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1
1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.)
(1) 【答案】6
5
【解析】
2
2
2
2
sin
3
5
2
3
5
lim
sin
2lim
lim
2
5
3
5
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
极限
0
2
sin
sin
lim
lim
1
2
x
t
t
x
t
x
, 而
2
2
3
5
6
3
lim
lim
5
3
10
5
x
x
x
x
x
x
x
洛
,
所以
2
3
5
2
3
6
lim
sin
2
1
5
3
5
5
x
x
x
x
.
(2) 【答案】3
4
【解析】令
3
2
3
2
x
g x
,
x
则有
0
1
g
,
2
12
3
2
g
x
x
,则
0
3
g
,
由复合函数求导法则知
0
3
0
0
3
1
3arctan1
.
4
x
dy
f
g
g
f
dx
(3) 【答案】
2
2
ln3
【解析】利用几何级数求和公式
0
1
(
1),
1
n
n
x
x
x
令
ln3
2
x
,即得
0
(ln3)
1
2
. ln3
2
2
ln3
1
2
n
n
n
(4) 【答案】0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于
2
r A
,说明A 中3 阶子式全为0,于是A 的代数余子式
0
ij
A
,
故
0
*
A
.
所以秩
0
*
r A
.
若熟悉伴随矩阵
*
A 秩的关系式
--- [第 2 页] ---
2
1
1
0
1
*
n,
r A
n,
r A
,
r A
n
,
,
r A
n
,
易知
0
*
r A
.
注：按定义
11
21
1
12
22
2
1
2
n
n
*
n
n
nn
A
A
A
A
A
A
A
,
A
A
A
伴随矩阵是n 阶矩阵,它的元素是行列式A 的代数余子式,是
1
n 阶子式.
(5) 【答案】(4.804,5.196)
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以
用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
因X 的方差为
1
,设X 的期望为,则
(0,1)
/
X
U
N
n
.
当置信度为1
1. 96
u
u
.因此用公式：
2
2
(
,
)
I
x
u
x
u
n
n
.
将
2
5,
1,
100,
1. 96
x
n
u
代入上式,得到所求的置信区间为
(4.804,5.196)
I
.
二、 选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.)
(1) 【答案】(C)
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当
0
x
时,
2
1
sin x
为有界变量,
x 为无穷小量,则
2
0
0
1
lim
lim
sin
0
x
x
f x
x
x
,且
0
0
f
.
于是
f x 在
0
x
处连续.故(A)(B)不正确.
又因为
2
2
2
0
0
0
1
1
sin
0
sin
1
1
lim
lim
lim
sin
0
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
不存在,所以
f x
在
0
x
处不可导,所以选(C).
【相关知识点】函数连续定义：如果函数在
0x 处连续,则有
0
0
0
lim
( )
lim
( )
(
)
x
x
x
x
f x
f x
f x
.
--- [第 3 页] ---
3
(2) 【答案】(A)
【解析】
2
2
ln
1
1
1
1
1
ln
.
f
x
F
x
f
x
f
f
x
x
x
x
x
x
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
x
x
d
f t dt
f
x
x
f
x
x
dx
.
(3) 【答案】(B)
【解析】A
A
有n 个线性无关的特征向量.
由于当特征值
1
2
时,特征向量
1
2
,
线性无关.从而知,当A 有n 个不同特征值时,
矩阵A 有n 个线性无关的特征向量,那么矩阵A 可以相似对角化.
因为当A 的特征值有重根时,矩阵A 仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其
几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).
(4) 【答案】(D)
【解析】(
)
1
P B A
的充分必要条件是
(
)
1
( )
P AB
P A
,即
(
)
( )
P AB
P A
.显然四个选项中,
当A
B
时, AB
A
,可得
(
)
( )
P AB
P A
.因此A
B
是
(
)
1
P B A
的充分条件.因此
选(D).
(5) 【答案】(B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
(
)
( )
( )
( )
,
x
t
a
a
a
F
a
x dx
t dt
x dx
随机变量X 的密度函数为( )
x
,则
( )
1
x dx
,又由于(
)
( )
x
x
,所以
0
0
1
( )
( )
2
x dx
x dx
,(偶函数积分的性质)
即
0
0
1
( )
( )
( )
( )
2
a
a
a
a
x dx
x dx
x dx
x dx
.
于是
0
0
0
1
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
a
a
a
a
F
a
x dx
x dx
x dx
x dx
x dx
.
故应选(B).
三、 (本题满分5 分)
【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得
0
z y x
z y x
dz
dy
dx
e
dx
xe
dz
dy
dx
.
整理后得
1
1
1
z y x
z y x
z y x
z y x
xe
dz
xe
e
dx
xe
dy.
