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1
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.)
(1) 【答案】ln3
【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为
0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知
原式
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
x
x
x
dx
dx
dx
x
x
x
2
2
2
0
1
2
dx
x
2
2
0
ln (2
)
ln 6
ln 2
ln3.
x
(2) 【答案】1
【解析】根据导数的定义,有
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
lim
x
f x
x
f x
f
x
x
.
所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于
0
0
0
(
2 )
(
)
lim
x
f x
x
f x
x
x
0
0
0
0
0
(
2 )
(
)
(
)
(
)
lim
x
f x
x
f x
f x
x
f x
x
0
0
0
0
0
0
0
0
(
2 )
(
)
(
)
(
)
( 2)lim
lim
2
(
)
(
)
1. 2
x
x
f x
x
f x
f x
x
f x
f
x
f
x
x
x
所以
原式
0
0
0
1
lim
1
(
2 )
(
)
1
x
x
f x
x
f x
x
.
(3) 【答案】
sin
2
xy
xy
ye
x
y
xe
y
【解析】将方程
2
cos
xy
e
y
x
看成关于x 的恒等式,即y 看作x 的函数.
方程两边对x 求导,得
sin
(
)
2
sin
2
xy
xy
xy
ye
x
e
y
xy
yy
x
y
xe
y
.
【相关知识点】两函数乘积的求导公式：
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
g x
f
x
g x
f x
g x
.
--- [第 2 页] ---
2
(4) 【答案】
1
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
n
n
a
a
a
a
【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式
1
1
1
0
0
0
0
A
B
B
A
,
且
1
1
1
2
2
1
1
1
n
n
a
a
a
a
a
a
所以,本题对A 分块后可得
1
1
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
n
n
a
a
A
a
a
.
(5) 【答案】9
64
【解析】已知随机变量X 的概率密度,所以概率
1
2
0
1
1
2
2
4
P X
xdx
,求得二项分
布的概率参数后,故
1
~
(3, )
4
Y
B
.
由二项分布的概率计算公式,所求概率为
2
2
3
1
3
9
2
4
4
64
P Y
C
.
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：
--- [第 3 页] ---
3
若
( , )
Y
B n p
,则
(1
)
k
k
n k
n
P Y
k
C p
p
,
0,1,
,
k
n
,
二、 选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.)
(1) 【答案】(B)
【解析】本题是关于求渐近线的问题.
由于
2
1
2
1
lim
arctan (
1)(
2)
4
x
x
x
x
e
x
x
,
故
4
y
为该曲线的一条水平渐近线.
又
2
1
2
0
1
lim
arctan (
1)(
2)
x
x
x
x
e
x
x
.
故
0
x
为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.
故本题应选(B).
【相关知识点】水平渐近线：若有lim
( )
x
f x
a
,则y
a
为水平渐近线；
铅直渐近线：若有lim
( )
x
a f x
,则x
a
为铅直渐近线；
斜渐近线：若有
( )
lim
,
lim[ ( )
]
x
x
f x
a
b
f x
ax
x
存在且不为,则y
ax
b
为斜渐
近线.
(2) 【答案】(C)
【解析】考查取绝对值后的级数.因
2
2
2
2
2
( 1) |
|
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
n
n
n
,
(第一个不等式是由
2
2
1
0,
0,
(
)
2
a
b
ab
a
b
得到的.)
又
2
1
n
n
a
收敛,
2
1
1
2
n
n
收敛,(此为p 级数：
1
1
p
n
n
当
1
p 时收敛；当
1
p 时发散.)
所以
2
2
1
1
1
2
2
n
n
a
n
收敛,由比较判别法,得
2
1
( 1) |
|
n
n
n
a
n
收敛.
故原级数绝对收敛,因此选(C).
(3) 【答案】(C)
【解析】由公式(
)
min( ( ), ( ))
r AB
r A r B
,若A 可逆,则
1
(
)
( )
(
)
[
(
)]
(
)
r AB
r B
r EB
r A
AB
r AB
.
从而(
)
( )
r AB
r B
,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).
--- [第 4 页] ---
4
(4) 【答案】(D)
【解析】事实上,当0
( )
1
P B
时,
(
|
)
(
|
)
P A B
P A B
是事件A 与B 独立的充分必要
条件,证明如下：
若
(
|
)
(
|
)
P A B
P A B
,则
(
)
(
)
( )
1
( )
P AB
P AB
P B
P B
,
(
)
( ) (
)
( ) (
)
P AB
P B P AB
P B P AB
,
(
)
( ) [ (
)
(
)]
( ) ( )
P AB
P B
P AB
P AB
P B P A
,
由独立的定义,即得A 与B 相互独立.
