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- 1 -
2005 年考研数学（三）真题解析
一、 填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）
（
1）极限
1
2
sin
lim
2
x
x
x
x
=
2
. 【分析】
本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.
【详解】
1
2
sin
lim
2
x
x
x
x
=
.2
1
2
lim
2
x
x
x
x
（2）
微分方程
0
y
y
x
满足初始条件
2
)1(
y
的特解为
2
xy
.
【分析】直接积分即可.
【详解】原方程可化为
0
)
(
xy
，积分得
C
xy
，
代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.
（3）设二元函数
)
1
ln(
)1
(
y
x
xe
z
y
x
，则
)
0
,1
(
dz
dy
e
edx
)
2
(
2
.
【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.
【详解】
)
1
ln(
y
xe
e
x
z
y
x
y
x
,
y
x
xe
y
z
y
x
1
1 ,
于是
)
0
,1
(
dz
dy
e
edx
)
2
(
2
.
（4）设行向量组
)1,1,1,2
(
，
)
,
,1,2
(
a
a
，
)
,1,2,3
(
a ，
)1,2,3,4
(
线性相关，且
1
a
，则a=
2
1
. 【分析】四个4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.
【详解】
由题设，有
1
2
3
4
1
2
3
1
2
1
1
1
2
a
a
a
0
)1
2
)(
1
(
a
a
, 得
2
1
,1
a
a
，但题设
1
a
，故
.
2
1
a
（5）从数1,2,3,4 中任取一个数，记为X, 再从
X
,
,2,1
中任取一个数，记为Y, 则
}
2
{
Y
P
=
48
13
.
【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即
为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】
}
2
{
Y
P
=
}
1
2
{
}
1
{
X
Y
P
X
P
+
}
2
2
{
}
2
{
X
Y
P
X
P
--- [第 2 页] ---
- 2 -
+
}
3
2
{
}
3
{
X
Y
P
X
P
+
}
4
2
{
}
4
{
X
Y
P
X
P
=
.
48
13
)
4
1
3
1
2
1
0
(
4
1
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X
Y
0
1
0
0. 1
已知随机事件
}
0
{
X
与
}
1
{
Y
X
相互独立，则a=
0. 1
.
【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定
a,b 的取值.
【详解】由题设，知
a+b=0.5
又事件
}
0
{
X
与
}
1
{
Y
X
相互独立，于是有
}
1
{
}
0
{
}
1
,0
{
Y
X
P
X
P
Y
X
X
P
，
即
a=
)
)(
4. 0
(
b
a
a
,
由此可解得
a=0.4, b=0.1
二、 选择题（本题共8 小题，每小题4 分，满分32 分. 每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a 取下列哪个值时，函数
a
x
x
x
x
f
12
9
2
)
(
2
3
恰好有两个不同的零点.
(A)
8. [
B
]
【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极
值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.
【详解】
12
18
6
)
(
2
x
x
x
f
=
)
2
)(
1
(
6
x
x
，知可能极值点为x=1,x=2，且
a
f
a
f
4
)
2
(
,
5
)1(
，可见当a=4 时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).
（8 ）设
d
y
x
I
D
2
2
1
cos
,
d
y
x
I
D
)
cos(
2
2
2
,
d
y
x
I
D
2
2
2
3
)
cos(
, 其中
}
1
)
,
{(
2
2
y
x
y
x
D
，则
(A)
1
2
3
I
I
I
.
（B）
3
2
1
I
I
I
.
(C)
3
1
2
I
I
I
.
(D)
2
1
3
I
I
I
.
[
A
]
【分析】关键在于比较
2
2
y
x
、
2
2
y
x
与
2
2
2
)
(
y
x
在区域
}
1
)
,
{(
2
2
y
x
y
x
D
上的大小.
【详解】
在区域
}
1
)
,
{(
2
2
y
x
y
x
D
上，有
1
0
2
2
y
x
，从而有
2
2
1
2
y
x
2
2
y
x
0
)
(
2
2
2
y
x
--- [第 3 页] ---
- 3 -
由于cosx 在
)
2
,0
(
上为单调减函数，于是
2
2
cos
0
y
x
)
cos(
2
2
y
x
2
2
2
)
cos(
y
x
因此
d
y
x
D
2
2
cos
d
y
x
D
)
cos(
2
2
d
y
x
D
2
2
2
)
cos(
，故应选(A).
（9）设
,
,2,1
,0
n
an
若
1
n
n
a 发散，
1
1
)1
(
n
n
n a 收敛，则下列结论正确的是
(A)
1
1
2
n
n
a
收敛，
1
2
n
n
a
发散.
