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1
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 【答案】1
e
【解析】曲线
n
y
x
在点(1,1) 处的切线斜率
1
x
y
1
n
x
x
1
1
n
x
n x
n
,根据点斜
式,切线方程为：
1
(
1).
y
n x
令
0
y
,代入
1
(
1)
y
n x
,则
1
1
x
n
,即在x 轴上的截距为
1
1
n
n
,
lim
(
)
n
n
f
lim
n
n
n
1
lim(1
)n
n
n
1
1
lim(1
)
x
x
x
1
e
.
(2) 【答案】
ln x
C
x
【解析】由分部积分公式,
2
ln
1
x
dx
x
1
ln
1
x
dx
x
1
ln
1
x
d
x
ln
1
1
(ln
1)
x
d
x
x
x
分部
2
ln
1
1
x
dx
x
x
ln
1
1
x
dx
x
x
ln
1
1
x
C
x
x
ln x
C
x
.
【相关知识点】分部积分公式：假定
( )
u
u x
与
( )
v
v x
均具有连续的导函数,则
,
uv dx
uv
u vdx
或者
.
udv
uv
vdu
(3) 【答案】
5
1
( 5)
(
)
12
6
t
ty
C
t
【解析】首先把差分方程改写成标准形式
1
5
5
2
t
t
y
y
t
,其齐次方程对应的特征方程及
特征根分别为
5
0,
5,
r
r
故齐次方程的通解为
( 5) ,
t
tY
C
C
为常数.
将方程右边的5
2 t 改写成5
1
2
t
t
,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为
,
ty
At
B
--- [第 2 页] ---
2
从而
1
(
1)
,
ty
A t
B
代入原方程,得
5
(
1)
5(
)
,
2
A t
B
At
B
t
5
6
,
6
0,
2
A
A
B
故
5
5
,
12
72
A
B
.
于是通解为
5
1
( 5)
(
).
12
6
t
t
t
t
y
Y
y
C
t
(4) 【答案】
2
0
0
0
4
0
0
0
2
【解析】由题设
*
2
8
A BA
BA
E
,
由于
2
0
A
,所以A 可逆.上式两边左乘A ,右乘
1
A,得
*
1
1
1
2
8
AA BAA
ABAA
AA
2
8
A B
AB
E
(利用公式：
*
1
,
AA
A E AA
E
)
2
8
A B
AB
E
(移项)
2
8
A E
A B
E
(矩阵乘法的运算法则)
将
2
A 代入上式,整理得
1
4 E
A B
E
.
由矩阵可逆的定义,知E
A
, B 均可逆,且
1
1
4
B
E
A
1
1
0
0
2
0
0
2
4 0
1
0
4 0
1
0
0
0
2
1
0
0
2
2
0
0
0
4
0
0
0
2
.
(5) 【答案】1
1
,
,2
20 100
【解析】由于
1
2
3
4
,
,
,
X
X
X
X 相互独立,均服从
2
(0,2 )
N
,所以由数学期望和方差的性质,
得
2
2
2
1
2
1
2
(
2
)
0,
(
2
)
1 2
2
2
20
E X
X
D X
X
,
所以
1
2
(
2
)
(0,20)
X
X
N
,同理
3
4
(3
4
)
(0,100)
X
X
N
.
--- [第 3 页] ---
3
又因为
1
2
(
2
)
X
X
与
3
4
(3
4
)
X
X
相互独立,且
1
2
1
(
2
)
(0,1)
20
X
X
N
；
3
4
1
(3
4
)
(0,1)
100
X
X
N
,
由
2
分布的定义,当
1
1
,
20
100
a
b
时,
2
2
2
1
2
3
4
1
1
(
2
)
(3
4
)
(2) 20
100
X
X
X
X
X
.
即当
1
1
,
20
100
a
b
时, X 服从
2
分布,其自由度为2 .
严格地说,当
1
0,
100
a
b
时,
2(1)
X
；当
1 ,
0
20
a
b
时,
2(1)
X
也是正确的.
【相关知识点】1、对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态
分布.
