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数学试题及解析
第1页（共3 页）
2025 考研数学（一）真题
试卷及解析
一、 选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50 分．下列每题给出的四个选项中，只有
一个选
项是符合题目要求的．
1．已知函数
2
0 e sin d
x
t
f x
t t
，
2
2
0 e d sin
x
t
g x
t
x
，则
A．
0
x
是
f x 的极值点，也是
g x 的极值点．
B．
0
x
是
f x 的极值点，
0,0 是曲线
y
g x
的拐点．
C．
0
x
是
f x 的极值点，
0,0 是曲线
y
f x
的拐点．
D．
0,0 是曲线
y
f x
的拐点，
0,0 也是曲线
y
g x
的拐点．
【答案】B
【解析】
2
2
2
( )
sin ,
( )
2
sin
cos
x
x
x
f
x
e
x f
x
xe
x
e
x
(0) 1
0
f
f
.
0
x
是
( )
f x
的极值点.
2
2
2
0
( )
sin
sin 2
x
x
t
g x
e
x
x
e dt
,
2
2
2
2
2
0
( )
sin 2
2
sin
sin 2
2cos2
x
x
x
x
t
g
x
e
x
xe
x
xe
x
e dt
(0) 0
g
g
g
.
(0,0) 是
( )
y
g x
的拐点.
--- [第 2 页] ---
数学试题
第2页（共3 页）
2．已知级数：①
3
2
1
π
sin
1
n
n
n
；②
3
3
2
2
1
1
1
( 1)
tan
n
n
n
n
，则
A．①与②均条件收敛．
B．①条件收敛，②绝对收敛．
C．①绝对收敛，②条件收敛．
D．①与②均绝对收敛．
【答案】B
【解析】
3
3
2
2
2
2
1
sin
sin
sin
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
1
1
n
n
发散不是绝对收敛.
3
3
2
2
2
sin
( 1) sin
( 1) sin
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，为交错级数.
2
1
n
sin n
递减，条件收敛.
2
3
2
1
3
1
1
( 1)
tan
.
n
n
n
n
2
2
3
3
2
2
1
1
1 1
1
1
tan
.
3
n
o
n
n
n
n
2
2
3
2
1
1
3
1
1
1
( 1)
tan
n
n
n
n
n
n
收敛
绝对收敛
--- [第 3 页] ---
数学试题
第3页（共3 页）
3．设函数
( )
f x 在区间
0,上可导，则
A．当
lim
x
f x
存在时，
lim
x
f
x
存在．
B．当
lim
x
f
x
存在时，
lim
x
f x
存在．
C．当
0
d
lim
x
x
f t
t
x
存在时，
lim
x
f x
存在．
D．当
lim
x
f x
存在时，
0
d
lim
x
x
f t
t
x
存在．
【答案】D
【解析】A 错误，反例：
2
sin
( )
, lim
( )
0,
x
x
f x
f x
x
但
2
2
2
2
2
cos
sin
lim
( )
lim
,
x
x
x
x
x
f
x
x
极限不存在.
B 错误，反例：
1
( )
,
( )
,
2
f x
x f
x
x
lim
( )
0,
x
f
x
极限存在，但lim
( )
x
f x
极限
不存在.
C 错误，反例:
( )
cos ,
f x
x
则
0
( )d
sin
lim
lim
x
x
x
f t
t
x
x
x
存在，但lim
( )
lim cos
x
x
f x
x
不存在.
D 正确，用
0
( )d
( )
lim
lim
A
1
x
x
x
f t
t
f x
x
，故选D .
4．设函数
( , )
f x y 连续，则
2
2
4
2
4
d
,
d
x
x
f x y
y
A．
4
4
2
0
2
4
,
d
,
d
d
y
y
f x y
x
f x y
x
y
．
B．
4
4
2
0
2
4
,
d
,
d
d
y
y
f x y
x
f x y
x
y
．
C．
4
4
4
0
2
2
,
d
,
d
d
y
y
f x y
x
f x y
x
y
．
--- [第 4 页] ---
数学试题
第4页（共3 页）
D．
4
2
0
4
2
d
,
d
y
y
f x y
x
．
【答案】A
【解析】由题易知，此二重积分积分区域为
2
D
( , ) 4
4, 2
2
x y
x
y
x
，对应图像为上图所示。
记
2
1
( , ) 4
4, 2
0
D
x y
x
y
x
，
2
2
( , ) 4
4,0
2
D
x y
x
y
x
，且
2
2
4
2
4
I=
d
,
d
x
x
f x y
y
，则
1
2
I=
,
d
,
d
D
D
f x y
f x y
，交换积分次序得
4
4
4
2
0
2
0
4
4
4
2
0
2
4
I=
d
,
d
d
,
d
,
d
,
d
d
y
y
y
y
y
f x y
x
y
f x y
x
f x y
x
f x y
x
y
故A 正确。
5．二次型
2
1
2
3
1
1
2
1
3
,
,
2
2
f x x x
x
x x
x x
的正惯性指数
A．0．
B．1．
C．2．
D．3．
【答案】B
【解析】
--- [第 5 页] ---
数学试题
第5页（共3 页）
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
A=
E
A
2
(
1) 1 1
(
2)
(
2)(
1)
解得
1
2
3
0,
2,
1
故正惯性指数为1，选B.
