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1
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题(本题满分15 分,每小题3 分.)
(1) 【答案】
sin
cos
xy
e
xy ydx
xdy
【解析】方法一：先求出两个偏导数z
x
和z
y
,然后再写出全微分dz ,
sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
xy
xy
xy
xy
z
e
xy y
ye
xy
x
z
e
xy x
xe
xy
y
,
所以
sin
sin
cos
cos
xy
xy
z
z
dz
dx
dy
ye
xydx
xe
xydy
x
y
sin
cos
(
)
xy
e
xy ydx
xdy
.
方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .
sin xy
sin xy
sin xy
sin xy
dz
d e
e
d sin xy
e
cos xydxy
e
cos xy ydx
xdy
.
(2) 【答案】
1
a ,
1
b ,
1
c
【解析】由于曲线
f x 与
g x 都通过点
1 0,
,
则
1
1
0
1
0
f
a
g
b
c
,
又曲线
f x 与
g x 在点
1 0,
有公切线,则
1
1
f
g
,即
2
1
1
1
3
3
1
2
2
x
x
f
x
a
a
g
bx
b
,
亦即3
2
a
b
,解之得
1
a ,
1
b ,
1
c
.
(3) 【答案】
1
x
n
；
1
n
e
【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式
0
n
n
k
n k
k
n
k
uv
C u
v
可知,
( )
0
( )
1
(
1)
2
(
2)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
n
x
n
x
n
x
n
n
n
x
n
n
n
n
f
x
C x e
C x e
C x e
C x
e
0
0
(
)
x
x
x
xe
ne
x
n e
.
对函数
n
g x
f
x
求导,并令
0
g
x
,得
--- [第 2 页] ---
2
(
1)( )
(
1)
0
n
x
g
x
f
x
x
n
e
,
解之得驻点
1
x
n
,且
( )
0,
(
1),
( )
( )
0,
(
1),
( )
g x
x
n
g x
g x
x
n
g x
函数
严格单调递减
函数
严格单调递增
；
；
故
1
x
n
是函数
n
g x
f
x
的极小值点,极小值为
( )
1
1
(
1)
(
1)
(
1
)
n
n
n
g
n
f
n
n
n e
e
.
(4) 【答案】
1
1
0
0
B
A
【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有
1
2
3
4
0
0
0
0
X
X
A
E
X
X
B
E
,
由对应元素或块相等,即
3
4
1
2
,
0,
0,
.
AX
E
AX
BX
BX
E
从A和B 均为可逆矩阵知
1
1
3
4
1
2
,
0,
0,
X
A
X
X
X
B
.故应填
1
1
0
0
B
A
.
(5) 【答案】
x
1
1
3
{
}
P X
x
0. 2
【解析】因为随机变量X 的分布函数
( )
F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以
在
( )
F x 的连续点, {
}
0
P X
x
,只有在
( )
F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且
{
}
{
}
{
}
( )
(
0)
P X
x
P X
x
P X
x
F x
F x
,则
{
1}
( 1)
( 1 0)
0. 4
P X
F
F
,
{
1}
0. 4,
P X
F
F
{
3}
0. 2.
P X
F
F
因此X 的概率分布为
--- [第 3 页] ---
3
x
1
1
3
{
}
P X
x
二、 选择题(本题满分15 分,每小题3 分.)
(1) 【答案】(A)
【解析】由重要极限
1
lim(1
) x
x
e
x
可知,
极限
( 1)
1
1
1
lim(1
)
lim[1 (
)]
x
x
x
x
e
x
x
,
( 1)
1
1
1
lim(1
)
lim(1
)
x
x
x
x
e
x
x
.
而极限
0
0
1
1
1
lim ln(1
)
lim
ln(1
)
ln(1
)
0
0
1
lim(1
)
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
x
,
令
1
t
x
,则
0
1
ln(1
)
1
lim
ln(1
)
lim
lim
0
1
t
t
x
t
x
x
t
t
洛
,
所以
0
1
lim
ln(1
)
0
0
1
lim(1
)
1
x
x
x
x
x
e
e
x
.
故选项(A)正确.
(2) 【答案】(D)
【解析】因为
2
2
2
1
( 1)n
n
n
a
a
n
,由
2
1
1
n
n
收敛及比较判别法可知
2
1
( 1)n
n
n
a
绝对收敛.
