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1
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题
(1) 【答案】
1
1 2a
【详解】ln
“
”里面为1
“ ”型，通过凑成重要极限形式来求极限，
1
(1 2 ) 1 2
2
1
1
limln
limln 1
(1 2 )
(1 2 )
n
n
a
a
n
n
n
na
n
a
n
a
(1 2 )
1
1
lim
ln 1
1 2
(1 2 )
n
a
n
a
n
a
1
1
ln
1 2
1 2
e
a
a
．
(2) 【答案】
2
1
2
0
( , )
x
x
dx
f x y dy
【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域
1
D 与
2
D ，将它们的并集记为D ．
于是
1
1
1
4
2
2
1
0
4
( , )
( , )
y
y
y
dy
f x y dx
dy
f x y dx
( , )
D
f x y d
．
再将后者根据积分定义化为如下形式，即
2
1
0
2
x
y
x
x
从
，从
，所以
2
1
2
0
( , )
( , )
.
x
x
D
f x y d
dx
f x y dy
(3) 【答案】1
【详解】
1
2
2
2
1
2
1
2
3 ,
3
0
4
1
3
4
a
a
A
a
a
由于A与线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有
--- [第 2 页] ---
2
2
3
3
4
1
1
a
a
a
a
，得2
3
3
4,
1. a
a
a
或
,(
0)
A
k
k
(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)
即
2
3
1
3
4
1
a
a
a
k
a
，得
2
3
3
4
a
ka
a
k
a
k
，得
(4) 【答案】0.02
．
【详解】
2
X 、
2
Y 和
2
X
2
Y 都是0 1
分布，而0 1
分布的期望值恰为取1时的概率p ．
由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得
2
X 的可能取值为0 和1，且
2
Y 的可
能取值也为0 和1，且X 和Y 的边缘分布为
0
0. 4
P X
；
1
0. 6
P X
；
1
0. 15
P Y
；
0
0. 35
P Y
；
故有
X
0
1
0. 35
2
2
0,
0
0,
0
0. 18,
P X
Y
P X
Y
2
2
0,
1
0,
1
0,
1
0. 22,
P X
Y
P X
Y
P X
Y
2
2
1,
0
1,
0
0. 32,
P X
Y
P X
Y
2
2
1,
1
1,
1
1,
1
0. 28,
P X
Y
P X
Y
P X
Y
而边缘分布律：
2
0
0
0. 4
P X
P X
，
2
1
1
0. 6
P X
P X
，
2
0
0
0. 5
P Y
P Y
，
2
1
1
1
0. 5
P Y
P Y
P Y
所以，
2
2
(
,
)
X
Y
的联合分布及其边缘分布为
--- [第 3 页] ---
3
2
Y
2
X
0
1
0
0．18
0．22
0．40
1
0．32
0．28
0．60
0．50
0．50
1
由上表同理可求得
2
2
X Y 的分布律为
2
2
X Y
0
1
P
0．72
0．28
所以由0 1
分布的期望值恰为取1 时的概率p 得到：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
0. 02
E X
E Y
E X Y
X
Y
E X Y
E X
E Y
，
）
（
，
）（
）
(5) 【答案】
1
X ．
【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只
需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)
期望
(
)
(
)
( )
1
x
E X
xf x dx
xe
dx
样本均值
1
1
n
i
i
X
X
n
用样本均值估计期望有
EX
X
，即
1
1
1
n
i
i
X
n
，
解得未知参数的矩估计量为
1
1
ˆ
1
1
n
i
i
X
X
n
．
二、 选择题
(1) 【答案】(B)
【详解】方法1：论证法．由题设
( )
f x 在开区间( , )
a b 内可导，所以
( )
f x 在( , )
a b 内连续，
因此，对于( , )
a b 内的任意一点，必有lim ( )
( ).
