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1
1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.)
(1) 【答案】
1
2( 1)
!
(1
)
n
n
n
x
【解析】由于
1
1
2
( )
1
2(1
)
1,
1
1
x
f x
x
x
x
2
( )
2 ( 1)(1
) ,
f
x
x
3
( )
2 ( 1)( 2)(1
) ,
,
f
x
x
所以
1
( )
(
1)
( )
2 ( 1)
!(
2(
1
)
1)
!
(1
)
n
n
n
n
n
f
x
x
n
x
n
.
(2) 【答案】2
y
xyf
x
【解析】根据复合函数求导法则,
2
2
x
y
y
y
y
y
y
z
yf
xyf
yf
f
x
x
x
x
x
x
,
1
y
y
y
y
y
z
xf
xyf
xf
yf
x
x
x
x
x
.
所以
2
2
2
x
y
y
y
y
y
y
yf
y f
xyf
y f
yf
x
x
x
x
x
xz
yz
x
x
.
【相关知识点】复合函数求导法则：
( ( ))
y
f x
的导数为
( ( ))
( )
y
f x
f
x
.
(3) 【答案】
x
x
e
C
【解析】在
(ln )
1
f
x
x
中令ln x
t
,则
( )
1
t
f t
e
,从而
( )
1
( )
t
t
x
f t
e
dt
t
e
C
f x
x
e
C
.
(4) 【答案】
1
0
0
1
2
2
0
10 3
4
5
【解析】由AA
A E
,有A A
E
A
,故
1
A
A
A
.
--- [第 2 页] ---
2
而
1
0
0
2
2
0
10
3
4
5
A
,
所以
1
1
0
0
1
2
2
0
10 3
4
5
A
A
A
.
(5) 【答案】
(
1)
X
n n
Q
【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先
提出原假设
0
H ,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设
0
H 是否成
立.
首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题.据此类
型应该选取t 检验的统计量是
0
2
1
1
(
)
(
1)
n
i
i
X
X
t
S
X
X
n
n n
,
经过化简得
(
1)
X
t
n n
Q
.
【相关知识点】假设检验的一般步骤：
(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；
(3) 对确定的显著性水平,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；
(4) 由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设
0
H 作出拒绝还是接受的判
断.
二、 选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.)
(1) 【答案】(D)
【解析】因
0
0
(1
)
(1) lim
lim
x
x
f
x
f
f
x
f
f
x
x
x
x
0
0
(1) (1
)
2lim
2,
2
x
x
f
f
x
x
f
f
x
x
所以应选(D).
(2) 【答案】(A)
--- [第 3 页] ---
3
【解析】由计算知
1
1
1
2
1
1
arcsin
1
dx
x
x
,
2
2
2
1
1
1
ln
ln
ln 2
dx
x
x
x
,
且泊松积分
2
0
2
x
e
dx
,
故应选(A).
注：对于本题选项(A),由于当
0
x
时sin
0
x
,故在积分区间[ 1,1]
中
0
x
是瑕点,反常
积分
1
1
1
sin
dx
x
应分解为两个反常积分之和:
1
0
1
1
1
0
1
1
1
sin
sin
sin
dx
dx
dx
x
x
x
,
而且
1
1
1
sin
dx
x
收敛的充要条件是两个反常积分
0
1
1
sin
dx
x
与
1
0
1
sin
dx
x
都收敛.
由于广义积分
1
1
0
0
1
ln tan
sin
2
x
dx
x
,
即
1
0
1
sin
dx
x
发散,故
1
1
1
sin
dx
x
发散.
在此不可误以为
1
sin x
是奇函数,于是
1
1
1
0
sin
dx
x
,从而得出它是收敛的错误结论.
(3) 【答案】(C)
【解析】( )
r A
m
表示A 中有m 个列向量线性无关,有m 阶子式不等于零,并不是任意
的,因此(A)、(B)均不正确.
