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1
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题
(1) 【答案】
【使用概念】设
y
f x
在x 处可导，且
0
f x
，则函数y 关于x 的弹性在x 处的值为
Ey
x
x
y
f
x
Ex
y
f x
【详解】由Q
AL K
，当
1
Q
时，即
1
AL K
，有
1
,
K
A
L
于是K 关于L 的弹
性为：
EK
EL
L K
K
1
1
d
A
L
L
dL
A
L
1
1
1
A
L
L
A
L
1. 2
2
t
W
【详解】
t
W 表示第t年的工资总额，则
1
t
W 表示第
1
t 年的工资总额，再根据每年的工资总
额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得
t
W 满足的差分方程是：
1
1
(1
20
)
2
1. 2
2
t
t
t
W
W
W
(3) 【答案】-3
【详解】
方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A 进行
初等变换
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
A
k
k
1
1
1
1
1
0
0
1
( 1)
2,3,4
1
0
1
0
1
0
0
1
k
k
k
k
k
k
k
行
分别加到
行
--- [第 2 页] ---
2
3
1
1
1
0
1
0
0
2,3,4
0
0
1
0
0
0
0
1
k
k
k
k
列分别加到1列
可见只有当k =−3时，r(A)=3.故k =−3.
方法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式
0
A
.由
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
A
k
k
1
1
1
1
1
0
0
1
( 1)
2,3,4
1
0
1
0
1
0
0
1
k
k
k
k
k
k
k
行
分别加到
行
3
1
1
1
0
1
0
0
2,3,4
0
0
1
0
0
0
0
1
k
k
k
k
列分别加到1列
3
(
3)(
1)
0,
k
k
解得k =1或k = −3. 当k =1时，
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A
1
1
1
1
0
0
0
0
1
( 1)
2 3 4
0
0
0
0
0
0
0
0
行
分别加到，，行
可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k =−3.
(4) 【答案】1
12
【所用概念性质】切比雪夫不等式为：
2
(
)
(
)
D X
P X
E X
期望和方差的性质：
(
)
E X
Y
EX
EY
；
(
)
2cov(
, )
D X
Y
DX
X Y
DY
【详解】把X
Y
看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.
故
(
)
2
2
0
E X
Y
EX
EY
又相关系数的定义：
cov(
, )
(
, )
X Y
X Y
DX
DY
则
cov(
, )
(
, )
( 0.5)
1
4
1
X Y
X Y
DX
DY
(
)
2cov(
, )
1
2 ( 1)
4
3
D X
Y
DX
X Y
DY
所以由切比雪夫不等式：
--- [第 3 页] ---
3
2
(
)
3
1
6
(
)
6
6
36
12
D X
Y
P X
Y
P X
Y
E X
Y
(5) 【答案】F ；(10,5)
【所用概念】1. F 分布的定义：
1
2
X n
F
Y n
其中
2
1
~
(
)
X
n
2
2
~
(
)
Y
n
2. 2
分布的定义：若
1,
,
n
Z
Z
相互独立，且都服从标准正态分布
(0,1)
N
，则
2
2
1
~
( )
n
i
i
Z
n
3. 正态分布标准化的定义：若
2
~
( ,
)
Z
N u
，则
~
(0,1)
Z
u
N
【详解】因为
2
(0,2 )
1,2,
,15
i
X
N
i
，将其标准化有
0
(0,1)
2
2
i
i
X
X
N
，从而根
据卡方分布的定义
2
2
2
2
2
2
10
15
1
11
(5) ,
2
2
2
2
X
X
X
X
由样本的独立性可知，
2
2
10
1
2
2
X
X
与
2
2
15
11
2
2
X
X
相互独立.
故，根据F 分布的定义
2
2
10
1
2
2
1
10
2
2
2
2
11
15
15
11
2
2
10
(10,5).
2
2
2
5
X
X
X
X
Y
F
X
X
X
X
故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F 分布.