若A 与B 相互独立,直接应用乘法公式可以证明
(
|
)
(
|
)
P A B
P A B
.
(
|
)
1
(
|
)
(
|
)
P A B
P A B
P A B
.
由于事件B 的发生与否不影响事件A 发生的概率,直观上可以判断A 和B 相互独立.
所以本题选(D).
(5) 【答案】(B)
【解析】由于
1
2
,
,
,
n
X
X
X
均服从正态分布
2
( ,
)
N
,根据抽样分布知识与t 分布的应
用模式可知
(0,1)
X
N
n
,
其中
1
1
n
i
i
X
X
n
,
2
2
1
2
(
)
(
1)
n
i
i
X
X
n
,
2
1
(
1).
1
(
)
1
n
i
i
X
n
t n
X
X
n
即
2
2
1
(
1)
1
(
)
1
(
1)
n
i
i
X
X
t n
S
X
X
n
n n
.
因为t 分布的典型模式是:设
(0,1)
X
N
,
2( )
Y
n
,且
,
X Y 相互独立,则随机变量
/
X
T
Y n
服从自由度为n 的t 分布,记作
( )
T
t n .
因此应选(B).
三、 (本题满分6 分)
【解析】方法1：由
2
2
1
x
y
x
y
,配完全方得
2
2
1
1
3
2
2
2
x
y
.
--- [第 5 页] ---
5
令
1
1
cos ,
sin
2
2
x
r
y
r
,引入极坐标系( , )
r ,则区域为
3
( , ) 0
2 ,0
2
D
r
r
.
故
3
2
2
0
0
(
)
(1
cos
sin )
D
x
y dxdy
d
r
r
rdr
2
2
0
0
3
1
3
(cos
sin )
4
2
2
d
d
2
2
0
0
3
1
3
3
sin
cos
4
2
2
2
d
.
方法2：由
2
2
1
x
y
x
y
,配完全方得
2
2
1
1
3
2
2
2
x
y
.
引入坐标轴平移变换：
1
1
,
,
2
2
u
x
v
y
则在新的直角坐标系中区域D 变为圆域
2
2
1
3
( , ) |
2
D
u v
u
v
.
而
1
x
y
u
v
,则有dxdy
dudv
,代入即得
1
1
1
1
(
)
(
1)
D
D
D
D
D
x
y dxdy
u
v
dudv
ududv
vdudv
dudv
.
由于区域
1
D 关于v 轴对称,被积函数u 是奇函数,从而
1
0
D
ududv
.
同理可得
1
0
D
vdudv
, 又
1
1
3
2
D
dudv
D
,
故
3
(
)
2
D
x
y dxdy
.
四、 (本题满分5 分)
【解析】先解出( )
y x ,此方程为常系数二阶线性齐次方
程,用特征方程法求解.
方程
4
4
0
y
y
y
的特征方程为
2
4
4
0
,解得
1
2
2
.
故原方程的通解为
2
1
2
(
)
x
y
C
C x e
.
由初始条件(0)
2,
(0) 4
y
y
得
1
2
2,
0,
C
C
--- [第 6 页] ---
6
因此,微分方程的特解为
2
2
x
y
e
.
再求积分即得
2
0
0
( )
2
x
y x dx
e
dx
2
2
0
0
lim
2
lim
1
b
b
x
x
b
b
e
d
x
e
.
【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程
0
y
py
qy
：
首先写出方程
0
y
py
qy
的特征方程：
2
0
r
pr
q
,在复数域内解出两个特
征根1
2
,
r r ；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根1
2
,
r r ,则通解为
1
2
1
2
;
rx
r x
y
C e
C e
(2) 两个相等的实数根1
2
r
r
,则通解为
1
1
2
;
rx
y
C
C x e
(3) 一对共轭复根1,2
r
i
,则通解为
1
2
cos
sin
.
x
y
e
C
x
C
x
其中
1
2
,
C C 为常数.
五、 (本题满分5 分)
【解析】由复合函数求导法,首先求f
x
,由题设可得
2
2
2
2
2
1
2 arctan
1
1
f
y
x
y
y
x
x
x
x
y
y
x
x
y
2
3
2
2
2
2
2 arctan
2 arctan
y
x y
y
y
x
x
y
x
x
y
x
y
x
.
再对y 求偏导数即得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
f
x
x
x
y
x y
x
x
y
x
y
y
x
.
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数
( , ),
( , )
u
x y v
x y
都在点( , )
x y 具
有对x 及对y 的偏导数,函数
( , )
z
f u v
在对应点( , )
u v 具有连续偏导数,则复合函数
( ( , ),
( , ))
z
f
x y
x y
在点( , )
x y 的两个偏导数存在,且有
--- [第 7 页] ---
7
1
2
z
z
u
z
v
u
v
f
f
x
u
x
v x
x
x
；
1
2
z
z
u
z
v
u
v
f
f
y
u
y
v y
y
y
.
