可得
2
2
0
0
(
)
( )
lim
lim
1
h
x
f h
f x
h
x
.
于是
0
0
( )
lim
( )
lim
1 0
0
x
x
f x
f x
x
x
因为函数
( )
f x 在点
0
x
处连续，故
0
(0) lim
( )
0
x
f
f x
，进而有
O
x0
x0+Δx
x
y
y=f(x)
Δy
dy
--- [第 4 页] ---
0
0
( )
( )
(0) 0
x
x
f x
f x
f
f
x
x
.
这表明
(9) 【答案】D
【详解】
方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛
因为
1
n
n
a
收敛，所以
1
1
n
n
a
也收敛，所以
1
1
(
)
n
n
n
a a
收敛，从而
1
1
2
n
n
n
a
a
也收敛.选D.
方法2：记
( 1)n
na
n
，则
1
n
n
a
收敛. 但
1
1
1
n
n
n
a
n
，( p 级数，
1
2
p
级数发散)；
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a a
n n
( p 级数，
1
p 级数发散)均发散。由排除法可知，应选D.
(10) 【答案】B
【详解】线性方程解的性质与结构：1.
由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通
解；2. 线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.
因为
1
2
( )
( )
y x
y
x
，所以
1
2
(
( )
( ))
y x
y
x
是齐次微分方程的一个非零解，C 是任意常
数，所以
1
2
(
( )
( ))
C y x
y
x
是对应的齐次微分方程的通解. 再加上原非齐次方程的一个特
解，便得原非齐次方程的通解，[ B ].
(11) 【答案】D
【详解】
方法1：化条件极值问题为一元函数极值问题。
已知
0
0
(
,
)
0
x
y
，由( , )
0
x y
，在
0
0
,
)
x
y
（
邻域，可确定隐函数
( )
y
y x
，
满足
0
0
(
)
y x
y
，dy
x
y
dx
。
0
0
,
)
x
y
（
是
( , )
f x y
在条件
( , )
0
x y
下的一个极值点
0
x
x
是
( , ( ))
z
f x y x
的极值点。它的必要条件是
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
x x
x x
f x
y
f x
y
dz
dy
dx
x
y
dx
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
,
)
0
(
,
)
(
,
)
(
,
)
x
y
x x
x
y
x
y
x
y
f x y
f
x y
若
0
0
(
,
)
0
xf
x
y
，则
0
0
(
,
)
0
yf
x
y
，或
0
0
(
,
)
0
x x
y
，因此不选( )
A ，( )
B .
若
0
0
(
,
)
0
xf
x
y
，则
0
0
(
,
)
0
yf
x
y
(否则
0
0
x x
dz
dx
). 因此选(
)
D
方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数
( , , )
( , )
( , )
F x y
f x y
x y
，有
--- [第 5 页] ---
( , )
( , )
0
(2) ( , )
0
x
x
x
y
y
y
F
f
x y
x y
F
f
x y
x y
F
x y
因为
0
0
(
,
)
0
y x
y
，所以
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
y
y
f
x
y
x
y
，代入(1)得
0
0
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
y
x
x
y
f
x
y
x
y
f
x
y
x
y
若
0
0
(
,
)
0
xf
x
y
，则
0
0
(
,
)
0
yf
x
y
，选(
)
D
(12) 【答案】A
【详解】
方法1：若
1
2
,
,
,
s
线性相关, 则由线性相关定义存在不全为0 的数
1
2
s
,
,
,
k k
k
使得
1
1
2
2
0
s
s
k
k
k
为了得到
1
2
,
,
,
s
A
A
A
的形式，用A 左乘等式两边, 得
1
1
2
2
0
s
s
k A
k A
k A
①
于是存在不全为0 的数
1
2
s
,
,
,
k k
k
使得①成立，所以
1
2
,
,
,
s
A
A
A
线性相关.
方法2 ：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:
1. 1
2
,
,
,
s
线性相关
1
2
(
,
,
,
)
s
r
s
；2.
(
)
( )
r AB
r B
.