二、 选择题
(1) 【答案】[ B]
【详解】
方法1：由
'( )
lim
1,
x
a
f
x
x
a
知
lim
'( )
x
a f
x
'( )
lim
x
a
f
x
x
a
x
a
'( )
lim
lim
x
a
x
a
f
x
x
a
x
a
1 0
0
又函数
( )
f x 的导数在x
a
处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右
极限等于函数在这一点的值，所以
( )
0
f
a
，于是有
--- [第 4 页] ---
4
'( )
'( )
'( )
"( )
lim
lim
1,
x
a
x
a
f
x
f
a
f
x
f
a
x
a
x
a
即
( )
0
f
a
，
( )
1
0
f
a
，根据判定极值的第二充分条件：设函数
( )
f x 在
0x 处
具有二阶导数且
0
(
)
0
f
x
，
0
(
)
0
f
x
，当
0
(
)
0
f
x
时，函数
( )
f x 在
0x 处取得极
大值. 知x
a
是
( )
f x 的极大值点，因此，正确选项为(B).
方法2：由
'( )
lim
1,
x
a
f
x
x
a
及极限保号性定理：如果
0
lim
x
x f x
A
，且
0
A
(或
0
A
)，
那么存在常数
0
，使得当
0
0
x
x
时，有
0
f x
(或
0
f x
)，知存在
x
a
的去心邻域，在此去心邻域内
'( )
0
f
x
x
a
.于是推知，在此去心邻域内当x
a
时
( )
0
f
x
；当x
a
时
( )
0. f
x
又由条件知
( )
f x 在x
a
处连续，由判定极值的第一
充分条件：设函数
( )
f x 在
0x 处连续，且在
0x 的某去心领域内可导，若
0
0
,
x
x
x
时，
( )
0
f
x
，而
0
0
,
x
x
x
时，
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在
0x 处取
得极大值，知
( )
f a 为
( )
f x 的极大值. 因此，选(B).
(2) 【答案】(D)
【详解】应先写出g(x)的表达式.
当0
1
x
时，
2
1
( )
(
1)
2
f x
x
，有
( )
g x
0
x f u du
2
0
1 (
1)
2
x
u
du
3
0
0
1
1
6
2
x
x
u
u
3
1
1 ,
6
2
x
x
当1
2
x
时，
1
( )
(
1)
3
f x
x
，有
0
( )
( )
x
g x
f u du
1
0
1
( )
( )
x
f u du
f u du
1
2
0
1
1
1
(
1)
(
1)
2
3
x
u
du
u
du
1
1
3
2
0
1
0
1
1
1
1
1
6
2
6
3
x
x
u
u
u
u
2
2
1
1
3
6 x
即
3
2
1
1 ,
0
1
6
2
( )
2
1
1
,
1
2
3
6
x
x
x
g x
x
x
因为
3
1
1
1
1
2
lim
( )
lim
6
2
3
x
x
g x
x
x
，
2
1
1
2
1
2
lim
( )
lim
1
3
6
3
x
x
g x
x
，
--- [第 5 页] ---
5
且
2
2
1
2
(1) 1 1
3
6
3
g
，
所以由函数连续的定义，知( )
g x 在点
1
x
处连续，所以( )
g x 在区间[0,2] 内连续，选(D).
同样，可以验证(A)、(B)不正确，0
1
x
时，
3
2
1
1
1
1
( )
0
6
2
2
2
g x
x
x
x
，单
调增，所以(B)递减错；同理可以验证当1
2
x
时，
2
2
1
1
( )
1
1
0
3
6
3
g x
x
x
，
单调增，所以
0
2
g
g x
g
，即
5
0
6
g x
与选项(A)无界矛盾.
(3) 【答案】
(C)
【详解】由所给矩阵
,
A B 观察，将A 的2,3列互换，再将A 的1,4 列互换，可得B . 根据初
等矩阵变换的性质，知将A 的2,3列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以
23
E
，将A 的1,4 列互
换相当于在矩阵A 的右侧乘以
14
E
，即
23
14
AE E
B
，其中
23
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
E
，
14
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
E
由题设条件知
1
14
2
23
,
P
E
P
E
，因此
2
1
B
AP P
.
由于对初等矩阵
ij
E 有，
1
ij
ij
E
E
，故
1
1
1
1
2
2
,
P
P P
P
.
因此，由
2
1
B
AP P
，及逆矩阵的运算规律，有
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
B
AP P
P P A
PP A
.