六、(本题满分5 分)
【解析】运用换元法,令
n
n
x
t
u
,则
1
1
0
0
1
( )
(
)
( )
( )
(
).
n
x
x
n
n
n
n
n
F x
t
f x
t
dt
f u du
F x
x
f x
n
由于
2
0
( )
lim
n
x
F x
x
为“ 0
0
”型的极限未定式,又分子分母在点0 处导数都存在,运用洛必达
法则,可得
1
2
2
1
2
1
0
0
0
( )
( )
(
)
lim
lim
lim
2
2
n
n
n
n
n
x
x
x
F x
F x
x
f x
x
nx
nx
0
0
1
(
)
1
(
)
(0) lim
lim
2
2
0
n
n
n
n
x
x
f x
f x
f
n
x
n
x
,
由导数的定义,有
原式
1
(0) 2
f
n
.
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若
( )
( )
( )
( )
t
t
F t
f x dx
,
( )t
,
( )t
均一阶可导,则
( )
( )
( )
( )
( )
F t
t
f
t
t
f
t
.
七、(本题满分8 分)
【解析】利用
0
0
(
,
)
x
y
在两条曲线上及两曲线在
0
0
(
,
)
x
y
处切线斜率相等列出三个方程,由此,
可求出
0
0
,
,
a x
y ,然后利用旋转体体积公式
2( )
b
a f
x dx
求出
x
V .
(1) 过曲线上已知点
0
0
(
,
)
x
y
的切线方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
,其中,当
0
(
)
y x
存在时,
0
(
)
k
y x
.
由y
a x
知
2
a
y
x
.由
ln
y
x
知
1
2
y
x
.
由于两曲线在
0
0
(
,
)
x
y
处有公共切线,可见
0
0
1
2
2
a
x
x
,得
0
2
1
x
a
.
--- [第 8 页] ---
8
将
0
2
1
x
a
分别代入两曲线方程,有
0
0
2
2
2
1
1
1
ln
1
ln
y
a
y
a
a
a
.
于是
2
0
2
1
1
,
a
x
e
e
a
,
从而切点为
2
(
,1)
e
.
(2) 将曲线表成y 是x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得
旋转体体积为
2
2
2
2
2
2
2
0
1
1
1
(
)
(ln
)
ln
2
4
e
e
e
x
V
x
dx
x
dx
e
xdx
e
2
2
2
2
2
2
1
1
1
ln
2
ln
2
4
2
2
2
e
e
e
e
x
x
xdx
e
x
.
【相关知识点】由连续曲线
( )
y
f x
、直线
,
x
a x
b
及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋
转一周所得的旋转体体积为：
2( )
b
a
V
f
x dx
.
八、(本题满分6 分)
【解析】方法1:
2
2
( )(
)
( )
( )
1
( )
[
( )(
)
( )
( )]
f
x x
a
f x
f a
F x
f
x x
a
f x
f a
x
a
x
a
,
令
( )
( )(
)
( )
( )(
),
x
f
x x
a
f x
f a x
a
由
( )
( )(
)
( )
( )
(
)
( )
0(
),
x
f
x x
a
f
x
f
x
x
a f
x
x
a
知
( )
x
在
,a 上单调上升,于是( )
( )
0
x
a
.
故
2
( )
( )
0
x
F x
x
a
.
所以
( )
F x 在
,a 内单调增加.
方法2:
2
( )(
)
( )
( )
1
( )
( )
( )
( )
f
x x
a
f x
f a
f x
f a
F x
f
x
x
a
x
a
x
a
.
由拉格朗日中值定理知
( )
( )
( )
f x
f a
f
x
a
,(
)
a
x
.
于是有
1
( )
[
( )
( )]
F x
f
x
f
x
a
.
由
( )
0
f
x
知
( )
f
x
在
,a 上单调增,从而
( )
( )
f
x
f
,故
( )
0
F x
.
--- [第 9 页] ---
9
于是
( )
F x 在
,a 内单调增加.
【相关知识点】1.分式求导数公式：
2
u
u v
uv
v
v
2. 拉格朗日中值定理：如果函数
( )
f x 满足在闭区间[ , ]
a b 上连续；在开区间
,a b 内可导,
那么在
,a b 内至少有一点(
)
a
b
,使等式
( )
( )
( )(
)
f b
f a
f
b
a
成立.
