1992年数学三真题答案解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

(1) 设商品的需求函数为 100 5 Q P   ,其中 , Q P 分别表示为需求量和价格,如果商品需 求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.

(1) 【答案】(10,20] 【解析】根据 ( ) 100 5 0 Q P P    ,得价格 20 P  ,又由 100 5 Q P   得 ( ) 5 Q P  , 按照经济学需求弹性的定义,有 ( ) 5 ( ) 100 5 Q P P P Q P P       , 令 5 5 1 100 5 100 5 P P P P      ,解得 10 P  . 所以商品价格的取值范围是(10,20].

(2) 级数 2 1 ( 2) 4 n n n x n     的收敛域为_________.

(2) 【答案】(0,4) 【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当 2 0 x   即 2 x  时级数收敛. 当 2 x  时,后项比前项取绝对值求极限有 2( 1) 2 2 1 2 ( 2) 4 ( 2) ( 2) lim lim , ( 1)4 ( 2) 4 1 4 n n n n n n x n x n x n x n              当 2 ( 2) 1 4 x  ,即当0 2 2 0 2 x x       或2 4 x   时级数绝对收敛. 又当 0 x  和 4 x  时得正项级数 1 1 n n   ,由p 级数： 1 1 p n n   当 1 p 时收敛；当 1 p 时发散. 所以正项级数 1 1 n n   是发散的. 综合可得级数的收敛域是(0,4) . 注：本题也可作换元 2 ( 2) x t   后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数 1 4 n n n t n   的收 --- [第 2 页] --- 2 敛性. 【相关知识点】收敛半径的求法：如果 1 nlim n n a a     ,其中 1 , n n a a 是幂级数 0 n n n a x   的相邻 两项的系数,则这幂级数的收敛半径 1 , 0 , , 0, 0, . R                

(3) 交换积分次序 2 1 2 0 ( , ) y y dy f x y dx     _________.

(3) 【答案】 2 2 1 2 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy       【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式 ( , ) . D f x y dxdy  由累次积分的内外层积分限确定积分区域D ： 2 {( , ) 0 1, 2 } D x y y y x y       , 即D 中最低点的纵坐标 0 y  ,最高点的纵坐标 1 y , D 的左边界的方程是x y  ,即 2 y x  的右支, D 的右边界的方程是 2 2 x y   即 2 2 2 x y   的右半圆, 从而画出D 的图形如图中的阴影部分,从图形可见 1 2 D D D   ,且 2 1 2 2 {( , ) 0 1,0 }, {( , ) 1 2,0 2 }. D x y x y x D x y x y x            所以 2 2 2 1 2 1 2 2 0 0 0 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) . y x x y dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy          

(4) 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵,且 0 , , 0 A A a B b C B         ,则C ________.

(4) 【答案】( 1)mnab  【解析】由拉普拉斯展开式, 0 ( 1) ( 1) 0 mn mn A C A B ab B    . 【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A 是m 阶矩阵, B 是n 阶矩阵,则 x y D 1 2 O --- [第 3 页] --- 3 * , * A O A A B B O B      * 1 * mn O A A A B B B O    .

(5) 将 , , , , , , C C E E I N S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE 的 概率为__________.

(5) 【答案】 1 1260 【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可. 设所求概率为 ( ) P A ,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排 成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为 7! n  ,而有利于事件A 的样本点 数为2! 2!  ,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式 2! 2! 1 ( ) 7! 1260 P A    .

(1) 设 2 ( ) ( ) x a x F x f t dt x a   ,其中 ( ) f x 为连续函数,则lim ( ) x a F x  等于 ( ) (A) 2 a (B) 2 ( ) a f a (C) 0 (D) 不存在

(1) 【答案】(B) 【解析】方法1:lim ( ) x a F x  为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点0 处导数都存在, 所以可应用洛必达法则. 2 2 ( ) lim ( ) lim ( ) lim x x a a x a x a x a f t dt x F x f t dt a x a x a          2 2 ( ) lim ( ) 1 x a a f x a f a    . 故应选(B). 方法2: 特殊值法. 取 ( ) 2 f x  ,则 2 2 lim ( ) lim 2 2 x a x a x a x F x dt a x a      . 显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式： 若 ( ) ( ) ( ) ( ) t t F t f x dx    , ( )t  , ( )t  均一阶可导,则     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F t t f t t f t            . --- [第 4 页] --- 4

(2) 当 0 x  时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( ) (A) 2x (B) 1 cos x  (C) 2 1 1 x   (D) tan x x 

(2) 【答案】(D) 【解析】由于 0 x  时, 2 2 2 1 1 1 cos ~ , 1 1~ 2 2 x x x x     ,故 2 2 ,1 cos , 1 1 x x x    是同阶无穷小,可见应选(D).

