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1
1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分,把答案填在题中横线上.)
(1) 【答案】
1 ln
dx
x
y
【解析】方法1：方程
y
x
y
两边取对数得ln
ln
ln
y
x
y
y
y
,再两边求微分,
1
1
ln
1
ln
1
dx
y
dy
dy
dx
x
x
y
ln
1
0
x
y
.
方法2：把
y
x
y
变形得
ln
y
y
x
e
,然后两边求微分得
ln
ln
1 ln
1 ln
y
y
y
dx
e
d y
y
y
y dy
x
y dy
,
由此可得
(2) 【答案】
3
2
1
1
3
x
C
【解析】由
( )
arcsin
x f x dx
x
C
,两边求导数有
2
2
1
1
( )
arcsin
1
( )
1
xf x
x
x
x
f x
x
,
于是有
1
( )dx
f x
2
2
2
1
1
1
2
x
x dx
x dx
2
2
1
1
1
2
x d
x
3
2
1
1
3
x
C
.
(3) 【答案】
0
c
a
(或
2
0
ax
c
),b 任意
【解析】对
2
y
ax
bx
c
两边求导得
0
0
2
2
y
ax
b,y
x
ax
b,
所以过
0
0
x ,y
的切线方程为
0
0
0
2
y
y
ax
b
x
x
,
即
2
0
0
0
0
2
y
ax
bx
c
ax
b
x
x
.
又题设知切线过原点
0 0,
,把
0
x
y
代入上式,得
2
2
0
0
0
0
2
ax
bx
c
ax
bx ,
即
2
0
ax
c.
--- [第 2 页] ---
2
由于系数
0
a
,所以,系数应满足的关系为
0
c
a
(或
2
0
ax
c
),b 任意.
(4) 【答案】
1 0 0
0
T
, , ,
【解析】因为A 是范德蒙行列式,由
i
j
a
a
知
0
i
j
A
a
a
.根据解与系数矩阵
秩的关系,所以方程组
T
A X
B
有唯一解.
根据克莱姆法则,对于
2
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
3
3
3
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
x
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
,
易见
1
2
3
0
n
D
A ,D
D
D
.
所以
T
A X
B
的解为
1
2
3
1
0
n
x
,x
x
x
,即
1 0 0
0
T
, , ,
,
.
【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组
11 1
12
2
1
1
21 1
22
2
2
2
1 1
2
2
,
,
.
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
或简记为
1
1 2
n
ij
j
i
j
a x
b ,
i
, ,
,n
其系数行列式
11
12
1
21
22
2
1
2
0
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
D
a
a
a
,
则方程组有唯一解
1 2
j
j
D
x
,
j
, ,
,n.
D
其中
j
D 是用常数项
1
2
n
b ,b ,
,b
替换D 中第j 列所成的行列式,即
--- [第 3 页] ---
3
11
1
1
1
1
1
1
21
2
1
2
2
1
2
1
1
1
, j
, j
n
, j
, j
n
j
n
n, j
n
n, j
nn
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
D
a
a
b
a
a
.
(5) 【答案】(4.412,5.588)
【解析】可以用两种方法求解：
0. 9
,对正态总体的数学期望进行估计,可根据
因
2
( ,0.9 )
X
N
,设有n 个样本,样本均值
1
1
n
i
i
X
X
n
,
有
2
0. 9
( ,
)
X
N
n
,将其标准化,由公式
(
) ~
(0,1)
(
)
X
E X
N
D X
n
得：
)1,0
(
~
1
N
n
X
由正态分布分为点的定义
2
1
1
X
P
u
n
可确定临界值
2
u
,
进而确定相应的置信区间
2
2
(
,
)
x
u
x
u
n
n
.
(2) 本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.
由教材上已经求出的置信区间
2
2
,
x
u
x
u
n
n
,
其中
2
1
,
(0,1)
P U
u
U
N
,可以直接得出答案.
方法1：由题设,
95
.0
1
,可见
.
05
.0
查标准正态分布表知分位点
.
96
.1
2
u
本
题
9
n
,
5
X
, 因此,根据
95
.0
}
96
.1
1
{
n
X
P
,有
5
{
0. 95
1
9
P
,即
{4.412
0. 95
P
,
--- [第 4 页] ---
4
1
x
y
O
1
2
1
2
故的置信度为0.95 的置信区间是(4.412,5.588) .
