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1
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题
(1) 【答案】4
1
【详解】由题设可知
2
sin
cos
sin
( )
(
)
x
x
x
x
f x
x
x
.由分部积分法，得
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
xf
x dx
xdf x
xf x
f x dx
2
2
cos
sin
sin
2
2
4
1
1
x
x
x
x
x
x
(2) 【答案】4
【详解】考虑幂级数
1
1
n
n
nx
，由
1
lim
1
n
n
n
可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间
为( 1,1)
，则
1
( 1,1)
2
x
.记
1
1
( )
n
n
S x
nx
，两边从0 到x 积分，得
1
1
0
0
0
1
1
1
( )
(
)
,
( 1,1)
1
x
x
x
n
n
n
n
n
n
x
S x dx
nx
dx
nx
dx
x
x
x
所以
2
1
( )
(
)
,
( 1,1)
1
(1
)
x
S x
x
x
x
所以
1
2
1
1
1
1
( )
( )
4
1
2
2
(1
)
2
n
n
S
n
(3) 【答案】O
【详解】
1
0
1
0
2
0
1
0
1
A
，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要
乘以该数，有
2
1
0
1
1
0
1
2
0
2
1
0
1
0
2
0
0
2
0
0
4
0
2 0
2
0
2
1
0
1
1
0
1
2
0
2
1
0
1
A
A
故有
1
2
2
2
(
2 )
n
n
n
A
A
A
A
A
O
--- [第 2 页] ---
2
或由
2
2
A
A
，式子左右两端同右乘
2
n
A ，得
2
2
2
2
n
n
A
A
A A
，即
1
2
n
n
A
A
，
得
1
2
n
n
A
A
O
或由
2
2
A
A
，式子左右两端同右乘A ，得
2
3
2
2
(2 )
2
2(2 )
2
A
A
A
A A
A
A
A
，
式子左右两端再同乘A ，得
3
4
2
3
2
3
(2 )
2
2 2
2
A
A
A
A
A
A
A
A
，…，依次类推，
得
1
2
1
2
,
2
,
n
n
n
n
A
A A
A
所以
1
1
2
1
1
2
2
2 2
2
2
n
n
n
n
n
n
A
A
A
A
A
A
O
(4) 【答案】16
【概念和性质】(1) 独立正态随机变量的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍
服从正态分布；
(2) 期望的性质：
(
)
E aX
bY
aEX
bEY
，Ec
c
(其中, ,
a b c 为常数)；
(3) 方差的性质:
2
(
)
(
)
D cX
c D X
；若X
Y
和
独立，则
(
)
D X
Y
DX
DY
(4) 正态分布标准化：若
2
~
( ,
)
Z
N u
，则
~
(0,1)
Z
u
N
【详解】由题知：
2
1
2
,
,
( ,0.2 )
n
X
X
X
N a
，
1
1
n
n
i
i
X
X
n
，且
1
2
,
,
n
X
X
X
相互独立，
故
2
1
1
~
( ,
)
n
n
i
i
X
X
N
n
，其中
n
EX
，
2
n
DX
所以
1
1
1
1
n
n
n
i
i
i
i
na
EX
E
X
EX
a
n
n
n
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
0. 2
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
DX
D
X
D
X
DX
n
n
n
n
n
所以
2
1
1
0. 2
~
( ,
)
n
n
i
i
X
X
N a
n
n
，标准化得
~
(0,1)
0. 2/
n
X
a
U
N
n
则只需将
0. 95
n
P X
a
中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：
0. 2/
n
X
a
n
P
P U
n
n
因
~
(0,1)
0. 2/
n
X
a
U
N
n
，查标准正态分布表知
0. 95
P U
--- [第 3 页] ---
3
所以
15. 3664
n
. 因n 为整数，所以n 最小为16.
