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2024 全国硕士研究生入学统一考试数学二答案
新浪微博@考研数学周洋鑫
1
2024 年全国硕士研究生入学统一考试试题
数学二试题
一、 选择题：1～10 小题,每小题5 分,共50 分．下列每题给出的四个选项中,只有
一个选
项是符合题目要求的．
【1】函数
(
)(
)
=
−
−
f x
x
x
x
1
2
1
( )
的第一类间断点的个数（ ）.
（A）3
（B）2
（C）1
（D）0
【答案】C
【2】函数
=
y
f x
( ) 由参数方程
=
= +
y
x
t
te
1
3
2
确定，则
+
−
=
→+
x
x f
f
xlim
2
(2) 2
（
）.
（A）2e （B）3 e
4
（C）3 e
2
（D）3
e
【答案】 B
【3】设函数
=
f x
t dt
x
( )
sin
0
3
sin
，
=
g x
f t dt
x
( )
( )
0
，则（ ）.
（A）f x
( ) 为奇函数，g x
( ) 为奇函数
（B）f x
( ) 为奇函数，g x
( ) 为偶函数
（C）f x
( ) 为偶函数，g x
( ) 为偶函数
（D）f x
( ) 为偶函数，g x
( ) 为奇函数
【答案】D
【4】已知数列
a
a
n
n
{
}(
0) ，若an
{
}发散，则
（A）
+ a
a
n
n
{
}
1
发散
（B）
−a
a
n
n
{
}
1
发散
（C）
+
a
a
n
n
e
{e
}
1
发散
（D）
−
a
a
n
n
e
{e
}
1
发散
【答案】D
【5】设已知函数
=
=
+
xy
f x y
xy
x
y
xy
0. 0,
( , )
(
)sin
,
0
1
2
2
，则函数f x y
( , ) 在(0,0)处
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2
（A）
( , )
f x y
x
连续，
可微. （B）
( , )
f x y
x
连续，
不可微.
（C）
( , )
f x y
x
不连续，
可微. （D）
( , )
f x y
x
不连续，
不可微.
【答案】C.
【6】设
( , )
f x y 是连续函数，则
1
2
sin
6
d
( , )d
x
x
f x y
y
=
（ ）.
（A）
1
arcsin
1
2
6
d
( , )d
y
y
f x y
x
（B）
1
2
1
arcsin
2
d
( , )d
y
y
f x y
x
（C）
1
arcsin
2
0
6
d
( , )d
y
y
f x y
x
（D）
1
2
2
0
arcsin
d
( , )d
y
y
f x y
x
【答案】A
【7】设非负函数
( )
f x 在
)
0 +
，
连续，给出以下三个命题：
①若
2
0
( )
f
x dx
+
收敛，则
0
( )
f x dx
+
收敛
②若存在
1
p ，使得lim
( )
p
x
x f x
→+
存在，则
0
( )
f x dx
+
收敛
③若
0
( )
f x dx
+
收敛，则存在
1
p ，使得lim
( )
p
x
x f x
→+
存在
其中真命题的个数为（ ）.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】B
【8】设A 为三阶矩阵，
1
0
0
0
1
0
1
0
1
P =
，若
2
2
0
0
0
2
0
T
a
c
c
b
c
c
+
P AP =
，则A =（ ）.
（A）
0
0
0
0
0
0
c
a
b
（B）
0
0
0
0
0
0
b
c
a
（C）
0
0
0
0
0
0
a
b
c
（D）
0
0
0
0
0
0
c
b
a
【答案】C
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3
【9】A 为4 阶矩阵，若
−
A(A
A )=0
*
,且
A
A* ，则r(A) 可能为
（A）0 或1
（B）1或3
（C）2 或3
（D）1或2
【答案】D
【10】设A
B
、
为2 阶矩阵，且AB = BA ，则“ A 有两个不相等的特征值 ”是“ B 可对
角化”的（ ）.
（A）充分必要条件
（B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】B
二、 填空题：11～16 小题,每小题5 分,共30 分．
【11】曲线
=
y
x
2
在点(0,0) 处的曲率圆方程为
.