若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
(
)
(
)
( )
E aX
bY
c
aE X
bE Y
c
,
2
2
(
)
(
)
( )
D aX
bY
c
a D X
b D Y
,
其中, ,
a b c 为常数.
2、 定理：若
2
( ,
)
X
N
,则
(0,1)
X
N
.
3、 2
分布的定义：若
1,
,
n
Z
Z
相互独立,且都服从标准正态分布
(0,1)
N
,则
2
2
1
~
( )
n
i
i
Z
n
.
二、 选择题(本题共5 小题,每小题3 分,共15 分.每小题给出的四个选项中,只有一
项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 【答案】(D)
【解析】根据导数定义：
0
(
)
( )
lim
x
f x
x
f x
f
x
x
0
(1) (1
)
lim
2
x
f
f
x
x
0
1
(1
)
(1) lim
2 x
f
x
f
x
1
(1) 2 f
1
所以
0
(1
)
2. x
f
x
f
f
x
因为
( )
f x 周期为4,
( )
f
x
的周期亦是4,即
( )
(
4)
f
x
f
x
,
所以
(1) 2
f
.
所以曲线
( )
y
f x
在点
5,
(1) 2
f
.选(D).
--- [第 4 页] ---
4
(2) 【答案】(B)
【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该
( )
f x 的(分段)表达式,然
后再讨论
( )
f x 的性质.不能隔着极限号去讨论.
【解析】现求
( )
f x 的(分段)表达式：
当
1
x
时,
2
1
( )
lim 1
n
n
x
f x
x
2
1 2
2
lim
1
n
n
n
n
x
x
x
2
1 2
2
lim
0
1
lim
1
n
n
n
n
n
x
x
x
0
；
当
1
x
时,
2
1
( )
lim 1
n
n
x
f x
x
2
1 1
lim1 1 n
n
2
2
1
；
当
1
x 时,
2
1
( )
lim 1
n
n
x
f x
x
2
1 1
lim
1
1
n
n
0
2
0
；
当
1
x 时,
2
1
( )
lim 1
n
n
x
f x
x
2
lim 1
lim 1
n
n
n
x
x
2
0 1
1
n
x
x
1
x
.
由此,
0,
1,
0,
1,
( )
1
,
1,
1,
1,
0,
1. x
x
f x
x
x
x
x
当
当
当
当
当
即
0,
1
1,
( )
1
,
1,
1,
1. x
x
f x
x
x
x
当
或
当
当
再讨论函数
( )
f x 的性质：在
1
x 处,
1
lim
x
f x
1
lim 1
x
x
1 1
0
,
1
lim
1
0
x
f x
f
,
所以,
1
1
lim
lim
0
x
x
f x
f x
,函数
( )
f x 在
1
x 处连续,不是间断点.
在
1
x
处,
1
lim
x
f x
1
lim 0
x
0
；
1
lim
x
f x
1
lim 1
x
x
2
；
所以
1
lim
x
f x
1
lim
x
f x
,函数
( )
f x 在
1
x
处不连续,是第一类间断点.故选(B).
(3) 【答案】(C)
【解析】方法1:由
0
AB
知( )
( )
3
r A
r B
,又
0,
0
A
B
,于是1
( )
3,
r A
1
( )
3
r B
,故
0,
0
A
B
,即
--- [第 5 页] ---
5
2
2
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1 1
(1
)
0
1 1
1
1
1
1
A
,
得
1.
应选(C).
方法2:由
0
AB
知( )
( )
3
r A
r B
,又
0,
0
A
B
,于是1
( )
3,
r A
1
( )
3
r B
,故
0
B
.
显然,
1
时
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
,有1
( )
3,
r A
故应选(C).
作为选择题,只需在
2
与
1
中选择一个,因而可以用特殊值代入法.
评注：对于条件
0
AB
应当有两个思路：一是B 的列向量是齐次方程组
0
Ax
的解；二是
秩的信息,即( )
( )
r A
r B
n
,要有这两种思考问题的意识.
(4) 【答案】(B)
【解析】
1
1
1
1 1
0
0
(1) 1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1 (
1)
0
1
0
0
(2) 0
0
1
0
0
0
0
1
n
a
a
a
a
a
a
a
其中(1) 变换：将1 行乘以(-1)再分别加到其余各行；(2) 变换：将其余各列分别加到第1
列.