6．设
1
2
3
4
,
,
,
是n 维列向量，1
2
,
线性无关，1
2
3
,
,
线性相关，且
1
2
4
0
.
在空间直角坐标系O
xyz
中，关于, ,
x y z 的方程组
1
2
3
4
x
y
z
的几何图形是
A．过原点的一个平面．
B．过原点的一条直线．
C．不过原点的一个平面．
D．不过原点的一条直线．
【答案】D
【解析】记
1
2
3
,
,
A
，由
1
2
,
线性无关，
1
2
3
,
,
线性相关，可得
2
r A
。记
4
1
2
3
4
,
,
,
A
A
，再由
1
2
4
0
，则
2
r A
。于是
4
Ax
有无穷
多解。则
1
2
3
4
x
y
z
等价于
T
1
2
3
4
,
,
, ,
x y z
，即
T
4
, ,
A
x y z
。
若过原点，则
4
0
与
1
2
,
线性无关矛盾，故不过原点。
11
12
13
14
21
22
23
24
1
2
3
4
1
2
3
4
n
n
n
n
a x
a y
a z
a
a x
a y
a z
a
x
y
z
a x
a y
a z
a
，由上述分析可知
2
r A
r A
，故
两平面交于一条直线，且不过原点。故选D。
--- [第 6 页] ---
数学试题
第6页（共3 页）
7．设n 阶矩阵
,
,
A B C 满足
2
r
r
r
r
n
A
B
C
ABC
，给出下列四个结论：
①
;
r
n
r
r
ABC
AB
C
②
;
r
n
r
r
AB
A
B
③
;
r
r
r
n
A
B
C
④
.
r
r
n
AB
BC
其中正确结论的序号是
A．①②．
B．①③．
C．②④．
D．③④．
【答案】A
【解析】
1
0
0
0
,
,
0
0
0
1
A
B
C
E ，满足( )
( )
( )
(
)
2
r
r
r
r
n
A
B
C
ABC
，则
( )
1, ( )
1, ( )
2
r
r
r
A
B
C
，排除结论③④，故选A.
8．设二维随机变量
,
X Y
服从正态分布
0,0;1,1;
N
，其中
1,1
.若,a b 为满足
2
2
1
a
b
的任意实数，则
D aX
bY
的最大值为
A．1．
B．2．
C．1
．
D．
2
1
．
【答案】C
【解析】
2
2
(
)
2
1 1
D aX
bY
a DX
b DY
ab
2
2
2
a
b
ab
2
1
2
1
2
1
( )
ab
a
a
f a
2
2
( )
2 1
2
1
a
f
a
a
a
a
2
2
2
2
1
0
1
a
a
a
--- [第 7 页] ---
数学试题
第7页（共3 页）
即
2
2
2
1
2
0
1
a
a
a
，
2
2
2
1
1
2
1
,
2
2
a
a
b
，于是
1
1
,
2
2
a
b
。所以最大
值为1 |
|
，故选C。
9．设
1
2
20
,
,
,
X
X
X
是来自总体
1,0.1
B
的简单随机样本.令
20
1
i
i
T
X
，利用泊松分布近
似表示二项分布的方法可得
1
P T
A．
2
1
e
．
B．
2
2
e
．
C．
2
3
e
．
D．
2
4
e
．
【答案】C
【解析】由题意可知
~
(20,0.1).
20 0.1
2
T
B
np
0
1
2
2
2
2
2
2
2
3
{
1}
{
0}
{
1}
2
0!
1!
