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1
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题(本题共5 分,每小题3 分,满分15 分.把答案在题中横线上.)
(1) 【答案】
( ) 1
[
ln
ln
]
f x
e
f
x
f
x f
x dx
x
【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：
由
( )
(ln )
f x
y
f
x e
可知
( )
( )
( )
1
ln
ln
1
[
ln
ln
]
.
f x
f x
f x
dy
f
x e
dx
f
x e
f
x dx
x
e
f
x
f
x f
x dx
x
(2) 【答案】4
【分析】本题中
1
0
( )
f x dx
是个常数,只要定出这个数问题就解决了.
【解析】令
1
0
( )
f x dx
A
,则
2
2
1
( )
1
1
f x
A
x
x
,两边从0 到1 作定积分得
1
1
2
2
0
0
1
1
dx
A
A
x dx
x
1
0
arctan
4
4
4
x
A
A
,
解得
4
A
.
【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分
1
2
0 1
x dx
表示单位圆
在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.
(3) 【答案】
(
2)2t
ty
C
t
【解析】对应的齐次差分方程是
1
0
t
t
y
y
,显然有不恒等于零的特解
1
ty
.
因方程的右端函数
( )
2t
f t
t
,可设非齐次差分方程的特解有形式
(
)2t
y
At
B
,
代入方程得
(
2
)2
2 ,
0,1,2,
.
t
t
At
A
B
t
t
由于2
0
t
,于是
2
,
0,1,2,
.
At
A
B
t
t
可确定
1,
2
A
B
,即非齐次差分方程有一个特解是
(
2)2t
y
t
.
从而,差分方程的通解是
(
2)2t
ty
C
t
.
(4) 【答案】
2
2
t
--- [第 2 页] ---
2
【解析】二次型
1
2
3
( ,
,
)
f x x x
对应的矩阵为
2
1
0
1
1
2
0
1
2
t
A
t
.
因为f 正定A 的顺序主子式全大于零.又
2
1
2
3
2
1
1
2
1
1
1
1
2
,
,
A
t
,
故f 正定
2
1
1
0
2 t
,即
2
2
t
.
(5) 【答案】t 分布,参数为9
【解析】由
1
9
,
,
X
X
是来自总体X 的简单随机样本,故
1
9
,
,
X
X
独立,且都服从正态
分布
2
(0,3 )
N
.类似有
1
9
,
,
Y
Y
相互独立,且都服从正态分布
2
(0,3 )
N
.
又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即
2
1
9 ~
( ,
)
X
X
X
N
.
其中
1
9
(
)
(
)
E X
E X
X
,
2
1
9
(
)
(
)
D X
D X
X
.
由期望的性质,
1
9
1
2
9
(
)
(
)
0
E X
E X
X
EX
EX
EX
；
由独立随机变量方差的性质,
2
1
9
1
9
(
)
(
)
81
D X
D X
X
DX
DX
,
故
2
~
(0,9 )
X
N
.
因
2
1
9
,
,
~
(0,3 )
Y
Y
N
,故
0 ~
(0,1),(
1,2,
,9)
3
iY
N
i
,所以,
2
9
2
1
~
(9) 3
i
i
Y
Y
.
由t 分布的定义,现已有
2
~
(0,9 )
X
N
,将其标准化得
0 ~
(0,1)
9
X
N
,故
0
9
~ (9)
9
X
t
Y
.
化简有
~ (9)
9
X
t
Y
,即
1
9
1
9
2
2
2
2
1
9
1
9
~ (9)
1
9
(
)
9
X
X
X
X
t
Y
Y
Y
Y
.
--- [第 3 页] ---
3
【相关知识点】1.数学期望的性质：
(
)
(
)
( )
E aX
bY
c
aE X
bE Y
c
,其中, ,
a b c 为
常数.
2. 方差的性质：X 与Y 相互独立时,
2
2
(
)
(
)
( )
D aX
bY
c
a D X
b D Y
,其中, ,
a b c 为常
数.
3. 2
分布的定义：若
1,
,
n
Z
Z
相互独立,且都服从标准正态分布
(0,1)
N
,则
2
2
~
(1) iZ
,
2
2
1
~
( )
n
i
i
Z
n
.
4. 若
2
~
( ,
)
Z
N u
,则
~
(0,1)
Z
u
N
.
5. t 分布的定义：若
~
(0,1)
X
N
,
2
~
( )
Y
n
,
,
X Y 独立,则
~ ( )
X
T
t n
Y n
.