由阶梯形矩阵知,当1 (
1)
0
n
a
,即
1
1
a
n
时,有( )
1
r A
n
,故应选(B).
(5) 【答案】(A)
【解析】根据分布函数的性质lim
( )
1
x
F x
,即
1
2
1
lim
( )
(
)
(
)
(
)
x
F x
F
aF
bF
a
b
.
在所给的四个选项中只有(A)满足
1
a
b
,故应选(A).
【相关知识点】分布函数
F x 的性质：
--- [第 6 页] ---
6
y
x
O
(2) lim
( )
(
)
0, lim
( )
(
)
1;
x
x
F x
F
F x
F
三、 (本题满分5 分)
【解析】
arctan
arctan
2
2
2
2
(
)
(
) (
)
y
y
x
x
dz
e
d x
y
x
y
d e
arctan
2
2
arctan
2
2
2
arctan
2
2
arctan
2
2
(
) ( arctan
)
1
2
2
(
)
( )
1
( )
2
2
(2
)
(2
)
y
x
y
x
y
x
y
x
y
e
xdx
ydy
x
y
d
x
y
e
xdx
ydy
x
y
d
y
x
x
xdy
ydx
e
xdx
ydy
x
x
e
x
y dx
y
x dy
由全微分与偏微分的关系可知,其中dx 的系数就是z
x
,即
arctan
(2
)
y
x
z
x
y e
x
.再对y 求偏
导数,得
2
2
2
arctan
arctan
arctan
2
2
2
2
1
1
(2
)
.
1
y
y
y
x
x
x
z
y
xy
x
e
x
y e
e
y
x y
x
x
y
x
四、 (本题满分5 分)
【解析】
2
2
{( , )
}
D
x y x
y
x
表示圆心为1 ,0
2
,半径为
1
2
的圆及其内部,画出区域D ,如右图.
方法1:
2
2
( , ) | 0
1,
D
x y
x
x
x
y
x
x
所以,
2
2
1
1
1
2
0
0
0
2
2
1
x x
x x
D
xdxdy
xdx
dy
x
x
x dx
x
xdx
,
令1
x
t
,则
2
1
x
t
,
2
dx
tdt
, :1
0
t
所以
上式
1
3
5
0
1
2
2
2
1
0
0
8
2
(1
)
( 2 )
4
(1
)
4
3
5
15
t
t
t
t
t dt
t
t dt
.
--- [第 7 页] ---
7
方法2:引入极坐标系
cos ,
sin
x
r
y
r
,于是
( , ) |
,0
cos
2
2
D
r
r
,
3
cos
cos
2
2
2
0
0
2
2
3
2
0
cos
cos
4
8
cos
.
5
15
D
xdxdy
d
r
rdr
d
r dr
d
其中倒数第二步用了华里士公式：
2
0
1
3
4 2
cos
1
2
5 3
n
n
n
d
n
n
,其中n 为大于1 的正奇数.
五、 (本题满分6 分)
【分析】根据连续复利公式,在年利率为r 的情况下,现时的A
(元)在t 时的总收入为
( )
ert
R t
A
,反之,t 时总收入为
( )
R t 的现值为
( )
( )e rt
A t
R t
,将
2
5
0
t
R
R e
代入即得到总收
入的现值与窖藏时间t 之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.
【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为
( )
e rt
A t
R
,而由题
设,t 年末的总收入
2
5
0
t
R
R e
,据此可列出
( )
A t ：
2
5
0
( )
e
e
t
rt
rt
A t
R
R
,
令
dA
dt
2
5
0 e
t
rt
d
R
dt
2
5
0
1
e
0
5
t
rt
R
r
t
,
得惟一驻点
0
2
1
25
t
t
r
.
