1987数学三真题答案解析（试卷四）【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

(1) 1 0 lim x x e   （ ）

(2) 4 sin 0 x xdx      （ √）

(3) 若级数 1 n n a   与 1 n n b   均发散，则级数 1 ( ) n n n a b     必发散 （ ）

(4) 假设D 是矩阵A 的r 阶子式，且含D 的一切 1 r 阶子式都等于0， 那么矩阵A 的一切 1 r 阶子式都等于0 （ √）

(5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0 （ √）

(1) 下列函数在其定义域内连续的是 (A) （A） ( ) ln sin f x x x   （B）       0 cos 0 sin ) ( x x x x x f （C）          0 1 0 0 0 1 ) ( x x x x x x f （D）       0 0 0 1 ) ( x x x x f

(2) 若函数f(x)在区间( , ) a b 内可导， 2 1, x x 是区间内任意两点，且 2 1 x x  ，则至少存一点， 使得 （C） (A) ( ) ( ) ( )( ), f b f a f b a a b         . (B) 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ), f b f x f b x x b         . (C) 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( )( ), f x f x f x x x x         . (D) 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ), f x f a f x a a x         .

(3) 下列广义积分收敛的是 （C） （A） dx x x e  ln （B）   e x x dx ln （C）  e x x dx 2) (ln （D）   e x x dx ln

(4) 设A 是n 阶方阵，其秩r < n ， 那么在A 的n 个行向量中 (A) (A) 必有r 个行向量线性无关 (B) 任意r 个行向量线性无关 1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答 数 学（试卷Ⅳ） --- [第 2 页] --- (C) 任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r 个行向量线性表示

(5) 若二事件A和B同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则 (C) (A) A 和B 互不相容（互斥） (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A)=0 或P(B)=0

(1) 求极限 x x x xe 1 0 ) 1( lim   . 解：因 1 ln(1 ) (1 ) x xe x x x xe e    ， 而ln(1 ) x x xe xe x   （当 0 x  ）， 故 0 0 0 ln(1 ) lim lim lim 1 x x x x x x xe xe e x x       ， 从而 1 0 lim(1 ) x x x xe e    .

(2) 已知 1 1 1 1 ln 2 2      x x y ， 求y. 解： 2 2 ln( 1 1) ln( 1 1) y x x       ， 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ln 1 1 1 1 x x x x y x x          2 1 2 x x  .

(3) 已知 y x y x arctg z    ，求dz . 解： 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) x y x y dx dy x y dx dy d x y x y dz x y x y x y x y                 2 2 ydx xdy x y    

(4) 求不定积分 dx e x  1

2 . 解：令2 1 x t ，有 2 1 2 1 ( 2 1 1) x t t t t t x e dx e tdt te e dt te e c x e c              

 x ，问：

(1) t 取何值时，图中阴影部分的面积 1s 与 2s 之和 2 1 s s s   最小？ (2 ) t 取何值时， 2 1 s s s   最大？ 解：因 1 0 sin sin sin cos 1 t s t t xdx t t t       ， --- [第 3 页] --- 2 2 sin ( )sin cos sin sin 2 2 t s xdx t t t t t t           ， 故 1 2 2 sin 2cos sin 1 2 s s s t t t t       ,(0 ) 2 t   . 令 0 s ，得s 在(0, ) 2  内的驻点 4 t   . 而( ) 2 1 4 s  ，( ) 1 2 2 s    ，(0) 1 s  ， 因此 4 t   时，s 最小； 0 t  时，s 最大.