二、 选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有
一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 【答案】(B)
【分析】只要求出极限
0
( )
lim
( )
x
f x
g x
就能判断出正确的选项.
【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得
1 cos
2
2
0
5
6
4
0
0
0
5
2
4
4
0
0
0
sin
( )
(sin )sin(1 cos )
lim
lim
lim
( )
(1
)
5
6
1
1
(1 cos )
4
lim
lim
lim
0,
1
x
x
x
x
x
x
x
t dt
f x
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
x
x
x
x
故应选(B).
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若
( )
( )
( )
( )
t
t
F t
f x dx
,
( )t
,
( )t
均一
阶可导,则
( )
( )
( )
( )
( )
F t
t
f
t
t
f
t
.
2. 无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,
( ),
( )
x
x
为无穷小且存在极限
( )
lim
( )
x
l
x
,
(1) 若
0,
l
称
( ),
( )
x
x
在该极限过程中为同阶无穷小；
(2) 若
1,
l
称
( ),
( )
x
x
在该极限过程中为等价无穷小,记为
( )
( )
x
x
；
--- [第 4 页] ---
4
(3) 若
0,
l
称在该极限过程中
( )
x
是
( )x
的高阶无穷小,记为
( )
( )
x
o
x
.
若
( )
lim
( )
x
x
不存在(不为),称
( ),
( )
x
x
不可比较.
(2) 【答案】(C)
【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.
方法1：由
(
)
( )
f
x
f x
(
,
)
知,
( )
f x 的图形关于y 轴对称.由在(
,0)
内,
0
f
x
且
( )
0
f
x
知,
( )
f x 的图形在(
,0)
内单调上升且是凸的；由对称性知,在
(0,
)
内,
( )
f x 的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).
方法2：由
(
)
( )
f
x
f x
可知
(
)
( ),
(
)
( )
f
x
f
x
f
x
f
x
.
当
(0,
)
x
时,
(
,0)
x
,此时由题设知
0
f
x
,
(
)
0
f
x
,则
( )
0,
( )
0,
(0,
)
f
x
f
x
x
,
故应选(C).
方法3：排除法.取
2
( )
f x
x
,易验证
( )
f x 符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选
项均不正确,故应选(C).
方法4：由题设可知
( )
f x 是一个二阶可导的偶函数,则
( )
f
x
为奇函数,
( )
f
x
为偶函数,又
在(
,0)
内
( )
0,
( )
0
f
x
f
x
,则在(0,
)
内
( )
0,
( )
0
f
x
f
x
,故应选(C).
(3) 【答案】(C)
【分析】这一类题目最好把观察法与
1
2
3
1
2
3
(
,
,
)
(
,
,
)C
技巧相结合.
【解析】对于(A),
1
2
2
3
3
1
0
,即存在一组不全为零的数1,
-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知
1
2
2
3
3
1
,
,
线性相关,排除(A)；
对于(B),
1
2
2
3
1
2
3
2
0
,即存在一组不全为零的数1,1,
-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知
1
2
2
3
1
2
3
,
,
2
线性相关,排除
(B)；
对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设
有数
1
2
3
k ,k ,k , 使得
1
1
2
2
2
3
3
1
3
2
2
3
3
0
k
k
k
,
--- [第 5 页] ---
5
整理得
1
3
1
1
2
2
2
3
3
2
2
3
3
0. k
k
k
k
k
k
a
已知
1
,
2
,
3
线性无关,上式成立,当且仅当
1
3
1
2
2
3
0
2
2
0
3
3
0
k
k
k
k
k
k
①
因①的系数行列式
1
0
1
2
2
0
12
0
0
3
3
,故①有唯一零解,即
1
2
3
0
k
k
k
.故原向量组
1
2
2
,
2
3
2
3
,
3
1
3
线性无关.应选(C).
或者也可以将
1
2
2
,
2
3
2
3
,
3
1
3
用
1
2
3
,
,
线性表出,且写成矩阵形式,有
1
2
2
3
3
1
1
2
3
1
2
3
1
0
1
2
,2
3
,3
,
,
2
2
0
,
,
0
3
3
C
记
,
12
0
C
,则C 可逆,故两向量组是等价向量组,由
1
,
2
,
3
线性无关知
1
2
2
,
2
3
2
3
,
3
1
3
线性无关.
(4) 【答案】(D)
【解析】方法1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也
不一定合同.