方法2：由题设,
95
.0
1
,
2
2
2
2
2
{
}
{
}
2 (
) 1
0. 975
P U
u
P
u
U
u
u
u
查得
.
96
.1
2
u
2
0. 9
,
9
n
,
5
X
代入
2
2
(
,
)
x
u
x
u
n
n
得置信区间(4.412,5.588) .
二、 选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有
一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 【答案】(D)
【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系
cos ,
sin
x
r
y
r
中是
,
| 0
,0
cos
,
2
D
r
r
即是由
2
2
1
1
2
4
x
y
与x 轴在第一象限所围成的
平面图形,如右图.
由于D 的最左边点的横坐标是0 ,最右点的横坐标是1,
下边界方程是
0
y
,
上边界的方程是
2
y
x
x
,从而D
的直角坐标表示是
2
0
1 0
D
x,y |
x
,
y
x
x
,
故(D)正确.
方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为
1
,
| 0
,0
sin
,
2
D
r
r
而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,
(C)中的积分区域是正方形
0
1 0
1
x,y |
x
,
y
,
所以,他们都是不正确的.故应选(D).
(2) 【答案】(A)
【解析】由于级数
2
1
n
n
u
和
2
1
n
n
v
都收敛,可见级数
2
2
1
n
n
n
u
v
收敛.由不等式
2
2
2
n
n
n
n
u v
u
v
--- [第 5 页] ---
5
及比较判别法知级数
1
2
n
n
n
u v
收敛,从而
1
2
n
n
n
u v
收敛.
又因为
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
u
v
u
v
u v ,
即级数
2
1
n
n
n
u
v
收敛,故应选(A).
设
2
1
1
1 2
n
n
u
,v
n
, ,
n
,可知(B)不正确.
设
2
1
1
1 2
n
u
n
, ,
n
n
,可知(C)不正确.
设
1
1
1
1 2
n
n
n
u
,v
n
, ,
n
n
,可知(D)不正确.
注：在本题中命题(D)“若级数
1
n
n
u
收敛,且
(
1,2,
)
n
n
u
v n
,则级数
1
n
n
v
也收敛.”
不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数
一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.
(3) 【答案】(C)
【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA
A A
A E
,
现将A视为关系式中的矩阵A ,则有
(
)
A
A
A E
.
方法一：由
1
n
A
A
及
1
(
)
A
A
A
,可得
1
2
1
(
)
(
)
.
n
n
A
A
A
A
A
A
A
A
故应选(C).
方法二：由
(
)
A
A
A E
,左乘A 得
1
(
)(
)
n
AA
A
A
A
,即
1
(
)(
)
n
A E
A
A
A
.
故应选(C).
(4) 【答案】(D)
【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组
1
2
,
,
,
s
线性
无关,即若
1 1
2
2
0
s
s
x
x
x
,必有
1
2
0,
0,
,
0
s
x
x
x
.
既然
1,
,
m
与
1,
,
m
k
k
不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).
一般情况下,对于
1
1
2
2
1
1
0,
s
s
s
s
k
k
k
l
l
--- [第 6 页] ---
6
不能保证必有
1
1
2
2
0,
s
s
k
k
k
及1
1
0,
s
s
l
l
故(A)不正确.由已知条件,
有
1
1
1
1
1
1
0
m
m
m
m
m
m
k
k
,
又
1,
,
m
与
1,
,
m
k
k
不全为零,故
1
1
1
1
,
,
,
,
,
m
m
m
m
线性相关.
故选(D).
(5) 【答案】(B)
【解析】依题意
1
2
1
2
1
2
1
2
)
(
,
.
( )
( )
( )
( )
( )
P
A
A
B
P A B
P A B
P A B
A B
P A B
P A B
P B
P B
P B
P B
P B
因
( )
0
P B
,故有
1
2
1
2
)
(
P A B
A B
P A B
P A B
.因此应选(B).
注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了
全概率公式中要求作为条件的事件
1
2
,
A A 应满足
1
2
(
)
0, (
)
0
P A
P A
,且
1
2
,
A A 是对立事
件.
【相关知识点】条件概率公式：
(
)
(
|
)
( )
P AB
P B A
P A
.
三、 (本题满分6 分)
【解析】(1) 由于
( )
g x 有二阶连续导数,故当
0
x
时,
( )
f x 也具有二阶连续导数,此
时,
( )
f
x
可直接计算,且
( )
f
x
连续；当
0
x
时,需用导数的定义求
(0) f
.