经初等变换可把A 化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不
一定能化为标准形.例如0
1
0
0
0
1
,只用初等行变换就不能化成
2
(
,0)
E
的形式,故(D)不正
确.
关于(C),由
0
BA
知( )
( )
r B
r A
m
,又( )
r A
m
,从而( )
0
r B
,按定义又有
( )
0
r B
,于是( )
0
r B
,即
0
B
.故应选(C).
(4) 【答案】(D)
【解析】
( , )
(
,
)
Cov U V
Cov X
Y X
Y
.
(
,
)
( ,
)
Cov X X
Y
Cov Y X
Y
(
,
)
(
, )
( ,
)
( , )
Cov X X
Cov X Y
Cov Y X
Cov Y Y
--- [第 4 页] ---
4
DX
DY
.
由于X 和Y 同分布, 因此DX
DY
,于是有
( , )
0
Cov U V
.
由相关系数的计算公式
(
, )
Cov X Y
DX
DY
,
所以U 与V 的相关系数也为零,应选(D).
【相关知识点】协方差的性质：
(
,
)
(
, )
Cov aX bY
abCov X Y
；
1
2
1
2
(
, )
(
, )
(
, )
Cov X
X
Y
Cov X Y
Cov X
Y
.
(5) 【答案】(C)
【解析】由于
2
( ,
),
X
N
将此正态分布标准化,故
0,1
X
N
,
1
2
1
1
X
P X
P
.
计算看出概率
P X
的值与大小无关.所以本题应选(C).
三、 (本题满分6 分)
【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题
.一般要用连续性与可
导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.
2
2
2
0
0
0
1
2
2(1 cos )
2
lim
( )
lim
lim
1
x
x
x
x
x
f x
x
x
,
2
2
0
0
0
0
cos
cos
lim
( )
lim
lim
1
1
x
x
x
x
t dt
x
f x
x
,
故
(0
0)
(0
0)
(0) f
f
f
,即
( )
f x 在
0
x
处连续.
2
0
0
0
4
2
2
0
2
0
0
0
1
cos
1
( )
(0) lim
lim
0
1
cos
cos
1
2
lim
lim
lim
0,
2
2
x
x
x
x
x
x
x
t dt
f x
f
x
f
x
x
x
t dt
x
x
x
x
x
2
0
0
2
3
2
0
0
0
2 (1 cos ) 1
( )
(0) lim
lim
0
2(1 cos )
2sin
2
2(cos
1)
lim
lim
lim
0. 3
6
x
x
x
x
x
x
f x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
即
(0) 0
f
f
,故
( )
f x 在
0
x
处可导,且
(0) 0
f
.
--- [第 5 页] ---
5
四、 (本题满分6 分)
【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量
3
t
s
,
于是
3
0
0
3
( )
3
x
x
t
f
dt
f s ds
.
代入题设函数
( )
f x 所满足的关系式,得
2
0
( )
3
( )
x
x
f x
f s ds
e
.
在上式中令
0
x
得
(0) 1
f
,将上式两端对x 求导数得
2
( )
3 ( )
2
x
f
x
f x
e
.
由此可见
( )
f x 是一阶线性方程
2
( )
3 ( )
2
x
f
x
f x
e
满足初始条件
(0) 1
f
的特解.
用
3x
e
同乘方程两端,得
3
( )
2
x
x
f x e
e
,积分即得
3
2
( )
2
x
x
f x
Ce
e
.
由
(0) 1
f
可确定常数
3
C
,于是,所求的函数是
3
2
( )
3
2
x
x
f x
e
e
.
五、 (本题满分6 分)
【解析】由
2
1
2
(1 2 )(1
)
x
x
x
x
知
2
ln(1
2
)
ln(1 2 )
ln(1
)
x
x
x
x
.
因为
2
3
1
ln(1
)
( 1)
2
3
n
n
x
x
x
x
x
n
,
其收敛区间为( 1,1)
；
又
2
3
1
( 2 )
( 2 )
( 2 )
ln(1 2 )
( 2 )
( 1)
2
3
n
n
x
x
x
x
x
n
,
其收敛区间为
1 1
,
2 2
.