例如,若
1
0
1
0
0
3
0
2
A
,B
,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负
惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；
若
1
0
1
0
0
3
0
2
A
,B
,则
1
1
1
0
1
2
0
3
0
2
0
6
AB
,
1
0
1
1
1
1
0
2
0
3
0
6
BA
,
AB
BA
.
故(A)不成立；应取(D).
方法2：因
,
A B 是同阶(设为n )可逆阵,故有
r A
r B
n,
而
r A
r B
,
A B 等价存在可逆阵P,Q 使得PAQ
B.
(这里只需取
1
P
A ,Q
B,
既有
1
PAQ
A BA
B
成立),故应选(D).
--- [第 6 页] ---
6
或者,因
,
A B 是同阶可逆阵,故
,
A B 均可以通过初等行变换化成单位阵,
A
E,B
E,
行变换
行变换
即存在初等阵
1
2
1
2
s
r
P
P ,P ,
P ,W
W ,W
W ,
使得
PA
E,WB
E
,
从而有PA
E
WB
,得
1
PAW
PAQ
B
1
W
Q
.故(D)成立.
(5) 【答案】(A)
【解析】因X 和Y 相互独立, 而
1
1
1
1
,
1
1
2
2
P X
P Y
P X
P Y
,
故有：
1
1
1
1,
1
1
1
2
2
4
P X
Y
P X
P Y
；
1
1
1
1,
1
1
1
2
2
4
P X
Y
P X
P Y
；
1
1
1
1,
1
1
1
2
2
4
P X
Y
P X
P Y
；
1
1
1
1,
1
1
1
2
2
4
P X
Y
P X
P Y
；
1
1
1
1,
1
1,
1
4
4
2
P X
Y
P X
Y
P X
Y
,
故(A)正确,(B)错；
1
1
1
0
1,
1
1,
1
4
4
2
P X
Y
P X
Y
P X
Y
,
故(C)错；
1
1
1
1
1,
1
1,
1
4
4
2
P XY
P X
Y
P X
Y
,
故(D)错.
三、 (本题满分6 分.)
【分析】要证明
0
lim
( )
x
Q x
Q
,只须证明
0
limln
( )
ln
x
Q x
Q
即可,因为
( )
Q x 为指数函数,因
此化为对数形式便于极限计算.
【解析】因为
1
ln
( )
ln
ln[
(1
)
]
x
x
Q x
A
K
L
x
,而且
0
0
1
ln[
(1
)
]
lim
ln
(1
)
ln
lim
(1
)
ln
(1
)ln
ln(
),
x
x
x
x
x
x
x
x
K
L
x
K
K
L
L
K
L
K
L
K L
--- [第 7 页] ---
7
所以,
1
1
0
limln
( )
ln
ln(
)
ln(
)
x
Q x
A
K L
AK L
,
于是,
1
0
lim
( )
x
Q x
AK L
Q
.
四、 (本题满分5 分.)
【解析】由题设有
du
f
f dy
f dz
dx
x
y dx
z dx
.
(*)
在
0
xy
e
y
中,将y 视为x 的函数,两边对x 求导,得
2
(
)
0
1
1
xy
xy
xy
dy
dy
dy
ye
y
e
y
x dx
dx
dx
xe
xy
.
(1) 在
0
ze
xz
中,将z 视为x 的函数,两边对x 求导,得
0
z
z
dz
dz
dz
z
z
e
z
x
dx
dx
dx
e
x
xy
x
.
(2) 将(1)、(2)两式代入()式,得
2
1
du
f
y
f
z
f
dx
x
xy
y
xy
x
z
.
【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若
( , )
u
u x y
和
( , )
v
v x y
在点( , )
x y 处偏导数
存在,函数
( , )
z
f u v
在对应点( , )
u v 具有连续偏导数,则复合函数
[ ( , ), ( , )]
z
f u x y v x y
在点( , )
x y 处的偏导数存在,且
,
z
f
u
f
v
z
f
u
f
v
x
u
x
v x
y
u
y
v y
.
五、 (本题满分6 分)
【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的
的关系
( )
x
,它是商品
销售总收入减去成本和政府税收.正确写出
( )
x
后,满足
0
(
)
0
x
的
0x 即为利润最大时
的销售量,此时,
0( )
x t 是t 的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额
( )
T
tx t
,再由导
数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t .
【解析】(1)设T 为总税额,则T
tx
.商品销售总收入为
2
(7
0. 2
R
px
x x
x
x
.
--- [第 8 页] ---
8
利润函数为
2
2
7
0. 2
(4
)
1
R
C
T
x
x
x
tx
x
t x
.