x
f x
f
即有lim[ ( )
( )]
0
x
f x
f
．故
选(B)．
方法2：排除法．
(A)的反例：
1
( , ]
( )
1
x
a b
f x
x
a
，有
( )
1,
( )
1,
( ) ( )
1
0
f a
f b
f a f b
，
--- [第 4 页] ---
4
但
( )
f x 在( , )
a b 内无零点．
(C)与(D)的反例，
( 1,1]
( )
1
1
x
x
f x
x
( 1)
(1) 1
f
f
，但
( )
1
f
x
(当
( 1,1)
x
)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．
(2) 【答案】(D)
【详解】方法1：A 是m n
矩阵，B 是n m
矩阵，则AB 是m 阶方阵，因
(
)
min( ( ), ( ))
r AB
r A r B
．
当m
n
时，有(
)
min( ( ), ( ))
r AB
r A r B
n
m
．(系数矩阵的秩小于未知数的
个数)方程组
0
AB x
必有非零解，故应选(D)．
方法2：B 是n m
矩阵, 当m
n
时,，则( )
r B
n
，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方
程组
0
Bx
必有非零解，即存在
0
0
x
，使得
0
0
Bx
，两边左乘A ，得
0
0
ABx
，
即
0
ABx
有非零解，故选(D)．
(3) 【答案】(B)
【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A
，A 是n 阶实对称矩阵，
故
T
A
A
．设
1
T
P AP
B
，则
1
1
1
(
)
T
T
T
T
T
T
T
B
P A P
P AP
P A P
上式左乘
1
T
P
，右乘
T
P ，得
1
1
1
(
)
(
)
(
)
T
T
T
T
T
T
P
BP
P
P A P
P
，即
1
T
T
A
P
BP
，
所以
1
(
)
T
T
A
P
BP
两边左乘
T
P ，得
1
(
)
(
)
T
T
T
T
P P
BP
P
得
(
)
T
T
B P
P
根据特征值和特征向量的定义，知
1
(
)T
B
P AP
的对应于特征值的特征向量为
T
P ，即应选(B)．
方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定
义，A
，A 是n 阶实对称矩阵，故
T
A
A
．设
1
T
P AP
属于特征值的特征
--- [第 5 页] ---
5
向量为，即
1
T
P AP
，其中
1
1
1
T
T
T
T
T
T
P AP
P A P
P AP
对(A)，即令
1
P
，代入
1
1
1
(
)
T
T
P AP
P
P
对(B)，
1 (
)
T
T
T
P AP
P
1
(
)
T
T
T
P A P
P
1
[(
)
)]
T
T
T
P A P
P
T
P A
(
)
T
P
成立．故应选(B)．
(4) 【答案】C
【分析】(i)
2
变量的典型模式是：
2
2
2
2
1
2
n
X
X
X
，其中
i
X 要求满足：
i
X 相互
独立，
(0,1)
i
X
N
．称
2
为参数为n 的
2
变量．
(ii) F 变量的典型模式是：
1
2
/
/
X n
F
Y n
，其中
,
X Y 要求满足：X 与Y 相互独立，
2
2
1
2
(
),
(
)
X
n
Y
n
，称F 为参数为
1
2
,
n n
的F 变量．
【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从
(0,1)
N
．故
2
X 和
2
Y 都服从
2(1)
分布，
答案应选(C)．
方法2：题设条件只有X 和Y 服从
(0,1)
N
，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，
2
X 与
2
Y
的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．
题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(
, )
X Y 正态，这样就不能推出X
Y
服从正
态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．
三【详解】
2
2
0
0
0
0
0
0
3
arctan(1
)
arctan(1
)
lim
lim
1
(1 cos )
2
x
u
x
u
x
x
t dt du
t dt du
x
x
x
等
2
0
0
2
arctan(1
)
lim
3
2
x
x
t dt
x
洛
洛
2
0
arctan(1
) 2
lim
3
x
x
x
x
2
3 4
6
．
四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．
1
2
3
du
f dx
f dy
f dz
( , )
z
z x y
由
x
y
z
xe
ye
ze
所确定，两边求全微分，有
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x
y
z
x
y
z
d xe
ye
d ze
d xe
d ye
d ze
--- [第 6 页] ---
6
x
x
y
y
z
z
xe dx
e dx
ye dy
e dy
ze dz
e dz
，
解出
(
1)
(
1)
,(
1
0).