(4) 【答案】(
)
D
【详解】由题设，A 是n 阶矩阵，是n维列向量，即
T
是一维行向量，可知
0
T
A
是
1
n 阶矩阵. 显然有秩
0
T
A
秩( )
A
1,
n
n
即系数矩阵
0
T
A
非列满秩，由
齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组
--- [第 6 页] ---
6
0
0
T
A
X
y
必有非零解.
(5) 【答案】A
【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X
Y
n
，从而Y
n
X
，
故
(
)
DY
D n
X
DX
由方差的定义：
2
2
(
)
DX
EX
EX
，所以
2
2
(
)
(
)
(
)
DY
D n
X
E n
X
E n
X
2
2
2
(
2
)
(
)
E n
nX
X
n
EX
2
2
2
2
2
2
(
)
n
nEX
EX
n
nEX
EX
2
2
(
)
EX
EX
DX
)
由协方差的性质：cov(
, )
0
X c
(c 为常数)；cov(
,
)
cov(
, )
aX bY
ab
X Y
1
2
1
2
cov(
, )
cov(
, )
cov(
, )
X
X
Y
X Y
X
Y
)
所以
cov(
, )
cov(
,
)
cov(
, )
cov(
,
)
0
X Y
X n
X
X n
X X
DX
DX
由相关系数的定义，得
cov(
, )
(
, )
1
X Y
DX
X Y
DX
DY
DX
DX
三【变限积分求导公式】
( )
[
( )
]
[ ( )]
( )
f x
x
a
g t dt
g f x
f
x
【详解】根据复合函数求导公式，有
.
du
f
f dy
f dz
dx
x
y dx
z dx
(*)
在
2
xy
e
xy
两边分别对x 求导，得
(
)
(
)
0,
xy
dy
dy
e
y
x
y
x
dx
dx
即
.
dy
y
dx
x
在
0
sin
x z
x
t
e
dt
t
两边分别对x求导，得
sin(
) (1
),
x
x
z
dz
e
x
z
dx
即
(
)
1
. sin(
)
x
dz
e
x
z
dx
x
z
将其代入(*)式，得
du
dx
f
f dy
f dz
x
y dx
z dx
(
)
1
. sin(
)
x
f
y f
e
x
z
f
x
x
y
x
z
z
--- [第 7 页] ---
7
四【详解】因为
1
lim(1
) x
x
e
x
lim(
) x
x
x
c
x
c
2
lim(
) x
x
x
c
c
x
c
(把x
c
写成
2
x
c
c
)
2
2
2
lim(
)
x c
cx
c x c
x
x
c
c
x
c
(把x 写成
2
2
x c
cx
c
x c
)
2
2
2
lim (1
)
cx
x c
x c
c
x
c
x
c
(利用幂函数的性质
(
)
mn
m
n
a
a
)
2
2
2
ln (1
)
lim
cx
x c
x c
c
c
x c
x
e
(利用对数性质
ln
( )
( )
f x
e
f x
)
2
2
2
ln (1
)
lim
x c
c
cx
c
x c
x c
x
e
(利用对数性质
( )
ln
( )
( )ln
( )
g x
f x
g x
f x
)
2
2
2
lim
ln (1
)
x c
c
x
cx
c
x c
x c
e
(利用
x
y
e
函数的连续性，
lim
( )
( )
lim
x
f x
f x
x
e
e
)
2
2
2
lim
lim ln (1
)
x c
c
x
x
cx
c
x c
x c
e
(当各部分极限均存在时，
lim
( )
( )
lim
( ) lim ( )
x
x
x
f x
g x
f x
g x
)
2
2
2
lim
ln lim (1
)
x c
c
x
x
cx
c
x c
x c
e
(利用
ln
y
x
函数的连续性，lim[ln ( )]
ln[lim ( )]
x
x
f x
f x
)
2 ln
c
e
e
(利用
1
lim(1
) x
x
e
x
)
2c
e
(ln
1
e
)
又因为
( )
f x 在
,
内可导，故在闭区间[
1, ]
x
x
上连续，在开区间(
1, )
x
x
内
可导，那么又由拉格朗日中值定理，有
( )
(
1)
( )[
(
1)]
( ),
1