即(D)正确.
另外,设
1 (
1,2
)
2
na
n
n
,则可知
(A)
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
a
n
n
, (C)
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
a
n
n
都不正确.
设
2
1
2
1
0,
(
1,2
)
4
n
n
a
a
n
n
,则可知(B)不正确.
(3) 【答案】(B).
【解析】由为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX
X
.
两端同时乘以
*
A ,有
*
*
(
)
A
X
A AX
,由公式
*
A A
A
得到
*
A X
A X
.于是
*
1
A X
A X
.
按特征值定义知
1 A
是伴随矩阵
*
A 的特征值.故应选(B).
--- [第 4 页] ---
4
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数及非零的n 维
列向量X 使得AX
X
成立,则称是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征
向量.
(4) 【答案】(D)
【解析】A B
A
B
,如果A
B
,则A B ,即A 与B 互不相容；如果
A
B
,则A B ,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.
任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB ,从而
A
B
AB
A
,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容
等同于A 、B 相互独立而错选(C).
A , B 不相容,
P A ,
P B 均不为零,因此
0
P AB
P
,
P AB
P A P B .
即(C)不正确. 用排除法应选(D).
事实上,
P A
B
P A
P AB
P A .
(5) 【答案】(B)
【解析】由于
(
)
(
) ( )
E XY
E X E Y
,因此有
cov(
, )
(
)
(
) ( )
0,
(
)
(
)
2cov(
, )
( )
(
)
( ).
X Y
E XY
E X E Y
D X
Y
D X
X Y
D Y
D X
D Y
故应选(B).
【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：
1)
(
)
(
) ( )
E XY
E X E Y
；
2)
(
)
(
)
( )
D X
Y
D X
D Y
；
3)
cov(
, )
0
X Y
；
4)
X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数
0
.
三、 (本题满分5 分)
【解析】方法一：这是1型未定式极限.
1
2
2
0
1
1
2
ln
lim
0
0
lim
lim
x
x
nx
x
x
nx
x
x
e
e
e
e
e
e
x
x
nx
x
n
x
n
x
x
e
e
e
e
e
n
--- [第 5 页] ---
5
2
0
ln(
) ln
lim
x
x
nx
x
e
e
e
n
x
e
,
其中指数上的极限是0
0
型未定式,由洛必达法则,有
2
0
ln(
)
ln
lim
x
x
nx
x
e
e
e
n
x
2
2
0
2
1
2
(
1)
1
lim
2
2
x
x
nx
x
x
nx
x
e
e
ne
n
n n
n
e
e
e
n
n
.
所以
1
1
2
2
0
lim
n
x
x
nx
x
x
e
e
e
e
n
.
方法二：由于
1
1
2
2
1
1
x
x
nx
x
x
nx
x
x
e
e
e
e
e
e
n
n
,
记
2
1
x
x
nx
e
e
e
y
n
,则当
0
x
时
0
y
,从而
1
1
1
2
0
0
0
lim
lim(1
)
lim (1
)
y
x
x
nx
x
x
y
x
x
x
x
e
e
e
y
y
n
.
而
1
0
lim(1
) y
y
y
e
,所以
0
1
lim
0
lim (1
)
x
y
y
x
y
x
x
y
e
.
又因
2
0
0
(
1)
(
1)
(
1)
lim
lim
x
x
nx
x
x
y
e
e
e
x
nx
2
0
0
0
1
1
1
1
1
1
lim
lim
lim
(1
2
)
2
x
x
nx
x
x
x
e
e
e
n
n
n
x
x
x
n
洛
.
所以
1
1
2
2
0
lim
n
x
x
nx
x
x
e
e
e
e
n
.
四、 (本题满分5 分)
【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.
由
1
x
y
a
b
,得
2
1
x
y
b
a
.
--- [第 6 页] ---
6
因此
2
2
4
1
2
1
2
0
0
0
0
0
1
1
2
2
b
x a
a
b
x a
a
a
D
b
x
I
ydxdy
dx
ydy
dx
y
dx
a
.