展成x 的级数，并指出收敛区间. 解：因 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 2)( 1) 1 2 1 2 1 2 f x x x x x x x             ， 而 0 1 1 n n x x      ， ( 1,1) x ， 且 0 0 1 1 ( ) 2 2 1 2 n n n n n x x x          ， ( 2,2) x ， 故 1 1 0 0 1 1 1 ( ) (1 ) 2 2 2 n n n n n n n n f x x x x               ，其收敛区间为( 1,1)  . 六、（本题满分5 分） 计算二重积分 2 x De dxdy  ，其中D是第一象限中由直线y x  和 3 x y  围成的封闭区域. 解：联立y x  和 3 x y  ，可解得两曲线交点的横坐标 0 x  和 1 x  ，于是 2 2 2 3 1 1 3 0 0 ( ) 1 2 x x x x D x e e dxdy dx e dy x x e dx          七、（本题满分6 分） 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性为 3 3p    ，而市场对商品的最大需求量为1 （万件），求需求函数. 解：由弹性的定义，有 3 3 p dx p x dp  ，即 2 3 dx p dp x  ， 于是有 3 p x ce  ，c 为待定常数. 由题意 0 p  时， 1 x  ，故 1 c  ，因此 3 p x e  . --- [第 4 页] --- 八、（本题满分8 分） 解线性方程组                      3 3 7 7 1 3 3 4 3 4 2 4 3 1 3 2 1 4 3 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x 【 1 2 3 4 3 1 8 2 0 1 6 0 x x k x x                                         ，k 为任意常数】 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有 2 1 4 3 4 1 0 1 0 3 1 0 1 1 3 0 1 2 0 8 3 1 1 0 1 0 0 0 1 6 7 0 7 3 3 0 0 0 0 0                                    故原方程组与下方程组同解： 1 3 2 3 4 3 8 2 6 x x x x x          ，令 3 0 x  ，可得原方程组的特解 (3, 8,0,6)T   . 又显然原方程组的导出组与下方程组同解： 1 3 2 3 4 2 0 x x x x x         ，令 3 1 x ，可得导出组的基础解系 ( 1,2,1,0)T  . 因此原方程组的通解为： 1 2 3 4 ( , , , ) (3, 8,0,6) ( 1,2,1,0) T T x x x x k     ，其中k 为任意常数. 九、（本题满分7 分） 设矩阵A 和B 满足 2 AB A B   ，求矩阵B ，其中A  4 2 3 1 1 0 1 2 3            . 解：因 2 AB A B   ，故 2 AB B A   ，即( 2 ) A E B A   ， 故 1 ( 2 ) B A E A     3 8 6 2 9 6 2 12 9                十、（本题满分6 分） 求矩阵A  3 1 2 0 1 4 1 0 1               的实特征值及对应的特征向量. --- [第 5 页] --- 解：令 0 E A    ，即 2 ( 1)( 4 5) 0        ,可见矩阵A 只有一个实特征值 1  . 易见，线性方程组( ) 0 E A X    的基础解系为(0,2,1)T ，故A 对应于实特征值 1  的特 征向量为(0,2,1)T k ，（其中k 为非零任意常数）. 十一、（每小题4 分，满分8 分）

(1) 已知随机变量X 的概率分布为 ( 1)

0. 2, ( 2)

0. 3, ( 3)

0. 5 P X P X P X       ，试写 出X 的分布函数 ( ) F x . 解：X 的分布函数为 ( ) F x  0,

0. 2,

0. 5, 1,     3 3 2 2 1 1       x x x x .

(2) 已知随机变量Y 的概率密度为 0 0 0 ) ( 2 2 2 2        y y e y f a y a y , 求随机变量 Y Z 1  的数学 期望EZ . 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 2 y y a a y EZ E f y dy e dy e dy Y y y a a a                    . 十二、（本题满分8 分） 设有两箱同种零件.第一箱内装50 件，其中10 件一等品；第二箱内装有30 件，其中 18 件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件 均不放回），试求:

(1) 先取出的零件是一等品的概率p ；

(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q . 解：设 iB {取出的零件为第i 箱中的}， jA {第j 次取出的是一等品}，, 1,2 i j  ， 显然 1 2 , B B 为正概完备事件组，故全概公式得

(1) 1 1 1 1 2 1 2 1 10 1 18 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 50 2 30 5 p P A P B P A B P B P A B         ；

(2) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 10 9 1 18 17 276 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 50 49 2 30 29 1421 P A A P B P A A B P B P A A B            ， 于是，由贝叶斯公式得q  1 2 2 1 1 ( ) 690 ( )

0. 48557 ( ) 1421 P A A q P A A P A     .