令
( )
0
x
,即0.4
4
0
x
t
,得
4
5 (4
)
0. 4
2
t
x
t
.
由于
( )
0. 4
0
x
,因此,
5 (4
)
2
x
t
即为利润最大时的销售量.
(2) 将
5 (4
)
2
x
t
代入T
tx
,得
5 (4
)
2
T
t
t
2
5
10
2
t
t
.
由
( )
10
5
0
T t
t
,得惟一驻点
2
t
；由于
( )
5
0
T
t
,可见当
2
t
时T 有极大
值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.
六、(本题满分6 分)
【分析】当
0
x
时,
( )
F x 显然连续,故只要证
0
lim
( )
(0) x
F x
F
,且当
0
x
时,
( )
0
F
x
即可.
【解析】方法1：显然
0
x
时,
( )
F x 连续,又由洛必达法则知
0
0
0
0
( )
lim
( )
lim
lim
( )
0
(0) x
n
n
x
x
x
t f t dt
F x
x f x
F
x
,
所以
( )
F x 在[0,
)
上连续.
当
(0,
)
x
时,
1
1
0
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
,
0
x
n
n
n
n
x
f x
t f t dt
x
f x
f
x
F x
x
x
x
.
由于
( )
f x 单调不减,故
( )
( )
f x
f
,又
n
n
x
,从而
( )
( )
n
n
x f x
f
.
于是有
( )
0
0
F x
x
.故
( )
F x 在[0,
)
上单调不减.
方法2：连续性证明同上.由于
1
0
2
0
0
0
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
( )
( )]
0,
x
n
n
x
x
x
n
n
n
n
x
f x
t f t dt
F x
x
x f x dt
t f t dt
x f x
t f t dt
x
x
可见,
( )
F x 在[0,
)
上单调不减.
【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于
( )
F x
的不同处理方法.
--- [第 9 页] ---
9
O
3P
2P
1P
x
1
Q
2
Q
3
Q
1
2
y
x
y
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若
( )
( )
( )
( )
t
t
F t
f x dx
,
( )t
,
( )t
均一
阶可导,则
( )
( )
( )
( )
( )
F t
t
f
t
t
f
t
.
七、(本题满分6 分)
【分析】先作出草图,再求出曲线
2
y
x
在任一点
2
( ,
)
a a
上的切线方程及其与x 轴的交点,
然后依此类推,得出一系列与x 轴交点的坐标.最后进行相应计算即可.
【解析】(1)由
2
y
x
,得
2
y
x
.对于任意(0
1)
a
a
,
抛物线
2
y
x
在点
2
( ,
)
a a
处的切线方程为
2
2 (
)
y
a
a x
a
.
且该切线与x 轴的交点为(
,0)
2
a
,故由
1
1
OP
可见
2
1
3
2
2
1
1
1 ,
2
2
1
1 1
1 ,
2
2 2
2
1 . 2
n
n
OP
OP
OP
OP
OP
(2) 由于
2
2
2
1
1
1
2
4
n
n
n
n
n
Q P
OP
,可见
1
1
1
0
1
1
4
4
m
n
n
n
n
n
m
Q P
.
利用几何级数求和公式
0
1
(
1)
1
n
n
x
x
x
即得
1
0
1
1
4
1
4
3
1
4
m
n
n
n
m
Q P
.
【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级
数求和公式即可求出它的和.
八、(本题满分6 分)
【解析】将直角坐标化为极坐标,由于
--- [第 10 页] ---
10
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
4
1
(
)
( )
2
( )
2
2
2
t
t
x
y
t
r
r
f
x
y
dxdy
d
f
rdr
rf
dr
,
可得
2
2
4
0
( )
2
( )
2
t
t
r
f t
e
rf
dr
.在积分中作换元
2
r
s
,又有
2
0
0
( )
4
( )
2
t
t
r
r f
dr
sf s ds
.
于是,
( )
f t 满足积分关系式
2
4
0
( )
8
( )
t
t
f t
sf s ds
e
.
在上式中令
0
t
得
(0) 1
f
.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t 求导,得
2
4
( )
8
( )
8
t
f t
tf t
te
.
上述方程为关于
( )
f t 的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得
2
2
4
( )
(4
)
t
f t
t
C e
,其中常数C 待定.
由
(0) 1
f
可确定常数
1
C
,因此,
2
2
4
( )
(4
1)
t
f t
t
e
.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若
( )
( )
( )
( )
t
t
F t
f x dx
,
( )t
,
( )t
均一
阶可导,则
( )
( )
( )
( )
( )
F t
t
f
t
t
f
t
.