当
0
x
时,
2
2
[
( )
]
( )
( )
( )
(
1)
( )
.
x
x
x
x g x
e
g x
e
xg x
g x
x
e
f
x
x
x
当
0
x
时,由导数定义及洛必达法则,有
2
0
0
0
( )
( )
( )
(0) lim
lim
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
x
g x
e
g x
e
g
x
e
g
f
x
x
洛
洛
.
所以
2
( )
( )
(
1)
,
0,
( )
0. 2
x
xg x
g x
x
e
x
x
f
x
g
x
(2) ( )
f
x
在
0
x
点的连续性要用定义来判定.因为在
0
x
处,有
2
0
0
( )
( )
(
1)
lim
( )
lim
x
x
x
xg x
g x
x
e
f
x
x
--- [第 7 页] ---
7
0
( )
( )
( )
(
1)
lim
2
x
x
x
g x
xg
x
g x
e
x
e
x
0
( )
(0) 2
2
x
x
g
x
e
g
f
.
而
( )
f
x
在
0
x
处是连续函数,所以
( )
f
x
在(
,
)
上为连续函数.
四、 (本题满分6 分)
【解析】由
( )
z
f u
可得
( )
,
( )
z
u
z
u
f u
f u
x
x
y
y
.
在方程
( )
( )
x
y
u
u
p t dt
两边分别对,x y 求偏导数,得
( )
( ),
( )
( ).
u
u
u
u
u
p x
u
p y
x
x
y
y
所以
( )
( )
,
1
( )
1
( )
u
p x
u
p y
x
u
y
u
.
于是
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0
1
( )
1
( )
z
z
p x p y
p x p y
p y
p x
f u
x
y
u
u
.
五、 (本题满分6 分)
【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应
该用分部积分法.
【解析】方法1:因为
2
1
(1
)
1
1
1
x
x
x
x
x
xe
x
dx
dx
xd
e
e
e
e
分部积分
1
(1
)
1
1
1
1
ln(1
)
,
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
dx
d
e
e
e
e
e
x
e
C
e
所以
2
0
lim
ln(1
)
ln 2.
(1
)
1
x
x
x
x
x
x
xe
xe
dx
e
e
e
而
lim
ln(1
)
lim
ln
(1
)
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xe
xe
e
e
e
e
e
lim
ln(1
)
1
x
x
x
x
xe
x
e
e
--- [第 8 页] ---
8
lim
0
0
1
x
x
x
e
,
故原式
ln 2
.
方法2:
2
2
0
0
0
1
(1
)
(1
)
1
x
x
x
x
x
xe
xe
dx
dx
xd
e
e
e
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
(1
)
ln(1
)
ln 2.
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
e
dx
e
e
e
e
d
e
e
e
六、(本题满分5 分)
【分析】由结论可知,若令( )
( )
x
xf x
,则
( )
( )
( )
x
f x
xf
x
.因此,只需证明( )
x
在
[0,1] 内某一区间上满足罗尔定理的条件.
【解析】令( )
( )
x
xf x
,由积分中值定理可知,存在
1
(0, )
2
,使
1
1
2
2
0
0
1
( )
( )
( )
2
xf x dx
x dx
,
由已知条件,有
1
2
0
1
(1) 2
( )
2
( )
( ),
2
f
xf x dx
于是
(1) ( ),
f
且( )
x
在( ,1)
上可导,故由罗尔定理可知,存在
( ,1)
(0,1),
使得
( )
0,
即
( )
( )
0. f
f
【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数
( )
f x 在积分区间[ , ]
a b 上连续,则在[ , ]
a b 上至
少存在一个点,使下式成立：
( )
( )(
)
b
a f x dx
f
b
a
a
b
.
这个公式叫做积分中值公式.
(2) 在开区间
a,b 内可导；
--- [第 9 页] ---
9
(3) 在区间端点处的函数值相等,即
( )
( )
f a
f b
,
那么在
a,b 内至少有一点( a
b
),使得
0
f
.
七、(本题满分6 分)
【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数
0
f
x
,则函数
f x
单调递增,反之递减.
【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则
2
2
(
),
( )
.
ab
c p
b
a
R
pQ
p
c R p
p
b
p
b
令
0,
R
得
0
(
)
0
ab
b
p
b
a
bc
c
c
.
当0
(
)
b
p
a
bc
c
时,
0
R
,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.
当
(
)
b
p
a
bc
c
时,有
0
R
,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少.