于是有
1
2
1
1
1
1
( 2 )
( 1)
2
ln(1
2
)
( 1)
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
n
n
n
,
其收敛区间为
1 1
,
2 2
.
【相关知识点】收敛区间：若幂级数
0
n
n
n
a x
的收敛半径是正数R ,则其收敛区间是开区间
--- [第 6 页] ---
6
(
, )
R R
；若其收敛半径是,则收敛区间是(
,
)
.
六、(本题满分5 分)
【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域D 是全平面,设
0
a
,
( , ) |
,
a
D
x y
a
x
a
a
y
a
,
则当a 时,有
a
D
D
.从而
2
2
2
2
(
)
(
)
min{ , }
lim
min{ , }
a
x
y
x
y
a
D
I
x y e
dxdy
x y e
dxdy
.
注意当x
y
时, min{ , }
x y
x
；当x
y
时,min{ , }
x y
y
.于是
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
min{ , }
a
a
y
a
x
x
y
x
y
x
y
a
a
a
a
D
x y e
dxdy
dy
xe
dx
dx
ye
dy
,
且
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
2
2
(
)
2
2
1
1
(
)
2
2
1
1
. 2
2
a
x
a
x
a
x
y
x
y
x
a
x
a
a
a
a
a
a
a
a
x
x
a
a
dx
ye
dy
dx
e
d x
y
e
e
dx
e
e
dx
e
dx
由于
2
x
e
dx
,从而可得
2
2
2
(
)
2
1
lim
0
lim
2
a
x
a
x
y
x
a
a
a
a
a
dx
ye
dy
e
dx
2
2
2
1
2
lim
2 2
2 2
a
t
a
a
t
x
e
dt
.
同理可得
2
2
(
)
lim
2 2
a
y
x
y
a
a
a
dy
xe
dx
.
于是
2
2
2
I
.
方法二：设
0
R
,则圆域
2
2
2
( , ) |
R
D
x y
x
y
R
当R 时也趋于全平面,从而
2
2
2
2
(
)
(
)
min{ , }
lim
min{ , }
R
x
y
x
y
R
D
I
x y e
dxdy
x y e
dxdy
.
引入极坐标系
cos ,
sin
x
r
y
r
,则
--- [第 7 页] ---
7
当0
4
与5
2
4
时,min{ , }
sin
x y
y
r
；
当
5
4
4
时, min{ , }
cos
x y
x
r
.
于是
2
2
(
)
min{ , }
R
x
y
D
x y e
dxdy
2
2
2
5
2
2
2
2
4
4
5
0
0
0
0
4
4
sin
cos
sin
R
R
R
r
r
r
d
r e
dr
d
r e
dr
d
r e
dr
2
2
5
2
2
2
4
4
5
0
0
0
4
4
sin
cos
sin
2 2
R
R
r
r
r e
dr
d
d
d
r e
dr
.
由此可得
2
2
2
0
0
2 2 lim
2 lim
(
)
R
R
r
r
R
R
I
r e
dr
rd e
2
2
2
0
0
0
2
2 lim
2
2
. 2
2
R
R
r
r
r
R
re
e
dr
e
dr
七、(本题满分6 分)
【解析】本题的关键在于p 和Q 之间存在函数关系,因此R
pQ
既可看作p 的函数,也可
看作Q 的函数,由此分别求出dR
dp
及dR
dQ
,并将它们与弹性
p
p dQ
E
Q dp
联系起来,进而求得
问题的解.
由
( )
Q
Q p
是单调减函数知
0
dQ
dp
,从而需求对价格的弹性
0
p
p dQ
E
Q dp
,这表明
题设
1
p
E
b
应理解为
1
p
p
E
E
b
.又由
( )
Q
Q p
是单调减函数知存在反函数
( )
p
p Q
且
1
dp
dQ
dQ
dp
.由收益R
pQ
对Q 求导,有
1
(1
)
p
dR
dp
p
p
Q
p
p
p dQ
dQ
dQ
E
Q dp
,
从而
0
0
1
(1
)
Q Q
dR
p
a
dQ
b
,得
0
1
ab
p
b
.