矩阵
1
2
1
2
(
,
,
,
)
(
,
,
,
)
s
s
A
A
A
A
, 设
1
2
s
B
(
,
,
,
)
，则由
(
)
( )
r AB
r B
得
1
2
1
2
(
,
,
,
)
(
,
,
,
)
s
s
r A
A
A
r
s
. 所以答案应该为( A ).
(13) 【答案】B
【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变
换或列变换)得出
将A 的第2 行加到第1 行得B ，即
1
1
0
0
1
0
0
0
1
B
A
记 PA
将B 的第1 列的-1 倍加到第2 列得C ，即
1
1
0
0
1
0
0
0
1
C
B
记 BQ
--- [第 6 页] ---
因为PQ
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
E
，故
1
Q
P E
1
P
.
从而
1
1
C
BQ
BP
PAP
,故选( B ).
(14) 【答案】A.
【详解】由于X 与Y 的分布不同，不能直接判断
1
{|
| 1}
P
X
和
2
{|
| 1}
P Y
的大小
与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。
随机变量标准化，有
1
1
X
~
(0,1)
N
，且其概率密度函数是偶函数. 所以
1
1
1
1
1
(
1)
(
)
X
P X
P
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
2[ (
)
(0) ] 2 (
) 1
X
P
.
同理有，
2
2
1
(
1)
2 (
) 1
P Y
因为
( )x
是单调递增函数，当
1
2
{|
| 1}
{|
| 1}
P
X
P Y
时，
1
1
2 (
) 1
2
1
2 (
) 1
，即
1
2
1
1
，所以
1
2
，故选(A).
三、 解答题
(15) 【详解】题目考察二元函数的极限，求( )
g x 时，可以将y 视为常数
(I)
( )
lim
( , )
lim [
]
1
sin
1
arctan
g x
f x y
y
y
x
y
y
y
xy
x
,
由于
0
x
，所以lim
sin
lim
,
y
y
x
x
y
y
x
y
y
1
1
lim
lim
,
1
1
y
y
y
xy
x
x
y
所以
1
1
( )
arctan
x
g x
x
x
.
(II)
2
2
2
0
0
0
0
1
1
arctan
arctan
lim ( )
lim(
)
lim
lim
arctan
arctan
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
x
--- [第 7 页] ---
2
2
2
0
0
1
1 2
2
2
1
lim
lim
2
2(1
)
x
x
x
x
x
x
x
x
(16) 【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。
计算步骤如下：
积分区域D 如下图所示.
{( , ) 0
1,0
}
D
x y
y
x
y
，
故
1
2
2
0
0
y
D
y
xydxdy
dy
y
xydx
3
1
2
0
2
(
)
0
3
y
y y
x
dy
1
2
0
2
3
y dy
2
9
.
(17) 【详解】令
( )
sin
2cos
f x
x
x
x
x
，只需证明0
x
时, ( )
f x 单调增加(严格)
( )
sin
cos
2sin
f
x
x
x
x
x
cos
sin
x
x
x
( )
cos
sin
cos
sin
0
f
x
x
x
x
x
x
x
( )
f
x
单调减少(严格)，
又
( )
cos
0
f
，故0
x
时
( )
0
f
x
，则
( )
f x 单调增加(严格)
( )
( )
b
a
f b
f a
由
有
得证
(18) 【详解】(I) 设所求的曲线方程为
( )
y
y x
，按题意，在其上任意一点
( , )
P x y 处的切线
斜率y与OP 的斜率y
x
的差等于
(
0,
0)
ax a
x
，即有
y
y
ax
x
, 并且有初始条件
(1) 0
y
. 解之，按一阶线性微分方程解的公式，有
--- [第 8 页] ---
1
1
ln
ln
[
]
[
]
[
]
(
)
dx
dx
x
x
x
x
y
e
axe
dx
C
e
axe
dx
C
x
adx
C
x ax
C
(以上
1dx
x
不写成ln x 而可以写成ln x 的原因是，题中有初始条件(1)
0
y
，x 取在1处
而微分方程的解应是连续的，题设
0
x
，故其解只能取在包含
1
x
而不跨过
0
x
区间，
故
0
x
,因此ln x 可以写成ln x ).
再由(1)
0
y
定出C
a
，于是所求的曲线方程为
(
1),
0
y
ax x
a
.