f x
f x
f
x
x
f
x
x
左右两边同时求极限，于是
lim[ ( )
(
1)]
lim
'( )
x
x
f x
f x
f
e
，
因为
1
x
x
，x 趋于无穷大时，也趋向于无穷大
由题意，lim(
)
lim[ ( )
(
1)],
x
x
x
x
c
f x
f x
x
c
从而
2c
e
e
，故
1
2
c
--- [第 8 页] ---
8
五【详解】积分区域如图所示，可以写成
1
1,
1
y
y
x
2
2
2
2
1
1
(
)
(
)
2
2
[1
]
,
x
y
x
y
D
D
D
y
xe
dxdy
ydxdy
xye
dxdy
其中，
1
1
1
1
1
2
(1
)
;
3
y
D
ydxdy
dy
ydx
y
y dy
2
2
1(
)
2 x
y
D
xye
dxdy
2
2
1
1
1
(
)
2
1
x
y
y
ydy
xe
dx
2
2
1
1
1
(
)
2
2
1
1
(
)
2
x
y
y
ydy
e
d
x
2
2
1
1
1
(
)
2
2
2
1
1
[ (
)]
2
x
y
y
ydy
e
d
x
y
2
2
1
1
(1
)
2
1(
)
y
y
e
e
dy
2
2
1
1
(1
)
2
2
1
1
(
)
2
y
y
e
e
dy
2
2
1
1
1
(1
)
2
2
2
1
1
1
1
2
2
y
y
e
dy
e dy
2
2
1
1
1
(1
)
2
2
2
1
1
1
1
[ (1
)]
2
2
y
y
e
d
y
e dy
2
2
1
1
1
(1
)
2
1
1
1
2
y
y
e
e
0
于是
2
2
1(
)
2
2
[1
]
3
x
y
D
y
xe
dxdy
六【详解】方法1：依题意知，抛物线如图所示，
令
2
(
)
0
y
px
qx
x px
q
，求得它与x 轴交点的横坐标为：
1
2
0,
.
q
x
x
p
根据定积分的定义，面积S 为
3
2
3
2
2
0
3
2
6
0
q
p
q
p
q
q
p
S
px
qx dx
x
x
p
(注：
1
1
1
n
n
x dx
x
C
n
)
--- [第 9 页] ---
9
因直线
5
x
y
与抛物线
2
y
px
qx
相切，故它们有唯一公共点. 由方程组
2
5
x
y
y
px
qx
求其公共解，消去y ，得
2
(
1)
5
0
px
q
x
，因为其公共解唯一，则该一元二次方
程只有唯一解，故其判别式必为零，即
2
2
(
1)
4
( 5)
(
1)
20
0,
q
p
q
p
解得
2
1 (
1) .
20
p
q
将p 代入S 中，得
( )
S q
3
2
6
q
p
3
2 2
1
6[
(
1) ]
20
q
q
3
4
200
.
3(
1)
q
q
根据函数除法的求导公式，
( )
S q
3
4
4
3
4 2
(200
)
[3(
1) ] [3(
1) ]
(200
)
[3(
1) ]
q
q
q
q
q
2
5
200
(3
)
3(
1)
q
q
q
根据驻点的定义，令
( )
0
S q
，已知有
0
q
，得唯一驻点
3
q
.
当1
3
q
时，
( )
0
S q
；
3
q
时，
( )
0
S q
. 故根据极值判定的第一充分条
件知，
3
q
时，( )
S q 取唯一极大值，即最大值.
从而最大值为
225
(3) .
32
S
S
方法2：设抛物线
2
y
px
qx
与直线
5
x
y
相切的切点坐标为
0
0
(
,
)
x
y
，切点既在抛物
线上，也在直线上，于是满足方程有
2
0
0
0
y
px
qx
和
0
0
5
x
y
.
抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在
2
y
px
qx
左右两边关于x 求导，得
2
y
px
q
，在
5
x
y
左右两边关于x 求导，得
1
y，
把切点坐标
0
0
(
,
)
x
y
代入，得
0
0
2
1
x x
y
px
q
0
1
2
q
x
p
由
0
0
5
x
y
0
0
5
y
x
，将两结果代入
2
0
0
0
y
px
qx
得
--- [第 10 页] ---
10
2
2
0
0
0
0
1
1
1
5
5
(
)
(
)
(
)
2
2
2
q
q
q
y
x
px
qx
p
q
p
p
p
整理得
2
1 (
1) .
20
p
q
将p 代入S 中，得
3
4
200
( )
.
