--- [第 1 页] ---
一、 填空题（本题满分12 分，每空1 分）
(一) 已知函数
x
dt
e
x
f
x
t
,
)
(
0
2
1 2
.
（1）
)
(x
f
2
2
1t
e
.
（2）
)
(x
f
的单调性： 单调增加 .
（3）
)
(x
f
的奇偶性： 奇函数 .
（4）
)
(x
f
图形的拐点：（0，0）
（5）
)
(x
f
图形的凹凸性：
0
x 时上凹（下凸）,
0
x 时下凹（上凸）.
（6）
)
(x
f
图形的水平渐近线近线：
,
2
2
y
y
(二)
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
3
.
(三)
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
.
(四) 假设
( )
0. 7
P A
P A
B
，
，那么
（1）若A 与B 互不相容，则P（B）=
0. 3
.
（2）若A 与B 相互独立，则P（B）=
二、 （本题满分10 分）（每小题，回答正确得2 分，回答错误得-1 分，不回答得0
分；
全题最低得0 分）
（1）若极限
)
(
lim
0
x
f
x
x
与
)
(
lim
0
x
f
x
x
)
(x
g
都存在，则极限
)
(
lim
0
x
g
x
x
必存在.
（）
（2）若
0x 是函数
)
(x
f
的极值点，则必有
0
)
( 0
x
f
.
（）
（3）等式
a
a
dx
x
a
f
dx
x
f
0
0
,
)
(
)
(
对任何实数a 都成立.
（）
（4）若A 和B 都是n 阶非零方阵，且AB=0，则A 的秩必小于n .
（√）
1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷四）
--- [第 2 页] ---
（5）若事件A，B，C 满足等式
,
A
C
B
C
则 A=B.
（）
三、 （本题满分16 分，每小题4 分.）
(1) 求极限
1
1
lim
ln
x
x
x
x
x
解一： 此极限为0
0
型未定式，由罗必塔法则，则
1
1
(ln
1)
=lim
lim
1
ln
1
x
x
x
x
x
x
x
x
原式
.
„„4 分
解二： 令
ln
t
x
x
，则
x
t
x
e
.由于当
1
x
时，
0
t
，可见
0
0
1
=lim
lim
1
t
t
t
t
e
e
t
原式
.
„„4 分
(2) 已知Ｕ＋
xy
eu
，求
y
x
u
2
.
解：由于
1
1
u
u
u
y
u
x
x
e
y
e
，
，
„„2 分
可见
2
2
1
(1
)
u
u
u
u
e
ye
u
u
y
x y
y
x
e
„„3 分
3
1
1
(1
)
u
u
u
xye
e
e
.
„„4 分
(3) 求定积分
)
1(
3
0
x
x
dx
.
解一： 由于
2 (
)
dx
d
x
x
，可见
原式
3
0
2
=
1
d
x
x
„„2 分
2
3
.
„„4 分
解二： 令
2,
2
x
t
x
t dx
tdt
，
；当
0
x
时，
0
t
；当
3
x
时，
3
t
；
„„1 分
于是，
3
2
0
2
=
1
dt
t
原式
„„2 分
3
0
2arctan
x
„„3 分
--- [第 3 页] ---
2
3
.
„„4 分
(4) 求二重积分
6
6
0
cos
y
x
dy
dx
x
.
解： 在原式中交换积分次序，得 原式
6
0
0
cos
x
x
dx
dy
x
„„2 分
6
0
=
cos xdx
6
0
1
=sin
2
x
„„4 分
.
四、 （本题满分６分，每小题３分）
(1) 讨论级数
1
1
)!
1
(
n
n
n
n
的敛散性
解：由
1
1
1
2
1
1
(
2)!
(
2)
2
1
1
(
1)
(
1)
1
1
(
1)!
(1
)
n
n
n
n
n
n
n
u
n
n
n
n
n
u
n
n
n
n
n
n
，有
1
1
lim
lim
2
1
1
1
1
(1
1
)
n
n
n
n
n
n
e
u
u
n
n
，
„„2 分
故由级数收敛的比值判别法，知
1
1
)!
1
(
n
n
n
n
收敛.
„„3 分
(2) 已知级数
1
2
n
a
和
2
i
i n
b
都收敛，试证明级数
1
n
n
nb
a
绝对收敛.
证： 由于级数
1
2
n
a
和
2
i
i n
b
都收敛，所以
2
2
1
1 (
)
2
i
i
n
a
b
收敛.
