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2025 年全国硕士研究生招生考试
试题
（数学一）
（科目代码：301）
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1
一、 选择题:1～10 小题,每小题5 分,共50 分,下列每题给出的四个选项
中,只
有一个选项是符合题目
要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．
(1) 已知函数
2
0
sin
x
t
f x
e
tdt
，
2
2
0
sin
x
t
g x
e dt
x
，则
(A)
0
x 是
f x 的极值点，也是
g x 的极值点
(B)
0
x 是
f x 的极值点，
0,0 是曲线
y
g x
的拐点
(C)
0
x 是
f x 的极值点，
0,0 是曲线
y
f x
的拐点
(D)
0,0 是曲线
y
f x
的拐点，也是曲线
y
g x
的拐点
(2) 已知级数：
3
2
1
sin
1
n
n
n
①
；
3
3
2
2
1
1
1
( 1) (
tan
)
n
n
n
n
②
，则
(A) ①与②均条件收敛
(B) ①条件收敛，②绝对收
敛
(C) ①绝对收敛，②条件收敛
(D) ①与②均绝对收敛
(3) 设数
f x 在区间
0,上可导，则
(A) 当
lim
x
f x
存在时，
lim
x
f
x
存在
(B) 当
lim
x
f
x
存在时，
lim
x
f x
存在
(C) 当
0
lim
x
x
f
x
t dt
存在时,
lim
x
f x
存在
(D)当
lim
x
f x
存在时，
0
lim
x
x
f
x
t dt
存在
(4) 设函数
,
f x y 连续，则
2
2
4
2
4
,
x
dx
f x y dy
(A)
4
2
0
4
2
4
[
]
,
,
y
y
f x y dx
f x y dx dy
(B)
4
4
4
2
0
2
]
,
[
,
y
y
f x y dx
f x
y
y dx d
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2
(C)
4
0
4
2
2
4
[
]
,
,
y
y
f x y dx
f x y dx dy
(D)
4
2
4
0
,
2
[
y f x y dx
dy
(5) 二次型
2
1
2
3
1
1
2
1 3
( ,
,
)
2
2
f x x x
x
x x
x x
的正惯性指数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(6) 设
1
2
3
4
,
,
,
是n 维向量，
1
2
,
线性无关，
1
2
3
,
,
线性相关，且
1
2
4
0
，在空间直角坐标系O
xyz
中，关于
, ,
x y z 的方程组
1
2
3
4
x
y
z
的几何图形是
(A)过原点的一个平面
(B) 过原点的一条直线
(C)不过原点的一个平面
(D) 不过原点的一条直线
(7) 设n阶矩阵
, ,
A B C 满足( )
( )
( )
(
)
2
r A
r B
r B
r ABC
n
，给出下列四个结
论：①
(
)
(
)
( )
r ABC
n
r AB
r C
；②
(
)
( )
( )
r AB
n
r A
r B
；③
( )
( )
( )
r A
r B
r C
n
；④
(
)
(
)
r AB
r BC
n
，其中正确的选项是
(A) ①②
(B) ①③
(C) ②④
(D) ③④
(8) 设二维随机变量(
, )
X Y 服从正态分布
(0,0;1,1; )
N
P ，其中
( 1,1)
P
，若,a b
为满足
2
2
+
1
a
b 的任意实数，则
(
)
D aX
bY
的最大值为
(A)
1
(B) 2
(C)
1 |
|
P
(D)
2
1
P
(9) 设
1
2
20
,
,...,
X
X
X 是来自总体
(1,0.1)
B
的简单随机样本，令
20
1
i
i
T
X
，利用
泊松分布近似表示二项分布的方法可得{T
1}
P
(A)
2
1
e
(B)
2
2
e
--- [第 4 页] ---
3
(C)
2
3
e
(D)
2
4
e
(10) 设
1
2
,
,
,
n
x x
x
为来自正态总体
,2
N
的简单随机样本，记
1
1
n
i
i
X
x
n
，
Z表示标准正态分布的上侧分位数，假设检验问题：
0
1
:
1,
:
1
H
H
的显著性水平为的检验的拒绝域为
(A)
1
2
2
,
,
,
1
n
x x
x
X
Z
n
(B)
1
2
2
,
,
,
1
n
x x
x
X
Z
n
(C)
1
2
2
,
,
,
1
n
x x
x
X
Z
n
(D)
1
2
2
,
,
,
1
n
x x
x
X
Z
n
二、 填空题:11～16 小题，每小题5 分，共30 分．
(11) 0
1
lim ln
ln(1
)