【答案】
−
+
=
x
y
2
4
(
)
1
1
2
2
【12】设
=
−
−
+
+
f x y
x
x
y
x
y
,
2
9
6
12
24
3
2
4
(
)
的极值点是
.
【答案】1,1
(
) .
【13】已知微分方程
+
= x
y
y
(
)
'
1
2 ，满足
=
y(1)
0 的解为
.
【答案】
+
=
+
x
y
y
4
arctan(
) .
【14】函数
=
+
f x
x
x
( )
(e
1)
2
，求
=
f
x
( )
(5) .
【答案】31e.
【15】某物体以速度
+
=
sin
)
(
t
k
t
t
v
作直线运动，若它从t = 0到t = 3 的时间段内平均速
度为5
2
，则k =
.
【答案】
3
2 .
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4
【16】设
1
1
1
1
a
=
−
，
2
1
1
b
a
=
，
3
1
1
1
a
=
−
，若
1
，
2
，
3
线性相关，且其中任意两个向
量均线性无关，则ab = .
【答案】4
−.
三、 解答题：17～22 小题,共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【17】（本题满分10 分）
已知函设平面有界区域D 位于第一象限,由曲线
1,
3
3
xy
xy
=
=
与直线
1 ,
3
3
y
x y
x
=
=
围成的平面区域，计算
(1
)d d
D
x
y
x y
+
−
【答案】8 ln3
3
. 【18】（本题满分12 分）
已知( )
y x 满足
2 ''
' 9
0
x y
xy
y
+
−
=
，满足(1)
2,
'(1)
6
y
y
=
=
.
（1）利用变换
et
x =
将上述方程化为常系数线性方程，并求( )
y x ；
（2）计算
2
2
1
( ) 4
d
y x
x
x
−
.
【答案】（1）
3
( )
2
y x
x
=
；（2）22
3
5
. 【19】（本题满分12 分）
设
0
t
,平面有界区域D 由曲线
e
,
,
2
x
y
x
x
t x
t
−
=
=
=
及x 轴围成, D 绕x 轴旋转
一周所得旋转体的体积为
( )
V t ,求
( )
V t 的最大值.
【答案】最大值为
πln 2
3π
(ln 2)
16
64
V
=
+
.
【20】（本题满分12 分）
已知
( , )
f u v
具有二阶连续偏导数，且
( , )
(2
,3
)
g x y
f
x
y
x
y
=
+
−
满足
2
2
2
2
2
6
1
g
g
g
x
x y
y
+
−
=
.
（1）求
2 f
u v
；
（2）若
2
( ,0)
1
e ,
(0, )
1
50
u
f u
u
f
v
v
u
−
=
=
−
，求
( , )
f u v 的表达式.
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5
【答案】（1）25
1 ；（2）
=
−
+
+
−
f u v
uv
u
v
u
50
25
( , )
(
1)e
.
1
1
2
【21】（本题满分12 分）
设函数f x
( ) 具有2 阶导数,且
1. =
f
f
f
x
证明:
（1）当
x
(0,1)时,
(1
)
2
x
x
−
−
−
−
f x
f
x
f
x
( )
1 . 2
12
−
+
f x
x
f
f
( )d
0
1
【答案】（1）分别在
=
x
0 及
=
x
1处使用泰勒公式展开.
（2）对于（1）结果两边同时积分.
【22】（本题满分12 分）
已知
=
=
=
b
B
Ax
A
a
2
1
0
1 ,
1
1 ,
0
0
0
1
1
的解均为
=
B x
T
0 的解，但
=
Ax
0与
=
B x
T
0 不同解.
（1）求a b
,
的值；
（2）求正交变换
=
x
Qy, 使
=
f x x x
x BAx
T
( ,
,
)
1
2
3
为标准形.
【答案】（1）a
b
=
=
1,
2 ；（2）
f x x x
y
Q
−
=
−
=
6
3
0
2
1
6
2
3
,
,
,
6
. 1
1
1
6
2
3
1
1
1
1
2
3
1
2
(
)