2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为
( )
( )
y
p x y
q x
,其通解公式为
( )
( )
(
( )
)
p x dx
p x dx
y
e
q x e
dx
C
,其中C 为常数.
九、(本题满分6 分)
【解析】(1)由
*
*
AA
A A
A E
及
1
*
A
A A
,有
*
1
0
.
0
T
T
T
T
T
T
E
A
A
PQ
A
A
A A
A
A
b A
b
A
A b
A
(2) 用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有
0
T
E
P
A
A
A
,
--- [第 11 页] ---
11
2
1
1
0
T
T
A
P Q
PQ
A
b
A
A b
A
又因A 是非奇异矩阵,所以
0
A
,故
1
T
Q
A b
A
.
由此可知Q 可逆的充要条件是
0
Q
,即
1
0
T
b
A
,亦即
1
T A
b
.
评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清
1
T A
是1 阶矩阵,是一个数.
【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A 是m 阶矩阵, B 是n 阶矩阵,则
*
,
*
A
O
A
A
B
B
O
B
*
1
*
mn
O
A
A
A
B
B
B
O
.
2. 行列式乘积公式：设
,
A B 是两个n 阶矩阵,则乘积AB 的行列式等于A 和B 的行列式的乘
积,即AB
A B
.
十、(本题满分10 分)
【解析】(1)设A 的属于
3
的特征向量为
3
1
2
3
T
x ,x ,x
,因为实对称矩阵属于不同特
征值的特征向量相互正交,故
1
3
1
2
3
2
3
1
2
3
0
2
0
T
T
x
x
x
,
x
x
x
.
解上述方程组,设方程组的系数矩阵为
1
1
1
1
2
1
B
,对B 进行初等行变换：
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
2
1
0
3
0
0
1
0
B
,
系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个
数为1,解得
1 0 1
T
, ,
,即A 的对应于
3
的特征向量为
3
1 0 1
T
k
, ,
,
其中k 为非零常
数.
(2) 方法1：令
1
2
3
1
1
1
1
2
0
1
1
1
P
,
,
,则有
1
1
0
0
0
2
0
0
0
3
P AP
,
即
1
A
P P
,其中
1
P计算如下：
--- [第 12 页] ---
12
2
1
1
3
1
1
3
1
2
2
2
3
1
3
1
3
1
1
2
1
1
1
1 1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
2
0 0
1
0
0
3
1
1
1
0
1
1
1 0
0
1
0
0
2
1
0
1
1
1
1
1
1
0
3
3
3
2
2
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
3
0
1
0
1
0
2
2
6
3
6
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
2
2
P E
2
得
1
2
2
2
1
1
2
1
6
3
0
3
P
,
1
1
1
1
1
0
0
2
2
2
13
2
5
1
1
1
2
0
0
2
0
1
2
1
2
10
2
6
6
1
1
1
0
0
3
3
0
3
5
2
13
A
P P
.
方法2：因A 是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵Q (对P 单位
化),使
1
T
Q AQ
Q AQ
,
T
A
Q Q
,其中
1
1
1
3
6
2
1
2
0
3
6
1
1
1
3
6
2
Q
.
1
1
1
1
1
1
3
6
2
3
3
3
1
0
0
1
2
1
2
1
0
0
2
0
3
6
6
6
6
0
0
3
1
1
1
1
1
0
3
6
2
2
2
1
1
1
1
1
1
3
6
2
3
3
3
13
2
5
1
2
2
4
2
1
0
2
10
2
6
3
6
6
6
6
5
2
1
1
1
1
3
3
0
3
6
2
2
2
T
A
Q Q
3
.
方法3：由于矩阵A 的特征值是1,2,3,特征向量依次为
1
2
3
,
,
,利用分块矩阵有
1
2
3
1
2
3
(
,
,
)
(
,2
,3
)
A
.
--- [第 13 页] ---
13
因为
1
2
3
,
,
是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵
1
2
3
(
,
,
)
可逆.故
1
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
1
(
,2
,3
)(
,
,
)
1
4
0
1
2
0
1
2
3
1
1
1
1
2
3
2
2
2
13
2
5
1
1
1
4
0
1
2
1
2
10
2 . 6
6
1
2
3
3
0
3
5
2
13
A
【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出
3
,
另一个难点就是反求矩阵A .
十一、(本题满分7 分)
【分析】求分布函数
( )
{
}
F x
P X
x
实质上是求{
}
X
x
的概率.
