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2024 全国硕士研究生入学统一考试数学三答案
新浪微博@考研数学周洋鑫
1
2024 年全国硕士研究生入学统一考试试题
数学三试题
一、 选择题：1～10 小题,每小题5 分,共50 分．下列每题给出的四个选项中,只有
一个选项
是符合题目要求的．
【1】已知
+
=
+
→
nx
f x
x
n
n
1
( )
lim 1
2 ，则f x
( )
（A）在
=
= −
x
x
1,
1处均连续.
（B）在
=
x
1处连续,
= −
x
1处不连续.
（C）在
=
= −
x
x
1,
1处均不连续.
（D）在
=
x
1处不连续,
= −
x
1处连续.
【答案】（D）
【2】设
|
sinx
|
I
k
=
+
dx ，k 为整数，则I 的值（
）
（A）只与有关
（B）只与k 有关
（C）与和k 均有关
（D）与和k 均无关
【答案】（B）
【3】已知f x y
( , ) 连续，则
dx
f x y dy
x
( , )
6
sin
2
1
=（
）
（A）
dy
f x y dx
arc
( , )
2
6
1
1
siny
（B）
dy
f x y dx
arc
( , )
2
siny
1
2
1
（C）
dy
f x y dx
arc
( , )
6
0
2
siny
1
（D）
dy
f x y dx
arc
( , )
0
siny
2
2
1
【答案】（A）
【4】设幂级数
=
+
a x
n
n
n
0
的和函数为
x
ln(2+ ) ，则
=
=
+
na
n
n
0
2
（A）−6
1 . 【答案】（A）
【5】已知
X AX
=
f x x x
( ,
,
)
1
2
3
T
经正交变换化为y
y
y
−
+
2
3
1
2
3
2
2
2 ，则二次型对应的矩阵
A 的行列式和迹分别为（
）
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2
（A）6, 2
−
−. （B）6, 2
−.
（C）6,2
−
. （D）6,2 .
【答案】（C）
【6】设A 为三阶矩阵，
1
0
0
0
1
0
1
0
1
=
P
，若
T
2
2
0
0
0
2
0
a
c
c
b
c
c
+
=
P AP
，则
=
A
（A）
0
0
0
0
0
0
c
a
b
. （B）
0
0
0
0
0
0
b
c
a
.
（C）
0
0
0
0
0
0
a
b
c
. （D）
0
0
0
0
0
0
c
b
a
.
【答案】（C）
【7】设
1
3
1
2
1
1
2
a
b
b
a
+
=
A
，
ij
M 为
ija 余子式，若
1
2
= −
A
，
21
22
23
0
−
+
−
=
M
M
M
，
则
（A）
1
a = 或
3
2
a = −
. （B）
0
a =
或
3
2
a =
.
（C）
1
b = 或
1
2
b = −
. （D）
1
b = −或
1
2
a =
.
【答案】（B）
【8】设随机变量X 的概率密度为
6 (1
),
0
1,
( )
0,
.
x
x
x
f x
−
=
其他
，则X 的三阶中心矩
3
(
)
E X
EX
−
=
（A）
1
32
−
. （B）0 . （C）1
10
. （D）1
2
. 【答案】（B）.
【9】设随机变量
,
X Y 相互独立，且
(0,2)
X
N
，
( 1,1)
Y
N −
，记
1
{2
0}
p
P
X
Y
=
−
,
2
{
2
1}
p
P X
Y
=
−
，则
（A）
1
2
1
2
p
p
. （B）
2
1
1
2
p
p
.
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3
（C）
p
p
2
1
1
1
. 【答案】（B）.
【10】设随机变量X Y
,
相互独立，且均服从参数为的指数分布，令
=
−
Z
X
Y ，则下
列随机变量与Z 同分布的是（
）
（A）
+
X
Y . （B）
+
X
Y
二、 填空题：11～16 小题,每小题5 分,共30 分．
【11】
→
x
0 时
，
+
+
t
t
t
t
x
1 cos
d
(1
)sin
0
2
2
2
与xk 是同阶无穷小，则
=
k
.
【答案】3
【12】
+
−
=
+
x
x
dx
3
4
5
2
4
2
. 【答案】
−
2
8
ln3
.
1
【13】
=
−
−
+
+
z
x
x
y
x
y
2
9
6
12
24
3
2
4
的极值点是
.
【答案】(1,1)
【14】设某商品价格
−
=
−
Q Q
P
Q Q
35
0. 25 ,
20
，其中Q 为产量，总成本函数
=
+
+
C
Q
Q
150
5
0. 25
2 ，求利润的最大值为
万元.
【答案】50
【15】A 为3 阶矩阵，A*为其伴随矩阵，E 为单位矩阵，且
A
E
r
A
E
r
=
+
=
−
,2
)
(
,1
)
2
(
则A* =
.
【答案】16
【16】设随机试验每次成功的概率为p ，进行3 次独立重复试验，在至少试验成功1次的
条件下三次试验全部成功的概率为4
13
，则p =
.
【答案】2
三、 解答题：17～22 小题,共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【17】（本题满分10 分）
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4
区域D 位于第一象限，由
1
1
3
3
3
3
xy
,xy
,y
x,y
x
=
=
=
=
围成，计算
(1
)
D
x
y dxdy
+
−
【答案】8 ln3
3
. 【18】（本题满分12 分）
函数
(
)
z
z x,y
=
由
2
ln(1
)
0
x
z
e
y
z
+
−
+
=
确定，求
2
2
2
2
(0 0)
,
z
z
x
y
+
.
【答案】1 2ln2
−−
.
【19】（本题满分12 分）
设
0
t
，平面区域D 由曲线
2x
y
xe−
=
与直线x
t
= ，
2
x
t
=
及x 轴围成，记区域D 的
面积为( )
S t ，求( )
S t 的最大值.
【答案】1
3
ln 2
16
64
+
.
【20】（本题满分12 分）
设
( )
f x 具有二阶导数，且
(1) f
f
=
，
( )
1
f
x
，证明：
（1）
(0,1)
x
，
(1
)
( )
(1) 2
x
x
f x
f
x
f
x
−
−
−
−
.
（2）
1
0
(0) + (1)
1
( )
2
12
f
f
f x dx −
【答案】（1）分别在
0
x =
及
1
x =
处使用泰勒公式展开.
（2）对于（1）结果两边同时积分.
【21】（本题满分12 分）
已知矩阵
1
1
0
1
1
1
0
3
2
1
2
6
A
−
−
=
，
1
0
1
2
1
1
1
2
3
2
2
B
a
a
=
−
−
−
−
，向量
0
1
2
0 .
3
1
=
=
−
，
（1）证明方程组Ax
=
的解是Bx
=
的解.
（2）若方程组Ax
=
与Bx
=
有不同的解，求a .
【答案】（1）将方程组Ax
=
的解求出，代入Bx
=
，满足题意即可。
（2）
1
a =
【22】（本题满分12 分）
设总体
服从
0,上的均匀分布，其中
(
)
0,
+为未知参数，
1
2
,
,
n
X
X
X 是来
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5
自总体X 的简单随机样本，记
n
n
X
X
X
=
X
max
,
,
1
2
( )
，
=
T
cX
c
n
( ) .
（1）求c ，使得
=
E Tc
(
)
.
（2）记
=
−
h c
E Tc
( )
(
) ,
2 求c 使得h c( ) 最小.
【答案】（1）
+
n
n 1 ；（2）
+
+
n
n
1