(2) 由(1)可知,当
(
)
b
p
a
bc
c
时,销售额R 取得最大值,最大销售额为
2
max
(
)
ab
a
R
b
c
a
bc
c
abc
.
八、(本题满分6 分)
【解析】令
y
z
x
,则dy
dz
z
x
dx
dx
.
当
0
x
时,原方程化为
2
1
dz
z
x
z
z
dx
,即
2
1
dz
dx
x
z
,其通解为
2
1
ln(
1
)
ln
z
z
x
C
或
2
C
1
z
z
x
.
代回原变量,得通解
2
2
(
0)
y
x
y
C x
.
当
0
x
时,原方程的解与
0
x
时相同,理由如下:
令t
x
,于是
0
t
,而且
2
2
2
2
2
2
y
x
y
y
x
y
y
t
y
dy
dy dx
dy
dt
dx dt
dx
x
x
t
.
--- [第 10 页] ---
10
从而有通解
2
2
(
0)
y
t
y
C t
,即
2
2
(
0)
y
x
y
C x
.
综合得,方程的通解为
2
2
y
x
y
C
.
注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数
y
z
x
后得
2
2
2
1
x
y
x
z
,
从而,应当分别对
0
x
和
0
x
求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.
九、(本题满分8 分)
【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题
转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题.
【解析】(1)因为
3
是A 的特征值,故
3
1
0
0
1
3
0
0
3
1 3
1
3
8(2
)
0,
0
0
3
1
1
3
1
1
0
0
1
1
y
E
A
y
y
所以
2
y
.
(2) 由于
T
A
A
,要
2
(
) (
)
T
T
AP
AP
P A P
,而
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
5
4
0
0
4
5
A
是对称矩阵,故可构造二次型
2
Tx A x ,将其化为标准形
Ty
y
.即有
2
A 与合同.亦即
2
T
P A P .
方法一：配方法.
由于
2
2
2
2
2
1
2
3
4
3
4
5
5
8
Tx A x
x
x
x
x
x x
2
2
2
2
2
2
1
2
3
3
4
4
4
4
2
2
2
2
1
2
3
4
4
8
16
16
5(
)
5
5
25
5
4
9
5(
)
,
5
5
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
那么,令
1
1
2
2
3
3
4
4
4
4
,
,
,
,
5
y
x y
x
y
x
x
y
x
即经坐标变换
--- [第 11 页] ---
11
1
1
2
2
3
3
4
4
1
0
0
0
0
1
0
0
,
4
0
0
1
5
0
0
0
1
x
y
x
y
x
y
x
y
有
2
2
2
2
2
1
2
3
4
9
5
5
Tx A x
y
y
y
y
.
所以,取
1
0
0
0
0
1
0
0
4
0
0
1
5
0
0
0
1
P
,有
2
1
1
(
) (
)
5
9
5
T
T
AP
AP
P A P
.
方法二：正交变换法.
二次型
2
2
2
2
2
1
2
3
4
3
4
5
5
8
Tx A x
x
x
x
x
x x
对应的矩阵为
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
5
4
0
0
4
5
A
,
其特征多项式
2
3
1
0
0
0
0
1
0
0
(
1) (
9)
0
0
5
4
0
0
4
5
E
A
.
2
A 的特征值
1
2
3
4
1,
1,
1,
9
.由
2
1
(
)
0
E
A
x
,即
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
0
0
0
4
4
0
x
x
x
x
,
和
2
4
(
)
0
E
A
x
,即
1
2
3
4
8
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
4
4
0
0
0
4
4
0
x
x
x
x
,
分别求得对应
1,2,3
1
的线性无关特征向量
--- [第 12 页] ---
12
1
2
3
(1,0,0,0) ,
(0,1,0,0) ,
(0,0,1, 1)
T
T
T
,
和
4
9
的特征向量
4
(0,0,1,1)T
.
对
1
2
3
,
,
用施密特正交化方法得
1
2
3
,
,
,再将
4
单位化为
4
,其中：
1
2
3
4
1
1
1
1
(1,0,0,0) ,
(0,1,0,0) ,
(0,0,
,
) ,
(0,0,
,
)
2
2
2
2
T
T
T
T
.
取正交矩阵
1
2
3
4
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
,
,
,
2
2
1
1
2
2
P
,
则
1
2
2
1
1
1
9
T
P A P
P A P
,
即
2
1
1
(
) (
)
1
9
T
T
AP
AP
P A P
.