(3) 设A 为m n  矩阵,齐次线性方程组 0 Ax  仅有零解的充分条件是 ( ) (A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关

(3) 【答案】(A) 【解析】齐次方程组 0 Ax  只有零解 ( ) r A n   . 由于( ) r A A  的行秩A 的列秩,现A 是m n  矩阵, ( ) r A n  ,即A 的列向量线性无 关.故应选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组 0 Ax  ,有定理如下: 对矩阵A 按列分块,有   1 2 n A , , ,     ,则 0 Ax  的向量形式为 1 1 2 2 0 n n x x x .         那么, 0 Ax  有非零解 1 2 n , , ,     线性相关   1 2 n r , , , n       r A n.  

(4) 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则 ( ) (A) ( ) ( ) ( ) 1 P C P A P B    (B) ( ) ( ) ( ) 1 P C P A P B    (C) ( ) ( ) P C P AB  (D) ( ) ( ) P C P A B  

(4) 【答案】(B) 【解析】依题意：由“当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生”得出AB C  ,故 ( ) ( ) P AB P C  ；由概率的广义加法公式 ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P AB     推出 ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P A B     ；又由概率的性质 ( ) 1 P A B   ,我们得出 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 P C P AB P A P B P A B P A P B         , 因此应选(B). --- [第 5 页] --- 5

(5) 设n 个随机变量 1 2 , , , n X X X  独立同分布, 2 1 1 1 ( ) , , n i i D X X X n     2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n     ,则 ( ) (A) S 是的无偏估计量 (B) S 是的最大似然估计量 (C) S 是的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立

(5) 【答案】(C) 【解析】根据简单随机样本的性质,可以将 1 2 , , , n X X X  视为取自方差为 2 的某总体 X 的简单随机样本, X 与 2 S 是样本均值与样本方差. 由于样本方差 2 S 是总体方差的无偏估计量,因此 2 2, ES ES     ,否则若ES   , 则 2 2 ( ) ES   , 2 2 ( ) 0 DS ES ES    .故不能选(A). 对于正态总体, S 与X 相互独立,由于总体X 的分布未知,不能选(D).同样因总体分 布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差 2 S 是 2 的一致估计量, 其连续函数 2 S S  一定也是的一致估计量.

2 1,

1. x x x f x x           问函数 ( ) f x 在 1 x  处是否连续?若不连续,修 改函数在 1 x  处的定义使之连续. 【解析】函数 ( ) f x 在 0 x x  处连续,则要求 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x   . 方法1:利用洛必达法则求极限 1 lim ( ) x f x  ,因为 1 lim ( ) x f x  为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分 母在点0 处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 1 1 1 1 sin( 1) ln cos( 1) 2 tan( 1) cos( 1) lim ( ) lim lim lim 1 sin cos cos 2 2 2 2 x x x x x x x x f x x x x                    --- [第 6 页] --- 6 2 2 1 1 2 4 cos ( 1) lim ( sin ) 2 2 x x x           . 而

(1) 1 f  ,故 1 lim ( ) 1 x f x   ,所以 ( ) f x 在 1 x  处不连续. 若令 2 4

(1) f   ,则函数 ( ) f x 在 1 x  处连续. 方法2:利用变量代换与等价无穷小代换, 0 x  时, 2 1 cos 1 2 x x   ；ln(1 )x x  . 求极限 1 lim ( ) x f x  ,令 1 x t  ,则有 1 1 0 0 ln cos( 1) ln cos ln[1 (cos 1)] lim ( ) lim lim lim 1 sin 1 cos 1 cos 2 2 2 x x t t x t t f x x t t                 2 2 2 2 0 0 2 2 1 cos 1 4 2 lim lim 1 2 4 8 t t t t t t            . 以下同方法1.

