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2021 研究生入学考试考研数学试卷（数学三）
一、 选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50 分．下列每题给出的四个选项中，
只
有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上．
1. 当
时，
是
的
（A）低阶无穷小
（B）等价阶无穷小
（C）高阶无穷小
（D）同阶但非等价无穷小
2. 在
处
（A）连续且取得极大值
（B）连续且取得极小值
（C）可导且导数为零
（D）可导且导数不为零
3. 函数
有2 个零点，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 设函数
可微且
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
5. 二次型
的正惯性指数和负惯性指数分
别为
（A）2，0
（B）1，1
（C）2，1
（D）1，2
6. 设
为
阶正交矩阵,若矩阵
表示任意常数,则
线性方程组
的通解为
（A）
（B）
（C）
（D）
7. 已知矩阵
，若三角可逆矩阵
和上三角可逆矩阵
，使得
为
对角矩阵，则
、
分别取
（A）
（B）
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（C）
（D）
8. 设
为随机事件,且
,下列命题中为假命题的是
（A）若
,则
.
（B）若
,则
（C）若
,则
（D）若
,则
9. 设
为来自总体
的简单随机样本,令
,则
（A）
（B）
（C）
（D）
10. 总体
的概率分布为
,利用来自总体
的样本观察值
可得
的最大似然估计值为
（A）
（B）
（C）
（D）
二、 填空题：11～16 小题，每小题5 分，共30 分．请将答案写在答题纸
．．．指
13. 设D 由
与x 轴围成，则D 绕
轴旋转的旋转体体积为
14. 差分方程
的通解为_____________.
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16. 甲乙中各装2 红2 白球，从甲盆中任取一球，观察颜色放入乙盆，再从乙盆中任取一球，
令X，Y 分别从甲乙两盆中取得红球的个数，则
三、 解答题：17～22 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
19. 设有界区域
是圆
和直线
以及
轴在第一象限围成的部分,计算二重
积分
.
20. 设
为正整数,
是微分方程
满足条件
的
解.(1)求
;(2)求级数
的收敛域及和函数.
21. 设矩阵
仅有两个不同特征值，若
相似于对角矩阵.求
.求逆矩阵
，使得
.
22. 在区间
上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为
,较长一段的
长度记为
.令
.