„„2 分
而
2
2
1 (
)
2
n n
n
n
a b
a
b
，
故由比较判别法，知级数
1
|
|
n
n
n
a b
收敛，即
1
n
n
nb
a
绝对收敛.
„„3 分
五、 （本题满分8 分）
已知某商品的需求量Ｄ和供给量都是价Ｐ的函数：
2
( )
a
D
D p
p
，
( )
S
S p
bp
，
其中a>0 和b>0是常数：价格p 是时间t 的函数且满足方程
(
)],
(
)
(
[
p
s
p
d
k
dt
dp
k 是常数），
假设当t=0 时价格为1.试求：
（1）需求量等于供给量时的均衡价格
eP ； （2）价格函数
)
(t
p
； （3）极限
)
(
lim
t
p
t
.
--- [第 4 页] ---
解：(1) 当需求量等于供给量时，有
2
a
bp
p
，即
3
a
p
b
. 故
1
3
( )
e
a
p
b
.
„„1 分
(2) 由条件知
3
2
2
[ ( )
( )]
[
]
[
]
dp
a
b
a
k D p
S p
k
bp
k
p
dt
p
p
b
.
因此有
3
3
2 [
]
e
dp
b
k
p
p
dt
p
，即
2
3
3
e
p dp
kbdt
p
p
.
„„3 分
在该式两边同时积分得
3
3
3kbt
e
p
p
ce
.
„„5 分
故由条件
(0) 1
P
，可得
3
1
e
c
p
.于是价格函数为
1
3
3
3
3
( )
[
(1
)
]
kbt
e
e
p t
p
p e
. „„6 分
(3) 1
3
3
3
3
lim ( )
lim[
(1
)
]
kbt
e
e
e
t
t
p t
p
p e
p
„„8 分
六、（本题满分8 分）
在曲线
2(
0)
y
x x
上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为
1
12
，试求：
(3) 由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.
解：设切点A 的坐标为
2
( ,
)
a a
，
则过点A 的切线方程的斜率为
|
2
x a
y
a
，切线方程为
2
2 (
)
y
a
a x
a
，即
2
2
y
ax
a
.
„„2 分
可见，切线与x 轴的交点为
2
(
,0)
2
a
. 故曲线、x 轴以上及切线这三者所围图形的面积为
3
3
3
3
2
0
4
3
4
12
a
a
a
a
a
S
x dx
.
„„4 分
而由题设知
1
12
S
，因此
1
a
.
„„5 分
于是，切点A 的坐标为(1,1) ，过切点(1,1) 的切线方程为
2
1
y
x
.
„„6 分
旋转体的体积为
1
1
2 2
2
1
0
2
(
)
(2
1)
30
V
x
dx
x
dx
.
„„8 分
七、（本题满分8 分）
--- [第 5 页] ---
已给线性方程组
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，问
1k 和
2k 各取何值时，方程组无解？有唯一
解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.
解： 以A 表示方程组的系数矩阵，以(
|
)
A B 表示增广矩阵，
因
1
2
1
1
1
2
3
3
1
3
6
1
(
|
)
3
3
1
15
1
5
10 12
k
k
A B
1
2
1
1
1
2
3
1
0
1
2
1
4
0
0
2
2
5
0
0
0
3
k
k
„„2 分
故当
1
2
k
时，
( )
(
|
)
4
R
R
A
A B
，方程组有唯一解；
„„3 分
当
1
2
k
时，有
2
2
1
1
1
1
2
3
1
1
2
3
1
1
0
1
2
1
0
1
2
1
(
|
)
4
2
0
0
0
2
0
0
0
1
5
1
0
0
0
3
0
0
0
0
k
k
A B
„„4 分
这时，若
2
1
k ，则
( )
3
(
|
)
4
R
R
A
A B
，故方程组无解；
若
2
1
k ，则
( )
(
|
)
3
4
R
R
A
A B
，故方程组有无穷多组解，此时有 „„6 分
1
1
2
3 1
1
0
0
4 0
1
0
0
0
8
0
1
2
11
0
1
2
11
0
1
2
0 3
(
|
)
0
0
0
1 2
0
0
0
1 2
0
0
0
1 2
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0
A B
„„7 分
相应的方程组为
1
2
3
4
8;
3
2
2. x
x
x
x
，取
3x
c
（c 为任意常数），得方程组的一般解：
1
2
3
4
8,
3 2 ,
,
2
x
x
c x
c x
.
„„8 分
综上所述：当
1
2
k
时，方程组有唯一解；当
1
2
k
而
2
1
k 时，方程组无解；
当
1
2
k
且
2
1
k 时，方程组有无穷多组解，其一般解为
1
2
3
4
8,
3 2 ,
,
2
x
x
c x
c x
，其中c 为任意常数.