(
1)
x
y
z
e
x
dx
e
y
dy
dz
z
e
z
设
所以
du
1
2
3
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
e
x
dx
e
y
dy
f dx
f dy
f
e
z
1
3
2
3
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
z
e
x
e
y
f
f
dx
f
f
dy
e
z
e
z
方法2：
1
3
2
3
,
u
z
u
z
f
f
f
f
x
x
y
y
(根据多元函数偏导数的链式法则)
下面通过隐函数求导得到z
x
，z
y
．由
x
y
z
xe
ye
ze
两边对x 求偏导数，有
(
)
,
x
x
z
z
z
xe
e
ze
e
x
得
x
x
z
z
z
xe
e
x
ze
e
，(
1
0)
z
设
．类似可得，
y
y
z
z
z
ye
e
y
ze
e
，代入
,
u
u
x
y
表达式
1
3
2
3
(
),
(
)
x
x
y
y
z
z
z
z
u
xe
e
u
ye
e
f
f
f
f
x
ze
e
y
ze
e
，
再代入
u
u
du
dx
dy
x
y
中，得
du
1
3
2
3
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
z
e
x
e
y
f
f
dx
f
f
dy
e
z
e
z
．
五【详解】首先要从
2
(sin
)
sin
x
f
x
x
求出
( )
f x ．
命
2
sin
u
x
，则有sin x
u
，
arcsin
x
u
，于是
arcsin
( )
u
f u
u
．(通过换元
求出函数的表达式)
arcsin
( )
1
1
x
x
x
f x dx
dx
x
x
x
arcsin
1
x dx
x
sin
2sin cos
cos
x
t
t
t
tdt
t
(换元积分法)
--- [第 7 页] ---
7
sin
t
tdt
2
cos
sin
t
t
t
C
(分部积分法)
2
1
arcsin
x
x
x
C
．
六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线
:
( )(
)
y
f x a
x
b
，
( )
0
f x
与直线
,
x
a x
b
及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积
2
( )
b
a
V
f x
dx
.
【详解】(1)
2
2
2
5
1
4
2
(32
)
5
a
V
x
dx
a
2
2
2
2
2
4
2
0
2
0
2
a
V
a
a
x dy
a
a
．
(2) 5
4
1
2
4
(32
)
5
V
V
V
a
a
根据一元函数最值的求法要求驻点，令
3
4
(1
) 0
dV
a
a
da
=
,
得
1
a
. 当0
1
a
时
0
dV
da
，当1
2
a
时
0
dV
da
，因此
1
a
是V 的唯一极值点且
是极大值点，所以是V 的最大值点，
129
max
5
V
．
七【解】(1)
3
6
9
3
3
1
( )
1
1
3
(3 )!
(3 )!
n
n
n
x
x
x
x
x
y x
n
n
+
！6！9！
，
由收敛半径的求法知收敛半径为，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得
3
3
1
1
( )
(1
)
(3 )!
(3 )!
n
n
n
n
x
x
y x
n
n
3
1
1
3
(3 )!
n
n
nx
n
3
1
1 (3
1)!
n
n
x
n
，
同理得
3
2
1 (3
2)!
n
n
x
y
n
从而
( )
( )
( )
y x
y x
y x
3
2
3
1
3
1
1
1
(
)
(
)
(1
)
(3
2)!
(3
1)!
(3 )!
n
n
n
n
n
n
x
x
x
n
n
n
1
1
!
n
n
x
n
(由
xe 的麦克劳林展开式)
xe
这说明，
3
0
( )
(3 )!
n
n
x
y x
n
是微分方程
x
y
y
y
e
的解，并且满足初始条件
--- [第 8 页] ---
8
3
1
0
(0) 1
(3 )!
n
n
y
n
1
，
3
1
1
0
(0) (3
1)!
n
n
y
n
0
.
(2) 微分方程
x
y
y
y
e
对应的齐次线性方程为
0
y
y
y
，其特征方程为
2
1
0
，其特征根为
1
3
2
2 i
，所以其通解为
2
1
2
3
3
[
cos
sin
]
2
2
x
y
e
C
x
C
x
.
另外，该非齐次方程的特解形式为
x
y
ce
，代入原非齐次方程得
x
x
x
x
ce
ce
ce
e
，
所以
1
3
c
.故微分方程
x
y
y
y
e
的通解为
2
1
2
3
3
1
[
cos
sin
]
2
2
3
x
x
y
e
C
x
C
x
e
.