（B）
1
2
n
n
a
收敛，
1
1
2
n
n
a
发散.
(C)
)
(
1
2
1
2
n
n
n
a
a
收敛.
(D)
)
(
1
2
1
2
n
n
n
a
a
收敛.
[
D
]
【分析】
可通过反例用排除法找到正确答案.
【详解】
取
n
an
1
，则
1
n
n
a 发散，
1
1
)1
(
n
n
n a 收敛，
但
1
1
2
n
n
a
与
1
2
n
n
a
均发散，排除(A),(B)选项，且
)
(
1
2
1
2
n
n
n
a
a
发散，进一步排除(C),
故应选(D).
事实上，级数
)
(
1
2
1
2
n
n
n
a
a
的部分和数列极限存在.
（10）设
x
x
x
x
f
cos
sin
)
(
,下列命题中正确的是
(A)
f(0)是极大值，
)
2
(
f
是极小值.
（B）f(0)是极小值，
)
2
(
f
是极大值.
（C）
f(0)是极大值，
)
2
(
f
也是极大值.
(D)
f(0)是极小值，
)
2
(
f
也是极小值.
[
B
]
【分析】先求出
)
(
),
(
x
f
x
f
，再用取极值的充分条件判断即可.
【详解】
x
x
x
x
x
x
x
f
cos
sin
cos
sin
)
(
，显然
0
)
2
(
,0
)
0
(
f
f
，
又
x
x
x
x
f
sin
cos
)
(
，且
0
2
)
2
(
,0
1
)
0
(
f
f
，故f(0)是极小值，
)
2
(
f
是极大值，
应选(B).
（11）以下四个命题中，正确的是
(A)
若
)
(x
f
在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
（B）若
)
(x
f
在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
--- [第 4 页] ---
- 4 -
（C）若
)
(x
f
在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D)
若
)
(x
f
在（0，1）内有界，则
)
(x
f
在（0，1）内有界.
[
C
]
【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.
【详解】设f(x)= x
1 , 则f(x)及
2
1
)
(
x
x
f
均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、
(B);
又
x
x
f
)
(
在（0，1）内有界，但
x
x
f
2
1
)
(
在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).
（12）设矩阵A=
3
3)
(
ij
a
满足
T
A
A
*
，其中
*
A 是A 的伴随矩阵，T
A 为A 的转置矩阵. 若
13
12
11
,
,
a
a
a
为三个相等的正数，则
11
a 为
(A)
3
3 . [
A
]
【分析】题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：
.
*
*
E
A
A
A
AA
.
【详解】由
T
A
A
*
及
E
A
A
A
AA
*
*
，有
3,2,1
,
,
j
i
A
a
ij
ij
，其中
ij
A 为
ij
a 的代数余子式，
且
0
3
2
A
A
A
E
A
AAT
或
1
A
而
0
3
2
11
13
13
12
12
11
11
a
A
a
A
a
A
a
A
，于是
1
A
，且
.
3
3
11
a
故正确选项为(A).
（13）设
2
1,
是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为
2
1,
，则
1
，
)
(
2
1
A
线
性无关的充分必要条件是
(A)
0
1
.
(B)
0
2
.
(C)
0
1
.
(D)
0
2
.
[
D
]
【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.
【详解】方法一：令
0
)
(
2
1
2
1
1
A
k
k
，则
0
2
2
2
1
1
2
1
1
k
k
k
，
0
)
(
2
2
2
1
1
2
1
k
k
k
.
由于
2
1,
线性无关，于是有
.0
,0
2
2
1
2
1
k
k
k
当
0
2
时，显然有
0
,0
2
1
k
k
，此时
1
，
)
(
2
1
A
线性无关；反过来，若
1
，
)
(
2
1
A
--- [第 5 页] ---
- 5 -
线性无关，则必然有
0
2
(,否则，
1
与
)
(
2
1
A
=
1
1
线性相关)，故应选(B).
方法二：由于
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
1
0
1
]
,
[
]
,
[
)]
(
,
[
A
，
可见
1
，
)
(
2
1
A
线性无关的充要条件是
.0
0
1
2
2
1
故应选(D).
（14）设一批零件的长度服从正态分布
)
,
(
2
N
，其中
2
,
均未知. 现从中随机抽取16 个零件，
测得样本均值
)
(
20 cm
x
，样本标准差
)
(1 cm
s
，则的置信度为0.90 的置信区间是
(A)
)).
