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一、 填空题：(本题满分15 分，每小题3 分)
(1) 曲线
2
sin
y
x
x
在点(
,1
)
2
2
处的切线方程是
1
y
x
.
(2) 幂级数
1
1
n
n
n
x
的收敛域是[ 1,1)
.
(3) 齐次线性方程组
0
0
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
只有零解，则应满足的条件是
1
.
(4) 设随机变量X 的分布函数为
)
(x
F
0
0
sin
0
/ 2
1
/ 2
x
A
x
x
x
若
若
若
,则A =
1
；
P{|x|<
6
}=
2
/
(5) 设随机变量X 的数学期望EX=μ ,方差DX=
2
，则由切比雪夫(chebyshev)不等式，
有
}
3
{
X
P
1/9
.
二、 选择题：(本题满分15 分，每小题3 分)
(1) 设
2
3
2
)
(
x
x
x
f
, 则当x→0 时，
(B)
(A)
( )
f x 与x 是等价无穷小量
(B)
( )
f x 与x 是同阶但非等价无穷小量
(C)
( )
f x 是比x 较高阶的无穷小量
(D)
( )
f x 是比x 较低阶的无穷小量
(2) 在下列等式中，正确的结果是
(C)
(A)
)
(
)
(
x
f
dx
x
f
(B)
)
(
)
(
x
f
x
df
(C)
)
(
)
(
x
f
dx
x
f
dx
d
(D)
)
(
)
(
x
f
dx
x
f
d
(4) 设.A 和B 均为n n 矩阵 , 则必有
(C)
(A)
B
A
B
A
( B)
BA
AB
(C)
BA
AB
(D)
1
1
1
)
(
B
A
B
A
A
(3) 设.A 是4 阶矩阵，且A 的行列式
(A) 必有一列元素全为0；
(B) 必有两列元素对应成比例；
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.
(C)
1989 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷四）
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(C)“甲种产品滞销”
(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”
三、 计算题 (本题满分15 分，每小题5 分)
(1) 求极限
1
1
lim(sin
cos )x
x
x
x
解：设
1
u
x
，则当x 时，
0
u
.
0
1
sin
cos )
lim
0
lim(sin
cos )
u
u
u
u
ｕ
ln(
u
u
ｕ
原式
ｅ
.
„„
1 分
而
0
0
ln(sin
cos )
cos
sin
lim
lim
1
sin
cos
u
u
u
u
u
u
u
ｕ
ｕ
„„
4 分
于是原式＝e .
„„
5 分
(2) 已知
( , )
z
f u v
,
u
x
y v
xy
，且
( , )
f u v 的二阶偏导数都连续, 求
y
x
z
2
.
解：z
f
u
f
v
x
u
x
v
x
f
f
y
u
v
„„
2 分
2
2
2
2
2
2
2
z
f
u
f
v
f
u
f
v
f
y
x y
u
y
u v
y
v u
y
v
y
v
„„
4 分
2
2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
x
y
xy
u
u v
v u
v
v
2
2
2
2
2
(
)
f
f
f
f
x
y
xy
u
u v
v
v
.
„„
5 分
(3) 求微分方程
x
e
y
y
y
2
6
5
的通解.
解：由特征方程为
2
5
6
(
2)(
3)
0
r
r
r
r
，知特征根为2, 3
.
„„
1 分
于是对应齐次微分方程的通解为
2
3
1
2
( )
x
x
y x
C e
C e
.
„„
2 分
其中
1
2
,
C C 为任意常数.设所给非齐次方程的特解为
*( )
x
y
x
Ae
.
„„
3 分
将
*( )
y x 代入原方程，可得
1
A
，故所给非齐次微分方程的特解为
*( )
x
y x
e
. „„
4 分
从而，所给微分方程的通解为
2
3
1
2
( )
x
x
x
y x
C e
C e
e
.
„„
5 分
四、 （本题满分9 分）
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为
2
( )
10
x
p
p x
e
且最大需求量为6，其中x 表示需求量，p 表示价格.
（1）求该商品的边际收益函数；（2 分）
（2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格. （4 分）
（3）画出收益函数的图形.（3 分）
(5) 以A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”， 则其对立事件A 为
(D)
(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”
(B)“甲，乙产品均畅销”
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解：(1) 收益函数为
2
( )
10
,
0
6;
x
R x
px
xe
x
„„
1 分
边际收益函数为
2
5(2
)
x
dR
MR
x e
dx
.