(II) 直线y
ax
与曲线
(
1)
y
ax x
的交点(0,0) 与(2,2 )
a . 所以直线y
ax
与曲线
(
1)
y
ax x
所围平面图形的面积为
2
2
2
0
0
4
( )
[
(
1)]
[2
]
3
S a
ax
ax x
dx
ax
ax dx
a
按题意，4
8
3
3
a
，故
2
a
.
(19) 【详解】
记
-1
2
1
(-1
(2 -1)
n
n
n
x
u
n
n
）
，有
2
3
(-1
2
(
1)(2
1)
1
lim
lim
-1 2
1
(-1
(2 -1)
n
n
x
u
n
n
n
x
n
n
un
n
n
x
n
n
）
）
所以，当
2
1
x
即
1
x 时，原级数绝对收敛；
当
2
1
x
，即
1
x
时，原级数通项不趋于0，级数发散，
所以，收敛半径
1
R
. 在
1
x 处
-1
(-1
(2 -1)
n
nu
n n
），级数
1
n
n
u
绝对收敛，故收敛域为[ 1,1]
.
求和函数，应在收敛区间内进行，即
[ 1,1]
x
，
由
-1 2
1
-1 2
(-1
(-1
(2 -1)
(2 -1)
1
1
n
n
n
n
x
x
x
n
n
n
n
n
n
）
）
令
-1 2
(-1
( )
(2 -1)
1
n
n
x
f x
n
n
n
）
有
-1 2
-1 2
-1 2
1
(-1
(-1
2(-1
( ) (
)
(
)
(2 -1)
(2 -1)
2 -1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
n
n
n
n
n
n
n
n
）
）
）
-1 2
1
-1 2
1
2(-1
2(-1
-1 2
2
( ) (
)
(
)
2
(-1
2 -1
2 -1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
n
n
f
x
x
n
n
n
n
n
）
）
）
2
2
2
2
(-1
2
(
2
1
0
0
n
n
n
x
x
x
n
n
）
）
.
--- [第 9 页] ---
再倒回去，有
2
0
0
2
( )
(0) ( )
0
2arctan
1
x
x
f
x
f
f
t dt
dt
x
t
( )
(0) ( )
0 2
arctan
0
0
x
x
f x
f
f
t dt
xdt
2
2
2[arctan
|
]
2 arctan
ln(1
)
0
0
2
1
x
x
t
dt
x
t
x
t
.
于是
1 2
1
( 1
2
2
2
arctan
ln(1
),
1
1
(2 -1)
1
n
n
x
x
t
x
x
x
n
n
n
）
.
又因在
1
x 处级数收敛，右边和函数的表达式在
1
x 处连续，因此，在
1
x 处上式
仍成立，即有
1 2
1
1
2
2
( )
2
arctan
ln(1
),
1
1
2
1
1
n
n
x
s x
x
x
x
x
x
n
n
n
(20) 【详解】
方法1：记
1
2
3
4
[
,
,
,
]
A
，则
1
2
3
4
1
2
3
4
|
| 1
2
3
4
1
2
3
4
a
a
A
a
a
把所有列都加到第一列
10
2
3
4
10
2
3
4
10
2
3
4
10
2
3
4
a
a
a
a
a
a
a
把第一列公因式(10
)
a
提到行列式前面
1
2
3
4
1 2
3
4
(10
)
1
2
3
4
1
2
3
4
a
a
a
a
3
1
2
3
4
0
0
0
(10
)
(
10)
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
线性相关的定义：存在一组不等于零的数
1
2
3
4
k ,k ,k ,k , 使得
1
1
2
2
3
3
4
4
0
k
k
k
k
成立，则
1
2
3
4
,
,
,
线性相关.
于是当
0
A
时方程组
1
1
2
2
3
3
4
4
0
k
k
k
k
有非零解，此时满足线性相关的定
义. 即：
3
(
10)
0
a
a
，解得当
0
a
或
10
a
时，
1
2
3
4
,
,
,
线性相关.
当
0
a
时，
1
为
1
2
3
4
,
,
,
的一个极大线性无关组，且
2
1
3
1
4
1
2
,
3
,
4
.
--- [第 10 页] ---
当
10
a
时, 对A 作初等行变换.