故
2
2
1
2
1
2
1
3
3
3
3
3
1
[
cos
sin
]
[
sin
cos ]
2
2
2
2
2
2
3
x
x
x
y
e
C
x C
x
e
C
x
C
x
e
2
2
2
1
1
2
1
3
3
1
3
3
1
(
2
)sin
(
2
)cos
2
2
2
2
2
2
3
x
x
x
e
C
C
x
e
C
C
x
e
由初始条件(0)
1,
(0) 0
y
y
得
0
0
2
1
2
1
0
0
0
2
2
2
1
1
2
1
2
3
3
1
1
1
[
cos
0
sin
0]
2
2
3
3
1
3
3
1
3
3
1
0
(
2
)sin
0
(
2
)cos
0
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
2
2
3
e
C
C
e
C
e
C
C
e
C
C
e
C
C
解得
1
1
2
1
1
3
1
3
1
0
2
2
3
C
C
C
，
于是得到惟一的一组解：1
2
2 ,
0. 3
C
C
从而得到满足微分方程
x
y
y
y
e
及初始
条件(0)
1,
(0) 0
y
y
的解，只有一个，为
--- [第 9 页] ---
9
2
2
3
1
cos
3
2
3
x
x
y
e
x
e
另一方面，由(1)已知
3
0
( )
(3 )!
n
n
x
y x
n
也是微分方程
x
y
y
y
e
及初始条件
(0) 0
y
y
的解，由微分方程解的唯一性，知
3
2
1
2
3
1
1
cos
(
).
(3 )!
3
2
3
x
n
x
n
x
e
x
e
x
n
八【详解】方法1：因为
( )
f x 与( )
g x 在
,a b 上连续，所以存在
1x
2x 使得
1
[ , ]
(
)
max
( )
x
a b
f x
M
f x
，
2
[ , ]
(
)
min
( )
x
a b
f x
m
f x
，
满足
( )
m
f x
M
．又( )
0
g x
，故根据不等式的性质
( )
( ) ( )
( )
mg x
f x g x
Mg x
根据定积分的不等式性质有
( )
( ) ( )
( )
,
b
b
b
a
a
a
m
g x dx
f x g x dx
M
g x dx
所以
( ) ( )
.
( )
b
a
b
a
f x g x dx
m
M
g x dx
由连续函数的介值定理知，存在
[ , ]
a b
，使
( ) ( )
( )
( )
b
a
b
a
f x g x dx
f
g x dx
即有
( ) ( )
( )
( )
b
b
a
a
f x g x dx
f
g x dx
．
方法2：因为
( )
f x 与( )
g x 在
,a b 上连续，且( )
0
g x
，故
( ) ( )
b
a f x g x dx
与
( )
b
a g x dx
都
存在，且
( )
0. b
a g x dx
记
( ) ( )
( )
b
a
b
a
f x g x dx
h
g x dx
，于是
( ) ( )
( )
( )
,
b
b
b
a
a
a
f x g x dx
h
g x dx
hg x dx
即
( ( )
) ( )
0
b
a
f x
h g x dx
因此必存在
( , )
a b
使
( )
f
h
．不然，则在( , )
a b 内由连续函数的零点定理知要么
--- [第 10 页] ---
10
( )
f x
h
恒为正，从而根据积分的基本性质得
( ( )
) ( )
0
b
a
f x
h g x dx
；要么
( )
f x
h
恒为负，同理得
( ( )
) ( )
0
b
a
f x
h g x dx
，均与
( ( )
) ( )
0
b
a
f x
h g x dx
不符．由此推
知存在
( , )
a b
使
( )
f
h
，从而
( ) ( )
( )
( )
b
b
a
a
f x g x dx
f
g x dx
．
九【详解】方法1：对系数矩阵记为A 作初等行变换
2
1
3
1
1
0
0
0
0
0
0
n
a
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
a
a
b
A
b
b
a
b
b
a
a
b
b
b
b
a
b
a
a
b
行
行
行
行
行
行
当
(
0)
a
b
时，
1,
0
r A
AX
的同解方程组为
1
2
0
n
x
x
x
，基础解
系中含有
1
n 个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取
2
3
,
,...,
n
x x
x 为自
由未知量，分别取
2
3
1,
0,...,
0
n
x
x
x
，
2
3
0,
1,...,
0
n
x
x
x
，…,
2
3
0,
0,...,
1
n
x
x
x
得方程组
1
n 个线性无关的解
1
2
1
1,1,0,
,0
,
1,0,1,0,
,0
,
,
1,0,
,0,1
T
T
T
n
，
为基础解系，方程组
0
AX
的全部解为
1 1
2
2
1
1
n
n
X
k
k
k
，其中
(
1,2,
1)
ik i
n
是任意常数．
当a
b
时，
0
0
0
0
0
0
a
b
b
b
b
a
a
b
A
b
a
a
b
b
a
a
b
2
3
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
a b
a b
n
a b
a
b
b
b
行/(
)
行/(
)
行/(
)
1
2
1
3
1
(
1)
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
b
b
n
b
a
n
b
行
行
行
行
行
行
当a
b
且
(
1)
a
n
b
时，
(
1)
0
A
a
n
b
，( )
,
0
r A
n AX
仅有零解.