令
1
x
t
a
,有
2
(1
) ,
2 (1
)
x
a
t
dx
a
t dt
,故
4
2
2
0
4
0
1
1
2 (
1)
2
2
a
b
x
b
I
dx
t
a t
dt
a
1
5
6
2
1
2
4
5
2
0
0
(
)
5
6
30
t
t
ab
ab
t
t
dt
ab
.
五、 (本题满分5 分)
【解析】将原方程化为
2
2
2
1
y
dy
x
y
x
y
dx
xy
x
,由此可见原方程是齐次微分方程.
令y
ux
,有
,
dy
du
u
x
dx
dx
将其代入上式,得
2
1
dy
du
u
u
x
dx
dx
u
,
化简得
1
du
x dx
u
,即
dx
udu
x
.积分得
2
1
ln
.
2 u
x
C
将
y
u
x
代入上式,得通解
2
2
2
(ln
)
y
x
x
C
.
由条件
2
x e
y
e
,即
2
2
4
2
(ln
)
e
e
e
C
求得
1
C
.
所以
2
2
2
(ln
1)
y
x
x
所求微分方程的特解.
六、(本题满分6 分)
【解析】先求出曲线
1L 和
2
L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积
1S 和
2
S ,如图：
由
2
2
1
0
1
0
y
x
x
y
ax
a
得
1
1
1
x
,
a
a
y
.
a
所以
1
1
2
1
2
0
0 (1
)
S
S
S
ydx
x
dx
1
3
0
1
2
3
3
x
x
,
--- [第 7 页] ---
7
1
1
2
2
2
1
1
1
0
0
1
1
1
a
a
S
x
ax
dx
a x
dx
1
1
3
0
1
2
3
3 1
a
a
x
x
a
.
又因为
1
2
S
S
,所以2
2
2
3
3 1
a
,即1
2
a
,解得
3
a
.
七、(本题满分8 分)
【解析】方法1：总收入函数为
2
2
1 1
2
2
1
1
2
2
24
0 2
10
0 05
R
p q
p q
p
. p
p
.
p
,
总利润函数为
1 1
2
2
1
2
35
40
L
R
C
p q
p q
q
q
2
2
1
1
2
2
32
0 2
12
0 05
1395
p
. p
p
.
p
.
由极值的必要条件,得方程组
1
1
2
2
32
0 4
0
12
0 1
0
L
. p
,
p
L
. p
,
p
即
1
2
80
120
p
, p
.
因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当
1
2
80
120
p
, p
时,厂
家所获得的总利润最大,其最大总利润为
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
80
120
80
120
32
0 2
12
0 05
1395
605
p
,p
p
,p
L
p
. p
p
.
p
（
）
方法2：两个市场的价格函数分别为
1
1
2
2
120
5
200
20
p
q , p
q
,
总收入函数为
1 1
2
2
1
1
2
2
120
5
200
20
R
p q
p q
q q
q
q
,
总利润函数为
1
1
2
2
1
2
120
5
200
20
35
40
L
R
C
q q
q
q
q
q
2
2
1
1
2
2
80
5
160
20
35
q
q
q
q
.
由极值的必要条件,得方程组
--- [第 8 页] ---
8
1
1
1
2
2
2
80 10
0
8
4
160
40
0
L
q
,
q
q
,q
.
L
q
,
q
因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当
1
2
8
4
q
,q
,即
1
80
p
,
2
120
p
时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为
1
2
8
4
605
q
,q
L
.
八、(本题满分6 分)
【解析】因为
(0,
)
x
,所以
1
( )
(1
)
0
x
f x
x
.
1
ln(1
)
1
( )
(1
)
x
x
x
f x
e
x
,两边对x 求导,得
1
1
2
ln(1
)
ln(1
)
1
(
)
1
1
1
1
( )
ln(1
)
(1
)
ln(1
)
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
f
x
e
e
x
x
x
x
x
.
令
1
1
( )
ln(1
)
1
g x
x
x
,为证函数
( )
f x 为增函数,只需
( )
0
f
x
在(0,
)
上成
立,,即( )
0,
(0,
)
g x
x
.
方法一：利用单调性.
由于
2
2
2
1
1
1
1
1
( )
ln(1
)
1
1
(1
)
(1
)
1
x
g x
x
x
x
x
x
x
,
且
(0,
)
x
,故
2
1
( )
0
(1
)
g x
x
x
,所以函数( )
g x 在(0,
)
上单调减少.