9
2
3
4
1
8
3
4
1
2
7
4
1
2
3
6
A
2
1
1
3
1
1
4
1
1
9
2
3
4
10
10
0
0
10
0
10
0
10
0
0
10
2 1 10
3 1 10
4 1 10
9
2
3
4
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
4
4
1
3
3
1
2
2
1
2
3
4
0
0
0
0
1
1
0
0
[
,
,
,
]
1
0
1
0
1
0
0
1
可以看出由于
2
3
4
,
,
为
1
2
3
4
,
,
,
的一个极大线性无关组，且
1
2
3
4
，
故
2
3
4
,
,
为
1
2
3
4
,
,
,
的一个极大线性无关组，且
1
2
3
4
.
方法2：记
1
2
3
4
[
,
,
,
]
A
，对A 施以初等行变换，有
2
1
1
3
1
1
4
1
1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
0
0
a
a
a
a
a
A
B
a
a
a
a
a
a
当
0
a
时，
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B
，得
1
r A
r B
，因而
1
2
3
4
,
,
,
线性相关,
此时
1
为
1
2
3
4
,
,
,
的一个极大线性无关组，且
2
1
3
1
4
1
2
,
3
,
4
.
0
a
时，再对B 施以初等行变换，有
2
1
4
4
3
1
3
3
4
1
2
2
1
2
3
4
1
2
3
4
10
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
[ ,
,
,
].
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
a
a
a
a
a
B
C
如果
10
a
，C 的秩为4，故
1
2
3
4
,
,
,
线性无关；如果
10
a
时，C 的秩为3，故
1
2
3
4
,
,
,
线性相关. 由于
2
3
4
,
,
是
1
2
3
4
,
,
,
的一个极大线性无关组，且
1
2
3
4
，于是
2
3
4
,
,
是
1
2
3
4
,
,
,
的一个极大线性无关组，
1
2
3
4
.
--- [第 11 页] ---
(21) 【详解】(I) 由题设条件
1
1
0
0
A
，
2
2
0
0
A
，故
1
2
,
是A 的对应于
0
的特征向量，又因为
1
2
,
线性无关，故
0
至少是A 的二重特征值. 又因为A 的每行元
素之和为3 ，所以有
(1,1,1)
(3,3,3)
3(1,1,1)
T
T
T
A
，由特征值、特征向量的定义，
0
(1,1,1)T
是A 的特征向量, 特征值为
3
3
，
3
只能是单根，
3
0
3
0
k
,k
是全体特征
向量，从而知
0
是二重特征值.
于是A 的特征值为3,0,0 ；属于3 的特征向量:
3
3
3
0
k
,k
；属于0 的特征向量:
1
1
2
2
k
k
，
1
2
,
k k 不都为0 .
(Ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化.
先将
0
单位化, 得
0
3
3
3
(
,
,
)
3
3
3
T
.
对
1
2
,
作施密特正交化, 得
1
2
2
(0,
,
)
2
2
T
,
2
6
6
6
(
,
,
)
3
6
6
T
.
作
1
2
3
(
,
,
)
Q
, 则Q 是正交矩阵,并且
-1
3 0 0
0 0 0
0 0 0
T
Q AQ
Q AQ
(III)由
T
Q AQ ，其中
1
T
Q
Q
1
1
1
1
2
1
6
2
3
6
6
3
0
2
1
1
1
0
0
0
6
3
2
2
3
1
1
1
1
1
1
3
3
3
6
2
3
1
1
1
6
2
3
0
0
0
1 1 1
2
1
0
0
0
0
1 1 1
6
3
1
1
1
1 1 1
1
1
1
3
3
3
6
2
3
T
A
Q Q
--- [第 12 页] ---
6
6
6
6
6
6
1
6
6
6
3
3
3
3
(
)
(
)
( (
)
)
(
)
2
2
2
2
3
3
2
2
0
3
3
0
2
2
3
3
3
2
2
3
3
3
( )
( )
( )
2
2
2
T
T
T
T
T
T
A
E
Q Q
E
Q
E Q
Q
E
Q
Q
Q
Q
Q
QEQ
QQ
E
.