2
2
d A
dt
d
dA
dt
dt
2
5
0
1
e
5
t
rt
d
R
r
dt
t
2
2
5
5
0
0
1
1
e
e
5
5
t
rt
t
rt
d
d
R
r
R
r
dt
dt
t
t
2
2
2
5
5
0
0
3
1
1
5
10
t
rt
t
rt
R e
r
R e
t
t
2
2
5
0
3
1
1
5
10
t
rt
R e
r
t
t
0
1
2
3
25
0
2
( 12.5
)
0
r
t t
d A
R e
r
dt
.
--- [第 8 页] ---
8
根据极值的第二充分条件,知：
0
t
t
是
( )
A t 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值
点.故窖藏
2
1
25
t
r
年出售,总收入的现值最大.
当
0. 06
t
100
11
9
(年).
【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数
( )
f x 在
0x 处具有二阶导数且
0
(
)
0
f
x
,
0
(
)
0
f
x
,当
0
(
)
0
f
x
时,函数
( )
f x 在
0x 处取得极大值；当
0
(
)
0
f
x
时,函数
( )
f x 在
0x 处取得极小值.
六、(本题满分6 分)
【分析】本题要证的结论中出现两个中值点和,这种问题一般应将含有和的项分别
移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证
( )(
)
(
)
( )
b
a
f
b
a
e
e
f
e
.
【解析】方法1: 函数
( )
f x 在
,a b 上连续,在( , )
a b 内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,
对函数
( )
f x 在
,a b 上用拉格朗日中值定理,有
( )
( )
( )(
),
.
f b
f a
f
b
a a
b
又函数
( )
f x 与
xe 满足柯西中值定理的条件,将函数
( )
f x 与
xe 在
,a b 上用柯西中值定理,
有
( )
( )
( ) ,
b
a
f b
f a
f
a
b
e
e
e
,即
( )
( )
( )
b
a
f
f b
f a
e
e
e
（
）
.
从而有
( )
( )(
)
b
a
f
f
b
a
e
e
e
（
）
,即
( )
, ,
( , )
( )
b
a
f
e
e
e
a b
f
b
a
.
方法2：题中没有限制
,因此取
,即成为要去证存在
( , )
a b
使
.
b
a
e
e
e
b
a
在
,a b 上对函数
xe 用拉格朗日中值定理,存在
( , )
a b
使
,
1. b
a
b
a
e
e
e
e
e
e
b
a
b
a
即
再取
,则
( )
1
( )
b
a
f
e
e
e
f
b
a
,原题得证.
--- [第 9 页] ---
9
【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：
如果函数
( )
f x 满足在闭区间[ , ]
a b 上连续,在开区间
,a b 内可导,那么在
,a b 内至
少有一点(
)
a
b
,使等式
( )
( )
( )(
)
f b
f a
f
b
a
成立.
2. 柯西中值定理：如果函数
( )
f x 及
( )
F x 满足
(3) 对任一
( , )
x
a b
,
( )
0
F x
,
那么在( , )
a b 内至少有一点,使等式
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f b
f a
f
F b
F a
F
成立.
七、(本题满分6 分)
【解析】(1)由
2
1
y
nx
n
与
2
1
(
1)
1
y
n
x
n
得
1
. (
1)
na
n n
因图形关于y 轴对称,所以,所求图形的面积为
2
2
0
3
2
0
1
1
2
(
1)
1
2
1
4
1
2
2
. (
1)
(
1)
3
3
(
1)
(
1)
n
n
a
n
a
n
n
S
nx
n
x
dx
n
n
a
a
x
dx
n n
n n
n n
n n
(2) 由(1)的结果知
4
1
4 1
1
(
)
3 (
1)
3
1
n
n
S
a
n n
n
n
,
根据级数和的定义,
1
1
1
4
1
1
4
1
4
lim
lim
lim 1
.
3
1
3
1
3
n
n
n
k
n
n
n
n
k
k
n
k
S
S
a
a
k
k
n
八、(本题满分7 分)
【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线
( )
y
f x
等围成的平面图
形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积
( )
V t 与包含函数f 的一个恒等式,这正是列方程的
依据.
【解析】由绕x 轴旋转的旋转体体积公式得
2
1
( )
( )
t
V t
f
x dx
,于是,依题意得
--- [第 10 页] ---
10
2
2
1
( )
( )
(1) 3
t f
x dx
t f t
f
,即
2
2
1
3
( )
( )
(1) t f
x dx
t f t
f
.
