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2026 年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
一、 选择题:1～10 小题,每小题5 分,共50 分,下列每题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目
要求的,请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．
1. 设函数
( , )
z
z x y
由方程
y az
x
az
e
( a 是非0 常数)确定,则(
)
(A)
1
z
z
x
y
a
(B)
1
z
z
x
y
a
(C)
1
z
z
x
y
a
(D)
1
z
z
x
y
a
2. 幂级数
2
1
3
( 1)
(
)
4
n
n
n
n
x
的收敛域是(
)
(A)
2 2
，
(B)
11
，
(C) ( 2 2)
，
(D) ( 11)
，
3. 设函数
( )
f x 在区间
11
，上有定义,则(
)
(A)当
( )
f x 在( 10)
，单调递减,在(01)
，单调递增时,
(0) f
是极小值时,
( )
f x 在( 10)
，单调递减,在(01)
，单调递增
(C) 当
( )
f x 的图形在
11
，是凹的时,
( )
(1) 1
f x
f
x
在
11
，单调递增
(D)
( )
(1) 1
f x
f
x
在
11
，单调递增时,
( )
f x 的图形在
11
，是凹的
4. 已知有界区域由曲面
2
2
4
z
x
y
与
2
2
z
x
y
围成, 函数
( )
f u
连续, 则
2
2
2
(
)
f x
y
z dxdydz
(
)
(A)
2
2
2
4
2
2
0
0
(
)
r
r
d
dr
f r
z rdz
(B)
2
2
2
4
2
2
0
0
0
(
)
r
d
dr
f r
z rdz
(C)
2
2
2
2
4
0
0
0
(
)
sin
d
d
f r r
dr
(D)
2
2
2
2
2
0
0
0
(
)
sin
d
d
f r r
dr
5. 单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵成为置换矩阵,设A 为n 阶置换矩阵,
*
A 为A 的伴随矩
阵,则(
)
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2026 年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
(A)
*
A 为置换矩阵
(B)
1
A为置换矩阵
(C)
1
*
A
A
(D)
1
*
A
A
6. 设A ，B 为n 阶矩阵，是n 维列向量，若A 的列向量组可由B 的列向量组表示，则（
）
(A) 当Ax
有解时，Bx
有解
(B) 当
T
A x
有解时，
T
B x
有解
(C) 当Bx
有解时，Ax
有解
(D) 当
T
B x
有解时，
T
A x
有解
7. 设二次型
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 2
1 3
2
3
,
,
4
4
4
f x x x
a x
x
x
x x
x x
x x
.若方程
1
2
3
,
,
1
f x x x
表示
的曲面为圆柱面，则（
）
(A)
4
a ，且
1
2
3
,
,
f x x x
的规范型为
2
2
2
1
2
3
y
y
y
.
(B)
4
a ，且
1
2
3
,
,
f x x x
在正交变换下的标准型为
2
2
1
2
6
6
y
y
(C)
2
a
，且
1
2
3
,
,
f x x x
的规范型为
2
2
2
1
2
3
y
y
y
(D)
2
a
，且
1
2
3
,
,
f x x x
在正交变换下的标准型为
2
2
1
2
6
6
y
y
8. 设随机变量
(1,2)
X
N
，令
2
(
)
f t
E
X
t
，则
f t 的最小值点和最小值分别为（
）
(A) 1,2
(B) 1,4
(C)
1,2
(D)
1,4
9. 设连续型随机变量X 的分布函数为
F x ，随机变量Y 的分布函数为
F ay
b
，X 的数学期望
为，方差为
2
0
，若Y 的数学期望和方差分别为0 和1，则（
）
(A) a ，b
(B) a ，b
(C)
1
a
，b
(D)
1
a
，b
10. 设随机变量X 的概率分布为
1
1
1
2
3
k
k
P X
k
（
1,2,...
k
），则对于正整数m 、n 有
(
)
(A)
|
P X
m
n X
m
P X
m
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2026 年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
(B)
|
P X
m
n X
m
P X
n
(C)
|
P X
m
n X
m
P X
m
(D)
|
P X
m
n X
m
P X
n
二、 填空题:11～16 小题,每小题5 分,共30 分．
11. 设向量
1
(0, , )
v
x z
，
2
( ,0,1)
v
y
，令
1
2
( , , )
F x y z
v
v
，则divF
____________.
12. 0
1
ln(1
)
lim(
)
sin
x
x
x
x
x
________________.
13. 设函数
( )
y
y x
由参数方程
2
2sin
(
(0,
))
2
cos
x
t
t
y
t
t
确定，则
2
2
4
t
d y
dx
_______________.
14. 设
1
2
ln(
1) d
x
x
x
_____________.
15. 设矩阵
1
0
0
2
2
0
2
A
a
a
,
1
1
1
2
1
1
1
a
B
a
,记
(
)
m X 为3 阶矩阵X 的实特征值中的最大值,若
( )
( )
m A
m B
,则a 的取值范围为______________.
16. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，随机变量Y 服从参数为3 的泊松分布，X 与Y
X
相
互独立，则
(
)
E XY _____________.
三、 解答题:17～22 小题,共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分10 分)
求
2
2
( , )
(2
)
x
f x y
x
y
e
的极值.
18. (本题满分12 分)
设
( )
f u 在(0,
)
内具有3 阶连续导数，且存在可微函数
( , )
F x y 使
2
2
(
)
''(
)
( , )
(
0)
f xy
f
xy
dF x y
dx
dy xy
x y
xy
.
(1) 证明：
''( )
( )
f
u
f u
c
u
u
，c 为常数；
(1) 1
f
，
'(1)
1
f
，
''(1)
0
f
，求
( )
f u 的表达式.
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2026 年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题
19. (本题满分12 分)
设有向曲线L 为椭圆
2
2
3
1
x
y
上沿逆时针方向从点
1
1
(
,
)
2
2
A
到点
1 1
( , )
2 2
B
的部分，计算
曲线积分
2
2
4
(
sin
2
)
(6
cos
)
x
L
I
e
x
xy dx
x
x
y
y dy
.
20. (本题满分12 分)
设可导函数
f x 严格单调递增且满足
1
1 ( )
0
f x dx
，记
1
0
a
f x dx
.
(2) 令
2
1
1
x
F x
a
x
f t dt
，证明：存在
1,1
使
0
F
.
21. (本题满分12 分)
已知向量组
1
1
0
1
1
，
2
1
1
0
2
，
3
0
1
1
1
，
4
0
1
1
1
，记
1
2
3
4
(
,
,
,
)
A
，
1
2
(
,
)
G
(1) 证明：
1
2
,
是
1
2
3
4
,
,
,
的极大线性无关组.
(2) 求矩阵H 使得A
GH
，并求
10
A .
22. (本题满分12 分)
假设某种元件寿命服从指数分布,其均值是未知参数,为估计,取n 个这种元件同时做寿命实验，
试验直到出现(1
)
k
k
n
个元件失效时停止.
(1) 若
1
k
,失效元件寿命记为T ,(i)求T 的概率密度；(ii)确定a ,使ˆ
aT
是的无偏估计,并
求
ˆ
( )
D ;
(2) 已知k 个失效元件寿命值分别为1
2
, ,
, k
t t
t
,且1
2
k
t
t
t
,似然函数为
1
1
(
)
1
( )
k
i
k
i
t
n k t
k
L
e
，求的最大似然估计值.
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2026 年全国硕士研究生招生考试（数学一）真题试题