由收益R
pQ
对p 求导,有
--- [第 8 页] ---
8
(1
)
(1
)
p
dR
dQ
p dQ
Q
p
Q
Q
E
dp
dp
Q dp
,
从而
0
0(1
)
p
p
dR
Q
b
c
dp
,于是
0
1
c
Q
b
.
八、(本题满分6 分)
【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成
0,a 上的积分,即
0
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
a
a
a
f x g x dx
f x g x dx
f x g x dx
,
再将
0
( ) ( )
a f x g x dx
作适当的变量代换化为在
0,a 上的定积分.
方法一：由于
0
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
a
a
a
f x g x dx
f x g x dx
f x g x dx
,
在
0
( ) ( )
a f x g x dx
中令x
t
,则由
:
0
x
a
,得:
0
t a
,且
0
0
0
0
( ) ( )
(
) (
) (
)
(
) ( )
(
) ( )
a
a
a
a
f x g x dx
f
t g
t d
t
f
t g t dt
f
x g x dx
,
所以
0
0
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
a
a
a
a f x g x dx
f x
f
x
g x dx
A
g x dx
.
方法二：在
( ) ( )
a
a f x g x dx
中令x
t
,则由
:
x
a
a
,得:t a
a
,且
0
( ) ( )
(
) (
) (
)
(
) ( )
(
) ( )
a
a
a
a
a
a
a
f x g x dx
f
t g
t d
t
f
t g t dt
f
x g x dx
.
所以
1
( ) ( )
( ) ( )
(
) ( )
2
a
a
a
a
a
a
f x g x dx
f x g x dx
f
x g x dx
0
1
( )
(
)
( )
( )
( )
.
2
2
a
a
a
a
a
A
f x
f
x
g x dx
g x dx
A
g x dx
(2) 令
( )
arctan
x
f x
e
, ( )
sin
g x
x
,可以验证
( )
f x 和
( )
g x 符合(1)中条件,从而可以用
(1) 中结果计算题目中的定积分.
方法一：取
( )
arctan
x
f x
e
, ( )
sin
g x
x
,
2
a
.
由于
( )
(
)
arctan
arctan
x
x
f x
f
x
e
e
满足
2
2
arctan
arctan
0
1
1
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
,
故
arctan
arctan
x
x
e
e
A
.
令
0
x
,得2arctan1
2
A
A
,即
( )
(
)
2
f x
f
x
.于是有
--- [第 9 页] ---
9
2
2
2
0
0
2
sin
arctan
sin
sin
2
2
2
x
x
e dx
x dx
xdx
.
方法二：取
( )
arctan
x
f x
e
, ( )
sin
g x
x
,
2
a
,于是
1
( )
(
)
arctan
arctan
2
x
x
f x
f
x
e
e
.
(这里利用了对任何
0
x
,有
1
arctan
arctan
2
x
x
)
以下同方法一.
九、(本题满分9 分)
【解析】因为(I)
(II)
3
r
r
,所以
1
2
3
,
,
线性无关,而
1
2
3
4
,
,
,
线性相关,
因此
4
可由
1
2
3
,
,
线性表出,设为
4
1
1
2
2
3
3
l
l
l
.
若
1
1
2
2
3
3
4
5
4
(
)
0
k
k
k
k
,
即
1
1
4
1
2
2
4
2
3
3
4
3
4
5
(
)
(
)
(
)
0
k
l k
k
l k
k
l k
k
,
由于(III)
4
r
,所以
1
2
3
5
,
,
,
线性无关.故必有
1
1
4
2
2
4
3
3
4
4
0,
0,
0,
0. k
l k
k
l k
k
l k
k
解出
4
3
2
1
0,
0,
0,
0
k
k
k
k
.