两边对t 求导,化成微分方程
2
2
3
( )
2 ( )
( )
f
t
tf t
t f t
,
其中
( )
f t 为未知函数.按通常以x 表示自变量, y 表示未知函数
( )
f t ,于是上述方程可写为
2
2
3
2
,
x y
y
xy
即
2
3( )
2( ).
dy
y
y
dx
x
x
这是一阶齐次微分方程.令y
ux
,有dy
du
u
x
dx
dx
,则上式化为
2
(
)
3
2 ,
du
u
x
u
u
dx
即
3 (
1).
du
x
u u
dx
(*)
若
0
u
,则
0,
y
ux
不满足初始条件
2
2
9
x
y
,舍弃；
若
1
u
,则
,
y
ux
x
也不满足初始条件
2
2
9
x
y
,舍弃；
所以,
0
u
,且
1
u
.
由(*)式分离变量得
3
,
(
1)
du
dx
u u
x
两边积分得
3
1
u
Cx
u
.从而方程(*)的通解为
3 ,
y
x
Cx y C
为任意常数.
再代入初值,由
2
2
9
x
y
,得
1
C ,从而所求的解为
3
3
,
,(
1).
1
x
y
x
x y
y
x
x
或
【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若
( )
( )
( )
( )
t
t
F t
f x dx
,
( )t
,
( )t
均一
阶可导,则
( )
( )
( )
( )
( )
F t
t
f
t
t
f
t
.
九、(本题满分9 分)
【解析】(1)对等式
0
T
两边取转置,有
0
T
T
T
,即
0
T
.
利用
0
T
及矩阵乘法的运算法则,有
2
2
T
T
T
A
0
0
T
T
T
T
0
,
即
2
A 是n 阶零矩阵.
--- [第 11 页] ---
11
(2) 设是A 的任一特征值, (
0)
是A 属于特征值的特征向量,即A
.
对上式两边左乘A 得
2
A
(
)
(
)
A
A
2
, 由(1) 的结果
2
0
A
, 得
2
2
0
A
,因
0
,故
0
( n 重根),即矩阵的全部特征值为零.
下面求A 的特征向量：先将A 写成矩阵形式
1
1 1
1 2
1
2
2 1
2
2
2
1
2
1
2
,
,
,
n
n
T
n
n
n
n
n
n
a
a b
a b
a b
a
a b
a b
a b
A
b b
b
a
a b
a b
a b
.
不妨设
1
1
0,
0
a
b
,则有
1 1
1 2
1
1
2
2 1
2
2
2
2 1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
(0
)
1
(
)
0
1
(
2,
, )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i
a b
a b
a b
b
b
b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
E
A
a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
b
b
b
a
i
i
n
行
行
加到行
0
0
0
0
0
于是得方程组(0
)
0
E
A x
同解方程组
1 1
2
2
0
n
n
b x
b x
b x
,这样基础解系所含向量
个数为
(0
)
1
n
r
E
A
n
.
选
2,
,
n
x
x
为自由未知量,将它们的组值
1
1
1
( ,0,
,0),(0,
,
,0),
(0,0,
,
)
b
b
b
代入,
可解得基础解系为
1
2
1
2
3
1
1
1
(
,
,0,
,0),
(
,0,
,
,0),
,
(
,0,0,
,
)
n
n
b b
b
b
b
b
则A 的属于
0
的全部特征向量为
1 1
2
2
1
1
n
n
k
k
k
,其中
1
2
1
,
,
,
n
k k
k
为不全为
零的任意常数.
十、(本题满分7 分)
【分析】由于B 是实对称矩阵, B 必可相似对角化,而对角矩阵即B 的特征值,只要求出
B 的特征值即知,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零, k 的取值亦可求出.
【解析】方法1：由
--- [第 12 页] ---
12
2
1
0
1
1
1
0
2
0
(
2)
(
2)
1
1
1
0
1
E
A
,
可得A 的特征值是
1
2
3
2,
0.