【解析】由X 的绝对值不大于1,可得
当
1
x 时,
( )
0
F x
P X
x
；
当
1
x 时,
( )
1
F x
P X
x
；
又
1
1
{
1}
, {
1}
8
4
P X
P X
,则
1
1
5
{ 1
1}
1
{
1}
{
1}
1
8
4
8
P
x
P X
P X
；
由题意X 在( 1,1)
内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当
X 的值属于( 1,1)
的条件下,事件
1
X
x
的条件概率为：
( 1)
1
1
| 1
1
1 ( 1)
2
x
x
P
X
x
X
k
k
(其中k 为比例正常数),
又
1
1| 1
1
1
P
X
X
,
而
1 1
1
1| 1
1
2
P
X
X
k
k
,
所以
1
k
,故
1
1
| 1
1
2
x
P
X
x
X
；
当1
1
x
时,
1
1
1
1
X
x
X
x
X
,
所以
1
1
, 1
1
P
X
x
P
X
x
X
.
由条件概率公式,有
--- [第 14 页] ---
14
1
1
, 1
1
1
| 1
1
{ 1
1}
1
5
5
5 ,
2
8
16
P
X
x
P
X
x
X
P
X
x
X
P
X
x
x
( )
1
1
F x
P X
x
P X
P
X
x
,
而
1
1
1
1
1
0
8
8
P X
P X
P X
,
所以
1
5
5
5
7
( )
1
1
8
16
16
x
x
F x
P X
x
P X
P
X
x
,
故所求的X 的分布函数为
0,
1
5
7
( )
,
1
1
16
1,
1
x
x
F x
x
x
.
十二、(本题满分6 分)
【解析】已知X 在[0,60] 上均匀分布,则其密度函数为：
1 ,
1
60,
( )
60
0,
x
f x
其他.
设Y 表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第5 分钟,25 分钟,
55 分钟起行,则
当0
5
X
时,游客需等候时间
5
Y
X
；
当5
25
X
时,游客需等候时间
25
Y
X
；
当25
55
X
时,游客需等候时间
55
Y
X
；
当55
60
X
时,游客需等候时间
60
5
65
Y
X
X
(这个时间段到达,就需要
等下个整点的第５分钟,所以是60
5
X
).
故Y 是关于到达时刻X 的函数：
5
,
0
5,
25
,
5
25,
(
)
55
,
25
55,
65
,
55
60. X
X
X
X
Y
g X
X
X
X
X
由随机变量函数期望的定义,有
5
25
55
60
0
5
25
55
1
1
( ) ( )
( )
( )
60
60
1
(5
)
(25
)
(55
)
(65
)
60
1 (12.5
200
450
11. 67.
60
EY
g x f x dx
g x dx
g x dx
x dx
x dx
x dx
x dx
--- [第 15 页] ---
15
【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：
若随机变量
(
)
Y
g X
,且EY 存在,则有
( ) ( )
EY
g x f x dx
.
十三、(本题满分6 分)
【解析】设
1
2
X
X
和
表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的
总时间为
1
2
T
X
X
.
由于每台无故障工作的时间都服从参数为５的指数分布,则
1
2
X
X
和
的概率密度函数为
5
5
,
0
( )
0,
0
x
e
x
f x
x
.
因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即
1
2
X
X
和
独立,应用
两个独立随机变量之和的卷积公式：
当
0
t
时,T 的概率密度为
5
5(
)
5
1
2
0
( )
( )
(
)
25
25
t
x
t x
t
f t
f x f t
x dx
e
e
dx
te
.
当
0
t
时,
( )
0
f t
,即
5
25
,
0,
( )
0,
0. t
te
t
f t
t
由指数分布的期望和方差的结论,有
1
2
1
1
5
EX
EX
,
1
2
2
1
1
25
DX
DX
,
由期望的性质,有
1
2
1
2
1
1
2
(
)
5
5
5
ET
E X
X
EX
EX
,
由独立随机变量方差的性质,有
1
2
1
2
1
1
2
(
)
25
25
25
DT
D X
X
DX
DX
.
【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：
若X 服从参数为的指数分布,则其期望
1
EX
,方差
2
1
DX
.
2. X 与Y 相互独立,数学期望和方差的性质:
(
)
(
)
( )
E aX
bY
c
aE X
bE Y
c
,
2
2
(
)
(
)
( )
D aX
bY
c
a D X
b D Y
,
其中, ,
a b c 为常数.