16
(
4
1
20
),
16
(
4
1
20
(
05
.0
05
.0
t
t
(B)
)).
16
(
4
1
20
),
16
(
4
1
20
(
1. 0
t
t
(C)
)).
15
(
4
1
20
),
15
(
4
1
20
(
05
.0
05
.0
t
t
(D)
)).
15
(
4
1
20
),
15
(
4
1
20
(
1. 0
t
t
[
C
]
【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：
).
1
(
~
n
t
n
s
x
【详解】由正态总体抽样分布的性质知，
)1
(
~
n
t
n
s
x
，故的置信度为0.90 的置信区间是
))
1
(
1
),
1
(
1
(
2
2
n
t
n
x
n
t
n
x
，即
)).
15
(
4
1
20
),
15
(
4
1
20
(
05
.0
05
.0
t
t
故应选(C).
三、 解答题（本题共9 小题，满分94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8 分）
求
).
1
1
1
(
lim
0
x
e
x
x
x
【分析】
"
"
型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
【详解】
)
1(
1
lim
)
1
1
1
(
lim
2
0
0
x
x
x
x
x
e
x
e
x
x
x
e
x
=
2
2
0
1
lim
x
e
x
x
x
x
=
x
e
x
x
x
2
2
1
lim
0
=
.
2
3
2
2
lim
0
x
x
e
（16）（本题满分8 分）
--- [第 6 页] ---
- 6 -
设f(u)具有二阶连续导数，且
)
(
)
(
)
,
(
y
x
yf
x
y
f
y
x
g
，求
.
2
2
2
2
2
2
y
g
y
x
g
x
【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.
【详解】
由已知条件可得
)
(
)
(
2
y
x
f
x
y
f
x
y
x
g
，
)
(
1
)
(
)
(
2
4
2
3
2
2
y
x
f
y
y
x
f
x
y
x
y
f
x
y
x
g
，
)
(
)
(
)
(
1
y
x
f
y
x
y
x
f
x
y
f
x
y
g
，
)
(
)
(
)
(
)
(
1
3
2
2
2
2
2
2
y
x
f
y
x
y
x
f
y
x
y
x
f
y
x
x
y
f
x
y
g
，
所以
2
2
2
2
2
2
y
g
y
x
g
x
=
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
y
x
f
y
x
y
x
f
x
y
x
y
f
x
y
)
(
)
(
2
2
2
y
x
f
y
x
x
y
f
x
y
=
).
(
2
x
y
f
x
y
（17）（本题满分9 分）
计算二重积分
d
y
x
D
1
2
2
，其中
}
1
0,1
0
)
,
{(
y
x
y
x
D
.
【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.
【详解】
记
}
)
,
(,1
)
,
{(
2
2
1
D
y
x
y
x
y
x
D
，
}
)
,
(,1
)
,
{(
2
2
2
D
y
x
y
x
y
x
D
，
于是
d
y
x
D
1
2
2
=
1
)1
(
2
2
D
dxdy
y
x
2
)1
(
2
2
D
dxdy
y
x
=
2
0
2
1
0
)1
(
rdr
r
d
D
dxdy
y
x
)1
(
2
2
1
)1
(
2
2
D
dxdy
y
x
= 8
+
2
0
1
0
2
2
1
0
2
1
0
)1
(
)1
(
rdr
r
d
dy
y
x
dx
=
.
3
1
4
（18）（本题满分9 分）
求幂级数
1
2
)1
1
2
1
(
n
n
x
n
在区间(-1,1)内的和函数S(x).
--- [第 7 页] ---
- 7 -
【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，
从而达到求和的目的.
【详解】设
1
2
)1
1
2
1
(
)
(
n
n
x
n
x
S
，
1
2
1
1
2
1
)
(
n
n
x
n
x
S
，
1
2
2
)
(
n
n
x
x
S
，
则
)
(
)
(
)
(
2
1
x
S
x
S
x
S
，
).
1,1
(
x
由于
1
2
2
)
(
n
n
x
x
S
=
2
2
1
x
x
，
)1,1
(
,
1
))
(
(
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
xS
n
n
,
因此
x
x
x
x
dt
t
t
x
xS
0
2
2
1
1
1
ln
2
1
1
)
(
，
又由于
0
)
0
(
1
S
，故
.0
,1
,0
,
1
1
ln
2
1
1
)
(
1
x
x
x
x
x
x
S
所以
)
(
)
(
)
(
2
1
x
S
x
S
x
S
.0
,1
,0
,
1
1
1
1
ln
2
1
2
x
x
x
x
x
x
（19）（本题满分8 分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,
0
)
(
x
f
,
0
)
(
x
g
.证明：对任何a
]1,0
[
,有
a
g
a
f
dx
x
g
x
f
dx
x
f
x
g
0
1
0
).