3(
1)
q
S q
q
根据函数除法的求导公式，
( )
S q
3
4
4
3
4 2
(200
)
[3(
1) ] [3(
1) ]
(200
)
[3(
1) ]
q
q
q
q
q
2
5
200
(3
)
3(
1)
q
q
q
根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令
( )
0
S q
，已知有
0
q
，得唯一
驻点
3
q
.当1
3
q
时，
( )
0;
S q
3
q
时，
( )
0;
S q
故根据极值判定的第一充分
条件知，
3
q
时，
( )
S q 取唯一极大值，即最大值.
从而最大值为
225
(3) .
32
S
S
七【详解】将要证的等式中的换成x ，移项，并命
1
( )
( )
( )
x
x
f
x
f x
x
问题转化为证在区间(0,1) 内( )
x
存在零点. 将
1
( )
( )
0
x
f
x
f x
x
看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由
( )
1
( )
df x
x
dx
f x
x
两边积分得
( )
1
1
(1
)
( )
df x
x
dx
dx
f x
x
x
利用
1
ln
dx
x
C
x
及
1
1
1
n
n
x dx
x
C
n
，得
1
ln
( )
ln
f x
x
x
C
ln
( )
ln
x
Ce
f x
x
( )
x
Ce
f x
x
，
--- [第 11 页] ---
11
即
( )
x
xe
f x
C
，命
( )
( )
x
F x
xe
f x
. 由
1
1
0
(1) ( )
,(
1)
x
k
f
k
xe
f x dx k
及积分中值定理(如果函数
( )
f x 在闭区间[ , ]
a b 上连续，则在积分区间[ , ]
a b 上至少存在一个
点，使得
( )
( )(
)(
)
b
a f x dx
f
b
a a
b
)，知至少存在一点
1
(0,
)
[0,1]
k
，使
1
1
1
0
(1) ( )
( )
x
k
f
k
xe
f x dx
e
f
且
( )
( )
F
e
f
，
1
(1) ( )
f
e
f
代入，则
1
1
1
(1) ( )
( )
( )
F
e
f
e
e
f
e
f
F
那么
( )
F x 在[ ,1]
上连续，在( ,1)
内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点
( ,1) [0,1]
，
使得
( )
( )
( )
0
F
e
f
e
f
即
1
( )
(1
) ( ).
f
f
八【详解】由已知条件可见
1
( )
( )
n
x
n
n
f
x
f
x
x
e
，这是以
( )
nf
x 为未知函数的一阶线性
非齐次微分方程，其中
1
( )
1, ( )
n
x
p x
q x
x
e
，代入通解公式
( )
( )
( )
(
( )
)
p x dx
p x dx
f x
e
q x e
dx
C
得其通解为
1
( )
,
n
dx
dx
n
x
x
n
x
f
x
e
x
e e
dx
C
e
C
n
由条件
(1) nf
e
C
n
，得
0
C
，故
( )
,
n
x
n
x e
f
x
n
1
1
1
( )
n
x
n
x
n
n
n
n
x e
x
f
x
e
n
n
记
1
( )
,
n
n
x
S x
n
则
1
na
n
，
1
1
1
lim
lim
1
1
n
n
n
n
a
n
a
n
，则其收敛半径为
1
1
R
，
收敛区间为( 1,1)
. 当
( 1,1)
x
时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，
--- [第 12 页] ---
12
1
1
1
1
1
( )
1
n
n
n
n
n
n
x
x
S x
x
n
n
x
，其中
2
1
1
1
n
x
x
x
x
故根据函数积分和求导的关系
( )
( )
f x dx
f x
C
，得
0
0
( )
( )
( )
(0) x
x
S x dx
S x
S x
S
又由于
2
1
0
0
0
(0) 0
1
2
n
n
S
n
，所以
0
0
1
( )
(0) ( )
0
ln(1
)
1
x
x
S x
S
S x dx
dx
x
x
，
即有
1
ln(1
),
( 1,1)
n
n
x
x x
n
当
1
x 时，
1
( 1)
ln 2
n
n
n
. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的
范围可扩大到
1
x 处，即
1
ln(1
),
[ 1,1)
n
n
x
x x
n
于是
1
( )
ln(1
),
[ 1,1)
x
n
n
f
x
e
x x
九【详解】(1) 线性方程组AX
有解但不唯一，即有无穷多解
( )
( )
3
r A
r A
n
，
将增广矩阵作初等行变换，得
1
1
1
1
1
1
1
1
2
a
A
a
a
2
1
1
1
2
1
3
1
(
)
0
1
1
0
0
1
1
2
a
a
a
a
a
a
a
行
行，行
行
倍
1
1
1
2
3
0
1
1
0
0
0
(
1)(
2)
2
a
a
a
a
a
a
行加到行
（
）
因为方程组AX
有解但不唯一，所以( )
( )
3
r A
r A
，故a=−2.