--- [第 4 页] ---
4
由此,得
1
1
z y x
z y x
z y x
xe
e
dz
dx
dy
xe
.
方法二：应先求出函数对,x y 的偏导数,将
0
z y x
z
y
x
xe
两边分别对,x y 求偏导,
1
1
0
1
1
0
z y x
z y x
x
x
z y x
y
y
z
e
xe
z
,
z
xe
z
,
解之得
1
1
1
z y x
x
z y x
x
e
z
xe
,
1
yz.
故
1
1
1
z y x
x
y
z y x
x
e
dz
z dx
z dy
dx
dy
xe
.
四、 (本题满分7 分)
【解析】
2
2
2
2
lim
lim 1
lim 1
x
a
ax
x
x
a
x a
x
x
x
x
a
a
a
x
a
x
a
x
a
,
令
2a
t
x
a
,则当x 时,
0
t
,
1
2
0
2
lim 1
lim 1
x a
a
t
x
t
a
t
e
x
a
,
所以
2
2
lim
2
2
2
lim 1
x
x a
ax
ax
a
x a
a
x a
x
a
e
e
x
a
.
而
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
x
x
x
x
a
a
a
a
x e
dx
x de
x e
xe
dx
2
2
2
2
2
lim
2
2
2
b
a
x
a
b
b e
a e
xde
2
2
2
2
2
2
2
a
x
x
a
a
a e
xe
e
dx
2
2
2
2
2
2
2
lim
2
2
lim
a
b
a
b
a
b
b
a e
be
ae
e
e
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a e
ae
e
,
由
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
e
a e
ae
e
,
得
2
0
a
a
,所以
0
a
或
1
a
.
五、 (本题满分9 分)
【解析】(1) 利润函数为
--- [第 5 页] ---
5
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
L
pq
C
d
eq q
aq
bq
c
d
b q
e
a q
c
,
对q 求导,并令
0
dL
dq
,得
(
)
2(
)
0
dL
d
b
e
a q
dq
,得
2(
)
d
b
q
e
a
.
因为
2
2
2(
)
0,
d L
e
a
dq
所以,当
2(
)
d
b
q
e
a
时为利润函数的极大值点,根据题意也是利
润的最大值点,所以
2
max
(
)
4(
)
d
b
L
c
e
a
.
(2) 因为
1
( )
(
)
q p
d
p
e
,所以
1
( )
q p
e
,故需求对价格的弹性为
p
eq
d
q
q
eq
.
(3) 由
1,
得
2
d
q
e
.
六、(本题满分8 分)
【解析】由题设可得示意图如右.设
1
2
( ,
( )),
( ,
1)
x
P x f x
P x e
,则
1
2
S
PP
,
即
0
( )
1
( )
x
x
f t dt
e
f x
.
两端求导,得
( )
( )
x
f x
e
f
x
,即
( )
( )
x
f x
f
x
e
.
由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得
( )
( )
( )
(
( )
)
p x dx
p x dx
f x
e
q x e
dx
C
(
)
dx
dx
x
e
e e
dx
C
1
(
)
.
2
x
x
x
x
x
e e dx
C e
Ce
e
由初始条件
(0) 0
f
,得
1
2
C
.因此,所求函数为
1
( )
(
)
2
x
x
f x
e
e
.
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程
( )
( )
y
p x y
q x
的通解公式为:
( )
( )
(
( )
)
p x dx
p x dx
y
e
q x e
dx
C
,其中C 为常数.
七、(本题满分6 分)
【解析】因为
( )
f x 分别在[0, ]
c 和[ ,1]
c
上满足拉格朗日中值定理的条件, 故存在
1
2
(0, ),
( ,1)
c
c
,使得
1
2
( )
(1) ( )
( )
,
(
)
,
0
1
f c
f
f
f c
f
f
c
c
--- [第 6 页] ---
6
由于点C 在弦AB 上,故有
( )
(0) ,
0
1
1 0
f c
f
f
f c
f
f
f
f
c
c
从而
1
2
( )
(
)
(0) .
f
f
f
f
这表明
( )
f
x
在区间
1
2
[ ,
]
上满足罗尔定理的条件,于是存在
1
2
( ,
)
(0,1)
,使得
( )
0
f
.
八、(本题满分10 分)
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,
第一行和第三行互换,再第一行分别乘以
1 、
1
加到第二行和第三行上,再第二行和
第三行互换,再第二行乘以1
2
k
加到第三行上,有
2
2
1
1
4
1
1
2
4
1
1
1
1
1
1
2
4
1
1
4
k
A
k
k
k
k
k
2
2
1
1
2
4
1
1
2
4
0
1
3
4
0
2
2
8
0
2
2
8
0
1
3
4
k
k
k
k
k
k
1
1
2
4
0
2
2
8
(1
)(4
)
0
0
(
4)
2
k
k
k
k k
.
