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1
1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、 填空题(本题满分15 分,每小题3 分.)
(1) 【答案】2
【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子
3
n
n
n
n
.
3
(
3
) (
3
)
lim(
)
lim
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
lim
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
再分子分母同时除以
n ,有
原式
4
lim
3
1
1
1
n
n
n
.
因为lim
0
n
a
n
,其中a 为常数,所以原式
4
(2) 【答案】b
a
【解析】由于
( )
F x 在
0
x
处连续,故
0
(0) lim
( )
x
A
F
F x
.
0
lim
( )
x
F x
为“ 0
0
”型的极限未定式,又
( )
f x 在点0 处导数存在,所以
0
0
( )
sin
( )
cos
lim
lim
1
x
x
f x
a
x
f
x
a
x
A
b
a
x
.
【相关知识点】函数
( )
y
f x
在点
0x 连续：设函数
( )
y
f x
在点
0x 的某一邻域内有定义,
如果
0
0
lim
( )
(
),
x
x f x
f x
则称函数
( )
f x 在点
0x 连续.
(3) 【答案】
1
4 2
【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令
2
2
x
x
,
解得
1
x 和
2
x
,故所围成的平面图形如右图所示:
所求面积为
2
2
1
2
S
x
x
dx
2
2
3
1
1
1
1
2
4
. 2
3
2
x
x
x
(4) 【答案】
1
2
3
4
0
a
a
a
a
x
y
O
2
1
--- [第 2 页] ---
2
【解析】由于方程组有解
( )
( )
r A
r A
,对A 作初等行变换,
第一行乘以
1
加到第四行上,有
1
1
2
2
3
3
4
1
4
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
第二行加到第四行上,再第三行乘以
1
加到第四行上,有
1
1
2
2
3
3
1
2
3
4
1
2
4
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
为使( )
( )
r A
r A
,常数
1
2
3
4
,
,
,
a a a a 应满足条件:
1
2
3
4
0
a
a
a
a
.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A 是m n
矩阵,线性方程组Ax
b
有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵
A
A b
的秩,即是( )
( )
r A
r A
(或者说, b 可由A 的列向量
1
2
,
,
,
n
线表出,
亦等同于
1
2
,
,
,
n
与
1
2
,
,
,
,
n b
是等价向量组).
设A 是m n
矩阵,线性方程组Ax
b
,则
（1）有唯一解
( )
( )
.
r A
r A
n
（2）有无穷多解
( )
( )
.
r A
r A
n
（3）无解
( ) 1
( ).
r A
r A
b 不能由A 的列向量
1
2
,
,
,
n
线表出.
(5) 【答案】2
3
【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行
四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数
80
4,
81
n
p
的二项分
布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为
4
(1
)
p
,它是至少命中一次的对
立事件.依题意
4
80
1
2
(1
)
1
1
81
3
3
p
p
p
.
本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数, p 表
示一次射击的命中率,则
(4, )
X
B
p
,依题意
--- [第 3 页] ---
3
4
1
1
0
1
,
81
k
P X
P X
k
即
4
1
2
(1
)
.
81
3
p
p
【相关知识点】二项分布的概率公式：
若
( , )
Y
B n p
,则
(1
)
k
k
n k
n
P Y
k
C p
p
,
0,1,
,
k
n
.
二、 选择题(本题满分15 分,每小题3 分.)
(1) 【答案】(B)
【解析】由于
sin
2
lim
2
x
x
x e
e
,而
2
lim tan
x
x
,所以,
sin
2
lim
tan
x
x
x
x e
,故
( )
f x 无界.
或考察
( )
f x 在
2
(
1,2,
)
4
nx
n
n
的函数值,有
2
2
lim
(
)
lim
n
n
n
n
f x
x e
,可见
( )
f x 是无界函数.应选(B).
以下证明其他结论均不正确.
由
4
4
4
4
4
4
sin
sin
f
e
f
e
,知(A)不正确；
由
0
0
4
4
f
, f
,而
0
0
f
,知(D)不正确.