(5) 【答案】
0
EY
【概念和性质】(1)
E X
Y
EX
EY
；(2)若X和Y 独立，则有EXY
EXEY
【详解】由行列式的定义知，行列式是由
2
n 个元素
ij
X 的乘积组成的!
n 项和式，每一项都
是n 个元素的乘积
1
2
1
2
n
j
j
nj
X
X
X
，这n 个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部!
n
项中每项都带有正号或负号.
由于随机变量
,
1,2,
, ;
2
ij
X
i j
n n
独立，所以有
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
n
n
j
j
nj
j
j
nj
E X
X
X
EX
EX
EX
所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和. 即有
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
nn
EX
EX
EX
EX
EX
EX
EY
EX
EX
EX
而
,
1,2,
, ;
2
ij
X
i j
n n
同分布，且
2
ij
EX
所以
11
12
1
21
22
2
1
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
n
n
n
n
nn
EX
EX
EX
EX
EX
EX
EY
EX
EX
EX
(行列式的性质：若行列式两
行(列)成比例，则行列式为0).
二、 选择题
(1) 【答案】( A )
【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.
( )
f x 的原函数
( )
F x 可以表示为
0
( )
( )
,
x
F x
f t dt
C
于是
0
0
(
)
( )
(
)
.
u
t
x
x
F
x
f t dt
C
f
u d
u
C
当
( )
f x 为奇函数时，
(
)
( )
f
u
f u
，从而有
0
0
(
)
( )
( )
( )
x
x
F
x
f u du
C
f t dt
C
F x
即F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.
--- [第 4 页] ---
4
(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：
2
( )
f x
x
是偶函数，但其原函数
3
1
( )
1
3
F x
x
不是奇函数，可排除(B)；
2
( )
cos
f x
x
是周期函数，但其原函数
1
1
( )
sin2
2
4
F x
x
x
不是周期函数，可排除(C)；
( )
f x
x
在区间(
,
)
内是单调增函数，但其原函数
2
1
( )
2
F x
x
在区间(
,
)
内非单调增函数，可排除(D).
(2) 【答案】(C)
【详解】因为
( , )
D
f u v dudv
为一确定的数，不妨设
( , )
D
f u v dudv
a
，则
( , )
f x y
xy
a
，
所以
2
1
0
0
( , )
(
)
(
)
x
D
D
a
f x y dxdy
xy
a dxdy
dx
xy
a dy
5
1
2
0
1
(
)
2
12
3
x
a
ax
dx
，
解之得
1
8
a
，所以
1
( , )
8
f x y
xy
，故应选(C).
(3) 【答案】(B)
【详解】
方法1：可由向量组
1
2
,
,
,
m
线性表示，即存在常数
1
2
,
,
,
m
k k
k
使得
1
1
2
2
m
m
k
k
k
(*)
不能由
1
2
1
,
,
,
m
线性表出，从而知
0
m
k （若
0
m
k
，则
1 1
2
2
1
1
m
m
k
k
k
，
这和不能由
1
2
1
,
,
,
m
线性表出矛盾.）
(*)可变为
1
1
2
2
1
1
m
m
m
m
k
k
k
k
，
上式两端同除
m
k
1
1
2
2
1
1
1 (
)
m
m
m
m
k
k
k
k
m
能由( II )线性表示，排除(A)(D).
m
不能由
1
2
1
,
,
,
m
线性表示，若能，即存在常数
1
2
1
,
,
,
m
使得
--- [第 5 页] ---
5
1
1
2
2
1
1
m
m
m
，
代入(*)得
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
(
)
m
m
m
k
k
k
1
1
1
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
(
)
m
m
m
m
m
m
k
k
k
k
k
k
这和不能由
1
2
1
,
,
,
m
线性表出矛盾，排除(C).故应选(B).
方法2：若取
1
2
3
1
0
0
1
0 ,
1 ,
0 ,
1
0
0
1
1
，则
1
2
3
，即可由
1
2
3
,
,
线性表出.