(1) 当
1
k 且
4
k
时, ( )
( )
3
r A
r A
,方程组有唯一解,即
2
2
1
2
3
2
2
4
2
,
,
.
1
1
1
k
k
k
k
k
x
x
x
k
k
k
(2) 当
1
k 时,
( )
3, ( )
2
r A
r A
方程组无解.
(3) 当
4
k
时,有
1
1
2
4
1
0
3
0
0
2
2
8
0
1
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
A
.
因为( )
( )
2
3
r A
r A
,方程组有无穷多解.
取
3x 为自由变量,得方程组的特解为
(0,4,0)T
.
--- [第 7 页] ---
7
又导出组的基础解系为
( 3, 1,1)T
,所以方程组的通解为
k
,其中k 为任意常数.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A 是m n
矩阵,线性方程组Ax
b
有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵
A
A b
的秩,即( )
( )
r A
r A
.(或者说,b 可由A 的列向量
1
2
,
,
,
n
线表出,亦
等同于
1
2
,
,
,
n
与
1
2
,
,
,
,
n b
是等价向量组)
设A 是m n
矩阵,线性方程组Ax
b
,则
（1）
有唯一解
( )
( )
.
r A
r A
n
（2）
有无穷多解
( )
( )
.
r A
r A
n
（3）
无解
( ) 1
( ).
r A
r A
b 不能由A 的列向量
1
2
,
,
,
n
线表出.
九、(本题满分9 分)
【解析】经正交变换二次型f 的矩阵分别为
1
1
0
1
,
1
1
1
2
A
B
.
由于P 是正交矩阵,有
1
P AP
B
,即知矩阵A 的特征值是0,1,2.那么有
2
2
2
0,
0. A
E
A
【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量
1
2
,
,
,
n
x x
x
的二次齐次多项式(即每项都是二
次的多项式)
1
2
1
1
,
,
,
,
n
n
n
ij
i
j
i
j
f x x
x
a x x
其中
ij
ji
a
a
,
称为n 元二次型,令
1
2
,
,
,
T
n
x
x x
x
,
ij
A
a
,则二次型可用矩阵乘法表示为
1
2
,
,
,
,
T
n
f x x
x
x Ax
其中A 是对称矩阵
T
A
A
,称A 为二次型
1
2
,
,
,
n
f x x
x
的矩阵.
十、(本题满分8 分)
【解析】(1)依题意,因为随机变量X 和Y 同分布,则
--- [第 8 页] ---
8
P A
P X
a
P Y
a
P B
,
又事件
A
X
a
B
Y
a
和
独立,故
P AB
P A P B
.
估计广义加法公式：
2
3
2
4
P A
B
P A
P B
P A P B
P A
P A
.
解以
( )
P A 为未知量的方程
2
3
2
0
4
P A
P A
.
得
1
( )
2
P A
,(因
3
( )
2
P A
不合题
意).
再依题设条件可知
2
2
3
1
3
1
( )
{
}
( )
(8
)
2
8
8
a
a
P A
P X
a
f x dx
x dx
a
.
再解以a 为未知量的方程:
3
8
4
a
,得
3 4
a
.
(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:
2
2
2
2
0
2
2
2
0
0
1
1
1
3
3
3
3
8
8
8
4
E
f x dx
x dx
dx
x
.
X
x
x
十一、(本题满分8 分)
【解析】本题的关键在于理解随机变量
N t 的意义,事件
{
}
N t
k
表示设备在任何长为t
的时间内发生k 次故障,其概率为
(
)
{
}
(
0,1,2
)
!
k
t
t
P N t
k
e
k
k
.
由于T 表示相继两次故障之间时间间隔,故当
0
t
时,
0;
F t
P T
t
当
0
t
时,
事件
T
t
与
T
t
是互逆事件,并且
T
t
表示在长为t 的时间内没有发生故障,它等
价于事件
0
N t
.
(1) 易见T 是只取非负值的连续型随机变量.
当
0
t
时,
0;
F t
P T
t
当
0
t
时,事件
T
t
与
0
N t
等价.于是有
1
1
0
1
t
F t
P T
t
P T
t
P N t
e
.
因此
1
,
0
0,
t
e
t
F t
t
.
计算得知T 服从参数为的指数分布.
(2) 由于指数分布具有“无记忆性”,因此
8
8
16 |
8
8
1
8
1
(8) 1 (1
)
Q
P T
T
P T
P T
F
e
e
.