析】用分部积分法: 2 arccot arccot 1 x x x x x x x e I e de e e e dx e          2 2 arccot (1 ) 1 x x x x e e e dx e      2 1 arccot ln(1 ) 2 x x x e e x e C       , 其中C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计 算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定 ( ) u u x  与 ( ) v v x  均具有连续的导函数,则 , uv dx uv u vdx       或者 . udv uv vdu    

 ,求 2z x y   ,其中( , ) u v  有二阶偏导数. --- [第 7 页] --- 7 【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复 合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求z x   ,再求 ( ) z y x     . 由复合函数求导法,首先求 xz,由题设 1 2 1 cos( ) xz y xy y         , 再对y 求偏导数,即得 1 2 2 2 1 1 cos( ) sin( ) ( ) ( ) xy y y z xy xy xy y y             12 22 2 2 1 1 cos( ) sin( ) y y x x xy xy xy y y y y                          12 22 2 2 3 2 1 cos( ) sin( ) x x xy xy xy y y y            . 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 ( , ), ( , ) u x y v x y     都在点( , ) x y 具 有对x 及对y 的偏导数,函数 ( , ) z f u v  在对应点( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 ( ( , ), ( , )) z f x y x y    在点( , ) x y 的两个偏导数存在,且有 1 2 z z u z v u v f f x u x v x x x                  ； 1 2 z z u z v u v f f y u y v y y y                  . 六、(本题满分5 分) 求连续函数 ( ) f x ,使它满足 2 0 ( ) 2 ( ) x f x f t dt x    . 【解析】两端对x 求导,得 ( ) 2 ( ) 2 f x f x x    .记 ( ) 2, ( ) 2 P x Q x x   ,有通解 ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) ( ( ) ) ( 2 ) 2 P x dx P x dx x x x f x e Q x e dx C e xe dx C Ce x               , 其中C 为任意常数. 由原方程易见

(0) 0 f  ,代入求得参数 1 2 C  .从而所求函数 2 1 1 ( ) 2 2 x f x e x     . 【相关知识点】一阶线性非齐次方程 ( ) ( ) y P x y Q x   的通解为 --- [第 8 页] --- 8 ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx y e Q x e dx C             , 其中C 为任意常数. 七、(本题满分6 分) 求证:当 1 x 时, 2 1 2 arctan arccos 2 1 4 x x x     . 【解析】方法1：令 2 1 2 ( ) arctan arccos 2 1 4 x f x x x      ,则 2 2 2 2 2 2 1 2 (1 )(1 ) ( ) 0( 1) 1 2 ( 1)(1 ) x x f x x x x x            . 因为 ( ) f x 在[1, ) 连续,所以 ( ) f x 在[1, ) 上为常数,因为常数的导数恒为0. 故 ( )

(1) 0 f x f   ,即 2 1 2 arctan arccos 2 1 4 x x x     . 方法2：令 2 1 2 ( ) arctan arccos 2 1 4 x f x x x      ,则 ( ) f x 在[1, ]x 上连续,在(1, ) x 内可导, 由拉格朗日中值定理知,至少存在一点 (1, )x  ,使得 ( )

(1) ( )( 1). f x f f x      由复合函数求导法则,得 2 2 2 2 2 2 1 2 (1 )(1 ) ( ) 0( 1) 1 2 ( 1)(1 ) x x f x x x x x            , 所以 ( )

(1) f x f  .由

(1) 0 f  可得,当 1 x 时, 2 1 2 arctan arccos 2 1 4 x x x     . 【相关知识点】复合函数求导法则: 如果 ( ) u g x  在点x 可导,而 ( ) y f x  在点 ( ) u g x  可导,则复合函数   ( ) y f g x  在点x 可导,且其导数为 ( ) ( ) dy f u g x dx     或 dy dy du dx du dx   . 八、(本题满分9 分) 设曲线方程 ( 0) x y e x    .

(1) 把曲线 x y e  , x 轴, y 轴和直线 ( 0) x    所围成平面图形绕x 轴旋转一周, 得一旋转体,求此旋转体体积 ( ) V ;求满足 1 ( ) lim ( ) 2 V a V     的a .

(2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求 出该面积. 【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求 ( ) V ,并求出极限lim ( ) V    .问题 --- [第 9 页] --- 9

(2) 是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值.

(1) 将曲线表成y 是x 的函数,套用旋转体体积公式 2 2 2 2 0 0 ( ) (1 ), ( ) (1 ), 2 2 x a V y dx e dx e V a e                    2 lim ( ) lim (1 ) 2 2 V e             . 由题设知 2 (1 ) 2 4 a e      ,得 1 ln 2 2 a  .