1(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
【分析】
可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.
【详解】方法一：设
)
(x
F
x
g
x
f
dt
t
g
t
f
dt
t
f
t
g
0
1
0
)1(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
，
则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且
)
(x
F
)]
1(
)
(
)[
(
)1(
)
(
)
(
)
(
g
x
g
x
f
g
x
f
x
f
x
g
，
由于
]1,0
[
x
时，
0
)
(
,0
)
(
x
g
x
f
，因此
0
)
(
x
F
，即F(x)在[0，1]上单调递减.
--- [第 8 页] ---
- 8 -
注意到
)1(
F
1
0
1
0
)1(
)1(
)
(
)
(
)
(
)
(
g
f
dt
t
g
t
f
dt
t
f
t
g
，
而
1
0
1
0
1
0
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
dt
t
g
t
f
t
f
t
g
t
df
t
g
dt
t
f
t
g
=
1
0
)
(
)
(
)1(
)1(
dt
t
g
t
f
g
f
，
故F(1)=0.
因此
]1,0
[
x
时，
0
)
(
x
F
，由此可得对任何
]1,0
[
a
，有
a
g
a
f
dx
x
g
x
f
dx
x
f
x
g
0
1
0
).
1(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
方法二：
a
a
a
dx
x
g
x
f
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
a
dx
x
g
x
f
a
g
a
f
0
)
(
)
(
)
(
)
(
，
a
dx
x
g
x
f
dx
x
f
x
g
0
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
1
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
dx
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
a
g
a
f
a
1
. )
(
)
(
)
(
)
(
a
dx
x
g
x
f
a
g
a
f
由于
]1,0
[
x
时，
0
)
(
x
g
，因此
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
a
f
x
g
x
f
，
]1,
[a
x
，
1
0
1
0
)]
(
)1(
)[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
g
g
a
f
dx
x
g
a
f
dx
x
g
x
f
，
从而
a
dx
x
g
x
f
dx
x
f
x
g
0
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
).
1(
)
(
)]
(
)1(
)[
(
)
(
)
(
g
a
f
a
g
g
a
f
a
g
a
f
（20）（本题满分13 分）
已知齐次线性方程组
（i）
,0
,0
5
3
2
,0
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
ax
x
x
x
x
x
x
x
x
和
（ii）
,0
)1
(
2
,0
3
2
2
1
3
2
1
x
c
x
b
x
cx
bx
x
同解，求a,b, c 的值.
--- [第 9 页] ---
- 9 -
【分析】方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出
（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c 即可.
【详解】方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）
与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.
对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换
2
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
5
3
2
3
2
1
a
a
，
从而a=2.
此时，方程组（i）的系数矩阵可化为
0
0
0
1
1
0
1
0
1
2
1
1
5
3
2
3
2
1
，
故
T)1,1
,1
(
是方程组（i）的一个基础解系.
将
1
,1
,1
3
2
1
x
x
x
代入方程组（ii）可得
2
,1
c
b
或
.1
,0
c
b
当
2
,1
c
b
时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有
1
1
0
1
0
1
3
1
2
2
1
1
，
显然此时方程组（i）与（ii）同解.
当
1
,0
c
b
时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有
0
0
0
1
0
1
2
0
2
1
0
1
，
显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.
综上所述，当a=2,b=1,c=2 时，方程组（i）与（ii）同解.
（21）（本题满分13 分）
设
B
C
C
A
D
T
为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为
n
m
矩阵.
(I) 计算
DP
PT
，其中
n
m
E
o
C
A
E
P
1
；
（II）利用(I)的结果判断矩阵
C
A
C
B
T
1
是否为正定矩阵，并证明你的结论.
【分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.
--- [第 10 页] ---
- 10 -
【详解】(I) 因
n
T
m
T
E
A
C
o
E
P
1
，有
DP
PT
=
n
T
m
E
A
C
o
E
1
B
C
C
A
T
n
m
E
o
C
A
E
1
=
C
A
C
B
o
C
A
T
1
n
m
E
o
C
A
E
1
=
C
A
C
B
o
o
A
T
1
. （II）矩阵
C
A
C
B
T
1
是正定矩阵.
由(I)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵
.
1
C
A
C
B
o
o
A
M
T
又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.