证明(C)不正确可用反证法.
设
sin x
g x
tan x e
,于是
g x 的定义域为
0
1 2
2
D
x| x
k
,k
,
,
,
,
且
g x 的全部零点为
0
1 2
nx
n ,n
,
,
,
.
若
f x
xg x
以T
0
T
为周期,则
有
x
T g x
T
xg x , x
D.
令
0
x
,
有
0
Tg T
,
即
0
g T
.从而T
k
,其中k 为某一正数.于是2k也是
xg x 的周期.代入即得,对
x
D
有
2
2
2
x
k
g x
k
x
k
g x
xg x .
这表明
2
0
k g x
在x
D
上成立,于是
0
g x
在x
D
上成立,导致了矛盾. 故
--- [第 4 页] ---
4
f x
xg x
不可能是周期函数.
【相关知识点】极限的四则运算法则:
若
0
lim
( )
x
x f x
A
,
0
lim
( )
x
x g x
B
,则有
0
lim
( )
( )
x
x f x
g x
AB
.
(2) 【答案】(D)
【解析】通过变量代换
1
t
x
或按定义由关系式
(1
)
( )
f
x
af x
将
( )
f x 在
1
x
的可
导性与
( )
f x 在
0
x
的可导性联系起来.
令
1
t
x
,则
( )
(
1)
f t
af t
.由复合函数可导性及求导法则,知
( )
f t 在
1
t 可导,且
1
1
( )
(
1)(
1)
(0) t
t
f t
af t
t
af
ab
,
因此,应选(D).
【相关知识点】复合函数求导法则:如果
( )
u
g x
在点x 可导,而
( )
y
f x
在点
( )
u
g x
可
导,则复合函数
( )
y
f g x
在点x 可导,且其导数为
( )
( )
dy
f u
g x
dx
或
dy
dy du
dx
du dx
.
(3) 【答案】(C)
【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.
(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组
1
2
,
,
,
s
线性无关,可以
推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组
1
2
,
,
,
s
线性无关.
例如: (1,0),(0,1),(1,1) 显然有(1,0)
(0,1)
(1,1)
(0,0)
, 该向量组线性相关. 但
(A)(B)(D)均成立.
根据“
1
2
,
,
,
s
线性相关的充分必要条件是存在某
(
1,2,
, )
i i
s
可以由
1
1
1
,
,
,
,
i
i
s
线性表出.”或由“
1
2
,
,
,
s
线性无关的充分必要条件是任意一个
(
1,2,
, )
i i
s
均不能由
1
1
1
,
,
,
,
i
i
s
线性表出.”故选(C).
(4) 【答案】A
【解析】由于B
A
,所以A
B
A
,于是有
P A
B
P A
.故本题选A.
对于B 选项,因为B
A
,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以
P AB
P B
,
而不是
P AB
P A
,故B 错.
--- [第 5 页] ---
5
对于C 选项,因为B
A
,由条件概率公式
(
)
( )
P AB
P B A
P A
,当
,
B A 是相互独立的事
件时,才会有
P B A
P B
；所以C 错.
对于D 选项, 因为B
A
, 所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件, 故
0
P B
A
,所以(D)错.
(5) 【答案】(C)
【解析】由离散型随机变量概率的定义,有
1,
1
1,
1
P X
Y
P X
Y
P X
Y
1}
{
1
1}
{
1
P X
P Y
P X
P Y
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
.
故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.
对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二
者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.
三、 计算题(本题满分20 分,每小题5 分.)
(1) 【解析】在
2
[ ,
]
x
e e
上,
2
2
ln
ln
( )
0
2
1
1
x
x
I x
x
x
x
,故函数( )
I x 在
2
[ ,
]
e e
上单
调增加,最大值为
2
(
)
I e
.