(2) 过曲线上已知点 0 0 ( , ) x y 的切线方程为 0 0 ( ) y y k x x    ,其中当 0 ( ) y x  存在时, 0 ( ) k y x   . 设切点为( , ) a a e ,则切线方程为 ( ) a a y e e x a      . 令 0 x  ,得 (1 ) a y e a    ,令 0 y  ,得 1 x a  . 由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为 2 1 (1 ) 2 a S a e   . 因 2 2 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) , 2 2 a a a S a e a e a e          令 0, S 得 1 2 1, 1 a a  (舍去). 由于当 1 a  时, 0 S ；当 1 a  时, 0 S .故当 1 a  时,面积S 有极大值,此问题中即为最 大值. 故所求切点是 1 (1, ) e ,最大面积为 2 1 1 1 2 2 2 S e e       . 【相关知识点】由连续曲线 ( ) y f x  、直线 , x a x b   及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋 转一周所得的旋转体体积为： 2( ) b a V f x dx   . 九、(本题满分7 分) 设矩阵A 与B 相似,其中 2 0 0 1 0 0 2 2 , 0 2 0 3 1 1 0 0 A x B y                         .

(1) 求x 和y 的值.

(2) 求可逆矩阵P ,使得 1 P AP B   . 【解析】因为A B ,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x 和y 的值.若 1 P AP  ,则是A 的特征向量.求可逆矩阵P 就是求A 的特征向量.

(1) 因为A B ,故其特征多项式相同,即 , E A E B      即 --- [第 10 页] --- 10 2 ( 2)[ ( 1) ( 2)] ( 1)( 2)( ) x x y                . 由于是的多项式,由的任意性, 令 0  ,得2( 2) 2 x y   . 令 1  ,得3 ( 2) 2(1 )y    . 由上两式解出 2 y 与 0 x  .

(2) 由(1)知 2 0 0 1 0 0 2 0 2 0 2 0 3 1 1 0 0 2                        . 因为B 恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵A 的特征值,矩阵A 的特征值是 1 2 3 1, 2, 2       . 当 1 1 时,由( ) 0 E A x    , 1 0 0 1 0 0 2 1 2 0 1 2 3 1 2 0 0 0                            , 得到属于特征值 1 的特征向量 1 (0, 2,1)T   . 当 2 2  时,由(2 ) 0 E A x   , 4 0 0 1 0 0 2 2 2 0 1 1 3 1 1 0 0 0                           , 得到属于特征值 2  的特征向量 2 (0,1,1)T  . 当 3 2 时,由( 2 ) 0 E A x    , 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 0 3 1 3 0 0 0                            . 得到属于特征值 2 的特征向量 3 (1,0, 1)T   . 那么令 1 2 3 0 0 1 ( , , ) 2 1 0 1 1 1 P               ,有 1 P AP B   . 十、(本题满分6 分) 已知三阶矩阵 0 B  ,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 0, 2 0, 3

0. x x x x x x x x x               

(1) 求的值;

(2) 证明 0 B  . --- [第 11 页] --- 11 【解析】对于条件 0 AB  应当有两个思路：一是B 的列向量是齐次方程组 0 Ax  的解；另 一个是秩的信息即( ) ( ) r A r B n   .要有这两种思考问题的意识.

(1) 方法1：令 1 2 2 2 1 3 1 1 A                ,对3 阶矩阵A ,由 0 AB  , 0 B  知必有 0 A  ,否则A 可逆,从而 1 1 ( ) 0 0 B A AB A      ,这与 0 B  矛盾. 故 1 2 2 2 1 0 3 1 1 A       , 用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有 1 0 2 2 1 5( 1) 0 3 0 1 A           . 解出 1  . 方法2：因为 0 B  ,故B 中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组 0 Ax  有非零 解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是 1 2 2 2 1 0 3 1 1 A       , 以下同方法一.