假设存在常数
1
2
,
k k ，满足
1
1
2
2
k
k
因为
1
2
1
2
(
,
)
2
(
,
,
)
3
r
r
，
即方程组
1
1
2
2
k
k
的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不
存在常数
1
2
,
k k ，满足
1
1
2
2
k
k
，不能由
1
2
,
线性表出，是满足题设条件的
一个特例，
此时，
3
不能由( I )
1
2
,
线性表示，若存在常数1
2
,
l l ，满足
3
1
1
2
2
l
l
因为
1
2
1
2
3
(
,
)
2
(
,
,
)
3
r
r
，即方程组
3
1
1
2
2
l
l
的系数矩阵的秩不等于增
广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数1
2
,
l l ，满足
3
1
1
2
2
l
l
，故
3
不能由
( I )
1
2
,
线性表示，
但因为
3
1
2
，即
3
可由(II )
1
2
,
,
线性表示，故应选(B).
(4) 【答案】(D)
【详解】
方法1：A 相似于B ，根据矩阵相似的定义，则存在可逆阵P ，使得
1
P AP
B
，则
1
1
1
(
)
P
tE
A P
P tEP
P AP
tE
B
根据矩阵相似的定义，则tE
A
相似于tE
B
，应选(D).
方法2：排除法
(A) 不成立. 若E
A
E
B
，则A
B
，而已知只是相似.
(B) 不成立. A 与B 相似，根据矩阵相似的定义，即存在可逆阵，使得
1
P AP
B
，
从而有
--- [第 6 页] ---
6
E
B
1
E
P AP
(把
1
P AP
B
代入)
1
1
P P
P AP
(
1
P P
E
)
1
1
(
)
P
E P
P AP
1(
)
P
E
A P
1
P
E
A P
(矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积)
E
A
(矩阵逆的行列式等于行列式的逆，故
1
1
P
P
)
从而，
,
A B 有相同特征多项式，故有相同的特征值.
若A
，在
1
P AP
B
的两边同时左乘P ，右乘
1
P
，得
1
1
1
PP APP
PBP
A
，故
1
PBP
A
，
在上式两边左乘
1
P，得
1
1
(
)
(
)
B P
P
，
根据特征值和特征向量的定义，B 的属于特征值的特征向量是
1
P
，而A 的属于特
征值的特征向量，它们并不相同.
(C)不成立.
,
A B 相似时，也可能它们本身都不相似于对角阵. 例如
0 1
0 0
A
，
0 0
1 0
B
，因存在可逆阵
0 1
1 0
P
，使得
1
0
0 1
0 1
0 0
0 0
1 0
1 0
P AP
，
则根据矩阵相似的定义，知A
B
，但
,
A B 都不相似于对角阵.
若A 能相似于对角阵，即A 可相似对角化. 先求特征值，特征多项式为
2
1
0
E
A
，
令
0
E
A
得A 的两个特征值0.若A 相似于对角阵，则存在可逆矩阵P ，使得
1
0
0
P AP
，
上式两端同时左乘P ，右乘
1
P，得
1
1
1
0
0
0
0
0
0
PP APP
A
P
P
，与
--- [第 7 页] ---
7
0 1
0 0
A
矛盾，故A 不可相似对角化.
若B 能相似于对角阵，即B 可相似对角化.先求特征值，特征多项式为
2
0
1
E
B
，
令
0
E
B
得B 的两个特征值0. 若B 相似于对角阵，则存在可逆矩阵P ，使得
1
0
0
P BP
，
上式两端同时左乘P ，右乘
1
P，得
1
1
1
0
0
0
0
0
0
PP BPP
B
P
P
，与
0
1 0
B
矛盾，故B 不可相似对角化.
