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2020 年数三真题
一、 选择题
(1) 设lim
x→a
f(x)−a
x−a
= b，则lim
x→a
sin f(x)−sin a
x−a
=(
)
(A)b sin a.
(B)b cos a.
(C)b sin f(a).
(D)b cos f(a).
(2) 函数f(x) = e
1
x−1 ln |1+x|
(ex−1)(x−2) 的第二类间断点的个数为(
)
(A)1 个.
(B)2 个.
(C)3 个.
(D)4 个.
(3) 设奇函数f(x) 在(−∞, +∞) 上具有连续导数，则(
)
(A)
´ x
0 [cos f(t) + f ′(t)]dt 是奇函数.
(B)
´ x
0 [cos f(t) + f ′(t)]dt 是偶函数.
(C)
´ x
0 [cos f ′(t) + f(t)]dt 是奇函数.
(D)
´ x
0 [cos f ′(t) + f(t)]dt 是偶函数.
(4) 设幂级数
∞
∑
n=1
nan(x −2)n 的收敛区间为(−2, 6)，则
∞
∑
n=1
an(x + 1)2n 的收敛区间为(
)
(A)(−2, 6).
(B)(−3, 1).
(C)(−5, 3).
(D)(−17, 15).
(5) 设4 阶矩阵A = (aij) 不可逆，a12 的代数余子式A12̸ = 0，α1，α2，α3，α4 为矩阵A 的列向量
组，A∗为A 的伴随矩阵，则方程组A∗x = 0 的通解为(
)
(A)x = k1α1 + k2α2 + k3α3，其中k1，k2，k3 为任意常数.
(B)x = k1α1 + k2α2 + k3α4，其中k1，k2，k3 为任意常数.
(C)x = k1α1 + k2α3 + k3α4，其中k1，k2，k3 为任意常数.
(D)x = k1α2 + k2α3 + k3α4，其中k1，k2，k3 为任意常数.
(6) 设A 为3 阶矩阵，α1，α2 为A 的属于特征值1 的线性无关的特征向量，α3 为A 的属于特征值
−1 的特征向量，则满足P −1AP =
1
0
0
0
−1
0
0
0
1
的可逆矩阵P 可为(
)
(A)(α1 + α3, α2, −α3).
(B)(α1 + α2, α2, −α3).
(C)(α1 + α3, −α3, α2).
(D)(α1 + α2, −α3, α2).
(7) 设A，B，C 为三个随机事件，且P(A) = P(B) = P(C) = 1
4，P(AB) = 0，P(AC) = P(BC) =
1
12，
则A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为(
)
(A) 3
(8) 设随机变量(X, Y ) 服从二维正态分布N(0, 0; 1, 4; −1
2)，则下列随机变量中服从标准正态分布且与
X 独立的是(
)
(A)
√
5
5 (X + Y ).
(B)
√
5
5 (X −Y ).
(C)
√
3
3 (X + Y ).
(D)
√
3
3 (X −Y ).
1
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二、 填空题
(9) 设z = arctan[xy + sin(x + y)]，则dz|(0,π) =
.
(10) 曲线x + y + e2xy = 0 在(0, −1) 处的切线方程为
.
(11) 设某厂家某产品的产量为Q，成本C(Q) = 100 + 13Q，设产品的单价为P，需求量Q(P) =
800
P +3 −2，则该厂家获得最大利润时的产量为
.
(12) 设平面区域D =
{
(x, y)
x
2 ≤y ≤
1
1+x2 , 0 ≤x ≤1
}
，则D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积
为
.
(13) 行列式
a
0
−1
1
0
a
1
−1
−1
1
a
0
1
−1
0
a
=
.
(14) 设随机变量X 的概率分布为P{X = k} =
1
2k , k = 1, 2, 3, · · · ，Y 表示X 被3 除的余数，则
E(Y ) =
.
三、 解答题
(15) 已知a，b 为常数，若
(
1 + 1
n
)n −e 与
b
na 在n →+∞时是等价无穷小，求a，b.
(16) 求函数f(x, y) = x3 + 8y3 −xy 的极值.
(17) 设函数y = f(x) 满足y′′ + 2y′ + 5y = 0，f(0) = 1，f ′(0) = −1.
(I) 求f(x) 的表达式.
(II) 设an =
´ +∞
nπ
f(x)dx，求
∞
∑
n=1
an.
(18) 设D = {(x, y)|x2 + y2 ≤1, y ≥0}，连续函数f(x, y) 满足f(x, y) = y
√
1 −x2 + x
˜
D
f(x, y)dxdy，
求
˜
D
xf(x, y)dxdy.
(19) 设函数f(x) 在区间[0, 2] 上具有连续导数，f(0) = f(2) = 0，M = max
x∈[0,2] |f(x)|. 证明：
(I) 存在ξ ∈(0, 2)，使|f ′(ξ)| ≥M.
(II) 若对任意x ∈(0, 2)，|f ′(ξ)| ≤M，则M = 0.
(20) 设二次型f(x1, x2) = x2
1 −4x1x2 + 4x2
2 经过正交变换
(
x1
x2
)
= Q
(
y1
y2
)
化为二次型g(y1, y2) =
ay2
1 + 4y1y2 + by2
2，其中a ≥b.
(I) 求a，b 的值.
(II) 求正交矩阵Q.
(21) 设A 为2 阶矩阵，P = (α, Aα)，其中α 是非零向量且不是A 的特征向量.
(I) 证明P 为可逆矩阵.
(II) 若A2α + Aα −6α = 0，求P −1AP ，并判断A 是否相似于对角矩阵.
(22) 设二维随机变量(X, Y ) 在区域D = {(x, y)|0 < y <
√
1 −x2} 上服从均匀分布，令
Z1 =
1,
X −Y > 0,
0,
X −Y ≤0.
Z2 =
1,
X + Y > 0,
0,
X + Y ≤0.
(I) 求二维随机变量(Z1, Z2) 的概率分布.
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(II) 求Z1 与Z2 的相关系数.
(23) 设某种元件的使用寿命T 的分布函数为
F(t) =
1 −e−( t
θ)
m
,
t ≥0,
0,
其他.
其中θ，m 为参数且均大于零.
(I) 求概率P{T > t} 与P{T > s + t|T > s}，其中s > 0，t > 0.
(II) 任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，· · · ，tn，若m 已知，求θ 的
最大似然估计值ˆθ.