由
2
2
(1
)
1
(1
)
(1
)
(1
)
dx
d
x
d
x
x
x
,有
2
2
2
2
ln
1
(
)
ln
1
1
e
e
e
e
t
I e
dt
td
t
t
2
2
2
2
ln
ln
1
1
(
)
1
1
1
1
e
e
e
e
e
e
e
e
t
dt
t
dt
t
t t
t
t
t
2
2
2
1
ln(
1)
2
ln(
1) 1
1
1
e
e
e
e
1
1
ln
1
e
e
e
.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
若
( )
( )
( )
( )
t
t
F t
f x dx
,
( )t
,
( )t
均一阶可导,则
( )
( )
( )
( )
( )
F t
t
f
t
t
f
t
.
--- [第 6 页] ---
6
2. 假定
( )
u
u x
与
( )
v
v x
均具有连续的导函数,则
,
uv dx
uv
u vdx
或者
.
udv
uv
vdu
(2) 【解析】区域D 是无界函数,设
0
{
,
0
,
}
3
2
b
y
y
D
D
y
b
x y
y
b
x
,
不难发现,当b 时有
b
D
D
,从而
2
2
2
2
0
3
lim
lim
b
y
b
y
y
y
y
b
b
D
D
xe
dxdy
xe
dxdy
e
dy
xdx
2
0
1
1
1
lim
(
)
2
4
9
b
y
b
y
y e
dy
2
2
2
0
0
5
5
lim
lim
72
144
b
b
y
t
b
b
ye
dy
t
y
e dt
2
5
5
lim (1
)
.
144
144
b
b
e
(3) 【解析】因系数
2
1 (
1,2,
)
na
n
n
,故
2
2
1
2
2
1
1
lim
lim
lim
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
n
a
n
n
,
这样,幂级数的收敛半径
1
1
R
.因此当1
3
1,
x
,即2
4
x
时级数绝对收敛.
当
2
x
时,得交错级数
2
1
1
( 1)n
n
n
；当
4
x
时,得正项级数
2
1
1
n
n
,二者都收敛,于是原级
数的收敛域为[2,4] .
【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果
1
nlim
n
n
a
a
,其中
1
,
n
n
a a 是幂级数
0
n
n
n
a x
的
相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径
1 , 0
,
,
0,
0,
.
R
2
9
y
x
2
4
y
x
O
x
y
--- [第 7 页] ---
7
2. 交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数
1
1
( 1)n
n
n
u
满足：
(1) 1,
1,2,
;
n
n
u
u
n
0. n
n
u
则
1
1
( 1)n
n
n
u
收敛,且其和满足
1
1
1
0
( 1)
,
n
n
n
u
u
余项
1. n
n
r
u
3．p 级数：
1
1
p
n
n
当
1
p 时收敛；当
1
p 时发散.
(4) 【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.
cos
cos
sin ln
xdx
xdx
x
y
e
e
xe
dx
C
sin
sin
ln
[ ln
]
x
x
e
xdx
C
e
x
x
x
C
.
方法2: 用函数
( )
cos
sin
P x dx
xdx
x
e
e
e
同乘方程两端,构造成全微分方程.
方程两端同乘
sin x
e
,得
sin
sin
sin
sin
cos
(
)
(
)
ln
x
x
x
x
e
y
ye
x
ye
ye
x
,再积分一次得
sin
ln
ln
x
ye
C
xdx
C
x
x
x
.
最后,再用
sin x
e
同乘上式两端即得通解
sin [ ln
]
x
y
e
x
x
x
C
.
【相关知识点】一阶线性非齐次方程
( )
( )
y
P x y
Q x
的通解为
( )
( )
( )
P x dx
P x dx
y
e
Q x e
dx
C
,
其中C 为任意常数.
四、 (本题满分9 分)
【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
15 14
32
8
2
10
(
)
x
x
x x
x
x
x
x
2
2
1
2
1
2
1
2
15 13
31
8
2
10
.
x
x
x x
x
x
由多元函数极值点的必要条件,有
1
2
1
1
2
1
2
2
4
8
13
0,
1. 25.