(5) 【答案】( A )
【详解】给定
1
X 和
2
X 的概率分布，求
1
X 和
2
X 的联合分布，所给条件为
1
2
0
1
P X X
，
这就需要从这个条件入手. 由于事件
1
2
0
X X
包括事件：
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0,
1 ,
0,
0 ,
0,
1 ,
1,
0 ,
1,
0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
所以从正面研究其概率是研究不清的，在这种情况下，往往需要通过其对立事件来研究.
根据
1
P A
P A
，有
1
2
1
2
0
1
0
1 1
0
P X X
P X X
所以有
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1,
1
1,
1
1,
1
1,
1
0
P X X
P X
X
P X
X
P X
X
P X
X
而根据概率的非负性有：
1
2
1
2
1
2
1
2
1,
1
1,
1
1,
1
1,
1
0
P X
X
P X
X
P X
X
P X
X
而
1
2
1
2
1
2
1
2
1,
1
0,
0
1,
1
P X
X
P X
X
P X
X
P X
X
1
2
1
2
0
0,
0
0
0,
0
P X
X
P X
X
又根据边缘概率的定义：
,
,
1,2,
i
i
i
j
ij
j
j
p
P X
x
P X
x Y
y
p i
--- [第 8 页] ---
8
,
,
1,2,
j
j
i
j
ij
i
i
p
P Y
y
P X
x Y
y
p
j
( 通俗点说就是在求关于X 的边缘分布时，就把对应x 的所有y 都加起来，同理求关于Y 的
边缘分布时，就把对应y 的所有x 都加起来)
由
1
1
2
1
2
1
2
1
1,
1
1,
0
1,
1
P X
P X
X
P X
X
P X
X
故
1
2
1
1
2
1
2
1,
0
1
1,
1
1,
1
P X
X
P X
P X
X
P X
X
1
1
0
0
4
4
同理可得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0,
1
0,
1
1,
0
1,
0
4
P X
X
P X
X
P X
X
P X
X
又
1
1
2
1
2
1
2
0
0,
1
0,
0
0,
1
P X
P X
X
P X
X
P X
X
1
2
1
2
1
1
1
0,
0
0,
0
4
4
2
P X
X
P X
X
而由已知
1
1
0
2
P X
，所以得
1
2
0,
0
0
P X
X
故
1
2
1
2
1
2
1
2
1,
1
0,
0
1,
1
P X
X
P X
X
P X
X
P X
X
1
2
1
2
0
0,
0
0
0,
0
0
P X
X
P X
X
三【详解】曲线
1
y
x
在曲线上点
1
( ,
)
a
a
处的切线的斜率为
3
3
1
1
|
|
2
2
x a
x a
y
x
a
，
由直线的点斜式方程得切线方程
3
1
1
(
)
2
y
x
a
a
a
，
分别令
0,
0
x
y
得到与y 轴，x 轴的交点分别为
3
(0,
)
2
R
a
与
(3 ,0)
Q
a
. 于是切线
与x 轴和y 轴围成一个直角三角形，由三角形的面积公式得
1
3
9
3
2
4
2
S
a
a
a
.