(2) 由(1)，有
1
1
2
1
2
1
2
1
1
A
由
--- [第 13 页] ---
13
1
1
2
1
2
1
2
1
1
E
A
1
2
2,3
1
2
1
1
1
列加到列
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
提出列公因子
1
1
2
1
( 1)
2,3
0
3
3
0
0
3
行
分别加到
行
(
3)(
3)
0
故A的特征值为
1
2
3
0,
3,
3
.
当
1
0
时，
1
1
2
(0
)
1
2
1
2
1
1
E
A
1
1
2
1
( 1),2
0
3
3
2,3
0
3
3
行的
倍
分别加到
行
1
1
2
2
0
3
3
0
0
0
行加到3行
于是得方程组(0
)
0
E
A x
的同解方程组为
1
2
3
2
3
2
0
3
3
0
x
x
x
x
x
可见，(0
)
2
r
E
A
，可知基础解系的个数为
(0
)
3
2
1
n
r
E
A
，故有1个自由未
知量，选
2x 为自由未知量，取
2
1
x
，解得对应的特征向量为
1
(1,1,1)T
.
当
1
3
时，
2
1
2
3
1
5
1
2
1
2
E
A
1
5
1
1,2
2
1
2
2
1
2
行互换
1
5
1
2
1
2
0
0
0
3行-2行
1
5
1
2
2
0
9
0
0
0
0
1行
加到行
于是得方程组(3
)
0
E
A x
的同解方程组为
1
2
3
2
5
0
9
0
x
x
x
x
可见，(3
)
2
r
E
A
，可知基础解系的个数为
(3
)
3
2
1
n
r
E
A
，故有1个自由未知
--- [第 14 页] ---
14
量，选
1x 为自由未知量，取
1
1
x
，解得对应的特征向量为
2
(1,0, 1)T
.
当
1
3
时，
4
1
2
3
1
1
1
2
1
4
E
A
1
1
1
1 2
4
1
2
2
1
4
，行互换
1
1
1
1
( 4)
,2
0
3
6
0
3
6
行
倍
倍
分别加到2,3行
1
1
1
2
0
3
6
0
0
0
行加到3行
于是得方程组( 3
)
0
E
A x
的同解方程组为
1
2
3
2
3
0
3
6
0
x
x
x
x
x
可见，( 3
)
2
r
E
A
，可知基础解系的个数为
( 3
)
3
2
1
n
r
E
A
，故有1个自由
未知量，选
2x 为自由未知量，取
2
2
x
，解得对应的特征向量为
3
( 1,2, 1)T
.
由于A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特
征向量相互正交，之需将
1
2
3
,
,
单位化，
3
1
2
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1 ,
0 ,
2 . 3
2
6
1
1
1
其中，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
1
1
3,
1
( 1)
2,
( 1)
2
( 1)
6
令
1
2
3
1
1
1
3
2
6
1
2
,
,
0
3
6
1
1
1
3
2
6
Q
则有
1
3
0
0
0
3
0 .