P T
P T
P T
e
e
e
e
e
10．设
1
2
,
,
,
n
X
X
X
为来自正态总体
,2
N
的简单随机样本.记
1
1
n
i
i
X
X
n
，Z表示标
准正态分布的上侧分位数.假设检验问题：
0
1
1
1
H
H
：≤，
：
的显著性水平为的检
验的拒绝域为
A．
1
2
2
1
n
X
X
X
X
Z
n
，
，，
．
B．
1
2
2
1
n
X
X
X
X
Z
n
，
，，
．
C．
1
2
2
1
n
X
X
X
X
Z
n
，
，，
．
D．
1
2
2
1
n
X
X
X
X
Z
n
，
，，
．
--- [第 8 页] ---
数学试题
第8页（共3 页）
【答案】D
【解析】
1
2
/
X
z
X
z
n
n
，故选D
二、 填空题：11～16 小题，每小题5 分，共30 分．
11．
0
1
ln
ln
(
)
m
1
li
x
x
x
x
x
______.
【答案】1
【解析】
ln
0
0
1
1
ln
lim
lim
ln
ln
x
x
x
x
e
x
x
x
x
x
x
12. 已知函数
2
1
0,
0
,
2
( )
1
,
1
2
x
f x
x
x
的傅里叶级数为
1
sin π ,
n
n
b
n x
( )
S x 为
1
sin π
n
n
b
n x
的和函数，则
7
2
S
______.
【答案】1
8
【解析】
7
1
7
1
4
2
2
2
8
s
s
s
.
13. 已知函数
2
3
( , , )
,
u x y z
xy z
向量
(2,2, 1),
n
则
(1,1,1)
u
n
______.
【答案】1
--- [第 9 页] ---
数学试题
第9页（共3 页）
【解析】由题易知，
2
3
3
2
2
,
2
,
3
u
u
u
y z
xyz
xy z
x
y
z
则在
1,
1
x
y
,
1
z 处有
,
,
(1,2,3)
u
u
u
x
y
z
对于向量
(2,2, 1)
n
，归一化可得
0
2 2
1
,
,
3 3
3
n
故
0
(1,1,1)
,
,
u
u
u
u
n
n
x
y
z
2 2
1
2
2
1
(1,2,3)
,
,
1
2
3
1
3 3
3
3
3
3
14. 已知有向曲线L 是沿抛物线
2
1
y
x
从点(1,0) 到点( 1,0)
的一段，则曲线积分
(
cos )d
(2
cos )d
L y
x
x
x
y
y
______.
【答案】4
2sin1
3
【解析】由题易知可作曲线如右图所示.
记
0L 是从
1
x 到
1
x
的直线,
并记曲线积
(
cos )
(2
cos )
L
I
y
x dx
x
y dy
则在
0L 与L 所围的封闭区域可用格林公式
即
0
1
(
cos )
(2
cos )
L
L
I
y
x dx
x
y dy
2
1
1
1
2
1
0
1
4
2 1
(1
)
3
x
D
d
dx
dy
x
dx
又
0
1
2
1
(
cos )
(2
cos )
cos
2sin1
L
I
y
x dx
x
y dy
xdx
,故
4
2sin1
3
I
15. 设矩阵
4
2
3
3
4 ,
5
7
a
b
A
若方程组
2
0
A x
与
0
Ax
不同解，则a
b
______.
【答案】4
--- [第 10 页] ---
数学试题
第10页（共3 页）
【解析】由题知，
4
2
3
3
4
5
7
A
a
b
，若
2
0
A x
与
0
Ax
同解，则三秩相同，即
2
2
A
r A
r A
r A
。如果A 可逆，三秩显然相同，则
2
0
A x
与
0
Ax
同解，于
是要想
2
0
A x
与
0
Ax
不同解，即A 不可逆，于是
0
A
。根据行列式的倍加性质易得
4
2
3
4
2
1
4
0
1
3
4
3
1
1
1
4
2 1
5
7
5
2
1
2
A
a
a
a
a
b
b
b
b
，令
0
A
，
有
4
a
b
。
16. 设
,
A B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，已知
5
( )
2 ( ), (
)
,
8
P A
P B P A
B
则在
事件
,
A B 至少有一个发生的条件下，
,
A B 中恰有一个发生的概率为______.
【答案】4
5
【解析】
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
P AB
P AB
P A
P AB
P B
P AB
( )
( )
2 ( ) ( )
P A
P B
P A P B
5
(
)
( )
( )
(
)
8
P A
B
P A
P B
P AB
，
2
5
3 ( )
2
( )
8
P B
P
B
2
2
24 ( ) 16
( )
5,16
( )
24 ( )
5
0
P B
P
B
P
B
P B
(4 ( ) 1)(4 ( )
5)
0
1
1
( )
, ( )
4
2
P B
P B
P B
P A
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
2 ( ) ( )
1
1
1
1
1
2
2
4
4
2
2
1
1
8
4
2
5
2
5
5
8
P AB
P AB
P A
P AB
P B
P AB
P A
P B
P A P B
P
--- [第 11 页] ---
数学试题
第11页（共3 页）
三、 解答题：17～22 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10 分）
计算
1
2
0
1
d .
