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2021年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、 选择题(1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内•)
冶一1
工，在匸=0处(
).
=0
(1) 函数 )=
(B) 连续且取得极小值
(D)可导且导数不为零
(C) 旳
11,
(A)连续且取得极大值
(C)可导且导数等于零
(2) 设函数 f(x,y)可微，且yCz+l,e『)=工(工 +1)2』(工,工◎= 2x2\nx,则甘(1,1)=(
).
(A)dr + dy
(B)djr 一 dy
(C)d_y
(D) — dy
(3) 设函数/(jr ) = “n ：在工=0处的3次泰勒多项式为ax +bx2 + cx\则( ).
1 + JC
7_
?
(A)a = 1
= 0 9C
(C)a = — \ ,h = — 1 ,c
7_
1_
~6
7
(D)a = — 1 ,b — — 1 ,c =—
6
(B)a =1,6 = 0 9C
(4) 设函数/(工)在区间［0,1］上连续，则「/(工)山=(
)•
J 0
1
2n
”= ] ' 62? / ,
(C)lim 丈
丄
(5) 设二次型 /(J7 1，工2,工 3)—(-T 1 + X ZY + (工2 + 工3)
性指数依次为(
).
(A)2,0
(B)l,l
1\
(B)lim
”一►8
(D)lim
”f 8
n
xxy的正惯性指数与负惯
丁)丄
(02,1
(D)l,2
(6) 已知a,
2 9 (x 3
Pi = a i ,02 = a2 — kfii ,03 = a3 — liPi — 12卩2 ‘右 Pi，
1
0
▼ a 2
1
卩2，03两两相交，则11丿2依次为(
/ A、5 1
小、5 1
⑷㊁盲
⑻—㊁迈
).
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7）设A.B为"阶实矩阵，下列结论不成立的是（
）.
/A O \
(A)r
丁 =2r(A)
\o ata/
/A BA \
(C)r
t ) = 2厂(A )
/A AB\
(B)
r
丁 丨=2厂(A )
、O at/
(A O \
(D)
r
=2 心)
At/
8) 设为随机事件，且0
P(A), lilij P(A |B) > P(A)
(C) 若 P(A|B)>P(A | 巨)，则 P(A|B)>P(A)
(D) 若 P(A |A U B)> P(A |A U B),则 P(A) > P(B)
9) 设(X],YQ,(X2，Y2)，・・・，(X”，Y”)为来自总体N %, “2；屛，话；Q)的简单随机样本,
令 9 =
—卩2、X = —X：,Y = — Y]Y{,0 = X — Y,则(
).
n ,=i
" ,=1
2 | 2
(A)0是0的无偏估计,D(4 =空工上
（E）@不是0的无偏估计,D（@）= |〒2
n
（09是e的无偏估计，D（0） =6十—仟S
71
（D）<9不是0的无偏估计,DV） =6十几—
n
10） 设X|,X2，“・，X|6是来自总体N （〃，4）的简单随机样本，考虑假设检验问题:H。< 10,
：〃 > 10,①Q ）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W = ｛乂$11｝,其
— ]16
/
中X=u》X,,则〃 =11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（
）.
（A）l—①（0.5）
（B）l -0（1）
（01-0（1. 5）
（D）l—①（2）
:、填空题（11〜16小题，每小题5分，共30分•请将答案写在题中的横线上.）
「+8
djc
11） 1
9 . . . =
Jo jr2 + 2a: + 2
L2）设函数夕=》（工）由参数方程" +' + 1,"所确定，则冀|
b=4（t — 1疋 +/2
E 丨,=0
-------------------------
〔3）欧拉方程x1 y" + xy' 一4夕=0满足条件_y（l） = l,j/（l） = 2的解为y =_____ .
-4）设艺为空间区域｛（工,y ,z） |j?2+4j/2<4,0
三、 解答题（17〜22小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（
17）（本题满分10分）
求极限lim
工一o \
e — 1
sin x
（18）（本题满分12分）
卄1
8
设Q ）=厂H—
（” = 1,2,…），求级数 > “”（工）的收敛域及和函数.
nkn + 1）
”=i
（19）（本题满分12分）
已知曲线二求°上的点到心坐标面距离的最大值•
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(20) (本题满分12分)
设D U便是有界单连通闭区域,/(D) = ]J(4 —* —犷)血旳取得最大值的积分区域为 £
(I )求KDj)的值;
(21) (
本题满分12分)
r 1
已知 A = I 1 a — 1 .
1 - 1 a I
(I )求正交矩阵P,使得P AP为对角矩阵；
(II )求正定矩阵C,使得C? =(a +3)E — A.
(22) (本题满分12分)
在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为X,较长一段的长度
y
为Y,令Z=-.
(I )求X的概率密度；
(11 )求Z的概率密度；
(川)求 E(y).