当切点按x 轴正项趋于无穷大时，这时，a ，所以lim
a
S
当切点按y 轴正项趋于无穷大时，这时，
0
a
，所以lim
0
a
S
四【详解】
--- [第 9 页] ---
9
解法1：区域D 和
1
D 如图所示，有
1
1
1
2
D
D D
D
ydxdy
ydxdy
ydxdy
I
I
显然
1
0
2
1
2
0
4
D D
I
ydxdy
dx
ydy
在极坐标系下，有
1
( , ) | 0
2sin ,
2
D
r
r
因此
1
2sin
2
2
0
sin
D
I
ydxdy
d
r
rdr
4
2
2
8
8
1 cos4
sin
1 2cos2
3
3 4
2
2
d
d
于是
1
2
4
2
D
ydxdy
I
I
解法2：如图所示，
2
( , ) | 2
2
,0
2
D
x y
x
y
y
y
2
2
2
2
2
2
0
2
0
0
2
2
y y
D
ydxdy
ydy
dx
ydy
y
y
y dy
2
2
0
4
1 (
1)
y
y
dy
令
1
sin
y
t
，有
cos
dy
tdt
，则
2
2
0
1 (
1)
y
y
dy
2
2
2(1 sin )cos
t
tdt
2
2
2
2
2
2
cos
cos
sin
tdt
t
tdt
2
0
1 cos2
2
0
2
2
t dt
五【详解】设两种要素的总投入费用为P ，则由题意得
1 1
2
2
P
p x
p x
，题目问产出量为
12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即是求函数
1 1
2
2
P
p x
p x
在约束条
件
1
2
2
12
Q
x x
下的条件最值. 按格朗日数乘法，作函数
1
2
1 1
2
2
1
2
( ,
, )
(2
12)
F x x
p x
p x
x x
，
为求驻点求偏导并令其为零，即
O
x
D
D1
y
2
--- [第 10 页] ---
10
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
0
2
0
2
12
0
F
p
x
x
x
F
p
x x
x
F
x x
由前两式可得
1
2
2
1
p
x
p
x
，解出
2x 代入第三个式子，得
2
1
1
6(
)
p
x
p
1
2
2
6(
)
p
x
p
，
因为驻点唯一，且实际问题在
1
0
x
，
2
0
x
的范围内存在最小值，
故
2
1
1
6(
)
p
x
p
，
1
2
2
6(
)
p
x
p
时P 为最小.
六【公式】形如
( )
( )
y
p x y
q x
，方程的通解为
( )
( )
(
( )
)
p x dx
p x dx
y
e
q x e
dx
C
【详解】由于所求函数
y
y x
在
,1
和
1,都满足所给微分方程，故在两个区间
上分别求微分方程，
即
2
2,
1
2
0,
1
y
y
x
y
y
x
，解得
2
2
1
2
2
2
( 2
),
1
( 0
),
1
dx
dx
dx
dx
y
e
e
dx
C
x
y
e
e
dx
C
x
，其中
1
2
,
C C 为常数.
化简得
2
1
2
2
1
,
1
,
1
x
x
y
C e
x
y
C e
x
由题设
0
0
y
，其中
0
1
x
，可知
2
1
1
0
0
1
1
0
x
x
x
y
C e
C
，解得
1
1
C
所以有
2
2
2
1
,
1
,
1
x
x
y
e
x
y
C e
x
又因为
y
y x
在
,
内连续，所以
1
1
lim
lim
(1) x
x
y
y
y
即
2
2
2
1
1
lim( 1
)
lim
(1) x
x
x
x
e
C e
y
解之得
2
2
2
1
, (1)
1
C
e
y
e
故所求连续函数为
2
2
2
1,
1
(1
)
,
1
x
x
e
x
y
y x
e
e
x
--- [第 11 页] ---
11
七【详解】
2
f
x
t
中的变量是2x
t
，故设法把x “转移”到f 外，
令
2
u
x
t
，则
2
t
x
u
，所以dt
du
代入
2
0
1
2
arctan
2
xtf
x
t dt
x
得
2
0
2
2
(2
)
(2
)
x
x
x
x
x
tf
x
t dt
x
u f u du
x
u f u du
2
2
2
1
2
arctan
