--- [第 1 页] ---
2021 研究生入学考试考研数学试卷（数学一）
一、 选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50 分．下列每题给出的四个选项中，
只
有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上．
1. 在
处
（A）连续且取得极大值
（B）连续且取得极小值
（C）可导且导数为零
（D）可导且导数不为零
2. 设函数
可微，且
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 设函数
在
处的3 次泰勒多项式为
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 设函数
在区间
上连续，则
（A）
（B）
（C）
（D）
5. 二次型
的正惯性指数和负惯性指数依
次为
（A）2,0
（B）1,1
（C）2,1
（D）1,2
6. 已知
记
若
--- [第 2 页] ---
两两正交，则
依次为
（A）
（B）
（C）
（D）
7. 设
为
阶实矩阵，下列不成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 设
为随机事件，且
，下列为假命题的是
（A）若
,则
（B）若
,则
（C）若
,则
（D）若
,则
9. 设
为来自总体
的简单随机样本，令
,则
（A）
是
的无偏差估计，
（B）
不是
的无偏差估计，
（C）
是
的无偏差估计，
（D）
不是
的无偏差估计，
10. 设
是来自总体
简单随机样本，考虑假设检验问题：
表示标准正太分布函数，若该检验问题的拒绝域为
,其中
，则
，该检验犯第二类错误的概率为
（A）
（B）
（C）
（D）
--- [第 3 页] ---
二、 填空题：11～16 小题，每小题5 分，共30 分．请将答案写在答题纸
．．．指
15. 设
为3 阶矩阵，
为代数余子式，若
的每行元素之和均为2，且
，
则
16. 甲、乙两个盒子中有2 个红球和2 个白球，选取甲盒中任意一球，观察颜色后放入乙盒，
再从乙盒中任取一球，令
分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则
与
的相关系数为
三、 解答题：17～22 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
18. （本题满分12 分）
设
，求级数
的收敛域及和函数.
19. （本题满分12 分）
已知曲线
求
上的点到
坐标面距离的最大值.
20. （本题满分12 分）
设
是有界单连通区域，
取得最大值的积分区域记
为
--- [第 4 页] ---
21. 设矩阵
（1）
求正交矩阵
,使
为对角矩阵
（2）
求正定矩阵
,使
,
为3 阶单位矩阵.
22. 在区间
上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为
,较长一段的长
度记为
.令
.
(1) 求
的概率密度;(2)求
的概率密度;(3)求
.