于是
1
2
3
5
4
,
,
,
线性无关,即其秩为4.
十、(本题满分10 分)
【解析】(1)因为
1
2
3
( ,
,
)
f x x x
对应的矩阵为
0
2
2
2
4
4
2
4
3
A
,
故
1
2
3
( ,
,
)
f x x x
的矩阵表示为
--- [第 10 页] ---
10
1
1
2
3
1
2
3
2
3
0
2
2
( ,
,
)
( ,
,
)
2
4
4
2
4
3
T
x
f x x x
x Ax
x x x
x
x
.
(2) 由A 的特征方程
2
2
2
2
2
2
4
4
2
4
0
2
4
3
2
4
1
E
A
2
4
10
0
2
4
0
(
1)(
36)
0
2
4
1
,
得到A 的特征值为
1
2
3
1,
6,
6
.
由(
)
0
E
A x
得基础解系
1
(2,0, 1)T
X
,即属于
1
的特征向量.
由(6
)
0
E
A x
得基础解系
2
(1,5,2)T
X
,即属于
6
的特征向量.
由( 6
)
0
E
A x
得基础解系
3
(1, 1,2)T
X
,即属于
6
的特征向量.
对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有
3
1
2
1
2
3
1
2
3
2
1
1
1
1
1
0 ,
5 ,
1 ,
5
30
6
1
2
2
X
X
X
X
X
X
那么令
1
2
3
2
1
1
5
30
6
5
1
(
)
0
30
6
1
2
2
5
30
6
Q
,
经正交变换
1
1
2
2
3
3
x
y
x
Q y
x
y
,二次型化为标准形
2
2
2
1
2
3
1
2
3
( ,
,
)
6
6
T
T
f x x x
x Ax
y
y
y
y
y
.
十一、(本题满分8 分)
【解析】对于新生产的每台仪器,设事件A 表示“仪器需要进一步调试”, B 表示“仪器能
出厂”,则A “仪器能直接出厂”, AB “仪器经调试后能出厂”.且B
A
AB
, A 与AB
互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式
--- [第 11 页] ---
11
(
)
(
|
)
(
)
(
|
)
( )
( )
P AB
P B A
P AB
P B A
P A
P A
,
有
0 7
0 3 0 8
0 94
P B
P A
P A P B| A
.
.
.
.
.
设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数,则X 服从二项分布
0 94
B n, .
.由二项分
布的概率计算公式,可得所求概率为
0. 06 ;
n
n
P X
n
C
(3)
1
2
1
1
1 0.06
0. 94
n
n
P X
n
P X
n
P X
n
n
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：
若
( , )
Y
B n p
,则
(1
)
k
k
n k
n
P Y
k
C p
p
,
0,1,
,
k
n
.
十二、(本题满分8 分)
【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).
当
1
( , )
x y
D
时,
( , )
0
F x y
,
其中
1
{( , )
0
0}
D
x y x
y
或
.
当
4
( , )
x y
D
,即
1
x
且
1
y 时,
( , )
1
F x y .
当( , )
x y
D
时,即0
1,0
1
x
y
时,
2
2
2
0
0
0
( , )
4
2
x
y
x
F x y
stdtds
sy ds
x y
.
当
2
( , )
x y
D
,即0
1,
1
x
y
时,
1
2
0
0
0
0
0
( , )
4
4
2
x
y
x
x
F x y
stdtds
ds
stdt
sds
x
.
当
3
( , )
x y
D
,即
1,0
1
x
y
时,与
2
D 类似,有
2
( , )
F x y
y
.
综上分析,(
, )
X Y 的联合分布函数为
2
2
2
2
0,
0
0,
,
0
1,0
1,
( , )
,
1
,0
1,
,
0
1,1
,
1,
1
,1
.
x
y
x y
x
y
F x y
y
x
y
x
x
y
x
y
或
x
y
O
1
D
D
2
D
4
D
3
D