2
x
x
x
x
x
f u du
uf u du
x
方法1：将等式
2
2
2
1
2
arctan
2
x
x
x
x
x
f u du
uf u du
x
两边对x 求导得
2
4
2
2 [2 (2 )
( )] [2
2 ) 2
( )]
1
x
x
x
f u du
x
f
x
f x
xf
x
xf x
x
（
化简得
2
4
2
( )
( )
1
x
x
x
f u du
xf x
x
令
1
x
得，
2
1
1
2
( )
(1) 1 1
f u du
f
，化简得
2
2
1
1
1 1
1 1
3
( )
[
(1) ]
(
1)
2 2
2 2
4
f u du
f x dx
f
方法2：引入
( )
f x 的一个原函数
( )
F x ，则
( )
( )
F x
f x
于是
2
2
2
2
2 [ (2 )
( )]
( )
x
x
x
x
x
x
x
f u du
uf u du
x F
x
F x
udF u
2
2
2 [ (2 )
( )]
( )
( )
x
x
x
x
x F
x
F x
uF u
F u du
2
( )
( )
x
x
xF x
F u du
所以
2
2
1
( )
( )
arctan
2
x
x
xF x
F u du
x
，
两边对x 求导，得
4
( )
( )
2 (2 )
( )
1
x
F x
xf x
F
x
F x
x
即
4
1
(2 )
( )
[
( )]
2 1
x
F
x
F x
xf x
x
即
2
4
1
( )
(2 )
( )
[
( )]
2 1
x
x
x
f u du
F
x
F x
xf x
x
令
1
x
得，
2
2
1
1
1 1
1 1
3
( )
[
(1) ]
(
1)
2 2
2 2
4
f u du
f x dx
f
八【详解】(1) 构造函数( )
( )
F x
f x
x
，则
F x 在区间[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，且
1
1
1
1
1
( )
( )
1
0,
(1) 1
0 1
1
0
2
2
2
2
2
F
f
F
f
，
所以由介值定理得，存在一点
1 ,1
2
，使得
( )
(
0
F
f
）
即存在一点
1 ,1
2
，使得
(
f
）
，原命题得证.
--- [第 12 页] ---
12
(2) 令
1
0
f
x
f x
x
，
解微分方程得
( )
x
f x
x
Ce
，即
( ( )
)
x
e
f x
x
C
令
( )
( ( )
)
x
F x
e
f x
x
因为
0
(0) ( (0)
0)
0,
( )
( ( )
)
0
F
e
f
F
e
f
，
所以，在(0, )
上由罗尔定理知，必然存在点
(0, )
，使得
( )
0
F
即
( )
( ( )
)
(
( ) 1)
F
e
f
e
f
(
( )
( ) 1)
0
e
f
f
即
1
f
f
九【详解】(1) 因为
2
2
4
4
2
0
0
1
1
1
tan
(1
tan
)
tan
sec
n
n
n
n
a
a
x
x dx
x
xdx
n
n
n
tan
1
4
0
0
1
1
1
tan
tan
(
1)
x t
n
n
xd
x
t dt
n
n
n n
又由部分和数列
2
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
1
,
(
1)
1
1
n
n
n
n
i
i
i
i
i
S
a
a
i
i i
i
i
n
有
lim
1,
n
n
S
因此
2
1
1
1. n
n
n
a
a
n
(2) 先估计
na 的值，因为
4
0 tann
na
xdx
，令
tan
t
x
，则
2
sec
dt
xdx
，即
2
1
dt
dx
t
所以
1
1
2
0
0
1 ,
1
1
n
n
n
t
a
t dt
t
n
所以
1
1
1 ,
(
1)
na
n
n
n
n
--- [第 13 页] ---
13
由于
1
0
，所以
1
1
1
n
n
收敛，从而
1
n
n
a
n
也收敛.
十【详解】
方法1：
(
)
T
T
T
B
E
A A
(
)
T
T
T
E
A A
(
)
T
T
T
E
A
A
T
E
A A
B
，
根据实对称矩阵的定义，故B 是实对称阵.