0
0
0
T
Q AQ
Q AQ
十【详解】(1)由题设条件，
--- [第 15 页] ---
15
1
2
1
1
( ,
,
)
|
|
n
n
ij
n
i
j
i
j
A
f x x
x
x x
A
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
ij
i
j
i
ij
j
i
j
i
j
A x x
x
A x
A
A
1 1
2
2
1
1
(
)
n
i
i
i
in
n
i
x A x
A x
A x
A
1
2
1
2
1
1
(
,
,
,
)
n
i
i
i
in
i
n
x
x
x A
A
A
A
x
1
2
1
2
1
1
(
,
,
,
)
n
i
i
i
in
i
n
x
x
x A
A
A
A
x
1
2
1
11
12
1
2
21
22
2
1
2
1
(
,
,
,
)
(
,
,
,
)
(
,
,
,
)
n
n
n
n
n
nn
n
x
x
x A
A
A
x
A
A
A
x
A
A
A
A
x
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
1
2
1 ( ,
,
,
)
n
n
n
n
n
nn
n
A A
A
x
A A
A
x
x x
x
A
A A
A
x
1
2
1
2
( ,
,
,
)
T
n
n
x
x
A
x x
x
A
x
T
T A
X
X
A
1
( )
T
X A X
其中( )
的理由：A 是可逆的实对称矩阵，故
1
1
1
(
)
(
)
T
T
A
A
A
，因此由实对称的定义
知，
1
A也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A A
A E
，知
1
A
A A
，因此A也
是实对称矩阵，
T
A
A
，故( )
成立.
(2) 因为
1
1
1
1
T
T
A
AA
A
E
A
，所以由合同的定义知A 与
1
A合同.
由实对称矩阵A
B
与
合同的充要条件：二次型
Tx Ax 与
Tx Bx 有相同的正、负惯性指数.
可知，(
)
T
g X
X AX
与
(
)
f X 有相同的正、负惯性指数，
故它们有相同的规范形.
十一【应用定理】(i) 期望的性质：
(
)
E X
Y
EX
EY
；独立随机变量方差的性质：若
随机变量X
Y
和
独立，则
(
)
D X
Y
DX
DY
(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量
1
2
,
,
,
,
n
X
X
X
相互独立同分布，方差
存在，记
2
2
(0
)
u
与
分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x ，恒有
--- [第 16 页] ---
16
1
1
lim
(
)
( )
n
i
n
i
P
X
nu
x
x
n
(通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这
些随机变量的和以正态分布为极限分布)
(iii) 正态分布标准化：若
2
~
( ,
)
Z
N u
，则
~
(0,1)
Z
u
N
【详解】设
(
1,2,
)
i
X i
n
是装运的第i 箱的重量(单位:千克)，n是所求箱数. 由题设可以
将
1,
,
i
n
X
X
X
视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量
1
2
n
n
S
X
X
X
是独立
同分布随机变量之和.
由题设，有
(
)
50,
(
)
5
i
i
E X
D X
(单位:千克)
所以
1
2
1
2
(
)
(
)
50
n
n
n
E S
E X
X
X
EX
EX
EX
n
1
2
1
2
(
)
(
)
25
n
n
n
D S
D X
X
X
DX
DX
DX
n
则根据列维—林德柏格中心极限定理，知
n
S 近似服从正态分布
(50 ,25 )
N
n
n ，
箱数n 根据下述条件确定
50
5000
50
5000
5
5
n
n
S
n
n
P S
P
n
n
(将
n
S 标准化)
1000 10
(
)
(2) n
n
由此得
1000 10
2,
n
n
从而
98. 0199
n
，即最多可以装98箱.
十二【详解】由题设条件X 和Y 是正方形
( , ) :1
3,1
3
G
x y
x
y
上的均匀分布，
则X 和Y 的联合密度为：
1 ,1
3,1
3,
( , )
4
0,
x
y
f x y
其他
(二维均匀分布的概率密度为
1
面积
)
由分布函数的定义：
( )
F u
P U
u
P X
Y
u
(1) 当
0
u
时，
( )
0
F u
(因为X
Y
是非负的，所以小于0 是不可能事件)
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17
(2) 当
2
u
时，
( )
1
F u
(因为X 和Y 最大为3，X 和Y 最小为1，所以X
Y
最大也
就只能为2，所以
2
X
Y
是必然事件，概率为1)
(3) 当0
2
u
时，
( )
F u
P U
u
相当于
阴影部分所占的概率大小. 如图所示：
( )
F u
P U
u
P X
Y
u
2
1 4
(2
)
4
S
u
S
阴影面积
总面积
2
1
1
(2
)
4
u
(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面
积是用总面积减去两个三角形的面积)
于是随机变量U 的概率密度为：
1 (2
),0
2,
( )
'( )
2
0,
u
u
p u
F u
其他
y
1
x
O
3
y
x
u
x
y
u
2
1
y
x
u
2
3