(22) 【详解】
( )
( )
Y
Y
f
y
F
y
, 由于
( )
Xf
x 是分段函数，所以在计算
2
P X
y
时，要相应
分段讨论. 求
1
(
,4)
2
F
2
1
1
(
,
4)
(
,
4),
2
2
P X
Y
P X
X
只是与X 有关，不必
先求出
( , )
F x y 的函数.
(I)
因为
2
( )
Y
F
y
P Y
y
P X
y
，当
0
y
时，
( )
0;
Y
F
y
当0
1
y
时，
0
0
1
1
3
( )
(
)
2
4
4
y
Y
y
F
y
P
y
X
y
dx
dx
y
；
当1
4
y
时，
0
1
0
1
1
1
1
( )
(
)
2
4
2
4
y
Y
F
y
P
y
X
y
dx
dx
y
；
当
4
y
时，
( )
1;
Y
F
y
综上所述，有
2
0,
0
3
,
0
1
4
( )
1
1
,
1
4
2
4
1,
4
Y
y
y
y
F
y
P Y
y
P X
y
y
y
y
由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，
3
,
0
1
8
1
( )
( )
,
1
4
8
0,
Y
Y
y
y
f
y
F
y
y
y
其他
这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，属于基本
题型.
--- [第 13 页] ---
(Ⅱ) 由协方差的计算公式
2
3
2
cov(
, )
cov(
,
)
(
)
(
)
(
)
X Y
X X
E X
E X
E X
需要计算
(
E X），
2
(
)
E X
，
3
(
)
E X
.
0
2
-1
0
1
( )
2
4
4
X
x
x
E X
xf
x dx
dx
dx
（）
；
2
2
0
2
2
2
-
-1
0
5
( )
2
4
6
X
x
x
E X
x f
x dx
dx
dx
（
）
；
3
3
0
2
3
3
-
-1
0
7
( )
2
4
8
X
x
x
E X
x f
x dx
dx
dx
（
）
.
故
2
3
2
cov(
, )
cov(
,
)
(
(
(
X Y
X X
E X
E X
X
）
）
）7
1
5
2 . 8
4
6
3
(III) 根据二维随机变量的定义
( , )
,
F a b
P X
a Y
b
，有
2
1
1
1
1
(
,4)
(
,
4)
,
4
2
2
2
2
2
F
P X
Y
P X
X
P
X
由一维概率计算公式
( )
b
X
a
P a
X
b
f
x dx
有，
)
4,
2
1
(
F
1
2
1
1
1
2
4
dx
.
(23) 【答案】的矩估计
3
2
X
；的最大似然估计
.
N
n
【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只
需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于
找出总体的矩
(
)
E X .
最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然
函数. 样本值中
ix 小于1 的概率是，
ix 大于1 的概率是
1
. 因此，似然函数应为：
1
( )
;
(1
)
.
n
N
n N
i
i
L
f x
(I) 由数学期望的定义：
1
2
0
1
(
)
( ; )
(1- )
E X
xf x
dx
xdx
xdx
1
3
3
(1
)
2
2
2
样本均值
1
1
n
i
i
X
X
n
用样本均值估计期望有
EX
X
即3
2
X
，解得
3
2
X
.
--- [第 14 页] ---
所以参数的矩估计为
3
2
X
.
其中
1
1
n
i
i
X
X
n
.
(Ⅱ)
对样本
nx
x
x
,
,
2
1
按照
1
或者
1
进行分类，不妨设：
1
2
,
,
p
p
pN
x
x
x
1
，
1
2
,
,
pN
pN
pn
x
x
x
1
. 似然函数
1
2
1
2
(1
)
,
,
1,
,
,
1
( )
0,
N
n N
p
p
pN
pN
pN
pn
x
x
x
x
x
x
L
，
其他
，
在
1
2
,
,
1
p
p
pN
x
x
x
，
1
2
,
,
1
pN
pN
pn
x
x
x
时，等式两边同取自然对数得
)
1
ln(
)
(
ln
)
(
ln
N
n
N
L
，
由于ln ( )
L 和( )
L 在的同一点取得最大值，所以令
0
1
)
(
ln
N
n
N
d
L
d
，
解得
N
n
，所以的最大似然估计值为
N
n
.