对任意的非零向量x ，
(
)
T
T
T
x A
Ax
，有
(
)
T
T
x
E
A A x
(
)
(
)
T
T
T
x
E x
x
A A x
T
T
T
x x
x A Ax
(
)
T
T
x x
Ax
Ax
因
0
x
，故有
0
Tx x
.(设
1
2
,
,
,
0
T
n
x
a a
a
，则
,
1,2,
,
ia i
n
中至少一
个不为零，则
2,
1,2,
,
ia
i
n
中至少一个大于零，故
2
1
0
n
T
i
i
x x
a
)
(
)
0
T
Ax
Ax
(设
1
2
,
,
,
T
n
Ax
b b
b
，
2
1
(
)
0
n
T
i
i
Ax
Ax
b
，因为Ax 有可能为
零，即有可能
0,
1,2,
,
ib
i
n
，故这里可能取等号.)
故当
0
时，
0
Tx x
.对任意的
0
x
，均有
(
)
(
)
0
T
T
T
T
T
x Bx
x
E
A A x
x x
Ax
Ax
由正定矩阵的定义，得证：B 是正定矩阵.
方法2：B 正定B 的全部特征值大于零
设B 有特征值，对应的特征向量为，由特征值和特征向量的定义，B
，
将
T
B
E
A A
代入，得
(
)
T
E
A A
，其中
0
上式两边左乘
T
，得
(
)
T
T
E
A A
T
T
T
A A
(
) (
)
T
T
A
A
T
变形得
(
) (
)
(
)
T
T
A
A
因
0
，设
1
2
,
,
,
0
T
n
c c
c
，则
,
1,2,
,
ic i
n
中至少一个不为零，则
2,
1,2,
,
ic
i
n
中至少一个大于零，故
2
1
0
n
T
i
i
c
--- [第 14 页] ---
14
(
) (
)
0
T
A
A
(设
1
2
,
,
,
T
n
A
d d
d
，
2
1
(
)
0
n
T
i
i
A
A
d
，因为A有可
能为零，即有可能
0,
1,2,
,
id
i
n
，故这里可能取等号.)
故
(
) (
)
0
T
T
A
A
所以，当
0
时，有
0
，故知B 的特征值全部大于零，B 是正定矩阵.
十一
【定义】(1)相关系数
cov(
, )
(
, )
X Y
X Y
DX
DY
); (2)协方差
cov( , )
U V
E UV
EUEV
;
(3) 离散型随机变量期望
i
i
i
EX
x p
; (4)方差的定义：
2
2
DU
EU
EU
【详解】(1) 由题知U
V
和
均服从0 1
分布，
0
P U
P X
Y
，
1
P U
P X
Y
，
0
2
P V
P X
Y
，
1
2
P V
P X
Y
二维随机变量
,
X Y
在矩形
,
0
2, 0
1
G
x y
x
y
上服从均匀分布(根据二
维均匀分布的性质，各部分所占的概率是其面积与总面积之比)
所以，如图所示：
1
1 1 1
1
2
1 2
4
D
S
P X
Y
S
总
3
1 1 2
1
2
2
1 2
2
D
S
P X
Y
S
总
1
1
1
2
1
2
1
4
2
4
P Y
X
Y
P X
Y
P X
Y
,
U V 有四个可能值：
0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1
1
0,
0
,
2
4
P U
V
P X
Y X
Y
P X
Y
0,
1
,
2
0
P U
V
P X
Y X
Y
P
1
1,
0
,
2
2
4
P U
V
P X
Y X
Y
P Y
X
Y
1
x
y
O
x
y
2
y
x
y
x
y
2
1
2
x
y
2
x
y
1
D
2
D
3
D
--- [第 15 页] ---
15
1
1,
1
,
2
2
2
P U
V
P X
Y X
Y
P X
Y
(2) 由根据边缘概率的定义：
,
,
1,2,
i
i
i
j
ij
j
j
p
P X
x
P X
x Y
y
p i
,
,
1,2,
j
j
i