九、(本题满分11 分)
【解析】(1)因为增广矩阵A 的行列式是范德蒙行列式,
1
2
3
4
,
,
,
a a a a 两两不相等, 则有
2
1
3
1
4
1
3
2
4
2
4
3
(
)(
)(
)(
)(
)(
)
0
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
故
( )
4
r A
.而系数矩阵A 的秩( )
3
r A
,所以方程组无解.
(2) 当
1
3
2
4
,
(
0)
a
a
k a
a
k k
时,方程组同解于
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
,
.
x
kx
k x
k
x
kx
k x
k
因为1
2
0
1
k
k
k
,知( )
( )
2
r A
r A
.
由
( )
3
2
1
n
r A
,知导出组
0
Ax
的基础解系含有1 个解向量,即解空间的维数
为1.
由解的结构和解的性质,
1
2
1
1
2
1
1
0
1
1
2
是
0
Ax
的基础解系.
于是方程组的通解为
1
1
2
1
0
1
2
k
k
,其中k 为任意常数.
【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A 是m n
矩阵,线性方程组Ax
b
有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵
A
A b
的秩,即( )
( )
r A
r A
.(或者说,b 可由A 的列向量
1
2
,
,
,
n
线表出,亦
等同于
1
2
,
,
,
n
与
1
2
,
,
,
,
n b
是等价向量组)
设A 是m n
矩阵,线性方程组Ax
b
,则
--- [第 10 页] ---
10
（1）
有唯一解
( )
( )
.
r A
r A
n
（2）
有无穷多解
( )
( )
.
r A
r A
n
（3）
无解
( ) 1
( ).
r A
r A
b 不能由A 的列向量
1
2
,
,
,
n
线表出.
2. 解的结构：若
1
、
2
是对应齐次线性方程组
0
Ax
的基础解系,知Ax
b
的通解形
式为
1 1
2
2
,
k
k
其中
1
2
,
是
0
Ax
的基础解系,是Ax
b
的一个特解.
3. 解的性质：如果
1
2
,
是
0
Ax
的两个解,则其线性组合
1 1
2
2
k
k
仍是
0
Ax
的
解；如果是Ax
b
的一个解,是
0
Ax
的一个解,则
仍是Ax
b
的解.
十、(本题满分8 分)
【解析】由A 的特征方程,按照第二列展开,有
2
0
1
1
1
(
1)
(
1) (
1)
0
1
1
0
E
A
x
y
,
得到A 的特征值为
1
2
3
1,
1
.
由题设有三个线性无关的特征向量,因此,
1
必有两个线性无关的特征向量,
从而(
)
1
r E
A
.这样才能保证方程组(
)
0
E
A X
解空间的维数是2,
即有两个线性无关的解向量.
由初等行变换,将E
A
第一行加到第三行上,第一行乘以x 后加到第二行上有
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
E
A
x
y
x
y
,
由(
)
1
r E
A
,得
x 和y 必须满足条件
0
x
y
.
十一、(本题满分8 分)
【解析】记
1
1
4
2
2
3
,
,
Y
X X
Y
X X
则
1
2,
X
Y
Y
随机变量
1Y 和
2Y 相互独立且同分布,
由A 与B 独立可得出
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
,故
1
1
4
1
4
1
4
1
1
1,
1
1
1
0. 16,
P Y
P X X
P X
X
P X
P X
--- [第 11 页] ---
11
1
1
0
1
1
0. 84
P Y
P Y
.
由行列式的计算公式,随机变量
1
2,
X
Y
Y
有三个可能取值：1,0,1.
1
2
1
2
1
0,
1
0
1
0. 1344,
P X
P Y
Y
P Y
P Y
1
2
1
2
1
1,
0
1
0
0. 1344,
P X
P Y
Y
P Y
P Y
0
1
1
1
0. 7312.
P X
P X
P X
所求的行列式的概率分布列于下表:
X
1
0
1
P X
x
0. 1344
十二、(本题满分8 分)
【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有
( )
10
20
10
12
5
12
E T
P X
P
X
P X
(10
)
20[
(12
)
(10
)]
5[1
(12
)]
25 (12
)
21 (10
)
5.
此时数学期望依赖于参数,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有
2
2
(10
)
(12
)
2
2
( )
1
25 (12
)
21 (10
)
[21
25
],
2
dE T
e
e
d
令
( )
0
dE T
d
,得
2
2
(10
)
(12
)
2
2
21
25
0
2
2
e
e
,
即
2
2
(10
)
(12
)
2
2
21
25
2
2
e
e
.
解上面的方程得
0
1
25
11
ln
10. 9.
2
21
得到唯一驻点
0
10. 9
,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而
且这个最大值是唯一的.
由题意知,当
0
10. 9
毫米时,平均利润最大.