x
x
x
x
x
________.
(12) 已知函数
2
1
0 , 0
2
1
,
1
2
x
f x
x
x
的傅里叶级数为
1
sin
n
n
b
n x
,
S x 为
1
sin
n
n
b
n x
的和函数,则
7
2
S
________.
(13) 已知函数
2
3
, ,
U x y z
xy z
，向量
2,2, 1
n
，则
(1,1,1)
v
n
________.
(14) 已知有向曲线L 是沿抛物线
2
1
y
x
从点
1,0 到
1 0
，的段，则曲线
积分
(
cos )
(2
cos )
L y
x dx
x
y dy
________.
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4
(15) 设矩阵
4
2
3
3
4
5
7
A
a
b
，若方程组
2
0
A X
与
0
AX
不同解，则
a
b
________.
(16) 设
,
A B 为两个不同随机事件，且相互独立，已知
5
( )
2 ( ), (
)
8
P A
P B P A
B
，则
,
A B中至少有一个发生的条件下，,
A B中恰好
有一个发生的概率为________.
三、 解答题:17～22 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
1
. (
1)(
2
2)dx
x
x
x
(18) (本题满分12 分)
已知函数
f u 在区间
0,内具有二阶导数，记
,
x
g x y
f
y
，若
,
g x y
满足
2
2
2
2
2
2
2
1
g
g
g
x
xy
y
x
x y
y
，且
,
1
g x x ，
,
2
x x
g
x
x
，求
f u .
(19) (本题满分12 分)
设函数
( )
f x 在区间
,a b 内可导，证明：导函数
( )
f
x
在
,a b 内严格单调增
加的充分必要条件是：对
,a b 内任意的
1
2
3
,
,
x x x ，当
1
2
3
x
x
x
时，
--- [第 6 页] ---
5
3
2
2
1
2
1
3
2
(
)
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
(20) (本题满分12 分)
设是由直线
0
0
x
y
绕直线
x
t
y
t
z
t
（t 为参数）旋转一周得到的曲面，
1
是
介于平面
0
x
y
z
与
1
x
y
z
之间部分的外侧，计算曲面积分
1
(
1)
(
2)
xdydz
y
dzdx
z
dxdy
(21) (本题满分12 分) 设矩阵
0
1
2
1
0
2
1
1
A
a
，已知1是A的特征多项式的
重根
(2) 求所有满足A
，
2
2
A
的非零列向量，
(22) (本题满分12 分)
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y 与投保人的损失额X 的
关系为
0,
100
100,
100
X
Y
X
X
，设损失事件发生时，投保人的损失额X 的概率密度
为
2
3
2 100
,
0
( )
(100
)
0,
0
x
f x
x
x
--- [第 7 页] ---
6
(2) 这种损失事件在一年内发生的次数记为N ,保险公司在一年内就这
种损失事件产生的理赔次数记为M ,假设N 服从参数为8的泊松分布，
在
1
N
n n
的条件下，M 服从二项分布
,
B n P ，其中
0
P
P Y
,求M 的
概率分布.
--- [第 8 页] ---
1
一、 选择题:1～10 小题,每小题5 分,共50 分,下列每题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目
要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．
(1) B
0
x
是
( )
f x 的极值点,(0,0) 是曲线
( )
y
g x
的拐点
(3) D
当
lim
x
f x
存在时，
0
lim
x
x
f
x
t dt
存在
(4) A
4
2
0
4
2
4
[
]
,
,
y
y
f x y dx
f x y dx dy
(10) D
1
2
2
,
,
,
1
n
x x
x
X
Z
n
二、 填空题:11～16 小题，每小题5 分，共30 分．
三、 解答题:17～22 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(18)
2
1
( )
ln
2ln
1
2
f u
u
u
(19) 证明题
--- [第 9 页] ---
2
(2) 1
2
3
( ,
,
)
T
k k k
，其中
1
2
3
,
,
k k k 不全为0 ，
( , , )
T
k k k
，其中
0
k
.
(1) 2
3
100
2 100
1
{
0}
{
0,
100}
{
0,
100}
(
100)
4
P Y
P Y
X
P Y
X
dx
x
2
3
100
2 100
( )
( ) ( )
(
100)
50
(
100)
E Y
g x f x dx
x
dx
x
；
(8) N
P
, {
|
}=C
(1
)
m
m
n m
n
P M
m N
n
p
p
，
由概率乘法公式，
8
8
{
,
}
{
} {
|
}
(1
)
!
n
m
m
n m
n
e
P M
m N
n
P N
n P M
m N
n
C p
p
n
(
0,1,2,
,
m
n
，
0,1,2,
n
，m
n
)
所以M 的概率分布为
8
8
{
}
{
,
}
(1
)
!
n
m
m
n m
n
n m
n m
e
P M
m
P M
m N
n
C p
p
n
8
8
2
8
8
2
6
2
(1
)
!
(
)!
!
(
)!
!
m
m
n m
m
n m
m
n m
n m
n m
e
p
e
e
p
m
n
m
m
n
m
m
(
0,1,2,
,
m
).