j
ij
i
i
p
P Y
y
P X
x Y
y
p
j
有
1
1
0
0,
0
0,
1
0
4
4
P U
P U
V
P U
V
1
1
3
1
1,
0
1,
1
4
2
4
P U
P U
V
P U
V
1
1
1
0
0,
0
1,
0
4
4
2
P V
P U
V
P U
V
1
1
1
0,
1
1,
1
0
2
2
P V
P U
V
P U
V
而
0
0,
0
0,
1
1,
0
P UV
P U
V
P U
V
P U
V
1
1
1
0
4
4
2
1
1
1,
1
2
P UV
P U
V
即
所以
1
1
1
0
1
2
2
2
EUV
，
1
3
3
0
1
4
4
4
EU
，
1
1
1
0
1
2
2
2
EV
所以
1
3
1
1
cov( , )
2
4
2
8
U V
E UV
EUEV
又
2
1
3
3
0
1
4
4
4
EU
，
2
1
1
1
0
1
2
2
2
EV
所以
2
2
2
3
3
3
4
4
16
DU
EU
EU
，
2
2
2
1
1
1
2
2
4
DV
EV
EV
V
0
1
p
1
2
1
2
UV
0
1
p
1
2
1
2
U
0
1
p
1
4
3
4
2
U
0
1
p
1
4
3
4
2
V
0
1
p
1
2
1
2
--- [第 16 页] ---
16
故
1
cov( , )
3
8
( , )
3
3
1
4
2
U V
r U V
DU
DV
十二【概念和性质】(1)
E aX
bY
aEX
bEY
；(2)
2
(
)
(
)
D cX
c D X
；
(3) 若X
Y
和
独立，则
(
)
D X
Y
DX
DY
；
(4) t 分布的定义：若
~
(0,1)
X
N
，
2
~
( )
Y
n
，
,
X Y 独立，则
~ ( )
X
T
t n
Y n
(5) 正态分布标准化的定义：若
2
~
( ,
)
Z
N u
，则
~
(0,1)
Z
u
N
【详解】由于
1
9
,
,
X
X
是来自总体X 的简单随机样本，故
1
9
,
,
X
X
独立.
设
2
~
( ,
)
X
N u
，则
2
1
9
,
,
~
( ,
)
X
X
N u
，又因为服从正态分布的独立随机变量其
线性组合也服从正态分布，则
2
1
1
2
6
1
~
( ,
)
6
6
Y
X
X
X
N u
其中
1
1
2
6
1
2
6
1
1
6
( )
6
6
6
u
u
E Y
E
X
X
X
EX
EX
EX
u
2
1
1
2
6
1
2
6
1
1
( )
6
36
D Y
D
X
X
X
D X
X
X
2
6
1
1
1
36
6
6
i
i
DX
DX
故
2
1 ~
( ,
)
6
Y
N u
同理，因为
2
7
8
9
1
3
Y
X
X
X
，所以
2
2 ~
( ,
)
3
Y
N u
又由于
1
2
,
Y Y 独立，且都服从正态分布，故
1
2
Y
Y
也服从正态分布，其期望方差分别为：
1
2
1
2
(
)
0
E Y
Y
EY
EY
u
u
，
2
2
2
1
2
1
2
(
)
6
3
2
D Y
Y
DY
DY
得
2
1
2 ~
(0,
)
2
Y
Y
N
--- [第 17 页] ---
17
将
1
2
Y
Y
标准化得
1
2
0 ~
(0,1)
2
Y
Y
U
N
由正态总体样本方差的性质：
2
2
2
(
1)
~
(
1)
n
S
n
，推得
2
2
2
2
2
~
(2) S
因
2
S 与
2Y 独立(由于样本方差与样本均值独立)
而
2
1Y
S
与
独立，故
1
2
0
2
Y
Y
U
与
2
2
2S
独立.
所以由t 分布的定义有：
1
2
2
2
2
0
2
~ (2)
2
2
2
Y
Y
U
t
S
化简上式
1
2
1
2
2
2
0
2(
)
2
2
2
Y
Y
Y
Y
S
S
即
1
2
2(
) ~ (2)
Y
Y
Z
t
S