„„
2 分
(2) 由
2
5(2
)
0
x
R
x e
，得驻点
0
2
x
.
由于
1
2
0
0
5
|
(
4)
5
0
2
x
x
x
R
x
e
e
.
„„
4 分
可见
( )
R x 在点
2
x
处达到极大值，亦即最大值
1
2
2
(2) 10
20
x
x
R
xe
e
.
于是当产量为２时，收益取最大值
1
20e，而相应的价格为
1
10e.
„„
6 分
(3) 由上面的计算结果，易得下表
x
[0,2]
2
[2,4]
4
[4,6]
R
0
R
0
R
单增，凸
极大值20
e
单减，凸
2
40
(4,
)
e
单减，凹
„„
9 分
收益函数的图形为
五、 （本题满分9 分）
已知函数
2
1
2
1
0
)
(
x
x
x
x
x
f
若
若
，试计算下列各题：
(1) 2
0
0
( )
x
S
f x e dx
，（4 分）； (2)
4
1
2
(
2)
x
S
f x
e dx
，（2 分）；
(3) 2
2
2
(
2 )
n
x
n
n
S
f x
n e dx
（n=2,3,„）（1 分）； (4)
0
n
n
S
S
.（2 分）
解：(1)
1
2
0
0
1 (2
)
x
x
S
xe dx
x e dx
.
„„
1 分
--- [第 4 页] ---
其中
1
1
1
1
0
0
0
1 2
x
x
x
xe dx
xe
e dx
e
，
„„
2 分
2
2
2
2
1
1
1
(2
)
(2
)
x
x
x
x e dx
x e
e dx
e
.
„„
3 分
从而
1
2
1 2
0
1 2
(1
)
S
e
e
e
.
„„
4 分
(2) 令
2
t
x
，则
4
2
2
2
1
0
2
0
(
2)
( )
x
t
S
f x
e dx
f t e
dt
S e
.
„„
6 分
(3) 令
2
t
x
n
，则
2
2
2
0
0
( )
t
n
n
n
S
f t e
dt
S e
.
„„
7 分
(4) 2
2
0
0
0
0
0
(
)
n
n
n
n
n
n
S
S
S e
S
e
„„
8 分
0
2
1
1
1
S
e
e
e
.
„„
9 分
六、（本题满分6 分）
假设函数
( )
f x 在[ , ]
a b 上连续，在( , )
a b 内可导，且
0
)
(
x
f
，记
x
a
dt
t
f
a
x
x
F
)
(
1
)
(
，证明在( , )
a b 内
0
)
(
x
F
.
证： 由于
( )
f x 在[ , ]
a b 上连续，在( , )
a b 内可导，因此
2
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
x
x
a
a
F x
f x
f t dt
f x
f t dt
x
a
x
a
x
a
x
a
.
„„
2 分
由积分中值定理知，存在,
a
x
，使
1
( )
( )
x
a
f
f t dt
x
a
.
因此
1
( )
( )
( )
F x
f x
f
x
a
.
„„
4 分
又由于
( )
0
f
x
，知
( )
f x 在( , )
a b 上非增函数，所以当x
时，
( )
f x
f
.
因
1
0
x
a
，故由此可知
( )
0
F x
.
„„
6 分
七、（本题满分5 分）
已知X=AX+B,其中
0
1
0
1
1
1
1
0
1
A
,
1
1
2
0
5
3
B
,求矩阵X..
解： 以E 表示3 阶单位矩阵，由X = AX+B ，有(
-
)
E A X
B .
„„
1 分
其中
1
1
0
1
0
1
1
0
2
E
A
.
„„
2 分
--- [第 5 页] ---
其逆矩阵为
1
0
2/3
1/3
(
)
1
2/3
1/3
0
1/3 1/3
E
A
；
„„
4 分
于是
1
0
2/3
1/3
1
1
3
1
(
)
1
2/3
1/3
2
0
2
0
0
1/3 1/3
5
3
1
1
X
E
A
B
.