1
2
2
x
x
x
x
17．解：
1
1
2
2
0
0
1
1
2
2
(
1)
2
2
A
Bx
C
dx
dx
x
x
x
x
x
x
1
2
0
1
1
3
5
3
5
1
2
2
x
dx
x
x
x
1
1
1
2
0
0
0
2
3
1
ln 2
π
1
1
ln |1
|
ln
2
2
a
0
rctan(
1)
5
10
5
10
x
x
x
x
.
18. （本题满分10 分）
已知函数
u
f
在区间
，
0
内具有2 阶导数，记
,
,
y
x
f
y
x
g
若
y
x
g
,
满足
,1
2
2
2
2
2
2
2
y
g
y
y
x
g
xy
x
g
x
且
,
2
,1
)
,
(
,
x
x
g
y
x
g
x
x
求
)
(u
f
.
解：
2
1
,
,
x
g
g
x
u
f
u
f
u
y
x
y
y
y
令
则
又
,
1
1
x
g x x
f
f
x
，
( , )
1
2
1
,
1
2
x x
g
f
f
x
x
x
故
--- [第 12 页] ---
数学试题
第12页（共3 页）
2
2
2
1
1
1
g
f
u
f
u
x
y
y
y
......(1)
2
2
2
3
2
1
1
1
g
x
x
f
u
f
u
f
u
f
u
x y
y
y
y
y
y
..(2)
2
2
2
2
2
4
3
2
2
g
x
x
x
x
x
f
u
f
u
f
u
f
u
y
y
y
y
y
y
...(3)
将（1）（2）（3）代入
2
2
2
2
2
2
2
1
g
g
g
x
xy
y
x
x y
y
化简得：
2
1
u f
u
uf
u
，即
2
2
1
1
f
u
f
u
u
u
。
2
1
1
p
f
u
p
p
u
u
令
则
1
1
2
1
1
1
ln
du
du
u
u
u
C
p
e
e
du
C
du
C
u
u
u
u
u
又
1
2
u
p
C
，故
ln
2
u
p
u
u
因此，
ln
2
f
u
u
u
u
，积分得
2
ln
2
1 ln
2ln
2
u
f u
du
u
u
C
u
u
，
又
1
1
f
C
，故
2
1 ln
2ln
1
2
f u
u
u
。
19. （本题满分10 分）
设函数
f x 在区间
,a b 内可导.证明导函数
f
x
在
,a b 内严格单调增加的充分必要条
件是:对
,a b 内任意的
1
2
3
,
,
x x
x ,当
1
2
3
x
x
x
时
2
1
3
2
2
1
3
2
. f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
解：充分性：若对( , )
a b 内任意的
1
2
3
,
,
x x x ，当
1
2
3
x
x
x
时，都有
2
1
3
2
2
1
3
2
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
--- [第 13 页] ---
数学试题
第13页（共3 页）
则在
( , )
a b 内取任意的
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
，有
2
1
3
2
4
3
5
4
2
1
3
2
4
3
5
4
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
在
2
1
3
2
2
1
3
2
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
两边同时令
2
1
x
x
，得
3
1
1
3
1
f x
f x
f
x
x
x
，两边同时令
2
3
x
x
，得
3
1
3
3
1
f x
f x
f
x
x
x
，即
3
1
1
3
3
1
f x
f x
f
x
f
x
x
x
，同理可得
3
1
3
5
3
1
f x
f x
f
x
f
x
x
x
.因为
3
1
5
3
3
1
5
3
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
，所以
1
5
f
x
f
x
.由
1
5
,
x x 的任意性，可得
f
x
在
,a b 内严格单调递增，充分性得证。
再证必要性，即已知
f
x
单调递增，在
1
2
2
3
,
,
,
x x
x x
上分别使用拉格朗日中值定理，
知存在
1
1
2
2
2
3
,
,
,
x x
x x
，使
2
1
1
2
1
f x
f x
f
x
x
，
3
2
2
3
2
f x
f x
f
x
x
，
又由
f
x
单调递增，且
1
2
知，
1
2
f
f
，即
2
1
3
2
2
1
3
2
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
，必要性得证。
综上所述，充要条件得证。
--- [第 14 页] ---
数学试题
第14页（共3 页）
20. （本题满分10 分）
设Σ 是由直线
0
,0
y