那么, kE
A
的特征值是
2,
2,
k
k
k
,而
2
(
)
B
kE
A
的特征值是
2
2
2
(
2) ,(
2) ,
.
k
k
k
又由题设知A 是实对称矩阵,则
,
T
A
A
故
2
2
2
(
)
(
)
(
)
T
T
T
B
kE
A
kE
A
kE
A
B
,
即B 也是实对称矩阵,故B 必可相似对角化,且
2
2
2
(
2)
0
0
0
(
2)
0
0
0
k
B
k
k
.
当
2
0
k
k
且
时, B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.
方法2：由
2
1
0
1
1
1
0
2
0
(
2)
(
2)
1
1
1
0
1
E
A
,
可得A 的特征值是
1
2
3
2,
0.
因为A 是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P 使
1
2
2
0
P AP
,即
1
A
P P
.
那么
2
2
1
1 2
1
(
)
(
)
(
)
B
kE
A
kPP
P P
P kE
P
1
1
2
1
(
)
(
)
(
)
.
P kE
P P kE
P
P kE
P
即
1
2
(
)
P BP
kE
.故
2
2
2
(
2)
0
0
0
(
2)
0
0
0
k
B
k
k
.
当
2
0
k
k
且
时, B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.
【相关知识点】1.特征值的性质：若A 有特征值,则A 的特征多项式
( )
f A 有特征值
( )
f .
2. 矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.
--- [第 13 页] ---
13
O
10
20
x
y
2
D D
10
20
十一、(本题满分10 分)
【解析】设Z 表示商店每周所得的利润,
当Y
X
时,卖得利润为
1000
Z
Y
(元)；
当Y
X
时,调剂了Y
X
,总共得到利润
1000
500(
)
500(
)
Z
X
Y
X
X
Y
(元).
所以,
1000 ,
,
500(
),
.
Y
Y
X
Z
X
Y
Y
X
由题设X 与Y 都服从区间[10,20] 上的均匀分布,联合概率密度为
1 , 10
20,10
20,
( , )
100
0,
x
y
f x y
其他.
由二维连续型随机变量的数学期望定义得
1
2
1
2
20
20
20
10
10
10
20
20
2
10
10
( )
1000
( , )
500(
)
( , )
1
1
1000
500(
)
100
100
10
5
(
)
3
10
(20
)
5
(
10
50)
2
20000
5 1500
14166.67(
).
3
D
D
D
D
y
y
E Z
y f x y dxdy
x
y
f x y dxdy
y
dxdy
x
y
dxdy
dy
ydx
dy
x
y dx
y
y dy
y
y
dy
元
十二、(本题满分9 分)
【解析】记事件
j
B “第j 次抽到的报名表是女生表”(
1,2)
j
,
iA “报名表是第i 个地
区的”(
1,2,3)
i
.易见,
1
2
3
,
,
A A A 构成一个完备事件组,且
1
1
1
2
1
3
1
{ }
(
1,2,3),
3
3
7
5
{
}
, {
}
, {
}
.
10
15
25
i
P A
i
P B A
P B A
P B A
(1) 应用全概率公式,知
3
1
1
1
1
3
7
5
29
{
}
{ }
{
}
(
)
3 10
15
25
90
i
i
i
p
P B
P A
P B A
.
(2) 1
2
{
}
q
P B B
.需先计算概率
1
2
{
}
P B B
与
2
{
}
P B
.对事件
1
2
B B 再次用全概率公式：
--- [第 14 页] ---
14
3
1
2
1
2
1
1
3
7
7
8
5
20
20
{
}
{ }
{
}
(
)
3 10 9
15 14
25 24
90
i
i
i
P B B
P A
P B B A
,
由“抽签原理”可知
2
1
61
(
)
(
)
90
P B
P B
,
1
2
1
2
2
(
)
20 90
20
{
}
90 61
61
(
)
P B B
q
P B B
P B
.
【相关知识点】1.全概率公式：如果事件
1,
,
n
A
A
构成一个完备事件组,即它们是两两互不
相容,其和为(总体的样本空间)；并且
0,
1,2,
,
i
P A
i
n
,则对任一事件B 有
1
(
) (
|
)
n
i
i
i
P B
P A P B A
.