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2019年全国硕士研究生招生考试试题
-、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(1) 当X --+O时，若x -tan x与x
k 是同阶无穷小，则k = (
(A)l.
(B)2.
(C)3.
(2) 已知方程X
5
- 5x + k = 0有3个不同的实根，则k的取值范围是（
）
4
）D
)
（
(A)(-oo, -4).
(C)j-4,4!.
(8) (4, + oo).
(D)(-4,4).
(3) 已知微分方程y" + ay' + by = ce
元的通解为y = (C1 +C2x)尸+e
元，则a、b、c依次为（
）
(A) 1 , 0, 1.
(B) 1 , 0, 2.
(C) 2, 1 , 3.
(D) 2, 1 , 4.
(4) 若I nun 绝对收敛，三五条件收敛，则（
）
n
n =l
n=I
00
(A) L UnVn 条件收敛．
n=1
00
(B)Lunv n 绝对收敛．
n =l
(C) L (un + vJ收敛.
(D) L (Un + vJ发散．
(5) 设A是4阶矩阵，A* 是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax= 0的基础解系中只有2个向量，则
r(A *) = (
)
(A)O.
(B)l.
(C)2.
(D)3.
(6) 设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵．若A2 +A = 2E, 且IAI = 4, 则
二次型xTAx的规范形为(
)
(A) Yi + y; + y;.
(B) Yi + y; -y; ·
(C) Yi -y; -Y.
(D) -Yi -y; -Y.
(7) 设A,B为随机事件，则P(A) = P(B)的充分必要条件是（
）
(A)P(A U B) = P(A) + P(B).
(B)P(AB) = P(A)P(B).
(C)P(AB) = P(BA).
(D) P (AB) = P (A B) .
(8) 设随机变散X与Y相互独立，且都服从正态分布N(µ,, 矿），则P1 Ix - YI < If (
)
(A)与µ尤关，而与矿有关
(B)与µ有关，而与矿无关
(C)与µ, , 矿都有关
(D)与µ, , 矿都无关
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
(9) ! 吧[
1ĥ2
+2Ħ3
+…+n(n
1
+1)r=
(10) 曲线y = xsin x + 2cos x (- 卫< X < —
31T
2
2) 的拐点坐标为
(11) 已知函数f(x) =『八飞了dt,则fx汀(x)dx =
.
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(12) 以PA、PB 分别表示A、B两个商品的价格，设商品A的需求函数QA=500-P仁PA凡+2PJ, 则
当pA = 10, 凡=20时，商品A的需求量对自身价格的弹性'YJAA('YJAA >0) =
1 0
- 1
0
(13) 已知矩阵A=[
¿
:
矿
-
ÀJb=(J若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a=
(14) 设随机变散X的概率密度为f(x)= \了
0 < X < 2, F(x)为X的分布函数，E(X)为X的
0,
其他，
数学期望，则Pj F(X) > E(X) - 1 I =
三、 解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
已知函数f(x)= l亡，
X > 0,求J'(x)'并求f(x)的极值
xex + 1 ,
X ::S; 0.
(16) (本题满分10分）
设函数f(U, V)具有2阶连续偏导数，函数g(X, y) = xy -
心十五
2 •
a垃r
ay
(17) (本题满分10分）
、a2g
f (X + y, X - y) . 求—
如2
设函数y(x)是微分方程y'- xy = 1 e臼满足条件y(l)=Á 的特解
2五
(I)求y(x);
＋
(II)设平面区域D= l(x,y) 11ÂxÂ2,0ÂyÂy(x)f, 求D绕x轴旋转所得旋转体
的体积
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(18) (本题满分10分）
求曲线y = e -x sin x (x ;:: 0)与x轴之间图形的面积
(19) (本题满分10分）
1
设an = L X
n
'\厅二了dx(n = 0, 1, 2,···).
(I)证明数列冈l 单调递减，且a = n - l
n
n
n + 2
a n-2 (n = 2'3'. . .) ;
(II)
、.
a
求hm —兰
n->a:> a
n-1
(20) (本题满分11分）
已知向扯绢I:
«1 =[J 也[:J 也
[)+J
与
Il:
P
1 =
[agJ P,
=
[1勹
P, =[)+J若向量组I与II等价，求a的取值，并将P皿四归a, 线性表示．
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