又
1
1
lim ( )
lim[ln(1
)
]
0
1
x
x
g x
x
x
,于是有( )
0,
(0,
)
g x
x
.从而
1
( )
(1
)
( )
0
x
f
x
g x
x
,
(0,
)
x
,
于是函数
( )
f x 在(0,
)
单调增加.
方法二：利用拉格朗日中值定理.
令
1
1
ln(1
)
ln(
)
ln(1
)
ln
(
1)
( )
x
x
x
u x
u x
x
x
,
所以在区间( ,
1)
x x
存在一点,使得
--- [第 9 页] ---
9
1
(
1)
( )
( )(
1
)
( )
u x
u x
u
x
x
u
,
即
1
1
ln(1
)
x
.又因为0
1
x
x
,所以
1
1
1
1
x
x
,所以
1
1
1
1
ln(1
)
1
x
x
x
.
故对一切
(0,
)
x
,有
1
1
1
( )
(1
) [ln(1
)
]
0
1
x
f
x
x
x
x
.函数
( )
f x 在(0,
)
单调
增加.
九、(本题满分7 分)
【解析】设
1
1
2
2
3
3
x
x
x
,
将分量代入得到方程组
1
2
3
1
2
3
2
1
2
3
1
0
1
1
x
x
x
,
x
x
x
,
x
x
x
.
对方程组的增广矩阵作初等行变换.
第一行分别乘以有
1
、
1
加到第二行和第三行上,有
2
2
2
1
1
1
0
1
1
1 0
1
1
1
0
1
1
1
2
0
,
再第二行加到第三行上,所以有
2
2
1
1
1
0
0
3
0
0
.
若
0
且
2
3
0,
即
0
且
3
,则
3
r A
r A
,方程组有唯一解,即
可由
1
2
3
,
,
线性表示且表达式唯一.
若
0
,则
1
3
r A
r A
,方程组有无穷多解, 可由
1
2
3
,
,
线性表示,且表
达式不唯一.
若
3
,则
2
3
r A
,r A
,方程组无解,从而不能由
1
2
3
,
,
线性表示.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A 是m n
矩阵,线性方程组Ax
b
有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵
A
A b
的秩,即是( )
( )
r A
r A
(或者说, b 可由A 的列向量
1
2
,
,
,
n
线表出,
--- [第 10 页] ---
10
亦等同于
1
2
,
,
,
n
与
1
2
,
,
,
,
n b
是等价向量组).
设A 是m n
矩阵,线性方程组Ax
b
,则
(1) 有唯一解
( )
( )
.
r A
r A
n
(2) 有无穷多解
( )
( )
.
r A
r A
n
(3) 无解
( ) 1
( ).
r A
r A
b 不能由A 的列向量
1
2
,
,
,
n
线表出.
十、(本题满分6 分)
【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.
二次型f 的矩阵为
1
1
4
2
1
2
4
A
,其顺序主子式为
2
2
1
2
3
1
1,
4
,
4
4
8. 4
A
正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有
1
2
3
1
0,
(2
)(2
)
0,
4(
1)(
2)
0
4
A
.
解出其交集为( 2,1)
,故
( 2,1)
时, f 为正定二次型.
【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量
1
2
,
,
,
n
x x
x
的二次齐次多项式(即每项都是二
次的多项式)
1
2
1
1
,
,
,
,
n
n
n
ij
i
j
i
j
f x x
x
a x x
其中
ij
ji
a
a
,
称为n 元二次型,令
1
2
,
,
,
T
n
x
x x
x
,
ij
A
a
,则二次型可用矩阵乘法表示为
1
2
,
,
,
,
T
n
f x x
x
x Ax
其中A 是对称矩阵
T
A
A
,称A 为二次型
1
2
,
,
,
n
f x x
x
的矩阵.
十一、(本题满分6 分)
【解析】记
1
2
(
,
,
,
)
n
A
,则
1
2
,
,
,
n
线性无关的充分必要条件是
0
A
.