8
20
31
0,
x
x
x
x
x
x
x
x
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75 万元,报纸广告费用1.25 万
--- [第 8 页] ---
8
元可获最大利润.
(2) 若广告费用为1.5 万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)
2
2
1
2
1
2
1
2
15 13
31
8
2
10
,
x
x
x x
x
x
在
1
2
1. 5
x
x
时的条件最大值.拉格朗日函数为
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
( ,
, )
15 13
31
8
2
10
(
1. 5),
L x x
x
x
x x
x
x
x
x
由
1
2
1
1
2
2
1
2
4
8
13
0,
8
20
31
0,
1. 5
0
L
x
x
x
L
x
x
x
L
x
x
1
2
0,
1. 5.
x
x
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5 万元全部用于报纸广告,可使利润最
大.
【相关知识点】拉格朗日乘数法:
要找函数
( , )
z
f x y
在附加条件( , )
0
x y
下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
( , )
( , )
( , ),
L x y
f x y
x y
其中为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
( , )
( , )
0,
( , )
( , )
0,
( , )
0. x
x
y
y
f
x y
x y
f
x y
x y
x y
由这方程组解出,x y 及,这样得到的( , )
x y 就是函数
( , )
f x y 在附加条件( , )
0
x y
下的
可能极值点.
五、 (本题满分6 分)
【解析】方法1:当
0
a
时,
(
)
( )
( )
( )
f a
b
f b
f a
f b
,即不等式成立；
若
0
a
,因为
2
1
2
1
(
)
( )
( )
(0) ]
(
)
( )
[
(
)
( )],
f a
b
f a
f b
f
f a
b
f b
f a
f
f
a
f
a
a f
f
其中
1
2
0
a
b
a
b
.又
( )
f
x
单调减少,故
2
1
(
)
( )
f
f
.从而有
--- [第 9 页] ---
9
(
)
( )
( )
(0) 0
f a
b
f a
f b
f
,即
(
)
( )
( )
f a
b
f a
f b
.
方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数
令
( )
( )
( )
(
),
[0, ]
F x
f x
f a
f a
x x
b
,由于
(0) 0
F
,又因为
( )
( )
(
),
F x
f
x
f
a
x
且
0
a
,
( )
f
x
在(0, )
b 单调减少,所以
( )
0
F x
,于是
( )
F x 在
[0, ]
b 上单调递增,故
( )
(0) 0
F b
F
,即
(
)
( )
( )
f a
b
f a
f b
,其中0
a
b
a
b
c
.
【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数
( )
f x 满足在闭区间[ , ]
a b 上连续；在开区间
,a b 内可导,那么在
,a b 内至
少有一点(
)
a
b
,使等式
( )
( )
( )(
)
f b
f a
f
b
a
成立.
六、(本题满分8 分)
【解析】本题中,方程组有解
( )
( )
r A
r A
.(相关定理见第一题(4))
对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以
3
、
5
分别加到第二、四行上,有
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
1
3
0
0
1
2
2
6
3
0
1
2
2
6
0
1
2
2
6
5
4
3
3
1
2
0
1
2
2
6
2
5
a
a
a
b
b
a
,
第二行乘以1、
1
分别加到第三、四行上,第二行再自乘
1
,有
1
1
1
1
1
1
2
2
6
3
. 3
2
2
a
a
b
a
a
(1) 当
3
0
b
a
且2
2
0
a
,即
1,
3
a
b
时方程组有解.
(2) 当
1,
3
a
b
时,方程组的同解方程组是
1
2
3
4
5
2
3
4
5
1,
2
2
6
3,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
由
( )
5
2
3
n
r A
,即解空间的维数为3.取自变量为
3
4
5
,
,
x x x ,则导出组的基础解系为
1
2
3
(1, 2,1,0,0) ,
(1, 2,0,1,0) ,
(5, 6,0,0,1)
T
T
T
.