八、（本题满分7 分）
已知向量组
1,
2,
,
s
a a
a
（S2）线性无关，设
1
1
2
2
2
3
1
1
,
,
,
,
s
s
s
s
a
a
a
a
a
a
a
，
--- [第 6 页] ---
讨论向量组
1
2
,
,
,
s
的线性相关性.
解：假设
1
2
,
,
,
s
k k
k
是一数组，满足条件
1
1
2
2
0
s
s
k
k
k
„„1 分
那么，有
1
1
1
2
2
1
(
)
(
)
(
)
0
s
s
s
s
k
k
k
k
k
k
.
由于
,
,
2
,1
sa
a
a
线性无关，故有
1
1
2
2
3
1
0
0
0
0
s
s
s
k
k
k
k
k
k
k
k
（*）
„„3 分
此方程组的系数行列式为s 阶行列式：
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
2,
1 ( 1)
0
1
1
0
0
0,
0
0
0
1
1
s
D
若s为奇数
若s为偶数
„„5 分
若s为奇数，则
2
0
D
，故方程组（*）只有零解，即
1
2
,
,
,
s
k k
k
必全为0.
这时，向量组
1
2
,
,
,
s
线性无关.
若s为偶数，则
0
D
，故方程组（*）有非零解，即存在不全为0 的数组
1
2
,
,
,
s
k k
k
，
使
1
1
2
2
0
s
s
k
k
k
.这时，向量组
1
2
,
,
,
s
线性相关,
„„7 分
九、（本题满分6 分）
设A 是三阶方阵，
A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式
.
2
1
A
求行列式
A
A
2
)
3(
1
的值.
解： 因
1
1
1
(3 )
3
A
A
，
„„2 分
故
*
1
1
1
|
|
2
A
A A
A
，
„„3 分
所以
3
1
1
1
1
1
1
2
2
(3 )
2
|
|
|
|
3
3
3
A
A
A
A
A
A
„„5 分
16
27
.
„„6 分
十、（本题满分7 分）
玻璃杯成箱出售，每箱20 只，假设各箱含0，1，2 只残次品的概率是0.8，0.1 和0.1，
一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4 只，若无
--- [第 7 页] ---
残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求：
(1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.
解：设
iB ＝｛箱中恰有i 件残品次品｝（
0,1,2
i
），A＝｛顾客买下所察看的一箱｝.
„„1 分
由题意知
0
1
2
(
)
0. 1
P B
P B
P B
；
4
19
0
1
4
20
4
(
|
)
1, (
|
)
5
C
P A B
P A B
C
；
4
18
2
4
20
12
(
|
)
19
C
P A B
C
.
„„3 分
0. 94
5
19
i
i
i
P A
P B P A B
； „„5 分
(2) 由贝叶斯公式
0
0
0
(
) (
|
)
0. 94
P B P A B
P B
A
P A
.
„„7 分
十一、（本题满分6 分）
某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽
查的100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.
(2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率的近似值.
解：(1) X 服从二项分布，参数
100,
0. 2
n
p
，其概率分布为
100
100
{
}
0. 2 0.8
(
0,1,
100)
k
k
k
P X
k
C
k
.
„„2 分
(2) 由
( , )
X
B n p
知，
20,
(1
)
16
EX
np
DX
np
p
,
„„4 分
故根据棣莫佛－拉普拉斯定理，有
14
20
20
30
20
{14
30}
16
16
16
X
P
X
P
20
2. 5
4
X
P
„„5 分
(2.5)
( 1.5)
(2.5)
[1
(1.5)]
0. 927
.
„„6 分
十二、（本题满分6 分）
假设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量
x
e
Y
2
的概率密度f(y).
解：由条件知，X 的密度函数为
1,
1
2
( )
0,
x
p x
若
其他
„„1 分
记
( )
{
}
F y
P Y
y
为Y 的分布函数，则有
--- [第 8 页] ---
2
1 ln
2
4
2
1
4
0,
2
( )
,
3
1,
4
y
y
e
F y
dx
e
y
e
y
e
若
…… 分
若
…… 分
若
…… 分
因此
2
2
4
4
0,
1
( )
( )
,
2
0,
y
e
f y
F y
e
y
e
y
y
e
若
若
若
于是（当
2
4
,
y
e e
时，补充定义
( )
0
f y
），得
2
4
4
1 ,
2
( )
0
e
y
e
y
f y
y
e
若
若
.
„„6 分