因矩阵M 为对称矩阵，故
C
A
C
B
T
1
为对称矩阵.
对
T
X
)
0,
,0,0
(
及任意的
0
)
,
,
,
(
2
1
T
ny
y
y
Y
，有
.0
)
(
)
,
(
1
1
Y
C
A
C
B
Y
Y
X
C
A
C
B
o
o
A
Y
X
T
T
T
T
T
故
C
A
C
B
T
1
为正定矩阵.
（22）（本题满分13 分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
.
,
2
0,1
0
,0
,1
)
,
(
其他
x
y
x
y
x
f
求：（I）(X,Y)的边缘概率密度
)
(
),
(
y
f
x
f
Y
X
；
（II）
Y
X
Z
2
的概率密度
).
(z
f Z
( III )
}.
2
1
2
1
{
X
Y
P
【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，
即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.
【详解】（I）关于X 的边缘概率密度
)
(x
f X
=
dy
y
x
f
)
,
(
=
.
,1
0
,0
,
2
0
其他
x
dy
x
--- [第 11 页] ---
- 11 -
=
.
,1
0
,0
,
2
其他
x
x
关于Y 的边缘概率密度
)
(y
fY
=
dx
y
x
f
)
,
(
=
.
,2
0
,0
,
1
2
其他
y
dx
y
=
.
,2
0
,0
,
2
1
其他
y
y
（II）令
}
2
{
}
{
)
(
z
Y
X
P
z
Z
P
z
FZ
，
1）当
0
z
时，
0
}
2
{
)
(
z
Y
X
P
z
FZ
；
2）当
2
0
z
时，
}
2
{
)
(
z
Y
X
P
z
FZ
=
2
4
1 z
z
;
3)
当
2
z
时，
.1
}
2
{
)
(
z
Y
X
P
z
FZ
即分布函数为：
.2
,2
0
,0
,1
,
4
1
,0
)
(
2
z
z
z
z
z
z
FZ
故所求的概率密度为：
.
,2
0
,0
,
2
1
1
)
(
其他
z
z
z
f Z
（III）
.
4
3
4
1
16
3
}
2
1
{
}
2
1
,
2
1
{
}
2
1
2
1
{
X
P
Y
X
P
X
Y
P
（23）（本题满分13 分）
设
)
2
(
,
,
,
2
1
n
X
X
X
n
为来自总体N(0,
2
) 的简单随机样本，X 为样本均值，记
.
,
,2,1
,
n
i
X
X
Y
i
i
求：（I）
iY 的方差
n
i
DYi
,
,2,1
,
；
（II）
1Y 与
n
Y 的协方差
).
,
( 1
n
Y
Y
Cov
（III）若
2
1
)
(
n
Y
Y
c
是
2
的无偏估计量，求常数c.
【分析】先将
iY 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求
1Y 与
n
Y 的协方
--- [第 12 页] ---
- 12 -
差
)
,
( 1
n
Y
Y
Cov
，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计
2
1
)
(
n
Y
Y
c
，利
用其数学期望等于
2
确定c 即可.
【详解】由题设，知
)
2
(
,
,
,
2
1
n
X
X
X
n
相互独立，且
)
,
,2,1
(
,0
2
n
i
DX
EX
i
i
，
.0
X
E
（I）
n
i
j
j
i
i
i
X
n
X
n
D
X
X
D
DY
]
1
)
1
1
[(
)
(
=
n
i
j
j
i
DX
n
DX
n
2
2
1
)
1
1(
=
.
1
)1
(
1
)1
(
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
（II）
)]
)(
[(
)
,
(
1
1
1
n
n
n
EY
Y
EY
Y
E
Y
Y
Cov
=
)]
)(
[(
)
(
1
1
X
X
X
X
E
Y
Y
E
n
n
=
)
(
2
1
1
X
X
X
X
X
X
X
E
n
n
=
2
1
1
)
(
2
)
(
X
E
X
X
E
X
X
E
n
=
2
2
1
2
1
)
(
]
[
2
0
X
E
X
D
X
X
X
E
n
n
j
j
=
.
1
1
2
2
2
2
n
n
n
（III）
)
(
]
)
(
[
1
2
1
n
n
Y
Y
cD
Y
Y
c
E
=
)]
,
(
2
[
1
2
1
n
Y
Y
Cov
DY
DY
c
=
2
2
2
)
2
(
2
]
2
1
1
[
c
n
n
n
n
n
n
n
c
，
故
.)
2
(
2
n
n
c