--- [第 10 页] ---
10
(3) 令
3
4
5
0
x
x
x
,得方程组的特解为
( 2,3,0,0,0)T
.因此,方程组的所有解是
1 1
2
2
3
3
k
k
k
,其中
1
2
3
,
,
k k k 为任意常数.
【相关知识点】若
1
、
2
是对应齐次线性方程组
0
Ax
的基础解系,则Ax
b
的通解形式
为
1 1
2
2
,
k
k
其中
1
2
,
是
0
Ax
的基础解系,是Ax
b
的一个特解.
七、(本题满分5 分)
【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且
,
AB
E
则必有
.
BA
E
于是按可逆的定义知
1
A
B
.
如果对特征值熟悉,由
0
k
A
可知矩阵A 的特征值全是0,从而E
A
的特征值全是1,
也就能证明E
A
可逆.
由于
0
k
A
,故
2
1
(
)
k
k
k
E
A
E
A
A
A
E
A
E
.
所以E
A
可逆,且
1
2
1
k
E
A
E
A
A
A
.
八、(本题满分6 分)
【解析】(反证法)若
1
2
X
X
是A 的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：
1
2
1
2
(
)
(
)
A X
X
X
X
.
由已知又有
1
2
1
2
1
1
2
2
(
)
A X
X
AX
AX
X
X
.
两式相减得
1
1
2
2
(
)
(
)
0
X
X
.
由
1
2
,知
1
2
,
不全为0,于是
1
2
,
X
X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线
性无关相矛盾.所以,
1
2
X
X
不是A 的特征向量.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数及非零的n 维
列向量X 使得AX
X
成立,则称是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征
向量.
九、(本题满分4 分)
【解析】样本空间含样本点总数为
3
10
C
；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.
有利于事件
1A 的样本点数为
3
8
C ；十个数字除去0 和5 任意选三个有多少种选择方案.
--- [第 11 页] ---
11
有利于事件
2
A 的样本点数为
3
3
9
8
2C
C
；十个数字除去0 任意选三个的选择方案和十个数字
除去5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件
1A 被加了两次,所
以应该减去
3
8
C .
由古典型概率公式,
3
8
1
3
10
7
(
)
;
15
C
P A
C
3
3
9
8
2
3
10
2
14
(
)
15
C
C
P A
C
.
【相关知识点】古典型概率公式：
(
)
i
i
A
P A 有利于事件的样本点数
样本空间的总数
.
十、(本题满分5 分)
【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim
0,
ax
x
e
( a 为常数)有
X 和Y 的边缘分布函数分别为
0. 5
1
,
0,
( )
( ,
)
lim
( , )
0,
0;
x
X
y
e
x
F
x
F x
F x y
x
若
若
0. 5
1
,
0,
( )
(
, )
lim
( , )
0,
0. y
Y
x
e
y
F
y
F
y
F x y
y
若
若
由于对任意实数,x y 都满足
( , )
( )
( )
X
Y
F x y
F
x F
x
.因此X 和Y 相互独立.
(2) 因为X 和Y 相互独立,所以有
0. 1
P X
Y
P X
P Y
0. 1
[1
(0.1)][1
(0.1)]
X
Y
F
F
e
e
e
.
十一、(本题满分7 分)
【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有
关概率,通过
( )x
表计算.但是正态分布的参数与
2
未知时,则应先根据题设条件求出
与
2
的值,再去计算有关事件的概率.
设X 为考生的外语成绩,依题意有
2
~
( ,
)
X
N
,且
72
,但
2
未知.所以可标准
化得
72 ~
(0,1)
X
N
.由标准正态分布函数概率的计算公式,有
96
72
24
96
1
96
1
1
0. 023,
P X
P X
--- [第 12 页] ---
12
24
1 0.023
0. 977.
查表可得
24
2,
12
,即
2
~
(72,12 )
X
N
,
72
60
84
1
2 (1) 1
0. 682
12
X
P
X
P
.