十、(本题满分8 分)
【解析】证法1：(定义法)若有一组数
1
2
,
,
,
,
,
t
k k k
k
使得
1
1
2
2
(
)
(
)
(
)
0,
t
t
k
k
k
k
(1) 则因
1
2
,
,
,
t
是
0
AX
的解,知
0(
1,2,
, )
i
A
i
t
,用A 左乘上式的两边,有
1
2
(
)
0
t
k
k
k
k A
.
(2) 由于
0
A
,故
1
2
0
t
k
k
k
k
.
对(1)重新分组为
1
2
1
1
2
2
(
)
0
t
t
t
k
k
k
k
k
k
k
.
(3) 把(2)代入(3)得
1
1
2
2
0
t
t
k
k
k
.
由于
1
2
,
,
,
t
是基础解系,它们线性无关,故必有
1
2
0,
0,
,
0
t
k
k
k
.
--- [第 13 页] ---
13
代入(2)式得:
0
k
.
因此向量组
1
2
,
,
,
,
t
线性无关.
证法2：(用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1 倍分别加至其余各列,有
1
2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
,
.
t
t
因此
1
2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
,
.
t
t
r
r
由于
1
2
,
,
,
t
是基础解系,它们是线性无关的,秩
1
2
,
,
,
t
r
t
,又必不能
由
1
2
,
,
,
t
线性表出(否则
0
A
),故
1
2
,
,
,
,
1
t
r
t
.
所以
1
2
,
,
,
,
1. t
r
t
即向量组
1
2
,
,
,
,
t
线性无关.
十一、(本题满分7 分)
【解析】设一周5 个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即
(5,0.2)
B
.
由二项分布的概率计算公式,有
5
0
0. 32768,
P X
1
4
5
1
0. 4096,
P X
C
2
3
2
5
2
0. 2048,
P X
C
3
1
0
1
2
0. 05792.
P X
P X
P X
P X
设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且
10,
0,
5,
1,
(
)
0,
2,
2,
3. X
X
Y
f X
X
X
若
若
若
若
由离散型随机变量数学期望计算公式,
10 0.32768
5 0.4096
2 0.05792
5. 20896
EY
(万元).
【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：
若
( , )
Y
B n p
,则
(1
)
k
k
n k
n
P Y
k
C p
p
,
0,1,
,
k
n
.
2. 离散型随机变量数学期望计算公式：
1
(
)
n
k
k
k
E X
x
P X
x
.
--- [第 14 页] ---
14
十二、(本题满分6 分)
【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.
设事件
1A “方程有实根”,
2
A “方程有重根”,则
2
2
1
4
0
4
B
A
B
C
C
.
用列举法求有利于
iA 的样本点个数(
1,2
i
),具体做法见下表:
有利于的意思就是使不等式
2
4
B
C
尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.
当B 取遍1,2,3,4,5,6 时,统计C 可能出现的点数有多少种.
B
1
2
3
4
5
6
有利于
1A 的样本点数
0
1
2
4
6
6
有利于
2
A 的样本点数
0
1
0
1
0
0
由古典型概率计算公式得到
1
1
2
4
6
6
19
(
)
,
36
36
p
P A
2
1 1
1
(
)
.
36
18
q
P A
【相关知识点】古典型概率计算公式：
(
)
.
i
i
A
P A 有利于事件的样本点数
样本空间的总数
十三、(本题满分6 分)
【解析】依题意,
1
2
,
,
,
n
X
X
X
独立同分布,可见
2
2
2
1
2
,
,
,
n
X
X
X
也独立同分布.由
(
1,2,3,4)
k
k
EX
a k
及方差计算公式,有
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
4
2
2
1
1
,
(
)
,
1
1
1
,
(
).
i
i
i
i
n
n
n
i
n
i
i
i
EX
a
DX
EX
EX
a
a
EZ
EX
a
DZ
DX
a
a
n
n
n
因此,根据中心极限定理
2
2
4
2
(
)
n
n
Z
a
U
a
a
n
的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,
n
Z 近似服从参数为
2
4
2
2
(
,
)
a
a
a
n
的正态分
布.
【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：
设随机变量
1
2
,
,
,
n
X
X
X
独立同分布,方差存在,记与
2
0
分别是它们
--- [第 15 页] ---
15
相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有
1
1
lim
(
)
( ),
n
i
n
i
P
X
n
x
x
n
其中
( )x
是标准正态分布函数.
2. 方差计算公式：
2
2
(
)
(
)
(
)
D X
E X
E
X
.