--- [第 11 页] ---
11
当
(
1)
a
n
b
时，
1,
0
r A
n
AX
的同解方程组是
1
2
1
3
1
0,
0,
0,
n
x
x
x
x
x
x
……
基础解系中含有1个线性无关的解向量，取
1x 为自由未知量，取
1
1
x
，得方程组1个
非零解
1,1,
,1
T
，即其基础解系，故方程组的全部解为
X
k
，其中k 是任意常数．
方法2：方程组的系数行列式
a
b
b
b
b
a
b
b
A
b
b
a
b
b
b
b
a
(
1)
(
1)
2 . ..
(
1)
1
(
1)
a
n
b
b
b
b
a
n
b
a
b
b
n
a
n
b
b
a
b
a
n
b
b
b
a
把第，，列
加到第列
1
1
1
[
(
1) ] 1
1
b
b
b
a
b
b
a
n
b
b
a
b
b
b
a
提取第列的公因子
1
2
1
0
0
0
3
-
1
[
(
1) ] 0
0
0
-
1
0
0
0
b
b
b
a
b
a
n
b
a
b
n
a
b
第行
第行
第行第行
第行第行
1
[
(
1) ](
) n
a
n
b a
b
(1) 当a
b
且
(
1)
a
n
b
时，
0
A
，( )
r A
n
方程组只有零解．
(2) 当
(
0)
a
b
时，
a a a
a
a a a
a
A
a a a
a
a a a
a
2
1
0 0 0
0
3
1
0 0 0
0
1
0 0 0
0
a a a
a
n
第行第行
第行第行
第行第行
1 1 1
1
0 0 0
0
1
1
0 0 0
0
0 0 0
0
a
第行
--- [第 12 页] ---
12
方程组的同解方程组为
1
2
0
n
x
x
x
基础解系中含有
1
n
个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取
2
3
,
,...,
n
x x
x 为自由未知量，分别取
2
3
1,
0,...,
0
n
x
x
x
，2
3
0,
1,...,
0
n
x
x
x
，…,
2
3
0,
0,...,
1
n
x
x
x
得方程组
1
n 个线性无关的解
1
2
1
1,1,0,
,0
,
1,0,1,0,
,0
,
,
1,0,
,0,1
T
T
T
n
，
为基础解系，方程组
0
AX
的全部解为
1 1
2
2
1
1
n
n
X
k
k
k
，其中
(
1,2,
1)
ik i
n
是任意常数．
(1) 当
(
1) (
0)
a
n
b b
时，
(1
)
(1
)
(1
)
(1
)
n b
b
b
b
b
n b
b
b
A
b
b
n b
b
b
b
b
n b
1,2,...,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
b
n
n
n
n
行
分别
1
1
1
1
2
1
0
0
3
1
0
0
1
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
行
行
行
行
行
行
1
1
1
1
1
1
0
0
2,...,
1
0
1
0
1
1
0
0
1
n
n
n
行
分别
0
0
0
0
1
1
0
0
2,...,
1
0
1
0
1
0
0
1
n
把第
行都
依次加到第1行
1
r A
n
，其同解方程组是
1
2
1
3
1
0,
0,
0,
n
x
x
x
x
x
x
……
基础解系中含有1个线性无关的解向量，取
1x 为自由未知量，取
1
1
x
，得方程组1个
非零解
1,1,
,1
T
，即其基础解系，故方程组的全部解为
--- [第 13 页] ---
13
X
k
，其中k 是任意常数．
十【详解】(1) 设是A 的任意特征值，是A 的属于的特征向量，根据特征值、特征
向量的定义，有
,
0,
A
①
两边左乘A ，得
2
A
A
2
②
②+2*①得
2
2
2
2
A
A
因
2
2
0
A
A
，
0
，从而上式
2
2
2
2
0
A
A
，
所以有
2
2
0
，故A 的特征值的取值范围为0, 2
．
因为A 是实对称矩阵，所以必相似于对角阵，且的主对角线上元素由A 的特征值
组成，且( )
( )
2
r A
r
，故A 的特征值中有且只有一个0.