(2) 反证法：对于 0 AB  ,若 0 B  ,则B 可逆,那么   1 1 0 0 A AB B B      .与已知条 件 0 A  矛盾.故假设不成立, 0 B  . 【相关知识点】对齐次线性方程组 0 Ax  ,有定理如下: 对矩阵A 按列分块,有   1 2 n A , , ,     ,则 0 Ax  的向量形式为 1 1 2 2 0 n n x x x .         那么, 0 Ax  有非零解 1 2 n , , ,     线性相关   1 2 n r , , , n       r A n.   对矩阵B 按列分块,记 1 2 3 ( , , ) B    ,那么 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) (0,0,0) AB A A A A         . 因而 0 i A (1,2,3) i  ,即 i是 0 Ax  的解. --- [第 12 页] --- 12 十一、(本题满分6 分) 设A B 、 分别为m n 、阶正定矩阵,试判定分块矩阵 0 0 A C B       是否是正定矩阵. 【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的. 方法1：定义法. 因为A B 、 均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故 , T T A A B B   ,那么 0 0 0 0 0 0 T T T T A A A C C B B B                       ,即C 是对称矩阵. 设m n  维列向量 ( , ) T T T Z X Y  ,其中 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) T T m n X x x x Y y y y     , 若 0 Z  ,则 , X Y 不同时为0,不妨设 0 X  ,因为A 是正定矩阵,所以 0 T X AX  . 又因为B 是正定矩阵,故对任意的n 维向量Y ,恒有 0 T Y AY  .于是 0 ( , ) 0 0 T T T T T A X Z CZ X Y X AX Y AY B Y               , 即 T Z CZ 是正定二次型,因此C 是正定矩阵. 方法2：用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法. 因为A B 、 均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故 , T T A A B B   , 那么 0 0 0 0 0 0 T T T T A A A C C B B B                       ,即C 是对称矩阵. 设A 的特征值是 1 2 , , , , m    B 的特征值是 1 2 , , , . n    由 , A B 均正定,知 0, 0 i j     ( 1,2, , , 1,2, , ) i m j n     .因为 0 0 m m n n E A E C E A E B E B                     1 1 , m m                于是,矩阵C 的特征值为 1 2 , , , , m    1 2 , , , . n    因为C 的特征值全大于0,所以矩阵C 正定. 十二、(本题满分7 分) 假设测量的随机误差 2 (0,10 ) X N ,试求100 次独立重复测量中,至少有三次测量误差 --- [第 13 页] --- 13 的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数 字). [附表]  1 2 3 4 5 6 7 … e  

0. 368

0. 135

0. 050

0. 018

0. 007

0. 002

0. 001 … 【解析】设事件A “每次测量中测量误差的绝对值大于19.6”,因为 2 (0,10 ) X N ,即 2 2 0, 10 EX DX       .根据正态分布的性质则有：  

19. 6 ( )

19. 6 X p P A P X P                  | 0 |

19. 6 0 | |

1. 96 10 10 10 X X P P                     1

1. 96

1. 96 1 (1.96) ( 1.96) 10 X P             1 [ (1.96) (1 (1.96))] 2 2 (1.96)      2[(1 (1.96)]

0. 05    . 设Y 为100 次独立重复测量中事件A 出现的次数,则Y 服从参数为 100,

0. 05 n p   的二项分布.根据二项分布的定义,   (1 ) ( 0,1,2 ) k k n k n P Y k C p p k      ,则至少有三 次测量误差的绝对值大于19.6 的概率为： { 3} 1 { 3} 1 { 0} { 1} { 2} P Y P Y P Y P Y P Y           0 0 100 1 1 100 1 2 2 100 2 100 100 100 1

0. 05 (1 0.05)

0. 05 (1 0.05)

0. 05 (1 0.05) C C C         100 99 98 2 100 99 1 0.95 100 0.95

0. 05

0. 95

0. 05 2         . 根据泊松定理,对于成功率为p 的n 重伯努利试验,只要独立重复试验的次数n 充分大, 而p 相当小(一般要求 100,

0. 1 n p   ),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分 布,具体应用模式为若 ( , ) Y B n p ,则当n 充分大, p 相当小时当Y 近似服从参数为 np  的泊松分布,即   ( ) (1 ) ( 0,1,2 ) ! k k k n k np n np P Y k C p p e k k        . 设Y 为100 次独立重复测量中事件A 出现的次数,则Y 服从参数为 100,

0. 05 n p   的 --- [第 14 页] --- 14 二项分布.故 { 3} 1 { 3} 1 { 0} { 1} { 2} P Y P Y P Y P Y P Y           0 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 0! 1! 2! 2 e e e e e e                        2 5 5 1 (1 5 )