x
绕直线
为参数
t
t
z
t
y
t
x
,
,
旋转一周得到的曲面，
1
Σ 是Σ 介于平面
0
z
y
x
与平面
1
z
y
x
之间部分的外侧，计算曲面侧积分
1
. d
d
)
2
(
d
d
)1
(
d
d
Σ
y
x
z
x
z
y
z
y
x
I
解：由题意可知直线
0
0
x
y
, 记为
1l ；
x
t
y
t
z
t
, 记为
2l ，则直线1l 绕直线2l 旋转所得曲
面为
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
3
x
t
y
t
z
t
t
。已知
1
是介于平面
0
x
y
z
和平面
1
x
y
z
之间的外侧，则补面
0 :
1
x
y
z
，方向指向外侧。则
0
与
1
所围为封闭
区域，则由高斯公式可知
1
0
1
d d
(
1)d d
(
2)d d
I
x y z
y
z x
z
x y
2
1
2
2
2
(1 1 1)d
3
d
3
π
π
3
2
2
4
v
v
(注：为圆锥体) 。
记
xy
D 为
0
在xoy 面上的投影，
( , )0
1,
0,
0
xy
D
x y
x
y
x
y
∣
又
0
2
d d
(
1)d d
(
2)d d
I
x y z
y
z x
z
x y
d dy
(
1)d d
(3
)d d
xy
D
x x
y
x y
x
y
x y
1
2d dy
2
1 1
1
2
xy
D
x
--- [第 15 页] ---
数学试题
第15页（共3 页）
故
1
2
2 π
1
4
I
I
I
.
21. （本题满分10 分）
设矩阵
,
1
1
2
0
1
2
1
0
a
A
已知1 是A 的特征多项式的重根.
(1) 求a 的值；
（2）求所有满足
2
,
2
A
A
的非零列向量
.
，
解：（1）
( ) |
| (1
)[(
)(
1)
4]
f
a
A
E
可得(1
)(1 1)
4
0,
3
a
a
（2）由（1）可知
0
1
2
1
0
2 ,|
| 0
1
1
3
A
A
E
,得 A 中
1
2
3
1
，
,
2
2
Aα
α
β.A α = α + 2β
(A - E)α
β
A - E α = 2β = 2(A - E)α
2
2
,
其中（
）=
A
0
A
E
α
E
0 ,故 α 为任意的非零向量，
T
1
2
3
1
2
3
,
,
,
0
a a a
a a a
α
1
3
1
2
2
3
1
2
3
3
1
2
1
1
2
2
(
)
1
1
2
2
1
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
β
A
E α
其中
1
2
3
2
a
a
a
则综上
1
3
1
2
2
3
1
2
1
2
3
1
2
3
3
3
1
2
2
,
2
,
0,
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a a a
a
a
a
a
a
a
a
α
β
22．（本题满分12 分）
--- [第 16 页] ---
数学试题
第16页（共3 页）
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y 与投保人的损失额X 的关系为
0,
100,
100,
100.
X
Y
x
X
设定损事件发生时，投保人的损失额X 的概率密度为
2
3
2 100
,
0,
( )
(100
)
0,
0. x
f x
x
x
（1）求{
0}
P Y
及EY .
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为N ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的
理赔次数记为M ，假设N 服从参数为8 的泊松分布，在N
n
1
n
的条件下，M 服从二
项分布
( , )
B n p ，其中
{
0}
p
P Y
，求M 的概率分布.
解：
2
3
100
2
3
100
2 100
1
(1) {
0}
{
100
0}
{
100}
(100
)
4
2 100
(
100)
50
(100
)
P Y
P X
P X
dx
x
EY
x
dx
x
+¥
+¥
´
>
=
-
>
=
>
=
=
+
´
=
-
=
+
ò
ò
(8) {
} ~
, 4
{
}
{
}
{
)
8
1
3
!
4
4
n m
m
n m
n
m
n
n m
N
P
M N
n
B n
P M
m
P N
n
P M
m N
n
e
C
n
∣
∣
8
8
!
1
3
!
!(
)! 4
4
m
n m
n
n m
n
e
n
m n
m
8
1
8
8
3
4
!
(
)!
4
m
n m
n
m
m
m
n
e
m
n
m
8
2
1
8
6
2
4
!
(
)!
!
m
n m
m
m
n m
e
e
m
n
m
m
--- [第 17 页] ---
数学试题
第17页（共3 页）