由于
--- [第 11 页] ---
11
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
,
,
,
T
T
T
T
n
T
T
T
T
T
n
n
T
T
T
T
n
n
n
n
n
A A
,
从而取行列式,有
2
T
T
D
A A
A
A
A
.
由此可见
1
2
,
,
,
n
线性无关的充分必要条件是
0
D
.
【相关知识点】m 个n 维向量
1
2
m
,
,
,
线性相关的充分必要条件是齐次方程组
1
2
1
2
0
m
m
x
x
x
有非零解.特别地, n 个n 维向量
1
2
,
,
,
n
线性相关的充分必要条件是行列式
1
2
,
,
,
0
n
.
十二、(本题满分5 分)
【解析】首先确定X 的可能值是0 1 2 3
, , , ,其次计算X 取各种可能值的概率.
设事件
iA “汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,
1 2 3
i
, , ,
且
iA 相互独立.
1
2
i
i
P A
P A
.
事件
iA 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为
1
i .所以有
1
1
0
2
P X
P A
,
2
1
2
1
2
1
1
2
P X
P A A
P A P A
,
3
1
2
3
1
2
3
1
2
2
P X
P A A A
P A P A
P A
,
3
1
2
3
1
2
3
1
3
2
P X
P A A A
P A P A
P A
.
则X 的概率分布为
x
0
1
2
3
P X
x
1
2
2
1
2
3
1
2
3
1
2
注：此题易犯的一个错误是将
3
P X
计算为
4
1
2 ,这是由于该街道仅有三个设有红绿信
--- [第 12 页] ---
12
号灯的路口,
3
X
仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问
题.
十三、(本题满分6 分)
【解析】二维均匀分布(
, )
X Y 的联合密度函数为
1 , ( , )
,
( , )
0, ( , )
,
D
x y
D
S
f x y
x y
D
D
S 是区域D 的面积,
2,
D
S
r
所以(
, )
X Y 的联合密度
2
2
2
2
2
2
2
1 ,
( , )
0,
x
y
r
f x y
r
x
y
r
.
由连续型随机变量边缘分布的定义, X 和Y 的概率密度
1( )
f x 和
2( )
f
y 为
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
( )
( , )
(
),
r
x
r
x
f x
f x y dy
dy
r
x
x
r
r
r
2
2
2
2
2
( )
( , )
(
)
f
y
f x y dx
r
y
y
r
r
.
由一维连续型随机变量的数学期望的定义：
( )
EX
x f x dx
,
(
)
( )
( )
.
E g X
g x
f x dx
若
( )
f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是
( )
0
r
r f x dx
.
故
2
2
2
2
,
r
r
EX
x r
x dx
r
2
2
2
2
r
r
EY
y r
y dy
r
,
由于被积函数为奇函数,故
0
EX
EY
.
2
2
2
2
cov(
, )
x
y
r
xy
X Y
E XY
EX EY
dxdy
r
,
因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.
cov(
, )
0
X Y
.由相关系数计算公式
cov(
, )
X Y
DX
DY
,于是X 和Y 的相关系数
0
.
(2) 由于
1
2
( , )
( )
( )
f x y
f x f
y
,可见随机变量X 和Y 不独立.
十四、(本题满分5 分)
【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似
然函数.
--- [第 13 页] ---
13
现题设给出概率密度函数
( ; )
f x ,则似然函数
1
1
1
2
1
( ,
,
,
; )
(
)
,
n
i
i
n
x
n
n
i
i
L x x
x
e
X
1
1
1
ln
ln(
)
ln
.
n
n
i
i
i
i
L
n
X
X
(由于ln L 是单调递增函数, L 取最大与ln L 取最大取到的是一致的,而加对数后能把连
乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).
由对数似然方程
1
ln
0,
n
i
i
L
n
X
得的最大似然估计值
1
ˆ
n
i
i
n
X
.所以得的最大似然估计量为
1
ˆ
n
i
i
n
X
.
【相关知识点】似然函数的定义：
设
1
2
,
,...,
n
x x
x 是相应于样本
1
2
,
,...,
n
X
X
X 的一组观测值,则似然函数为：
1
2
1
2
1
( )
( ,
,
,
; )
( ; )
( ; ) (
; )
(
; )
n
n
i
n
i
L
f x x
x
f x
f x
f x
f x
.