„„
5 分
八、（本题满分6 分）
设
1
,1
,1
1
，
3
,2
,1
2
，
t
,3
,1
3
，
(1) 问当t 为何值时，向量组
3
2
1
,
,
线性无关？（3 分）
(2) 问当t 为何值时，向量组
3
2
1
,
,
线性相关？（1 分）
(3) 当向量组
3
2
1
,
,
线性相关时，将
3
表示为
1
和
2
的线性组合.（2 分）
解：设有实数
1
2
3
,
,
k k k ，使
1
2
1
2
3
3
0
k a
a
k
k a
，则得方程组：
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
2
3
0
3
0
k
k
k
k
k
k
k
k
kt
（*）， 其系数行列式为
1
1
1
1
2
3
5
1
3
D
t
t
.
„„
2 分
(1) 当
5
t
时，
0
D
，方程组（*）只有零解：1
2
3
0
k
k
k
.这时，向量组
3
,2
1,
a
a
a
线性无关.
„„
3 分
(2) 当
5
t
时，
0
D
，方程组（*）有非零解，即不存在不全为0 的常数
1
2
3
,
,
k k k ，
使
1
2
1
2
3
3
0
k a
a
k
k a
，这时，向量
3
,2
1,
a
a
a
线性相关.
„„
4 分
(3) 设
5
t
.由
1
1
1
1
1
1
1
2
3
0
1
2
1
3
5
0
0
0
知方程组（*）可化为
1
3
2
3
0
2
0
k
k
k
k
.
令
3
1
k ，得
1
2
1,
2
k
k
.因此，有
1
2
3
2
0
a
a
a
.从而
3
a 可以通过
1a 和
,2
a 表示为
3
1
2
2
a
a
a
.
„„
6 分
九、（本题满分5 分）
设
1
2
2
2
1
2
2
2
1
A
，
(2) 利用(1)小题的结果，求矩阵
1
A
E
的特征值.其中E 是三阶单位矩阵（3 分）
--- [第 6 页] ---
解：（1）矩阵A 的特征方程为
2
1
2
2
|
|
2
1
2
(
1) (
5)
0
2
2
1
E
A
，
由此得矩阵A 的特征值1,1, 5
.
„„
2 分
（2）由于矩阵A 的特征值1,1, 5
，可知
1
A
的特征值为
1
1,1,
5
.
„„
3 分
因此，有
1
|
| 0
E A
，
1
1
(
)
0
5
E
A
.由此可见
1
|(1 1)
(
)| 0
E
E
A
，
1
1
| (
1)
(
)| 0
5
E
E
A
，即
1
| 2
(
)| 0
E
E A
，
1
4
|
(
)| 0
5
E
E
A
.
于是，矩阵
1
E
A
的特征值
4
2,2, 5
.
„„
5 分
十、(本题满分7 分)
已知随机变量X 和Y 的联合密度为
其他
若
0
0,
0
)
,
(
)
(
y
x
e
y
x
f
y
x
，
试求：(1)
{
}
P X
Y
(5 分) ； （2）
(
)
E XY (2 分)
解：(1)
{
}
( , )
X Y
P X
Y
f x y dxdy
„„
2 分
(
)
0
0
0
0
0
1
(1
)
2
y
y
x y
y
x
y
y
e
dxdy
e dy
e dy
e
e
dy
.
„„
5 分
(2) (
)
0
0
0
0
(
)
1
x y
x
y
E XY
xye
dxdy
xe dx
ye dy
.
„„
7 分
十一、(本题满分8 分)
设随机变量在 [2,5]上服从均匀分布.现在对X 进行三次独立观
测.试求至少有两次观测值大于3 的概率.
解：以A 表示事件“对X 的观测值大于3”，即A
{
3}
X
，由条件知，X 的密度函
数为
1
2
5
( )
3
0
x
f x
若
其他
，
5
3
1
2
( )
{
3}
3
3
P A
P X
dx
.
„„
4 分
以
3u 表示三次观测值大于3 的次数（即在三次独立观测中事件A 出现的次数）.
显然，
3u 服从参数为
3
n
，
2
3
p
的二项分布，
因此，所求概率为
2
2
3
3
3
3
3
2
1
2
20
{
2}
( )
( )
3
3
3
27
P u
C
C
.
„„
8 分