(若没有0，则
2
2
2
，故( )
( )
3
r A
r
与已知矛盾；若有两个0，则
2
0
0
，
故( )
( )
1
r A
r
与已知矛盾；若三个全为0，则
0
0
0
，故( )
( )
0
r A
r
与已知
矛盾). 故
2
2
0
A
即A 有特征值
1
2
3
2,
0
．
(2) A
kE
是实对称矩阵，A 有特征值
1
2
3
2,
0
，知A
kE
的特征值为
2,
2,
k
k
k
．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故
A
kE
正定
2
0
0
k
k
2
0
k
k
2
k
故
2
k
时A
kE
是正定矩阵．
十一【分析】(
, )
X Y 有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值
有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即
--- [第 14 页] ---
14
可．
【详解】(
, )
X Y 只有四个可能值( 1, 1),( 1,1),(1, 1)
(1,1)
和
．依照题意，有
1 ( 2)
1
1,
1
1,
1
1
;
2
( 2)
4
P X
Y
P U
U
P U
1,
1
1,
1
0;
P X
Y
P U
U
P
1
1,
1
1,
1
1
1
;2
P X
Y
P U
U
P
U
1
1,
1
1,
1
1
. 4
P X
Y
P U
U
P U
于是，(
, )
X Y 分布为
Y
X
1
1
1
1
4
0
1
1
2
1
4
(2) 因为
2
2
(
)
(
)
[ (
)]
D X
Y
E X
Y
E X
Y
，所以我们应该知道X
Y
和
2
(
)
X
Y
的分布律．
对离散型随机变量，X
Y
的取值可能有2,0,2;
2
(
)
X
Y
的取值可能有0 和4；
1
2
1,
1
,
4
P X
Y
P X
Y
1
1
0
1,
1
1,
1
0
,
2
2
P X
Y
P X
Y
P X
Y
1
2
1,
1
,
4
P X
Y
P X
Y
2
1
0
0
,
2
P
X
Y
P X
Y
2
1
4
2
2
2
P
X
Y
P X
Y
P X
Y
．
X
Y
和
2
(
)
X
Y
的分布律分别为
和
所以由离散
2
(
)
X
Y
0
4
P
1
2
1
2
X
Y
2
0
2
P
1
4
1
2
1
4
--- [第 15 页] ---
15
型随机变量的数学期望计算公式有：
1
(
)
n
k
k
k
E X
x
P X
x
所以有，
2
2
2
4
(
)
0,
(
)
2
4
4
2
E X
Y
E X
Y
．
2
2
(
)
(
)
[ (
)]
2
D X
Y
E X
Y
E X
Y
十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式．Y 由X 和2(小时)来确定，所以
min(
,2)
Y
X
．
指数分布的X 的分布参数为
1
1 ,
(
)
5
E X
其密度函数为：
1
5
1
0
( )
5
0
0
x
X
e
x
f
x
x
其中
0
是参数
由分布函数的定义：
( )
min(
,2)
F y
P Y
y
P
X
y
(1) 当
0
y
时，
( )
0
Y
F
y
(因为
min
,2
Y
X
，其中X 和2都大于0，那么小于0是
不可能事件)
(2) 当
2
y
时，
( )
1
Y
F
y (因为
min
,2
Y
X
最大也就取到2，所以小于等于2是一
定发生的，是必然事件)
(3) 当0
2
y
时,
( )
min(
,2)
F y
P Y
y
P
X
y
P X
y
1
1
5
5
0
1
( )
1
5
x
y
y
y
Xf
x dx
e
dx
e
所以
1
5
0
0
( )
1
0
2
1
2
y
Y
y
F
y
e
y
y