0. 87 2 e    . 十三、(本题满分5 分) 一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20 和

0. 30.假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望 EX 和方差DX . 【解析】令随机变量 1, 0, i i X i    第个部件需调整 第个部件不需调整 ， ， 1,2,3 i  . 依题意 1 2 3 , , X X X 相互独立,且 1 2 3 , , X X X 分别服从参数为0.1,0.2,0.3 的0 1 分布,即 1 X 0 1 p

0. 9

0. 1 2 X 0 1 p

0. 8

0. 2 3 X 0 1 p

0. 7

0. 3 由题意知 1 2 3 X X X X    ,显然X 的所有可能取值为0,1,2,3,又 1 2 3 , , X X X 相互独立, 所以

(1) 1 2 3 1 2 3 { 0} { 0} { 0, 0, 0} P X P X X X P X X X          1 2 3 { 0} { 0} { 0}

0. 9 0.8 0.7

0. 504 P X P X P X         , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 { 1} { 1} { 1, 0, 0} { 0, 1, 0} { 0, 0, 1} { 1} { 0} { 0} { 0} { 1} { 0} { 0} { 0 P X P X X X P X X X P X X X P X X X P X P X P X P X P X P X P X P X                             3 } { 1}

0. 1 0.8 0.7

0. 9 0.2 0.7

0. 9 0.8 0 .3

0. 398, P X            1 2 3 1 2 3 { 3} { 3} { 1, 1, 1} P X P X X X P X X X          --- [第 15 页] --- 15 1 2 3 { 1} { 1} { 1}

0. 1 0.2 0.3

0. 006 P X P X P X         . 由{ 0} { 1} { 2} { 3} 1 P X P X P X P X         得出 { 2} 1 { 0} { 1} { 3} 1 0.504

0. 398

0. 006

0. 092. P X P X P X P X            因此X 的概率分布为 X 0 1 2 3 p

0. 504

0. 398

0. 092

0. 006

(2) 令 1 1 2 2 { 1}

0. 1, { 1}

0. 2, p P X p P X       3 3 { 1}

0. 3, p P X    因 i X 均服从0 1  分布,故 , (1 ) i i i i i EX p DX p p    所以 1 2 3 ( )

0. 1 ( )

0. 2 ( )

0. 3 E X E X E X      , 1 2 3 ( )

0. 1 0.9

0. 09, ( )

0. 2 0.8

0. 16, ( )

0. 3 0.7

0. 21 D X D X D X          1 2 3 X X X X    .因 i X 服从0 1 分布, 且 1 2 3 , , X X X 相互独立,故由数学期望与方差的 性质 1 2 3 1 2 3 ( )

0. 6 EX E X X X EX EX EX        . 1 2 3 1 2 3 ( )

0. 46 DX D X X X DX DX DX        . 注：X 的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算： ( ) 0 { 0} 1 { 1} 2 { 2} 3 { 3} 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006

0. 6, E X P X P X P X P X                2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 { 0} 1 { 1} 2 { 2} 3 { 3} 0

0. 504 1

0. 398 2

0. 092 3

0. 006

0. 46. D X P X P X P X P X                      十四、(本题满分4 分) 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为 , 0 , ( , ) 0, y e x y f x y       其他,

(1) 求随机变量X 的密度 ( ) Xf x ;

(2) 求概率{ 1} P X Y   . 【解析】(1)已知联合概率密度可以直接利用求边缘密度的公式 ( ) ( , ) Xf x f x y dy    求出 边缘概率密度. 当 0 x  时, ( ) 0 0 Xf x dy      ; --- [第 16 页] --- 16 当 0 x  时, ( ) ( , ) 0 x y y x X x x f x f x y dy dy e dy e e                 . 因此X 的密度为 , 0, ( ) 0,

0. x X e x f x x      

(2) 概率{ 1} P X Y   实际上是计算一个二重积分,根据概率的计算公式： 1 { 1} ( , ) x y P X Y f x y dxdy     , 再由二重积分的计算,化为累计积分求得概率 { 1} P X Y   . 1 1 2 0 1 { 1} ( , ) x y x x y P X Y f x y dxdy dx e dy           1 1 1 1 (1 ) 1 1 2 2 2 2 0 0 0 [ ] 1 2 . x x x x e e dx e dx e dx e e                 1 2 1 1 x y   y x  y x O 1